080910203量子力学I期末考题(A)答案
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
080910203量子力学I期末考题（A）答案
080910203量子力学I期末考题（A）答案山东师范大学2014年期末考试试题(A)答案及评分标准（时间：120分钟共100分）课程编号：080910203 课程名称：量子力学适用年级：2011 学制:四年适用专业：物理学、光电试题类别： A一、简答题：（本题共5小题，每小题5分，共25分）1、在体系所处的某一个状态中测量不同的力学量，其测值概率分布是否相同？试举例说明。
答：在体系所处的状态中测量不同的力学量其测值概率分布是不一样的。
（2分）比如某状态中测量出的坐标概率分布与动量概率分布可用不同函数来表示。
（3分）（给出其它合适的例子同样给分）2、试讨论：若两算符对易，是否在所有态下它们都同时有确定值。
答：对易算符可以有共同的本征态，在共同本征态下它们同时取确定值。
（3分）但若所给定的态不是它们的共同本征态，在此态下两算符是不能同时取确定值的。
比如)2()1(βα是z s1?的本征态，尽管0]?,?[12=z s S ，但它不是2?S 的本征态。
（2分）（不给例子，讨论合适也给分）3、试述全同粒子的特点以及对波函数的要求。
答：全同粒子的特点：任意交换两个粒子的位置不影响体系的状态。
（3分）这个特点要求描述全同粒子的波函数对任意两个粒子的交换要么是对称的，要么是反对称的。
(2分) 4、使用狄拉克符号导出能量本征值方程在动量表象中的表示。
答：在坐标表象下的能量本征值方程为>>=+ψψμ||)2?(2E V p（1分）方程两边取动量表象，有><>=<+><ψψψμ||||2?|2p E V p pp （1分）令>=<ψ?|)(p p ，并加入完备性关系?><|''|'p p dp ，并利用>p |动量算符属于本征值p 的本征函数，有（1分）)(|''||')(22p E p p V p dp p p ?ψ?μ=>><<+? 即 )()'(')(2'2p E p V dp p p pp μ=+? （2分）（从松处理，如果写的是含时薛定谔方程的动量表象，只扣1分）5、以α和β分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）。
量子力学期末考试试卷及答案范文
量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。
2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。
3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。
4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。
二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。
综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。
2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。
针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。
3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。
谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。
三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。
四、计算题。
1、第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r rπε=-（）)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r E d r e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,43441020********420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起一级修正为（基态03(0)1/210030()Zra Z e a ψπ-=） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<，故102≈-r a Z e 。
080910203量子力学I期末考题A谜底
对于氢原子来说，由哈密顿的表达式 Tˆ V Hˆ
两边取平均值，有
前式代入，得
即
三、计算题（本题共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分）
1、已知在
sz
表象中，
(1) sx 的本征值和所属本征函数；
sx
2
0 1
T V En
T En
p'
i p'( x' x'')
| 10 1 [ (1) (2) (2) (1)] 2
自旋单重态一个: | 00 1 [ (1) (2) (2) (1)] 2
（后面两个写得正确，给 3 分） 二、证明题（本题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）
1、证明在定态下，任意不显含时间 t 力学量 A 的取值概率分布不随时间改变。
i p''x''
ak
的本征函数为
1
2
（3 分）
（2 分）
（2 分）
（2 分）
（2 分）
（2 分）
i px
e ，试证明
（2 分）
（2 分）
利用 函数的定义 (x x')
( p) x'x"
1
2
1 2
dp'e
i
1
2
i
i p'( x' x'')
p'|
E
|
E( p)
（2 分）
（3 分）
（2 分）
（3 分）
(2 分)
北京大学量子力学期末试题A及答案
北京大学量子力学期末试题A姓名:学号：题号一二三四五六习题 总分成绩一.（10分）若Sˆ是电子的自旋算符，求 a. x S ˆz S ˆx S ˆy S ˆx S ˆ=? b. ?S ˆSˆ=× 二．（12分）若有已归一化的三个态γβα和,，且有8.02.03.0======βγγβαγγααββα ,试用Schmidt 方法构成正交，归一的新的态矢量γβα′′和,.三．（16分） 算符ηηηη/z S ˆi /y S ˆi z /y S ˆi /z S ˆi n e e S ˆe e S ˆϕθθϕ−−=是电子自旋算符zSˆ经幺正变换而得。
试求出它的本征值和相应的本征矢在zS ˆ表象中的表示。
四．（18分）在t=0时，自由粒子波函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=b 2x 0b 2x bxsin 2b 0,x πππψ a. 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；b. 求出几率最大的动量值；c. 求出发现粒子在x dp b b +−ηη区间中的几率；d. ()?t ,x =ψ （积分形式即可）。
五. (18分) 三个自旋为2η的全同粒子，在一维位势())x x x (m 21V 23222123x ,2x ,1x ++=ω 中运动，a. 给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应 的本征矢；（谐振子波函数以()x u n 表示）；b. 它们的简并度分别是多少？六．（16分）质量为m 的粒子处于位势()⎩⎨⎧∞≤<≤<≤<=其他和az 0a y 0,a x 00z ,y ,x V中。
假设它又经受微扰bxy Hˆ=′，试求第一激发态能量的一级修正。
北京大学量子力学期末试题A 答案和评分一. (10分)5分 a. x y x z x s s s s s xy 2x z s s s s −=5x y z 2)2(i s s s 4ηη=−=或 5x y z z y 2)2(i s )s s s s (214ηη=−−=5分b. s i )s s s s (k )s s s s (j )s s s s (i s s x y y x z x x z y z z y ηρρρ=−+−+−=×二．(12分) 1=αα ∴ α=α′4分 )3.0(N )(N α−β=βαα−β=β′由 )..(N ).)(.(N 222230*********+⋅−=α−β−β==β′′2分 91.01N =， )3.0(91.01α−β=β′4分 )2.0(N γβ′β′−α−γ=γ′2020202012....(N ⋅+γ−β′γγβ′−αγ−γγ==γ′γ′)β′γγβ′+β′γγ′−910740309101..).(.=γα−γβ=γ′ 191032602020910740201222222==+−−−⋅..N ).....(N ，2分 67.1N =三. (16分) m 2m m sˆz η= ′=′ϕθθ−ϕ−m e e s ˆe e m s ˆz y y z s ˆi s ˆi z sˆi s ˆi n ηηη如 ′=′θ−ϕ−m e e m y z s ˆi sˆi η， 则 ′=′m m 2m sˆn η 6分 ∴ 它的本征值为 2η± 相应的本征值在z sˆ表象中的表示m )sin i )(cos sin i (cos m m m y z 2222θσ−θϕσ−ϕ′=′′m sin sin i cos sin im sin cos i cos (cos x y 22222222θϕσ+θϕ−θϕσ−θϕ′m )e e (sin )sin im (cos cos m i i 222222ϕ−+ϕ−σ−σθ+ϕ−ϕθ′=6分 1m ,1m 1m ,1m i 1m m i e )(2sin e 2cos =′−=−=′=ϕ±±==′ϕδ±θ+θ=μ 2分 n sˆ本征值为2η，本征表示为 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛θθϕϕ−2i 2i e 2sin e 2cos 2分 2η−，本征表示为 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛θθ−ϕϕ−2i 2i e 2cos e 2sin四. (18分)6分 a. dx i 2e e 2b e21ibxibx b 2b2x ip p x x−ππ−−−ππ=ϕ∫η dx ]e e [i 41)b()/x p bx (i )x p bx (i 21x x ηη+−−−π=∫]e )p b (i e )p b (i [b i b x)p b (i x bbx)p b (i x xxππ−+−ππ−−++−π=22221141ηηηη2x 2x 21p )b (b2b p 2sin )i 2()b (41−π+π=ηηηη 该态中粒子动量可能测得值为 ∞<<∞−x p5分 b. }]p )b [(b p {sin dp d dp )p (d x x x x x 22222120−π==ϕηη∴ 0422422=−π+ππxxx x p )b (p b p sin b p cos b ηηηη0bp 2sin b p b p 2cos ]p )b [(xx x 2x 2=ππ+π−ηηηη ∴ 有解 b p x η±=3分 c. bxx 23bx p 2b p 2cosb 2)b (i )p (ηηηηη−πππ=ϕ发现粒子在x dp b b +−ηη区间中的几率为x x 2dp b1dp )b (ηη=ϕ4分 d. x t m 2p ip i 21x dpe)2(1)p ()t ,x (2xx ∫−πϕ=ψηηη五. (18分)a. 2分 ω+=εη)21n (n ,3分 ω=η25E 基, ω=η27E 1 基态 2n 0=，1n 1=2分 )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u !3322113322113322113111100000001ββββββααα=ψ )()(u )()(u )(u )()(u )()(u )(u [221331331221311000010000αχ−αχ=)]()(u )()(u )(u 11233210000αχ+1分 )()(u )()(u )(u [331221311000002βχ=ψ )()(u )()(u )(u 22133110000βχ−)]()(u )()(u )(u 11233210000βχ+ 第一激发态 2n 0=，1n 2= 2分 )()(u )()(u )(u [331221312000011αχ=ψ)()(u )()(u )(u 22133120000αχ−)]()(u )()(u )(u 11233220000αχ+ 1分 )()(u )()(u )(u [331221312000012βχ=ψ)()(u )()(u )(u 22133120000βχ−)]1()1(u )23()3(u )2(u 10000βχ+ 2分 )()(u )()(u )(u [331221310001113αχ=ψ )()(u )()(u )(u 22133100011αχ−)]()(u )()(u )(u 11233200011αχ+ 1分 )()(u )()(u )(u [331221310001114βχ=ψ)()(u )()(u )(u 22133100011βχ− )]()(u )()(u )(u 11233200011βχ+b. 4分 基态二重简并第一激发态四重简并 六. (16分)3分 粒子的能量为)n n n (maz y x 2222222++πη 第一激发态为 1 1 21 2 1 2 1 12222220134112a )(ma E ππ=++π=ηη，5分 z a 2sin y a sin x a sin )a 2(123πππ=ρz asin y a 2sin x a sin )a 2(2r 23πππ=ρz asin y a sin x a 2sin )a 2(3r 23πππ=ρdy y a sin y dx x a sin x )a 2(1H ˆ1a 02a 022∫∫π⋅π=′4a dx x a sin x 2a2=π∫ ∴2222ba 41b 4a 4a )a 2(1H 1=⋅⋅⋅=′03H 2H =′=′2a 02a 022ba 41dy y a 2sin y dx x a sin x b )a 2(2H 2=π⋅π=′∫∫dy y a sin y a 2sin y xdx a 2sin x a sin x b )a 2(3H 2a 0a 02∫∫ππ⋅ππ=′42222228164ba 4)9a 8)(9a 8(b )a 2(π⋅=π−π−=2a 02a 022ba 41dy y a sin y dx x a 2sin x b )a 2(3H 3=π⋅π=′∫∫4分 于是有：0E ba 4181ba 464081ba 464E ba 41000E ba 411242421212=−π⋅π⋅−−2分 ∴ 211ba 41E =2分 2424422132344181464418146441ba ])([ba )(ba ba E ,π±=π⋅±=π⋅±=。
量子力学期末考试题解答题
量子力学期末考试题解答题[标签:标题]篇一：量子力学期末考试题解答题1. 你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。
(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。
首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。
2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率?0，当照射光频率0时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻?10?9s观测到光电子。
爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
量子力学期末复习题答案
量子力学期末复习题答案1. 什么是量子力学的基本原理？答案：量子力学的基本原理包括波函数的统计解释、不确定性原理、量子态的叠加原理以及量子力学的测量问题等。
2. 描述薛定谔方程的物理意义。
答案：薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子状态随时间演化的基本方程，它揭示了粒子波函数的时间依赖性，从而可以预测粒子的行为和性质。
3. 什么是泡利不相容原理？答案：泡利不相容原理指出，一个原子中不能有两个或更多的电子具有完全相同的四个量子数，即主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数。
4. 简述海森堡不确定性原理的内容。
答案：海森堡不确定性原理表明，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，测量其中一个量时，另一个量的不确定性会增加。
5. 什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是指两个或多个量子系统之间存在的一种特殊的关联，即使它们相隔很远，一个系统的状态无论何时被测量，另一个系统的状态也会立即确定。
6. 描述量子隧穿效应。
答案：量子隧穿效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零的现象，即使粒子的能量低于势垒的高度，粒子也有可能出现在势垒的另一侧。
7. 什么是波函数坍缩？答案：波函数坍缩是指在量子测量过程中，系统的波函数从叠加态突然变化到一个特定的本征态的过程，这个过程是随机的，并且与测量者的观测有关。
8. 简述量子力学中的态叠加原理。
答案：态叠加原理是指一个量子系统可以处于多个可能状态的叠加，即系统的波函数可以表示为这些可能状态的波函数的线性组合。
9. 描述量子力学中的测量问题。
答案：量子力学中的测量问题涉及到波函数坍缩和观测者的角色，即在测量之前，系统处于多种可能状态的叠加，而测量后系统会坍缩到一个特定的状态。
10. 什么是量子力学的非定域性？答案：量子力学的非定域性指的是量子系统的状态不局限于空间的某一点，而是在整个空间中分布，即使系统被限制在某个区域内，其波函数仍然可以扩展到区域之外。
A_1
− e − i (bx + p xx / η) ]dx
2π b
η) x
1 + e − i (b + p x i(b + p x η) − 2π b
η) x
2π b
]
− 2π b
2 πp x 1 2ηb (ηb )1 2 ( +2i ) sin ηb (ηb ) 2 − p 2 4π x 该态中粒子动量可能测得值为 − ∞ < p x < ∞ d ϕ(p x ) d 2πp x 1 =0= 5 分 b. {sin 2 } 2 2 dp x dp x ηb [( ηb ) − p 2 ] x 4π 2πp x 2πp x 4p x cos ∴ + sin =0 ηb ηb ηb ( ηb ) 2 − p 2 x [(ηb ) 2 − p 2 x ] cos 2πp x p x ηb 2 πp x + sin =0 ηb π ηb ∴ 有解 p x = ± ηb
1
， β′ =
1
γ ′ γ ′ = 1 = N 2 ( γ γ − 0.2 γ α − β′ γ γ β′ − 0.2 α γ + 0.2 ⋅ 0.2
β′ γ =
2
1 0.74 ( β γ − 0.3 α γ ) = 0.91 0.91
2
0.74 2 0.326 N ⋅ (1 − 0.2 − − 0.2 2 + 0.2 2 ) = N 2 = 1， 0.91 0.91
5分 二．(12 分) 4分 由 2分 4分 b. s × s = i (s y s z − s z s y ) + j(s z s x − s x s z ) + k (s x s y − s y s x ) = iηs
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。
4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ 一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ 与*ψ 一定等价；D.无任何结论。
5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。
6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态；B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。
8．如果一个力学量 ∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。
9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。
10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山东师范大学2014年期末考试试题(A)答案及评分标准（时间：120分钟 共100分）课程编号：080910203 课程名称：量子力学 适用年级：2011 学制:四年 适用专业：物理学、光电 试题类别： A一、简答题：（本题共5小题，每小题5分，共25分）1、在体系所处的某一个状态中测量不同的力学量，其测值概率分布是否相同？试举例说明。
答：在体系所处的状态中测量不同的力学量其测值概率分布是不一样的。
（2分） 比如某状态中测量出的坐标概率分布与动量概率分布可用不同函数来表示。
（3分） （给出其它合适的例子同样给分）2、试讨论：若两算符对易，是否在所有态下它们都同时有确定值。
答：对易算符可以有共同的本征态，在共同本征态下它们同时取确定值。
（3分） 但若所给定的态不是它们的共同本征态，在此态下两算符是不能同时取确定值的。
比如)2()1(βα是z s1ˆ的本征态，尽管0]ˆ,ˆ[12=z s S ，但它不是2ˆS 的本征态。
（2分） （不给例子，讨论合适也给分）3、试述全同粒子的特点以及对波函数的要求。
答：全同粒子的特点：任意交换两个粒子的位置不影响体系的状态。
（3分） 这个特点要求描述全同粒子的波函数对任意两个粒子的交换要么是对称的，要么是反对称的。
(2分) 4、使用狄拉克符号导出能量本征值方程在动量表象中的表示。
答：在坐标表象下的能量本征值方程为 >>=+ψψμ||)2ˆ(2E V p（1分）方程两边取动量表象，有 ><>=<+><ψψψμ||||2ˆ|2p E V p pp （1分）令>=<ψϕ|)(p p ，并加入完备性关系⎰><|''|'p p dp ，并利用>p |动量算符属于本征值p 的本征函数，有 （1分）)(|''||')(22p E p p V p dp p p ϕψϕμ=>><<+⎰ 即 )()'(')(2'2p E p V dp p p pp ϕϕϕμ=+⎰ （2分）（从松处理，如果写的是含时薛定谔方程的动量表象，只扣1分）5、以α和β分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）。
答：自旋三重态三个： )]1()2()2()1([2110|)2()1(11|)2()1(11|βαβαββαα+>=>=->= （3分）自旋单重态一个: )]1()2()2()1([2100|βαβα->=（2分）（后面两个写得正确，给3分）二、证明题（本题共3小题，每小题10分，共30分）1、证明在定态下，任意不显含时间t 力学量A 的取值概率分布不随时间改变。
证明：设在定态t E in n e->ψ|下，不显含时间的力学量A 属于本征值a k 的本征函数为>k a |，则有 （2分）>=>∑-k k k t E in a t c en |)(|ψ （2分）两边同>l a |作内积，有 ><=><∑-k l kk t E i n l a a t c ea n |)(|ψ （2分）即 )()(|t c t c ea l lk kk t E i n l n ==><∑-δψ（2分）所以取值a k 的概率分布是 22||||)(|><=n k k a t c ψ，显然不随时间改变。
（2分） （用对时间求导的方法做，推证正确，不扣分）2、已知在坐标表象下动量算符属于本征值p 的本征函数为px iep xπ21|>=<，试证明x表象中pˆ算符的矩阵元是)"'(')("'x x x i p x x -∂∂-=δ 。
证明：根据题意，有⎰⎰>><><<>==<''|''''||''|''''''||')("'x p p p p p x dp dp x p x p x x （2分）⎰⎰--='''''')'''(''''21x p ix p ie p p p e dp dpδπ （2分） ⎰-=''21)'''('p e dp x x p iπ （2分）⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=)'''('''21x x p iedp x i π （2分） 利用δ函数的定义⎰∞∞--=-dp e x x x x p i)'(21)'( πδ，有 )'''(')("'x x x i p x x -∂∂-=δ。
（2分）3、证明在氢原子的任何定态),,(ϕθψr nlm 中，动能的平均值等于该定态能量的负值，即n nlm E p-=>μ<2/ˆ2。
证明： 根据位力定理，对于库仑势场，T V 2-= （2分）对于氢原子来说，由哈密顿的表达式 H V Tˆˆ=+ 两边取平均值，有 n E V T =+ （4分） 前式代入，得 n E T =- （2分）即 n nlm E p-=>μ<2/ˆ2 （2分） 三、计算题（本题共3小题，每小题15分，共45分） 1、已知在z s 表象中，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01102 x s ，求： (1) x s 的本征值和所属本征函数；(2) z s 表象到x s 表象的变换矩阵（即将x s 对角化的变换矩阵）。
解：（1）令本征值为λ，相应的本征矢为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b a ϕ， 则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a λ01102 ，令 2/' λλ=，得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a '0110λ （2分） 解久期方程0'11'=--λλ 得 1'±=λ （2分）将 1'=λ 代入本征值方程可得 b a =， 利用归一化条件 1||||22=+b a 可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121ϕ （2分）同理对于1'-=λ，归一化本征函数 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121ϕ （2分） 以上俩本征矢量分别隶属于x s 的本征值2±。
（1分） 按照本征值次序排列本征矢量，得变换矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111121T （3分） 利用此变换矩阵可以将x s 变换到自身表象从而实现对角化：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+1001211112101102111121 T Ts x （3分） （如果只对x σ求本征值和本征函数，不扣分）2、设有一个定域电子，受到沿y 方向均匀磁场B的作用，Hamiltonian 量（不考虑轨道运动）表为y y mc eB s mc eB Hσˆ2ˆˆ ==。
设0=t 时电子自旋“向上”（2=z s ），求0>t 时sˆ的平均值。
解：在z s 表象下写出哈密顿算符的矩阵形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=002i i mc eB H （1分） 其本征值和相应的本征函数为（令mceB 2=ω） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===+i mc eB E 121,21ϕω 及 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=-i mc eB E 121,22ϕω （3分） 则任意t 时刻的态矢可以写为 --++>=ϕϕψωωt i ti e c ec t 21)(|显然在t =0时，利用初始条件有 αϕϕψ=+>=-+21)0(|c c （2分）所以可得出 ()21011211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++i c αϕ ()21011212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+-i c αϕ （2分） 于是 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=-i e i e t t i t i 12112121)(|ωωψ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-t t i e i e t i t i ωωωωsin cos 1121 （3分）所以 >>=<<)(||)(t s t s x x ψψ()t t t t t ωωωωω2sin 2sin cos 01102sin cos-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 0)|||(|22221=->=<-t i t i y e c e c s ωωt t t s z ωωω2cos 2)sin (cos 222 =->=< （4分）3、一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子受到微扰)0(2cos 'ˆa x ax A H<<=π的作用，其中A 为常数。
求第一激发态能量的二级近似与波函数的一级近似。
解：利用非简并微扰中激发态能量的二级近似与波函数的一级近似公式∑∑≠≠-+=-++=2)0()0()0(22)0(222)0()0(22222)0(22'|'|'m m mm m m m E E H E E H H EE ψψψ （2分）式中 ⎪⎩⎪⎨⎧><<<==ax x a x a x m a a m Em m,000,sin 2,2)0(2222)0(πψμπ （2分）但 ⎰⎰==amm x ax a x a x m a A x HH 0)0(2)0*(2d 2sin 2cos sin 2d 'ˆ'πππψψ40)0(4)0*(02d 2d 4sin sin m am aAx A x a x a x m a A δψψππ===⎰⎰ （3分） 所以)0(4)0(222222)0()0(22422422221424||4224E E A a E E A A aE m mm -+=-++=∑≠μπδδμπ 2222222242 πμμπa A a -= （3分） 对于波函数，当0<x <a 时，∑∑≠≠-+=-+=1)0()0()0(242)0()0()0(22)0(2222sin 2'm m m m m m mm E E A a x a E E H ψδπψψψ axa a A a x a E E A a x a ππμπψπ4sin2622sin 2122sin 2222)0(4)0(4)0(2 -=-+= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a x a A a x a ππμπ4sin 122sin 2222 （3分）当a x x ><,0时，02=ψ。