闭区间上连续函数的性质+第一章习题课
高数同济110闭区间上连续函数的性质
求解最值问题方法与步骤
确定函数定义域
首先明确函数f(x)的定义域，确保在求解最值问题时不会超出定义域 范围。
求导数并判断单调性
对函数f(x)求导，得到f'(x)。通过分析f'(x)的符号变化，判断函数在不 同区间的单调性。
寻找可疑点并比较函数值
可疑点包括导数为零的点、导数不存在的点和定义域的端点。将这些 可疑点代入原函数，比较函数值大小，确定最大和最小值。
判定方法与技巧
1 2 3
利用已知函数的有界性
如果已知某个函数在某个区间上是有界的，那么 可以通过这个函数来判定其他函数在该区间上是 否有界。
利用函数的单调性
如果函数在闭区间上单调增加或减少，那么可以 通过比较区间端点处的函数值来确定函数在该区 间上是否有界。
利用函数的周期性
对于周期性函数，可以通过研究其在一个周期内 的性质来判定其在整个定义域上是否有界。
03 闭区间上连续函数最值问 题
最值定理及证明过程
要点一
最值定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大 值和最小值。
要点二
证明过程
利用闭区间套定理和连续函数的局部保号性进行证明。首先， 将闭区间[a,b]等分为n个小区间，取各小区间端点处的函数 值，比较大小后得到最大和最小值。然后，不断二分有最大 （小）值的小区间，得到一个闭区间套。最后，由闭区间套 定理知，存在一个点ξ属于所有闭区间套，且f(ξ)为最大（小） 值。
性质
连续函数在定义域内的每一点都连续，且连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍是连续函数。
闭区间上连续函数特点
有界性
闭区间上的连续函数一定在该区间上 有界。
高数课件ABCD
但不一致连续 . 取点 可以任意小
在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续 . 上一致连续.
(证明略)
定理. 思考: P73 题 6 提示: 设
存在, 作辅助函数 显然
机动
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内容小结
在 在 在 4. 当
上有界; 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
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思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 , S ( ) A
o
x
故由介值定理可知:
0 ( , ) , 使 S ( 0 )
第二十三讲
闭区间上连续函数的性质
主讲教师：陈殿友
总课时：128
第一章
§10 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理
二、介值定理
*三、一致连续性
机动
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一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [ a , b ] , 则 1 , 2 [ a , b ] , 使
2
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
小结
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*三. 一致连续性
高等数学-闭区间上连续函数的性质
由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点 定理
注意：在闭区间上不连续的函数 不一定有零点
定理3.(介值定理) 设 f ( x ) C [ a , b ] , 且 f (a) A ,
f (b) B , A B , 则对A与B之间的任一数C, 至少有
一点
使
y
y f ( x)
C
证: 作辅助函数
( x) f ( x) C
则 ( x) C [ a , b ] , 且
B A
( a) ( b) ( A C )( B C )
故由零点定理知,至少有一点
记作C [ a , b ].
f ( x )在开区间( a, b)上连续 但在闭区间[a, b]上不连续的情形。
x a x b
lim f ( x ) f (a) lim f ( x ) f (b)
最大(小)值定义:
对于在区间I上有定义的函数 f ( x )， 如果有 x0 I，
ymax 1,
y
ymin 1;
在(0, )上，ymax ymin 1.
o
Байду номын сангаас
x
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定 有最大值和最小值. (证明略)
即 : 设 f ( x ) C [ a , b ] ，则 1 , 2 [ a , b ] ，使f ( 1 ) min f ( x )
定理2(零点定理)
设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续，且
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
一元微积分A闭区间上连续函数的性质
a
O
bx
定理 3(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a) A 及 f (b) B, 那末，对于 A与B之间的任意一个数C ，在开区间
a, b内至少有一点，使得 f ( ) C (a b).
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
一、最大值和最小值定理与有界性
定义: 对于在区间I , 使得对于任一x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x)在区间I上的最大(小)值.
例如, y 1 sin x, 在[0,2]上, ymax 2, ymin 0;
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
思考题
假设有一个登山者头天上午8点从山脚开始上 山，晚上6点到达山顶，第二天上午8点从山顶 沿原路下山，下午6点到达山脚。问该登山者 在上、下山过程中，会同时经过同一地点吗？ 为什么？
思考题解答 会.
不妨设山高为h,登山者头天登山的高度函数 为f1( x)，第二天登山的高度函数为f2 ( x).则 f1( x)、f2 ( x)在[8,18]上连续，且 f1(8) 0, f1(18) h; f2 (8) h, f2 (18) 0. 设f ( x) f1( x) f2 ( x),则f ( x)在[8，18]上连续， 且f (8) h 0, f (18) h 0.由零点定理知
三、设 f ( x) 在 [ a , b ] 上连 续， a c d b , 试 证 明：对任意正数 p和q ；至少有一点 [ c , d ] ,使 pf ( x) qf ( x) ( p q) f ( ).
2.6 闭区间连续函数性质 习题课
高等数学Ⅰ第二章极限与连续第八节函数的连续性(续)暨南大学电气信息学院苏保河主讲教材：苏保河主编《高等数学》第二章极限与连续第八节函数的连续性（续）推论：设()[,],f x C a b ∈且至少有一点[,],a b ξ∈使.)(C f =ξ),(max ],[x f M b a x ∈=[,]min (),x a b m f x ∈=,m M <则[,],C m M ∀∈例1. 证明方程01423=+−x x 至少有一个根.证: ],1,0[14)(23C x x x f ∈+−=显然,01)0(>=f 且,02)1(<−=f 由零点定理, 至少存在一点,)1,0(∈ξ,0)(=ξf 使,01423=+−ξξ即在区间内)1,0(故原方程在(0,1)内至少有一个根.小结与习题课主要内容一、函数二、极限三、连续与间断暨南大学电气信息学院苏保河主讲一、函数1. 函数的概念2. 函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3. 反函数4. 复合函数5. 初等函数(1) 基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.(2) 初等函数由基本初等函数否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.常数函数、y1x例2证明不是初等函数.⎩⎨⎧≥<=0,cos 0,)(x x x x x f ),(∞+−∞证.是初等函数,连续.可知f (x ) 在x =0间断,=−→)(lim 0x f x =+→)(lim 0x f x 如果f (x )用反证法.0lim 0=−→x x 1cos lim 0=+→x x 则它在定义区间但是由矛盾.故f (x ) 不是初等函数.2. 函数极限的性质(1) 保号性:,)(lim 0A x f x x =→若且A > 0 ,),(0时使当δx x∪∈0)(>x f ).0)((<x f 则存在( A < 0 ),),,(0δx ∪的某去心邻域内函数0x 0)(≥x f ),0)((≤x f 且,)(lim 0A x f x x =→则0≥A ).0(≤A 若在A x f x f x x ==+∞→−∞→)(lim )(lim A x f x =∞→)(lim A x f x f x x x x ==+−→→)(lim )(lim 00Ax f x x =→)(lim 0(2) (3) 2. 函数极限的性质(续)注将“A ”换为“∞”依然成立.定理3（广义）单调有界数列必有极限.（广义）单调增加有上界的数列必有极限.（广义）单调减少有下界的数列必有极限.若函数3.)(x f 在某区间每一点都连续, 则称它在该区间连续,或称它为该区间的连续函数.注.如果区间包括端点, 例如[a ,b ],f (x ) 在右端点b 连续是指在b 左连续.f (x ) 在左端点a 连续是指在a 右连续;4. 初等函数的连续性初等函数在定义区间内连续..)](lim [)]([lim 00x f x f x x x x φφ→→=注:条件：.)(,)(极限存在连续x x f φ4) 当0)()(<b f a f 时,,),(b a ∈ξ.0)(=ξf 使必存在在1)()f x ],[b a 上有界;上有最大值与最小值;在2)()f x ],[b a 上可取得最大与最小值之间的任何值;在3)()f x ],[b a 5. 闭区间[a , b ]上连续函数f (x )的性质:注意：证：,)(lim ,0)(lim b x g a x f x x =>=→→口口如果.)]([lim )(bx g x a x f =→口则()lim [()]g x x f x →□ln e b a =lim ()ln ()e x g x f x →=□lim ()lim ln ()e x x g x f x →→=□□.ba =()ln ()lim e g x f x x →=□则()[0,2],f x C a ∈(0)(2),f f a =证明至少存在[0,],a ξ∈使.)()(ξξf a f =+证:()()(),x f x a f x ϕ=+−令()[0,],x C a ϕ∈易知)()0(a ϕϕ例3. 设一点(1)当,0)()0(时=a ϕϕ,0)0()(=−f a f 0[0,],a ξ=∈取).()(ξξf a f =+使(2)当,0)()0(时<a ϕϕ由零点定理, (0,)[0,],a a ξ∃∈⊂,0)(=ξϕ使即.)()(a f f +=ξξ综合(1)(2)可知,至少存在一点[0,],a ξ∈使()().f a f ξξ+=2)]0()([f a f −−=)]()2([)]0()([a f a f f a f −⋅−=0≤作业（苏保河主编《高等数学》习题二）一、12. 二、8; 9. 三、3(7). 四、7; 8. 五、1; 2; 3.下次课内容第三章导数与微分第一节导数的概念。
一元函数的连续与极限-闭区间上连续函数的性质
又 Q f ( x )在( ∞ ,+∞ )内连续 ∴ f ( x )在[ X , X ]上连续，从而在 [ X , X ]上有界
故存在常数 M1 > 0，使得
f ( x ) ≤ M1 , x ∈ [ X , X ]
取
M = max{ M1 , 1 + A }，则
f ( x) ≤ M .
x ∈ ( ∞ ,+∞ )，均有 即 f ( x )在( ∞ ,+∞ )上有界 .
而 F ( a ) = f ( a ) a < 0,
F (b ) = f ( b ) b > 0,
由零点定理,
ξ ∈ (a , b), 使 F (ξ ) = f (ξ ) ξ = 0,
即 f (ξ ) = ξ .
6. 设 n ∈ N + , 函数 f ( x )在区间[0, n]上连续，且
1
3 x ,1 < x ≤ 2
O
2
x
O
1
2
x
f (x)在[0, 2]上无最大值和最小值 推论 (有界性定理) 在闭区间上连续的函数在该区 间上一定有界.
（二）零点定理与介值定理
定义 如果 f ( x0 ) = 0, 则称 x0 为函数f (x) 的零点. 定理1.19 ( 零点定理 ) 若 f ( x ) ∈ C [ a , b ]，且
f ( 0) = f ( n )
证明存在点 x0 ∈ [0, n]，使 f ( x0 ) = f ( x0 + 1).
证 1 当 n = 1 时， 由条件 f (0) = f (1) = f (0 + 1)
知 x0 = 0 ∈ [0, n]，使 f ( x0 ) = f ( x0 + 1). 2o 当 n ≥ 2 时，令
同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
( x x0 )
定理 : lim x x0
f (x)
A
f (x0
0)
f (x0
0)
A.
2、无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记作 lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
存在, 但f ( x0
0)
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
1 f ( f 1 ( x)) f 1 ( f ( x))
x
x Df
2 y f ( x)与y f 1( x)的
图象对称于直线y x.
( f ( xLeabharlann , x)y f (x)( x, f ( x))
o
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
(4) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
的增量y 也趋向于零,即
lim y 0
x 0
或
lim [
x 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )] 0
那末就称函数 f ( x)在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x)的连
续点.
定义2
lim
x x0
f (x)
闭区间上连续函数的性质
M
且(a) f (a) C A C,
B y f (x)
C
(b) f (b) C B C.
即 (a) (b) 0, 由零点定理,
a
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
m
(a, b), 使 ( ) f ( ) C 0, 即 f ( ) C. 6
推论
最小值 m
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 之间的任何值.
定理 4(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b 上
连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a) A 及 f (b) B,
那末，对于 A与B之间的任意一个数C ，在开区间a, b内
至少有一点，使得 f ( ) C (a b).
证 设(x) f (x) C,
y
则 ( x)在[a, b]上连 续,
在区间 (x2
但1 2 ,
,
x3 ) 内,有 2 ,使 f (2
这表明,两个不同的点
)
;
对应于同一个函数值,这与 f 是一
一映射矛盾.这就证明了 f 是严格
单调的. 证毕.
由此推得,两个区间之间连续的
x1
1
x2 2 x3
x
一一满射,作为函数一定是严格单调的.因此,由上节定理,我们得
定理 区间上连续函数的单值反函数必为连续函数.
y
y1 x
1
有界.例如
y 1 , x (0, 2) x
O 1 2x
4
二、零点定理与介值定理
定义: 如 果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称 为 函 数 f ( x)的 零 点.
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b 上连
1-10闭区间上连续函数的性质
f (1) = −2 < 0,
由零点定理, 由零点定理
∃ ξ ∈(a, b), 使 f (ξ ) = 0, 即ξ 3 − 4ξ 2 + 1 = 0,
∴方程x3 − 4x2 + 1 = 0在 0,1)内至少有一根 . ( ξ
例2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续 且f (a) < a, ,
f (0) ⋅ (1) = −2e < 0.
内无零点. 但 f (x)在(0,1)内无零点
练 习 题
、 一 证明方程 x = a sin x + b ，其中 a > 0 , b > 0 ，至 有 个 根 并 它 超 少 一 正 ， 且 不 过a+b . 、 二 若 f (x) 在 [ a , b ] 上 续 连 ， 必 a < x1 < x2 < ⋯< xn < b 则 [ x1 , xn ] 上 有 在
上连续， 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a) = A 及 f (b) = B,
那末， 意一 数C， 开区 个 那末，对于A与B之间的任 在 间
(a, b)内至少有一点ξ，使得 f (ξ ) = C
(a < ξ < b).
证 设ϕ( x) = f ( x) − C,
y
M B y = f (x) C a o x1 ξ1 A m
[ 则ϕ( x)在 a, b]上连续,
且ϕ(a) = f (a) − C = A− C, − ϕ(b) = f (b) − C= B − C,
ξ2 ξ3 x2 b
x
பைடு நூலகம்
由零点定理, ∴ϕ(a) ⋅ ϕ(b) < 0, 由零点定理
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即 (1)函数y = f ( x)在x0的某邻域内有定义， f ( x0 )存在; (2) lim f ( x )存在； x x (3) lim f ( x ) = f ( x0 ).
0
x x0
2定义: , 是同一过程中的两个无 设 穷小, 且 0.
(1) 第一类间断点
f ( x0 )与f ( x0 )都存在的间断点x0 ,叫第一类间断点.
-
+
称x0为可去间断点；
称x0为跳跃间断点.
(2) 第二类间断点
f ( x0- ),f ( x0+ )至少有一个不存在的间断点x0 ,叫第二类间断点.
则称x0为无穷间断点； 则称x0为振荡间断点；
第 一 类 间 断 点
x x0
lim f [ ( x )] = lim f ( u) = f (a )= f [ lim ( x )].
u a
x x0
x x0
x x0
6 求极限的方法：
1)直接用四则法则; 2) 恒等变 5)复合函数的极限运算法则(变量代换法); 7)有界函数与无穷小的乘积等于零; 8)等价无穷小代换法； 9)连续性.(初等函数，复合 函数)
(1) 如果 lim = 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 = o( ); ( 2) 如果 lim = C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim = 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
( 3) 如果 lim k = C (C 0, k 0), 就说是的k阶的
二、零点定理与介值定理
定理2(零点定理)（方程实根的存在定理）
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么 在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
二、零点定理与介值定理
例1 证明方程x3-x2+1=0在区间(- 1 1)内至少有一个根 证明 设 f(x)=x3-x2+1 则f(x)在闭区间[- 1 1]上连续 并且 f(-1)= - 1 <0 f(1)=1 >0 根据零点定理 在(- 1 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0 即 x 3-x 2+1=0 这说明方程x3-x2+1=0在区间(- 1 1)内至少有一个根是x 例2 课本P74 1 注 构造辅助函数法： (1) 将结论中 x 改写为x后，将它变成一边为零的方程. (2)则方程的一边即可设为F(x).
并非任何函数都有最大值和 最小值 例 如 ， 函 数 f(x)=x 在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它 的最大值和最小值
注意 1 定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么 至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
y
可去型
y
跳跃型
o
x0
x
o
x0
y
x
第 二 类 间 断 点
y
o
x0
x
o
x
振荡型
无穷型
4.初等函数的的连续性; f ( x)为初等函数 f ( x)在其定义区间上连续. 所以 初等函数的连续区间=定义区间 注意： (1)找初等函数的间断点的方法： 初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.
(2)找分段函数的间断点的方法： 分界点是可疑间断点,是否为间断点,须讨论左右极限， 但要慎取函数表达式. (3)找间断点时, 不可先将函数表达式变形, 否则有可能失去 一部分间断点. 5.若f 连续且 lim ( x ) = a, 则 lim 与f 可以交换位置.即
无穷小.
无穷小量： 以零为极限的变量（其倒数为无穷大 量） 常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e - 1 ~ x,
x
1 2 1 - cos x ~ x . 2
3.间断点分类:
2闭区间 连续缺一不可. eg: y=1/x 在(0,1)上连续但无最值 3如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
-x +1 y = f (x) = 1 - x + 3 0 x 1 x =1 1 x 2
型 :抓大头 - 型 : 通分
约去零因式 0 型 : 分子分母有理化 0
6)利用极限存在的充要条件求极限(如分段函数);
注意各个方法的理论依 据及条件，使用范围.
第一章常考题型：
1.函数的概念(会求定义域,理解对应法则). 2.判断函数的性质(单调性,有界性,奇偶性,周期性). 3.求各类函数的极限(显函数,分段函数,复合函数,幂指函数等). 0 特别是不定式的极限, 如 , , - ,1 等). 0 4.已知函数的极限求常数. 5.比较无穷小的阶. 6.判断函数的连续性,求间断点并判断其类型. 7.已知函数的连续性,求常数. 8.用零点定理证明方程根的存在性.
m之间的任何值
第一章
习题课
1.函数f ( x)在x0处连续的定义
函数y = f ( x)在x0的某邻域内有定义，则
f ( x )在x0处连续 lim f ( x ) = f ( x0 ) lim y = 0
x x0 x 0
f ( x0 - ) = f ( x0 ) = f ( x0 + )
§1.10 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
二、零点定理与介值定理
定理3(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于 f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
二、零点定理与介值定理
证明 课本P72
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值
最大值与最小值举例:
例1 函数 f(x)=1+sinx在 区间[0 2p]上有最大值 2 和 最小值 0
一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值举例:
例2 函数y=sgn x 在区间(- +) 内有最大值1和最小值-1 但在开 区间(0 +)内 它的最大值和最小 值都是1
应注意的问题: