08083122-李岩-拉格朗日插值法&&牛顿插值法

试验三.拉格朗日插值和牛顿插值
1．实验目的：
掌握Lagrange插值法和Newton插值法。

2．问题提出
设函数f（x）的函数值表：
用两种插值法求f（0.13）和f（0.36）的近似值。

3.源程序（java）
public class数值计算实验3s {
//拉格朗日插值法
static double L(double x,double x0,double x1,double y0,double y1)//静态函数传入5个参数
{
double l;
l=(x-x1)/(x0-x1)*y0+(x-x0)/(x1-x0)*y1;
System.out.println("拉格朗日插值多项式：
f(x)=(x-"+x1+")/"+y0/(x0-x1)+"+(x-"+x0+")/"+y1/(x1-x0));
System.out.println("近似解\t"+l);
return l;
}
//牛顿插值法
static double N(double x)//牛顿插值法求函数值，参数x
{
double a[]=new double[]{0,0.1,0.2,0.3,0.4},b[]=new
double[]{0.5,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554},c[]=new double[4],d[]=new
double[3],e[]=new double[2],f[]=new double[1],y;
for(int j=0;j<4;j++)
{
c[j]=(b[j+1]-b[j])/(a[j+1]-a[j]);
}
for(int j=0;j<3;j++)
{
d[j]=(c[j+1]-c[j])/(a[j+2]-a[j]);
}
for(int j=0;j<2;j++)
{
e[j]=(d[j+1]-d[j])/(a[j+3]-a[j]);
}
for(int j=0;j<1;j++)
{
f[j]=(e[j+1]-e[j])/(a[j+4]-a[j]);
}
//牛顿插值多项式
y=b[0]+c[0]*(x-a[0])+d[0]*(x-a[0])*(x-a[1])+e[0]*(x-a[0])*(x-a[1])*(x-a[2])+f[ 0]*(x-a[0])*(x-a[1])*(x-a[2])*(x-a[3]);
System.out.println("牛顿插值多项
式:f(x)="+b[0]+"+"+c[0]+"*(x-"+a[0]+")+("+d[0]+")*(x-"+a[0]+")*(x-"+a[1]+")+("+e[0] +")*(x-"+a[0]+")*(x-"+a[1]+")*(x-"+a[2]+")+"+f[0]+"*(x-"+a[0]+")*(x-"+a[1]+")*(x-"+ a[2]+")*(x-"+a[3]+")");
System.out.println("近似解\t"+y);
return y;
}
public static void main(String args[])//主函数
{
System.out.println("拉格朗日插值法:");
L(0.13,0.1,0.2,0.5398,0.5793);//输入书中给出的参数即可
L(0.36,0.3,0.4,0.6179,0.7554);
System.out.println("牛顿插值法:");
N(0.13);
N(0.36);
}
}
4．结果截图
拉格朗日插值法:
拉格朗日插值多项式：f(x)=(x-0.2)/-5.397999999999999+(x-0.1)/5.793
近似解0.55165
拉格朗日插值多项式：f(x)=(x-0.4)/-6.178999999999998+(x-0.3)/7.553999999999997
近似解0.7003999999999999
牛顿插值法:
牛顿插值多项
式:f(x)=0.5+0.39799999999999947*(x-0.0)+(-0.014999999999992797)*(x-0.0)*(x-0.1)+(-0 .10000000000004268)*(x-0.0)*(x-0.1)*(x-0.2)+41.83333333333345*(x-0.0)*(x-0.1)*(x-0.
2)*(x-0.3)
近似解0.553650285
牛顿插值多项
式:f(x)=0.5+0.39799999999999947*(x-0.0)+(-0.014999999999992797)*(x-0.0)*(x-0.1)+(-0 .10000000000004268)*(x-0.0)*(x-0.1)*(x-0.2)+41.83333333333345*(x-0.0)*(x-0.1)*(x-0.
2)*(x-0.3)
近似解0.67796816
5．结果分析
①编写的函数L要传入5个参数（如果用二次差值法要传入7个参数），因为采用的一次插值法，故要传入两点坐标和未知量x，为提高精度，采用的内插法，所以每次两点都会变化；但是没有循环结构，结构清晰紧凑，便于常理分析；缺点，用已知数据节点求出插值多项式后又获得新的数据点，要用它连同原来的数据点一起求出插值多项式，即从已计算出的n次插值多项式求出n+1次插值多项式是很复杂且困难的。

②对于N函数只需要传入一个参数x，因为牛顿插值法主要就是计算出差商，而对于本题差商是固定的，共4阶，只需计算一次，就可以得出牛顿插值多项式，这就是一个x的函数。

4阶差商所以就用了4个for循环，计算出差商，这使函数内部很复杂，但是计算一次就可以了，以后只需要调用函数；虽然函数本身复杂些，但对于处理大量数据的时候是很方便的，有“一劳永逸”的效果。

另外它克服了函数L从n次插值到n+1次计算困难的缺点。