第11章 一元非线性回归分析
一元非线性回归分析
模型，并预测第14年的销售额预测值。
年序号 t
1 2 3 4 5 6 7
年销售额 Y
年序号t
3
8
8
9
12
10
10
11
25
12
14
13
18
年销售额 Y
36 32 57 70 115 150
预测结果：
年销售额的指数拟合结果
年销售额Y
年销售额估计值
160
140
120
100
80
60
40
20
0
年
0
2
4
6
8
10
X
3
二.指数函数
指数函数 Y aebX 设 V ln Y 则 V ln a (b ln e)X
Y
Y
a
O
X
(b> 0)
a
O
X
(b< 0)
4
三.对数函数
对数函数 Y a bln X 设 U ln X 则 Y a bU
Y
Y
O
X
(b> 0)
O (b< 0)
X
5
四.双曲线函数
双曲线函数
一元非线性回归分析
• 非线性回归分析方法就是用一条曲线来拟合因变 量对于自变量的依赖关系。根据问题的性质，拟 合曲线可以是指数曲线、对数曲线、平方根曲线 以及多项式曲线等。具体采用何种曲线主要由两 方面的因素决定。一方面就是自变量与因变量之 间本来就存在着一种内在函数依赖关系，而这种 依赖关系是分析者根据自己的知识背景和经验已 经了解的。另一方面，根据由自变量和因变量观 测值作出的散点图，可以看出它们之间的依赖关 系。
概率论与数理统计-回归分析
第11章 回归分析设x 为普通变量，Y 为随机变量。
如果当x 变化时，Y 随着x 的变化大体上按某种趋势变化，则称x 与Y 之间存在相关关系，即),0(~,)(2σεεN x f Y +=例如，某地人均收入x 与某种商品的消费量Y 之间的关系；森林中树木的断面直径x 与高度Y 之间的关系；某种商品的价格x 与销售量Y 之间的关系；施用氮肥、磷肥、钾肥数量1x ，2x ，3x 与某种农作物产量Y 之间的关系。
在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的近似函数关系或得到样点之外的数据。
我们确定的函数要求在某种距离意义下的误差达到最小（通常用最小二乘法，即考虑使各数据点误差平方和最小）。
由一个（或几个）普通变量来估计或预测某个随机变量的取值时，所建立的数学模型及所进行的统计分析称为回归分析。
§11.1 一元线性回归假设有一批关于x 与Y 的离散样点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x集中在一条直线附近，说明x 与Y 之间呈线性相关关系，即),0(~,2σεεN bx a Y ++=称为一元线性回归模型。
一、模型中的参数估计 1、b a ,的估计 首先引进记号∑∑∑∑∑=====-=-=-===ni i i xy ni i yy ni i xx ni ini iyx n y x S y n y S x n x S y n y x n x 11221221111按最小二乘法可得到xxxyS S b =ˆ x b y a ˆˆ-= 称x b a yˆˆˆ+=为Y 关于x 的一元线性回归方程。
2、2σ的估计)ˆ(21ˆ22xx yy S b S n --=σ求出关于的一元线性回归方程。
解：先画出散点图如下计算出 3985193282503.6714510======xy yy xx S S S y x n483.0ˆ==xxxyS S b 735.2ˆˆ-=-=x b y a所求的回归方程是x y483.0735.2ˆ+-=。
《SPSS统计分析》第11章 回归分析
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多元逻辑斯谛回归
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多元逻辑斯谛回归的概念
回归模型
log( P(event) ) 1 P(event)
b0
b1 x1
b2 x2
bp xp
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多元逻辑斯谛回归过程
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多元逻辑斯谛回归过程
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多元逻辑斯谛回归过程
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创建和选择模型对话框
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曲线估计
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曲线回归概述
1. 一般概念 线性回归不能解决所有的问题。尽管有可能通过一些函数
的转换，在一定范围内将因、自变量之间的关系转换为线性关 系，但这种转换有可能导致更为复杂的计算或失真。 SPSS提供了11种不同的曲线回归模型中。如果线性模型不能确 定哪一种为最佳模型，可以试试选择曲线拟合的方法建立一个 简单而又比较合适的模型。 2. 数据要求
线性回归分析实例1输出结果2
方差分析
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线性回归分析实例1输出结果3
逐步回归过程中不在方程中的变量
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线性回归分析实例1输出结果4
各步回归过程中的统计量
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线性回归分析实例1输出结果5
当前工资变量的异常值表
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线性回归分析实例1输出结果6
残差统计量
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线性回归分析实例1输出结果7
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习题2答案
使用线性回归中的逐步法，可得下面的预测商品流通费用率的回归系数表：
将1999年该商场商品零售额为36.33亿元代入回归方程可得1999年该商场 商品流通费用为：1574.117-7.89*1999+0.2*36.33=4.17亿元。
管理统计学习题参考答案第十一章
十一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。
既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。
所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。
在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。
通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。
因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
交通数据处理与分析-一元非线性回归分析剖析.
未知参数的选取时一个难点，从散点图上看，随着
年龄的增长，人的头围也在增长，但不会一直增长， 到了一定的年龄之后，头围就稳定在50~55之间。 注意到
，
2
lim
x
1e x
3
1
可以选取β1的初值为50~55之间的一个数，不妨 选取为53.
再注意到，初生婴儿的头围在35左右，可得
2
53e 3 35
还返回残差值向量r，雅克比矩阵J，未知参数的协 方差矩阵COVB，误差方差σ2的估计mse(均方误差 平方和)。这里的输出可作为其他后续函数的输入， 用来计算参数估计值的置信区间，也可用来计算给 定x处的预测值及预测值的置信区间。
[…] = nlinfit(X, y, fun, beta0, options) nlinfit函数利用麦夸特(Levenberg-Marquardt)算
yhat modelfun b, X
modelfun为函数名，b为未知参数向量。nlinfit函 数的输入参数beta0为用户设定的未知参数的初值，
不同的初值可能会有不同的估计结果，故设定初值 时最好能够根据实际问题有个提前的预判
[beta, r, J, COVB, mse] = nlinfit(X, y, fun, beta0)
案例：
头围是反映婴幼儿大脑和颅骨发育程度的重要指标 之一，在医学上，对头围的研究具有重要的意义。 数据格式如下。根据数据建立头围与年龄间的回归 方程
令x表示年龄，y表示头围。x和y均为一维变量，同 样可以从x和y的散点图上直观地观察它们之间的关 系，然后再作进一步的分析
从图中可以看出，年龄和头围服从非线性关系，可 以考虑做非线性回归分析。根据散点图的走势，可 以选取以下函数作为理论回归方程
一元非线性回归
⼀元⾮线性回归⼀元⾮线性回归有时，回归函数并⾮是⾃变量的线性函数，但通过变换可以将之化为线性函数，从⽽利⽤⼀元线性回归对其分析，这样的问题是⾮线性回归问题。
为了检验X射线得到杀菌作⽤。
⽤200kv的X射线照射杀菌，每次照射6分钟，照射次数为x,照射后所剩的细菌数为y,下表是⼀组试验结果x y x y x y1 783 815415282 621 912916203 433 1010317164 431 117218125 287 12501996 251 13432077 175 1431根据经验知道y关于x的曲线回归⽅程如bxyae试给出具体的回归⽅程，并对其对应的决定系数R^2和剩余标准差s。
⼀、⾸先描出数据的散点图，如下图散点图呈现出⼀个明显的向下且下凸的趋势，可能选择的函数关系很多，⽐如我们可以给出如下三个曲线函数：1.1bay x=+（1）2.baxy=（2）3.bxy ae=（3）⼆、参数估计1.为了能采⽤⼀元线性回归分析⽅法，我们做如下变换yv ln=u=x则（1）式的曲线图就化为如下的散点图u i∑= 3655 i v ∑=87.22497u =182.75 v =4.3612482ui∑=1611149 u i i v ∑=21281.692nu =667951.3 nuv =15940.36uu l = 943197.8 uv l =5341.3291B =uuuvl l =130.9375 0B=v - B1=-388.301得出⽅程v=-388.301+130.9375x四、结束语对于可化为线性模型的回归问题，⼀般先将其化为线性模型，然后再⽤最⼩⼆乘法求出参数的估计值，最后再经过适当的变换，得到所求回归曲线。
在熟练掌握最⼩⼆乘法的情况下，解决上述问题的关键是确定曲线类型和怎样将其转化为线性模型。
确定曲线类型⼀般从两个⽅⾯考虑:⼀是根据专业知识，从理论上推导或凭经验推测、⼆是在专业知识⽆能为⼒的情况下，通过绘制和观测散点图确定曲线⼤体类型。
一元线性回归PPT演示课件
196.2
15.8
16.0
102.2
12.0
10.0
本年固定资产投资额 (亿元) 51.9 90.9 73.7 14.5 63.2 2.2 20.2 43.8 55.9 64.3 42.7 76.7 22.8 117.1 146.7 29.9 42.1 25.3 13.4 64.3 163.9 44.5 67.9 39.7 97.1
6. r 愈大，表示相关关系愈密切.
例 11.7
根据例11.6的样本数据，计算不良贷款、贷款余额、应收 贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关系数.
解：用Excel计算的相关系数矩阵如下.
三、相关系数的显著性检验
(一) r 的抽样分布
当样本数据来自正态总体，且 0 时，则
t r n 2 ~ t(n 2) 1 r2
时，yˆ ˆ0 .
二、参数的最小二乘估计
假定样本数据 (xi , yi ) , i 1,2,, n ，满足一元线性回归模 型, 根据(11.6)式则样本回归方程为
yˆi ˆ0 ˆ1xi , i 1,2,, n
(11.7)
最小二乘法是使因变量的观察值 yi 与估计值 yˆi 之间的离差平
i1 i1
n
n
n
n
n xi2 ( xi )2 n yi2 ( yi )2
i 1
i 1
i 1
i 1
( 11.1 ) ( 10.2 )
相关系数的取值范围及意义
1. r 的取值范围为[－1，1].
2. r 1 ，称完全相关，既存在线性函数关系.
r ＝1，称完全正相关. r ＝－1，称完全负相关. 3. r ＝0，称零相关，既不存在线性相关关系. 4. r ＜0，称负相关. 5. r ＞0，称正相关.
第 2 讲(1) 一元线性、非线性回归分析
2
14
• 因此，点估计：
ˆ y ( x0 ) = a + bx0
• 区间估计：
ˆ y1 ( x0 ) = a + bx0 − δ ( x0 )
ˆ y 2 ( x0 ) = a + bx0 + δ ( x0 )
15
进似地， 很大（ 进似地，当n很大（即 n → ∞ ）时，t α 很大
α = 0.05
② 单侧控制
y < y，或 y < y 2
' 1 '
19
• 回归分析注意事项
（1）自变量、因变量的选择 ）自变量、 （2）样本回归方程 ） （3）必须进行显著性检验 ） （4）任何回归方程都具有使用范围 ）
20
二、一元非线性回归分析
1. 可化为线性回归的非线性回归
某石灰土强度与龄期关系 强度（Mpa Mpa） 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 50 100 150 200 龄期（d）
y1 < y < y2
' '
为此我们要合理控制x的取值，参照式（1）有下式：
P{
y1 < y < y2
' '
}≥ 1 − α
17
• 一般情况下可参照图求解：
′ y1 = a + bx −
t α ( n − 2 ) σˆ
2
1 (x − x )2 1 + + n L xx
′ y 2 = a + bx + t α
ˆ δ ( x0 ) ≈ 1.96σ
x0 又在 x 的平均值附近，取
= 1.96
2
ˆ ˆ y1 ( x0 ) ≈ a + bx0 − 1.96σ
一元非线性回归分析
Non-linear Regression Analysis
1.常用旳目旳函数及其线性化旳措施 2.回归方程旳评价措施 3.应用范例与MATLAB实现
1. 常用旳目旳函数及其线性化措施
在某些实际问题中，变量间旳关系并不都是线性旳， 那时就应该用曲线去进行拟合.用曲线去拟合数据首先要 处理旳问题是回归方程中旳参数怎样估计？
处理问题旳基本思绪
对于曲线回归建模旳非线性目旳函数 y f (x), 经过
某种数学变换
v u
v( u(
y) x)
使之“线性化”化为一元线性
函数 v a bu 旳形式，继而利用线性最小二乘估计旳
措施估计出参数a和b ，用一元线性回归方程 vˆ aˆ bˆu
来描述 v 与 u 间旳统计规律性，然后再用逆变换
SSR SST SSE.
3. 应用范例与MATLAB实现
商店销售额与流通率旳非线性回归分析
流通率是反应商业活动旳一种质量指标，指每元 商品流转额所分摊旳流通费用.
搜集了九个商店旳有关数据 。
2. 回归方程旳评价措施
对于可选用回归方程形式，需要加以比 较以选出较 好旳方程，常用旳准则有：
⑴ 决定系数 R2
定义
R2 1 SSE , SST
称为决定系数.显然 R2 1 . R2 大表达观察值 yi 与拟 合值 yˆi比较接近，也就意味着从整体上看，n个点旳散
布离曲线较近.所以选 R2 大旳方程为好.
b>0
b<0
线性化措施
令 v ln y , u 1/ x, 则 v ln a bu. ⑹ 对数函数 y a bln x
函数图象
b>0
b<0
一元非线性回归分析的应用
.学号姓名学院专业化学工程与技术成绩一元非线性回归分析的应用——以流化床中不同床层高度处的气泡直径为例摘要：一元非线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的非线性关系的预测方法。
在实际现实问题中，变量之间的关系往往都是比较复杂的非线性相关关系。
本文运用一元非线性回归的分析方法，构建了简单的分析模型，求出模型参数，并对分析结果的显著性进行了假设检验，从而了解到流化床中床层高度与气泡直径之间的关系呈非线性相关(双曲线关系)。
正文：一、问题提出鼓泡流化床由于气体和固体之间有较高的传热、传质速率，已广泛应用于工业领域。
气泡是气固鼓泡流化床中一种重要的现象，气泡结构以及流动过程的变化对反应有较大的影响，气泡的出现、聚并、破裂对床层内颗粒的混合和床层浓度、温度的均匀分布有至关重要的作用，因而研究鼓泡流化床内的气泡行为对提高反应器的效率具有十分重要的意义。
二、数据描述流化床中气泡直径与床层高度之间有一定关系，运用这一关系可以根据流化床中床层高度求出气泡直径，下表是实测14对气泡直径与床层高度的数据记录，用一元非线性回归法分析他们之间的关系。
表1 气泡直径u 与床层高度v 的试验数据三、模型建立（1）构建模型由上表中的数据，做出气泡直径u 与相应的床层高度v 数据的散点图，如下图所示.图一 实验数据散点图该图形显示气泡直径u 与相应的床层高度v 之间存在非线性相关关系。
根据图中散点图的特点，选用双曲线1/u=a + b/v作为回归函数来表示气泡直径u 与床层高度v 之间的关系。
y=1/u x=1/v ①则得线性函数 y=a + b*x （2）模型求解由v、u的试验数据去倒数得x, y的数据，见表2。
表2 u, v的试验数据利用上面的数据，按线性回归公式算得x= 0.080311/14=0.005736, y=0.261725/14=0.018695,Lxx=∑xi2-14x2 =0.000106Lyy=∑yi2-14y2 =0.000548Lxy=∑xiyi-14x y=0.00024ß^= Lxy/ Lxx=0.00024/0.000106=2.263298â =y-ß^x =0.018695-2.263298*0.005736=0.005711 得到样本回归直线方程y^=2.263298x+0.005711 ②下图为用excel拟合的直线图图二实验数据拟合图四、检验用相关系数检验法检验上式，对α=0.01，查相关系数临界值，得r0.01 (12) =0.661,由于│r│=│Lxy│/( Lxx Lyy)^1/2 =0.995938>0.661所以线性回归方程②式的作用高度显著。
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ˆ y 0.5894 3.6532 x
4、直线回归关系的显著性检验
SS回
SP2y x SSx
2 0.4055 1.4814 0.111
SS离 SSy SS回 1.4974 1.4814 0.0160
df回 =1 df离 =n－2 =10
SS回 1.4814 F 925.88* * SS离 df离 0.016 10
第十一章
一元非线性回归分析
第一节 非线性回归分析的意义与步骤
一、非线性回归分析的意义
变量的非线性关系如，
y y
x
x
非线性回归分析：研究具有非线性关系的变量 间联系形式的统计方法。 本章只介绍通过变量代换可转化为直线回归或 多元线性回归问题的两种一元（只有一个自 变量）非线性回归。
二、非线性回归分析的步骤
b
lg y lg a b lg x
y a bx
对原始数据 x、y 求对数，见上表。
3、求待定系数，建立直线方程： 一级统计数：
x 7.7517
2 5.1184 x
x 0.6460
n =12
2 39.1177 y 21.2472 y
xy 14.1307
F0.05(1,
10)=4.96
F0.01(1,
10)=10.04
因为F>F0.01，所y 关系是有效的。
5、将方程还原成曲线方程： 因为
a lg a 0.5894
所以 a lg 1 a lg 1 (0.5894 ) 10 0.5894 0.2574
第一步 描散点图，确定回归方程的模型：
x y
y
x1 y1
x2 y2
… …
xn yn
x
y ax
b
———回归模型
第二步 求方程中待定系数，建立回归方程：
1.将非线性方程化为线性方程； 例如，将 令 则
y ax
b
化直：lg y
y lg y
a lg a
lg a b lg x x lg x
所以，温州蜜柑果实横径（x）与果实鲜重（y） 的回归方程为
ˆ y 0.2574 x
3.6532
第三节 多项式回归
多项式：
y b0 b1 x b2 x bm x （一元回归）
2 m
y
b2＞0 b2＜0
0 一次 二次 三次 四次 五次 …
x
一次式：y＝b0＋b1x ——直线
y a bx
2.求待定系数建立线性方程；
3.对线性方程作回归关系显著性检验；
4.将线性方程还原为非线性方程：
如上例
a＝lg－1a′
第二节 可化为直线的非线性回归
常见曲线方程类型及化直的方法：y 一．幂函数： 1.一般幂函数：
b＞1 0＜b＜1 x
y ax
化直：
b
（a≠0）
-1<b<0 b= -1
果径x 2.71 3.26 3.59
果重y 11.49 18.68 24.07
x´=lgx 0.4330 0.5132 0.5551
y´=lgy 1.0603 1.2714 1.3815
4.02 4.42 4.69 4.89 4.97 5.32 5.61 5.55 5.31
40.10 55.70 66.92 80.55 90.96 113.40 145.90 145.90 129.40
x 1、 y a bx
化直：
x a bx y
x
1 2、 y a bx
b>0
1 化直： a bx y
例，P156 例9.10 浙农大1981年在柑桔花凋定果后，每隔10天 测定温州蜜柑早熟品系单果直径 x 与单果 鲜重 y 的关系列于下表，试建立y与x之间 的关系式。
bx
b＞0
化直：
ln y ln a bx
x
三．对数函数：
y a b lg x
化直：令x′＝lgx
y b＞0 x b＜0
c y bx 四． S曲线： 1 ae
化直：
y
c bx 1 ae y
c ln( 1) ln a bx y
0
x
五、双曲线：
y
b＞0
0.6042 0.6452 0.6712 0.6893 0.6963 0.7259 0.7489 0.7443 0.7251
1.6031 1.7458 1.8255 1.9061 1.9588 2.0546 2.1641 2.1641 2.1119
解：1、作散点图，确定回归模型：
y ax
2、将曲线化直：
二次式：y＝b0＋b1x＋b2x2 ——抛物线
三次式：y＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3 ——三次抛物线
……
多项式可化为多元线性回归方程后作回归分析，
求出b0及bi：
令
x1＝x，x2＝x2，x3＝x3，…，xm＝xm， 则
多项式转化为
y＝b0＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋…＋bmxm
——多元线性回归方程
具体分析步骤： 1.将多项式转化为多元线性回归
方程，并求b0、bi；
2.对多元线性回归方程作回归关
系显著性检验； 3.作偏回归系数的显著性检验； 4.剔除不显著的自变量，直到所 有自变量都显著为止； 5.将多元线性回归方程还原为多 项式。
lg y lg a b lg x
（a≠0）
y
b<-1
2.带有常量的幂函数：
y c ax
b
化直： lg( y c) lg a b lg x
c
x
二．指数函数：
y 0＜b＜1
1.
y ab
x
（b≠1）
b＞1
化直：
lg y lg a x lg b
b＜0
x
2.
y ae
y 1.7706
二级统计数：
SSx 0.1110 SSy 1.4974 SPxy 0.4055
0.4055 b 3.6532 SSx 0.111
SPx y
a y b x 1.7706 3.6532 0.646 0.5894
直线方程：