6.4特殊函数的积分
高等数学几种特殊类型函数的积分
P(x) Q( x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及b0 ,b1,,bm 都是实数，并且a0 0，b0 0.
4-4 有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式
1 x
(x
1 1)2
1. x1
4-4 有理函数的积分
例3
(1
1 2 x )(1
x2)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
有理函数有以下性质：
1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和
一个真分式之和.
例如，我们可将 x 3 x 1
x2 1
1
化为多项式与真分式之和
x
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
. 1
4-4 有理函数的积分
2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和
(x
A2 a)k1
Ak xa
,
其中 A1 , A2 ,, Ak都是待定的常数.
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后含有：
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
三角函数常用积分表
三角函数常用积分表三角函数常用积分表_________________________三角函数是数学中非常重要的函数，它是在研究三角形和各种复杂几何图形时经常用到的。
三角函数可以用来求解空间几何图形的形状和面积，还可以用来计算一些复杂的数学表达式。
本文将介绍常见的三角函数积分表，并详细说明每个积分表的具体含义和用途。
一、正弦函数积分表正弦函数的定义为：y=sin x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}sin tdt=1-cos x$$$$\int_{0}^{x}cos tdt=sin x$$$$\int_{0}^{x}tan tdt=ln|sec x+tan x|+C$$正弦函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
二、余弦函数积分表余弦函数的定义为：y=cos x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}cos tdt=sin x$$$$\int_{0}^{x}sin tdt=1-cos x$$$$\int_{0}^{x}cot tdt=-ln|sin x|+C$$余弦函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
三、正切函数积分表正切函数的定义为：y=tan x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}tan tdt=ln|sec x+tan x|+C$$$$\int_{0}^{x}cot tdt=-ln|sin x|+C$$$$\int_{0}^{x}sec^2tdt=tan x+C$$正切函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
四、反正切函数积分表反正切函数的定义为：y=cot x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}cot tdt=-ln|sin x|+C$$$$\int_{0}^{x}tan tdt=ln|sec x+tan x|+C$$$$\int_{0}^{x}csc^2tdt=-cot x+C$$反正切函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
高次三角函数积分公式
高次三角函数积分公式三角函数积分公式大全（一）无论α是多大的角，都将α看成锐角.以诱导公式为例：若将α看成锐角(终边在第一象限)，则π十α是第三象限的角(终边在第三象限)，正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值.这样，就得到了诱导公式二.2三角函数积分公式大全（二）以诱导公式为例：若将α看成锐角(终边在第一象限)，则π-α是第二象限的角(终边在第二象限)，正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样，就得到了诱导公式四.诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
三角形中的三角函数sin(α β γ)=sinα·cosβ·cosγ cosα·sinβ·cosγ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α β γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α β γ)=(tanα tanβ tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)sin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin^2a)=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2) sina]=4sina(sin60° sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60° a)/2]=4sinasin(60° a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos^2a-3/4)=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]=4cosa(cosa-cos30°)(cosa cos30°)=4cosa*2cos[(a 30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a 30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a 30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90° (60° a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60° a)]=4cosacos(60°-a)cos(60° a)。
特殊积分公式
特殊积分公式
在数学中，特殊积分公式是一些常见的积分公式，它们可以用来求解特定类型的积分问题。
以下是一些常见的特殊积分公式：
1. 幂函数积分：
∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n不等于-1
2. 指数函数积分：
∫e^x dx = e^x + C
3. 三角函数积分：
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C
∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C
∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C
4. 对数函数积分：
∫1/x dx = ln|x| + C
5. 反三角函数积分：
∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C
∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C
这些是一些常见的特殊积分公式，但在实际问题中可能还会有其他特殊积分公式。
在解决具体的积分问题时，可以根据需要使用适当的特殊积分公式。
大学物理-常微分方程的本征值问题
类型
定解问题中的 边界条件
分离变量后的 边界条件
本征函数系
(1)
(2) (3) (4)
利克莱条件：(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只 有有限个极值点，则 f (x) 在 [–l, l ] 上可展开为傅里叶级数
利用三角函数的正交关系，可得
量子力学中的正交完备矢量组： 设 F 为厄米算符，则 F 对应于不同本征值的本征矢
相互正交，这些本征矢构成正交完备矢量组。记正交完 备矢量组为 { | i > (i =1, 2, …)}，有
数集的正交性只是这里的特殊例子。
等本征函
4. 完备性定理 若函数 f (x) 在区间 [a,b] 有连续的一阶导数和分段连
续的二阶导数，且满足本征值问题的边界条件，则可利用 本征函数系{yn(x)} 将它展开为绝对且一致收敛的广义傅 里叶级数，即
其中展开式的系数为
备忘：傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数 f (x)，若在区间 [–l, l ] 满足狄
二阶线性常微分方程的普遍形式为 (6-4-1)
其中：A(x), B(x), C(x)——已知函数
—— 分离变量过程中引入的常数
方程 (6-4-1) 化为以下施图姆—刘维尔方程 (施—刘型方程)
(6-4-2)
其中：
核函数
已知函数
权函数
参数 勒让德方程、连带勒让德方程、贝塞尔方程均可化 为施—刘型方程：
(1) 存在无穷多个实的、分立的本征值 = n (n = 1,2,…)，
且对应着无穷多个本征函数 yn (x) (n = 1,2,…)； (2) 当同一本征值对应的本征函数不止一个时，称为简并。
证明：本征值 是实的。 若 为复数，施—刘型方程及其复共轭为
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
高等数学d类教材目录
高等数学d类教材目录第一章：函数与极限1.1 实数与数集1.2 函数的概念1.3 函数的性质与运算1.4 映射与反函数1.5 极限的概念1.6 极限的运算法则1.7 无穷小与无穷大1.8 无穷大的比较与等价1.9 极限存在准则第二章：导数与微分2.1 切线与割线2.2 导数的定义与性质2.3 基本导数公式2.4 高阶导数与函数的近似2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与计算2.7 导数在几何与物理中的应用2.8 铺垫篇：练习与思考第三章：微分中值定理3.1 极值与最值3.2 高阶导数与函数的凹凸性3.3 Rolle定理3.4 中值定理与拉格朗日中值定理3.5 洛必达法则与高阶导数的应用3.6 弧长与曲率3.7 泰勒公式与展开式3.8 微分中值定理的证明与扩展3.9 铺垫篇：练习与思考第四章：不定积分4.1 原函数与不定积分4.2 不定积分的基本性质4.3 简单的不定积分法4.4 第一类换元法4.5 第二类换元法4.6 分部积分法4.7 有理函数的积分4.8 特殊函数的积分4.9 定积分与无穷积分第五章：定积分与其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 可积性与测度零函数5.3 函数的求积与积分区间5.4 牛顿-莱布尼兹公式5.5 定积分中值定理与平均值定理5.6 积分的应用：几何与物理5.7 主体思想解决问题5.8 微积分的历史渊源与思考第六章：多元函数微分学6.1 二元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 多元函数的链式法则6.4 隐函数与方程组的求导6.5 方向导数与梯度6.6 多元函数的极值与条件极值6.7 多元函数的二阶导数与Taylor公式第七章：重积分与曲线积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 二重积分的性质7.3 二重积分的应用7.4 三重积分的概念与计算7.5 三重积分的性质7.6 三重积分的应用7.7 曲线积分的概念与计算7.8 曲线积分的应用7.9 广义积分的问题与思考第八章：曲面积分与散度定理8.1 曲面积分的概念与计算8.2 曲面积分的性质8.3 曲面积分的应用8.4 散度的概念与计算8.5 散度定理的推导与应用8.6 高斯定理的特殊情况8.7 广义积分的问题与思考第九章：曲线积分与环量定理9.1 曲线积分的概念与计算9.2 曲线积分的性质9.3 Green公式的推导与应用9.4 环量的概念与计算9.5 环量定理与Green公式的关系9.6 有向曲线积分的计算与应用9.7 广义积分的问题与思考第十章：无穷级数与幂级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 正项级数的审敛法10.3 一般级数的审敛法10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数的概念与性质10.6 幂级数的收敛半径10.7 幂级数的求和与展开10.8 项项可求和级数的特点10.9 广义积分的问题与思考结束语：本教材力求将高等数学的知识条理清晰地呈现给读者。
高等数学教材复旦目录
高等数学教材复旦目录复旦大学高等数学教材目录第一章函数与极限1.1 实数与数列1.2 数列极限1.3 函数的概念与运算1.4 函数的极限第二章导数与微分2.1 导数的基本概念2.2 导数的运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 复合函数的导数2.6 微分的基本公式2.7 微分中值定理与Taylor公式2.8 函数的增减性与凹凸性第三章微分学应用3.1 高数学函数的近似计算3.2 函数的极值与最优化问题3.3 曲线的几何性质3.4 反常积分第四章不定积分4.1 原函数与不定积分4.2 不定积分的基本性质与运算法则4.3 无穷小代换4.4 有理函数的积分4.5 分部积分法4.6 三角函数的积分4.7 特殊函数的积分4.8 定积分的概念与性质4.9 定积分的计算方法第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 可分离变量的微分方程5.3 齐次方程与一阶线性非齐次方程5.4 二阶线性非齐次常系数微分方程5.5 线性微分方程组第六章无穷级数6.1 数项级数的概念与性质6.2 正项级数6.3 幂级数与Taylor级数6.4 函数项级数与幂级数展开第七章多元函数微分学7.1 函数的极限与连续性7.2 偏导数的概念与计算方法7.3 全微分与微分近似7.4 多元函数的极值与最优化问题7.5 隐函数与参数方程的微分7.6 多元复合函数的导数第八章多重积分学8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分的概念与性质8.4 三重积分的计算方法8.5 曲线、曲面积分与物理应用第九章曲线与曲面积分9.1 第一型曲线积分9.2 第二型曲线积分9.3 曲面的参数方程及曲面积分9.4 曲面积分与高斯公式9.5 斯托克斯公式与高斯-斯托克斯公式第十章偏微分方程10.1 常见偏微分方程的基本概念10.2 一阶偏微分方程10.3 二阶线性偏微分方程10.4 椭圆型偏微分方程10.5 抛物型偏微分方程10.6 双曲型偏微分方程以上是复旦大学高等数学教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分学应用、不定积分、微分方程、无穷级数、多元函数微分学、多重积分学、曲线与曲面积分以及偏微分方程等内容。
大一下高数下册知识点总结
大一下高数下册知识点总结第一章：数列与极限1.1 数列的概念数列是按照一定规律排列的数字序列，常用递推公式或通项公式表示。
1.2 数列的极限数列的极限表示数列在n趋于无穷大时的稳定值，可以用极限符号进行表示。
1.3 极限的性质极限具有唯一性、有界性、保号性和四则运算性质。
1.4 常见数列的极限常见数列的极限有等差数列、等比数列和阶乘等。
第二章：函数与连续2.1 函数的概念函数是一种特殊的关系，每个自变量只对应一个因变量。
2.2 函数的性质函数具有定义域、值域和奇偶性等性质。
2.3 基本初等函数基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
2.4 连续的概念函数在某一点连续表示函数在该点存在极限且与函数值相等。
第三章：导数与微分3.1 导数的概念导数表示函数在某一点的变化率，可以用极限形式进行定义。
3.2 导数的计算法则导数的计算法则包括常数法则、幂函数法则、和差法则和乘积法则等。
3.3 高阶导数高阶导数表示对函数进行多次求导得到的导数。
3.4 微分的概念微分表示函数在某一点的局部线性逼近，可以用导数表示。
第四章：微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
4.2 函数的单调性与极值函数的单调性用导数的正负表示，函数的极值出现在导数为零的点上。
4.3 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性用导数的增减性表示，函数的拐点出现在导数的变号点上。
4.4 特殊函数的导数与应用特殊函数包括反函数、参数方程函数和隐函数等，它们的导数计算与应用有特殊方法。
第五章：定积分5.1 定积分的概念定积分表示函数在一定区间上的面积或曲线长度，可以用极限的方法进行定义。
5.2 定积分的性质定积分具有线性性、可加性和区间可加性等性质。
5.3 定积分的计算方法定积分的计算方法包括换元法、分部积分法和变限积分法等。
5.4 应用问题定积分有许多应用，如求曲线长度、曲线面积、物体质量和统计学中的概率等。
6.4.2定积分特殊的运算性质
a
a
0
T
aT T
f
xdx
a 0
f
T
t dt
a 0
f
t dt
aT a
f
x dx
0 a
f
x
dx
T 0
f
x
dx
a 0
f
x dx
T 0
f
x dx.
例9 计算 nπ 1 sin 2 xdx 0
解 nπ 1 sin 2 xdx n π sin x cos xdx
0
0
π
n 4 0
cos
定积分特殊的运算性质
第六章 定积分及其应用 第4节定积分的换元积分法
定积分特殊的运算性质
一、有关奇偶函数的性质
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
a
0
0 f ( x)dx 0 f (t )dt a f (t )dt,
a
a
0
① f ( x)为偶函数，则 f (t ) f (t ),
a f ( x)dx
0 f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
a
0
2
a
f ( x)dx;
0
② f ( x)为奇函数，则 f (t ) f (t ),
a f ( x)dx 0 f ( x)dx a f ( x)dx 0.
a
a
0
例6 计算 1 2 x2 x cos x dx.
x
sin
x
dx
n
π π
sin
x
cos
x
dx
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解（三） 可以不用万能置换公式 可以不用万能置换公式.
b0 , b1 ,⋯ , bm 都是实数，并且a 0 ≠ 0 ，b0 ≠ 0 . 都是实数，
假定分子与分母之间没有公因式 有理函数是真分式 真分式； (1) n < m , 有理函数是真分式； 有理函数是假分式 假分式； ( 2) n ≥ m , 有理函数是假分式； 利用多项式除法, 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和. 和一个真分式之和
Mt b dt + ∫ 2 =∫ 2 dt 2 n 2 n (t + a ) (t + a )
Mx + N dx (1) n = 1, ∫ 2 x + px + q p x+ M b 2 2 + C; = ln( x + px + q ) + arctan 2 a a Mx + N dx ( 2) n > 1, ∫ 2 n ( x + px + q ) M 1 b 2 dt . =− 2 2 n −1 + ∫ 2 n (t + a ) 2( n − 1)( t + a )
2 1 1 2 = ln | 1 + 2 x | − ln(1 + x ) + arctan x + C . 5 5 5
例6 求积分 ∫
1 1+
x e2
+
x e3
+
x e6
dx .
6 解 令 t = e ⇒ x = 6 ln t , dx = dt , t 1 1 6 dx = ∫ ⋅ dt ∫ 3 2 x x x 1+ t + t + t t
(1)
1 1 1 1 . ∴ = + − 2 2 x ( x − 1) x ( x − 1) x − 1
1 A Bx + C , + 例3 2 = 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1 + x
1 = A(1 + x 2 ) + ( Bx + C )(1 + 2 x ),
整理得 1 = ( A + 2 B ) x 2 + ( B + 2C ) x + C + A,
(1 + u)2 − (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du − ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u
1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) − ln | 1 + u | + C 2 x ∵ u = tan 2 x x = + ln | sec | − ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2
∵ x + 3 = A( x − 3) + B( x − 2), ∴ x + 3 = ( A + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
A + B = 1, A = −5 , ⇒ ⇒ − ( 3 A + 2 B ) = 3, B = 6 x+3 6 −5 . ∴ = + 2 x − 5x + 6 x − 2 x − 3
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 = ∵ sin x = 2 sin cos = 2 2 2 x 2 x 1 + tan sec 2 2 2 x 2 x cos x = cos − sin , 2 2
x 2 x 1 − tan 1 − tan 2= 2, cos x = 2 x 2 x sec 1 + tan 2 2 x 令u = tan 万能置换公式） x = 2 arctan u（万能置换公式） 2
( x2 +x +1)' ( x2 −x +1)' 1 1 1 1 dx+∫ 2 dx− ∫ 2 dx−∫ 2 dx = ∫ 2 4 x +x +1 x +x +1 4 x −x +1 x −x +1
1 2 dx 1 2 dx = ln( x +x +1) +∫ − ln( x −x +1) −∫ 2 2 4 1 3 4 1 3 x+2 +4 x−2 +4
1 1 1 1 dx = ∫ + 解 ∫ 2 2 − dx x ( x − 1) x ( x − 1) x − 1
1 1 1 dx − ∫ dx = ∫ dx + ∫ 2 x ( x − 1) x −1
1 = ln | x | − − ln | x − 1 | +C . x −1
A B C 1 , = + + 例2 2 2 x ( x − 1) x − 1 x ( x −1 )
1 = A( x − 1) 2 + Bx + Cx ( x − 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, ⇒ A = 1 取 x = 1, ⇒ B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) ⇒ C = −1
p p ∵ x + px + q = x + + q − , 2 4 p 令 x+ =t 2
2 2 2
记 x 2 + px + q = t 2 + a 2 , 则
Mx + N = Mt + b,
p a =q− , 4
2
2
Mp b= N − , 2
Mx + N dx ∴∫ 2 n ( x + px + q )
1 1 2x+1 2x−1 2 2 = ln( x +x +1) −ln( x −x +1) + arctan +arctan +c 4 2 3 3 3
(
)
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义： 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之． 构成பைடு நூலகம்函数称之．一般记为 R(sin x , cos x )
1 dx . 例5 求积分 ∫ 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 4 2 1 − x+ 1 dx= ∫ 5 dx + ∫ 5 2 5dx 解 ∫ (1 + 2 x )(1 + x 2 ) 1 + 2x 1+ x
2 1 2x 1 1 dx + ∫ dx = ln | 1 + 2 x | − ∫ 2 2 5 5 1+ x 5 1+ x
修改万能置换公式, 解（二） 修改万能置换公式 令 u = tan x
u 1 sin x = , dx = du, 2 2 1+ u 1+ u 2 1 1 1 1+ u ∫ sin 4 x dx = ∫ u 4 ⋅ 1 + u2 du = ∫ u4 du 2 1+ u
1 1 1 3 = − 3 − + C = − cot x − cot x + C . 3u u 3
2B A + 2B = 0, 4 2 1 B + 2C = 0, ⇒ A = , B = − , C = , 5 5 5 A + C = 1, 4 2 1 − x+ 1 ∴ = 5 + 5 25. 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1+ x
1 dx . 例4 求积分 ∫ 2 x ( x − 1)
1 dx . 例8 求积分 ∫ 4 sin x x 2u 2 , dx = du, 解（一） u = tan , sin x = 2 2 2 1+ u 1+ u 2 4 6 1 dx = 1 + 3u + 3u + u du ∫ sin 4 x ∫ 8u 4 1 1 3 u3 = [ − 3 − + 3u + ] + C 8 3u u 3 3 1 3 3 x 1 x + tan + tan + C . =− 3 − 2 24 2 x 8 tan x 8 24 tan 2 2
都是常数. 其中 A1 , A2 ,⋯ , Ak 都是常数
A ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 x−a
（2）分母中若有因式 ( x + px + q ) ，其中 ） 2 p − 4q < 0 则分解后为
2 k
M1 x + N1 M2 x + N2 Mk x + Nk + 2 + ⋯+ 2 2 k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
2009／12／29
§6.4 特殊函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数. 两个多项式的商表示的函数称之为 有理函数
P ( x ) a0 x n + a1 x n−1 + ⋯ + an−1 x + an = Q( x ) b0 x m + b1 x m −1 + ⋯ + bm −1 x + bm
都是非负整数； 其中 m 、 n 都是非负整数； a 0 , a1 ,⋯ , a n 及