待定系数法在基本不等式中的应用

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高中数学第3章不等式 3.1 不等式的基本性质教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一第一册

3.1 不等式的基本性质学习目标核心素养1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值X围．(难点)和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？1．不等式(1)不等式的定义用数学符号“>〞“<〞“≥〞“≤〞“≠〞连接两个数或代数式，这些含有这些不等号的式子叫做不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b〞，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b〞，即假设a>b或a＝b中有一个正确，那么a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b〞，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b〞，即假设a<b或a＝b中有一个正确，那么a≤b正确．(3)不等式中常用符号语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤2(1)如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；(2)如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；(3)如果a－b是负数，那么a<b，即a－b<0⇔a<b．3．不等式的基本性质性质1: 假设a >b ，那么b <a ；(自反性)，a >b ⇔b <a ．性质2：假设a >b ，b >c ，那么a >c ；(传递性) 性质3：假设a >b ，那么a ＋c >b ＋c ；(加法保号性) 性质4：假设a >b ，c >0，那么ac >bc ；(乘正保号性) 假设a >b ，c <0，那么ac <bc ；(乘负改号性)性质5：假设a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d ；(同向可加性) 性质6：假设a >b >0，c >d >0，那么ac >bd ；(全正可乘性) 性质7：如果a >b >0，那么a n>b n(n ∈N *)．(拓展)提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． (2)要注意每条性质是否具有可逆性．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)假设ac >bc ，那么a >b ．( ) (2)假设a ＋c >b ＋d ，那么a >b ，c >d ． ( )(3)假设a >b ，那么1a <1b．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．a 1，a 2∈()0，1，记M ＝a 1a 2, N ＝a 1＋a 2－1，那么M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定B [由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝()a 1－1()a 2－1>0，故M >N ．应选B ．] 3．假设x ＞y ，且x ＋y ＝2，那么以下不等式一定成立的是( ) A ．x 2＜y 2B ．1x ＜1yC ．x 2＞1D ．y 2＜1C [因为x ＞y ，且x ＋y ＝2，所以2x ＞x ＋y ＝2，即x ＞1，那么x 2＞1，应选C ．]利用不等式的性质判断和解不等式[例1] (1)对于实数a ，b ，c ，给出以下命题： ①假设a >b ，那么ac 2>bc 2； ②假设a ab >b 2； ③假设a >b ，那么a 2>b 2； ④假设a b a．其中正确命题的序号是．(2)求解关于x 的不等式ax ＋1>0(a ∈R )，并用不等式的性质说明理由． (1)②④[对于①∵c 2≥0，∴只有c ≠0时才成立，①不正确；对于②，a ab ；a b 2，∴②正确；对于③，假设0>a >b ，那么a 2－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；对于④，∵a －b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2．又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >b a，④正确．所以正确答案的序号是②④．](2)[解] 不等式ax ＋1>0(a ∈R )两边同时加上－1得ax >－1 (不等式性质3)，当a ＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x ∈R ，当a >0时，不等式两边同时除以a 得x >－1a(不等式性质4)，当a <0时，不等式两边同时除以a 得x <－1a(不等式性质4)．综上：当a ＝0时，不等式的解集为R ，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，＋∞，当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ．1．利用不等式判断正误的两种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原那么：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的X 围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同X 围得到的解集都是独立的，不能求并集．[跟进训练]1．a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0，那么以下不等式恒成立的是( ) A ．a 2＜b 2＜c 2B ．ab 2＜cb 2C ．ac ＜bcD ．ab ＜acC [∵a ＋b ＋c ＝0且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜bc ，应选C ．]2．假设关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，2)，那么不等式bx －a >0的解集为．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞[因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，2)，所以a <0，且x ＝2是方程ax ＋b ＝0的实数根，所以2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，由bx －a >0得－2ax －a >0，因为a <0，所以x >－12，即不等式bx －a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞．]利用不等式的性质比较代数式的大小[探究问题]1．如果a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a b ，那么a －b >0，反之也成立；假设a ＝b ，那么a －b ＝0，反之也成立；假设a b ，那么ab>1吗？反之呢？ [提示] 假设a >b ，当b <0时，a b<1，即a >bab >1；假设a b >1，那么a b －1>0，即a －bb>0， ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0，即a b >1a >b ，反之也不成立．[例2] x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[思路点拨]作差―→因式分解――→x <1判号―→下结论[解]x 3－1－(2x 2－2x ) ＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∵x <1，∴x －1<0，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x ．1．(变条件)本例条件“x <1〞变为“x ≥1〞，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[解]x 3－1－(2x 2－2x )＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∵x ≥1，∴x －1≥0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥0，∴x 3－1≥2x 2－2x ．2．(变题)：a >0, b >0, 比较1a ＋1b 与1a ＋b的大小．[解] (作差法)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －1a ＋b＝ab ＋b 2＋a 2＋ab －ab ab a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2ab a ＋b ，因为a >0, b >0，所以a 2＋ab ＋b 2ab a ＋b>0，所以1a ＋1b >1a ＋b．(作商法)因为a >0, b >0，所以1a ＋1b 与1a ＋b 同为正数，所以1a ＋1b 1a ＋b＝a ＋b 2ab，所以a ＋b 2ab －1＝a 2＋ab ＋b 2ab>0，即a ＋b 2ab>1，因为1a ＋b >0，所以1a ＋1b >1a ＋b． (综合法)因为a >0, b >0，所以a ＋b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b>1，所以1a ＋1b >1a ＋b．1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．2．作商法比较大小的三个步骤 (1)作商变形； (2)与1比较大小； (3)得出结论．提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，此题思路为：A >B >0⇔A ·1B>1．[跟进训练]3．实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，那么a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >bA [∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ．又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a ．应选A ．]4．a ，b ∈R ，试比较a 2－ab 与3ab －4b 2的大小．[解] 因为a ，b ∈R ，所以(a 2－ab )－(3ab －4b 2)＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2，当a ＝2b 时，a 2－ab ＝ 3ab －4b 2，当a ≠2b 时，a 2－ab > 3ab －4b 2．证明不等式[例3] (1)a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc ． (2)a > b >0, m >0，求证：b a b ，c >0，∴ac >bc ． ∴－ac <－bc ，∵f <e ，∴f －ac <e －bc ．(2)(作差法)因为a > b >0, m >0，所以b －a <0，a ＋m >0，所以b a －b ＋m a ＋m ＝b a ＋m －a b ＋m a a ＋m ＝m b －aa a ＋m <0，所以b a b >0, m >0，所以am > bm, a ＋m >0，ab >0，所以am ＋ab >ab ＋bm ，即a (b ＋m )>b (a ＋m )，所以b a <b ＋ma ＋m．1．利用不等式的性质证明不等式(综合法)的须知(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法那么．2．作差法也可以应用于证明不等式．3．第二题的结论源于生活背景的提炼：在含糖b 克的a 克糖水中放入m 克的糖，结果糖水变甜了．本质上是浓度变大了．[跟进训练]5．假设bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋dd． [证明] ∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，bd >0， ∴a b ≤cd ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd． 6．a >b >m >0，求证：a b <a －mb －m． [证明] (作差法)因为a >b >m >0，所以b －a <0，b －m >0，所以a b －a －mb －m ＝a b －m －b a －m b b －m ＝m b －ab b －m <0，所以a b <a －mb －m； (不等式的性质)因为a >b >m >0，所以am >bm ，b －m >0，所以－bm >－am ，所以ab －bm >ab －am ，即b (a －m )>a (b －m )，所以a b <a －mb －m．不算式性质的应用a b a b a b [思路点拨] 欲求a －b 的X 围，应先求－b 的X 围，再利用不等式的性质求解． [解]∵1<a <4,2<b <8，∴2<2a <8,6<3b <24， ∴8<2a ＋3b <32．∵2<b<8，∴－8<－b<－2，又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2，故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2．即2a＋3b的取值X围为(8,32)，a－b的取值X围为(－7,2)．所以12≤12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )≤152，所以－2≤12(a ＋b )＋52(a －b )≤10，即3a －2b 的X 围是[－2,10]．1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求X 围，注意变形的等价性．2．两个二元一次代数式的X 围，求第三个二元一次式的X 围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．[跟进训练]7．－12≤α<β≤12，求α＋β2，α－β3的取值X 围．[解] ∵－12≤α<β≤12，∴－14≤α2<14，－14<β2≤14．两式相加得－12<α＋β2<12．∵－16≤α3<16，－16≤－β3<16，两式相加得－13≤α－β3<13．又∵α<β，∴α－β3<0，∴－13≤α－β3<0．8．－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求9a －c 的X 围．[解] 令⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝x ，4a －c ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13y －x ，c ＝13y －4x ，∴9a －c ＝83y －53x ，∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203，①∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403，② ①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20， ∴－1≤9a －c ≤20．1．作差法比较大小的三个步骤作差、变形、定号，概括为“三步一结论〞，这里的“定号〞是目的，“变形〞是关键．2．利用不等式的性质可以判定不等式的正确性、也证明一些不等式还可以求相关量的取值X 围．必须熟记不等式的性质，不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法那么．3．不等式的证明可以用比较法(作差或作商法)、也可以利用不等式的性质(综合法)，注意方法的灵活应用．1．a ，b ，c ，d ∈R ，那么以下命题中必成立的是( )A ．假设a ＞b ，c ＞b ，那么a ＞cB ．假设a ＞－b ，那么c －a ＜c ＋bC ．假设a ＞b ，c ＜d ，那么a c ＞b dD ．假设a 2＞b 2，那么－a ＜－bB [选项A ，假设a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否那么如a ＝－1，b ＝0时不成立，应选B ．]2．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，那么( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b C [a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴a ≥b ．]3．角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，那么3α－β的取值X 围是． (－π，2π)[结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值X 围是(－π，2π)．]4．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)．(在横线上填甲或乙即可)乙[由题意得甲购买产品的平均单价为3a ＋3b 6＝a ＋b 2，乙购买产品的平均单价为2010a ＋10b＝2ab a ＋b ，由条件得a ≠b ． ∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a －b 22a ＋b >0，∴a ＋b 2>2ab a ＋b，即乙的购买方式更优惠．] 5．假设a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c 2>e (b －d )2． [证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0，又a >b >0，∴a －c >b －d >0，那么(a －c )2>(b －d )2>0，即1a －c 2<1(b －d )2．又e <0，∴ea －c 2>e(b －d )2．。

待定系数法积分不等式

待定系数法积分不等式
待定系数法是一种常见的数学方法，用于求解积分不等式。

它的基本思想是通过引入待定系数，将所求的积分不等式转化为一个函数，使得该函数的绝对值小于等于某个常数。

然后，利用已知的不等式或其他方法来确定待定系数的值，从而得到原积分不等式的证明。

例如，设$f(x)$在$(0,1)$上有一阶连续导数，且$f(0)=f(1)=0$，要证明$∫_{0}^{1}f(x)dx\leq\frac{1}{2}$。

证明：因为$∫_{0}^{1}f(x)dx$的值是一个常数，不妨设$∫_{0}^{1}f(x)dx=A$。

要证明$A\leq\frac{1}{2}$，只需证明$2A\leq1$。

令$F(x)=2f(x)$，则$F(x)$在$(0,1)$上有一阶连续导数，且$F(0)=F(1)=0$。

根据待定系数法，设$F(x)=x+B$，其中$B$为待定系数。

因为$F(0)=0$，所以$B=0$，即$F(x)=x$。

因为$∫_{0}^{1}f(x)dx=A$，所以$∫_{0}^{1}F(x)dx=∫_{0}^{1}x dx=A=∫_{0}^{1}f(x)dx$。

又因为$2A=∫_{0}^{1}2f(x)dx=∫_{0}^{1}F(x)dx=1$，所以$2A\leq1$，即$A\leq\frac{1}{2}$。

综上，原不等式成立。

待定系数法在积分不等式的证明中有着广泛的应用，它的关键在于合理地引入待定系数，将复杂的不等式转化为简单的函数不等式，然后利用已知的不等式或其他方法来确定待定。

待定系数法的妙用

不等式不能成功. 先做一个换元, abc = 2a(5 − 2a)(4 − a), 此时既要保证三个乘积项的和是一个常数, 还要保证取等号
时三项要相等, 可设置两个参数 m, n (m, n > 0), 再根据需
要的条件列出等式解出参数.
2
证明设 m, n > ma(5−2a)(4n−na)
0,
差或等比数列, 问题就迎刃而解．而如何构造新数列, 待定系
数法可以大显身手．
例 3 已知数列 {an} 满足 a1 = 2, an+1 = 3an + 5, 求
{an} 的通项公式.
分析型如 an+1 = pan + q (p ̸= 1) 的数列, 可设
q
an+1
−x
=
p (an
−
x),
4
9
99
3
4
1 B2, sin2 α
=
A, cos2 α
=
B, 解得:
A
=
2 ,B
=
3 , 所以
3
5
5
1 sin6 α + 1 cos6 α + 4 + 6
3 , 所以 1 sin6 α +
4
9
125 125 25
4
1 cos6 α
1 .
9
25
二、待定系数法在数列中的应用
在递推数列中, 如何构造新的数列, 使得新数列即为等
4
4
4
3 A2 sin2 α, 1 cos6 α + 1 B3 + 1 B3 1 B2 cos2 α, 再由右端
4

求解不等式及其应用

求解不等式及其应用不等式是高中数学中非常重要的一部分内容，也是解决各种问题中必不可少的一种工具。

其基本定义是，两个数或者两个式子之间的大小关系。

首先，我们需要了解一些基本的不等式，比如说，对于任何实数 $a$ 和 $b$，有以下不等式：$$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$$$a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$$这两条不等式在解决各种问题中都有很重要的应用。

接下来，我们来看一些求解不等式的方法。

方法一：移项法这是最常用、最基础的求解不等式的方法，具体内容就是将同一个式子的两边都加上或者减去一个确定的值。

例如，对于如下的不等式：$$2x+3>7$$我们可以将 $-3$ 移到等式左边，得到：$$2x+3-3>7-3$$即：$$2x>4$$再将 $2$ 除到等式左边，得到：$$\frac{2x}{2}>\frac{4}{2}$$即：$$x>2$$所以，这个不等式的解为 $x>2$。

方法二：乘法法则当我们需要乘一个未知数的时候，需要分两种情况讨论：当这个未知数大于$0$ 的时候，我们不需要改变不等式的方向；当这个未知数小于 $0$ 的时候，我们需要改变不等式的方向。

例如，对于如下的不等式：$$-3x+6<0$$我们可以将 $-3$ 乘到等式左边，得到：$$-3(-3x+6)>0$$即：$$9x-18>0$$接下来，我们需要将 $9x$ 单独拿出来，得到：$$9(x-2)>0$$当 $x>2$ 时，原来的不等式成立。

所以，这个不等式的解为 $x>2$。

方法三：配方法当我们需要将一个不等式变成另一个不等式的时候，可以采用配方法。

比如说，对于如下的不等式：$$x^2-5x>0$$我们需要将它写成二元一次不等式的形式，即：$$(x-0)(x-5)>0$$通过画图或者列出 x 的取值表格可以知道，当 $x\in(0,5)$ 时，原来的不等式成立。

待定系数法在解题中的灵活运用

待定系数法在解题中的灵活运用待定系数法英文名称为undetermined coefficients 它是一种求未知数的方法。

一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。

例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。

求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。

从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。

求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。

对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。

广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。

如果我们的学生能掌握这种待定系数法在数学中的灵活应用，对我们解题思维，解题速度，解题方向都很有帮助。

下面就让我们一起体会一下：待定系数法在我们求不等式的取值范围中的灵活应用我们在解不等式时，若给定，求或或等等这些都是比较容易完成的题目，可以直接利用我们数学中的，则有这不等式的基本性质就可以完成，但我们对于稍微复杂一点，不能直接用我们的不等式性质完成的题目，我又该如何解答呢，例如：例：已知且，求的取值范围。

这个题目，我们首先想到的是把不能直接去求解和b的范围求解出，再利用我们的数学中不等式的基本性质完成就可以了。

但是，就这个求和b的范围是非常复杂的过程，花费的时间是不用说的，说不定有点题目到最后我们还求不出来呢。

这时我们就要想想是否有别的方法可以完成，我们不妨试试我们的待定系数法。

我们可以保持和范围的完整性，能不能把分解成与的和或者差的问题呢，如果能我们就可以用不等式的则把这个问题解决了。

基本不等式

基本不等式在实际问题中的应用（8）考点三基本不等式在实际问题中的应用1、(必修10025P A 改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大解：设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号2、要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元B.120元C.160元D.240元解：设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2).容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立).故选C.3、某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤7 60002v ·121v ＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取“＝”.∴最大车流量F 为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v ＋18，∴F ≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时取“＝”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时.规律方法：对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.基础巩固题组一、选择题1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确. 答案 C2.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.5解析依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 答案 C3.(2016·南昌一模)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18解析 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，∴4＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤2，即ab ≤4.A 项，∵ab ≤4，∴1ab ≥14，故A 不恒成立；B 项，∵ab ≤4＝a ＋b ，∴1a ＋1b ≥1，故B 不恒成立；C 项，∵ab ≤2，∴C 不恒成立；D 项，因为2＝a ＋b 2≤a 2＋b 22，所以a 2＋b 2≥8，所以1a 2＋b 2≤18.∴D 恒成立. 答案 D4.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53C.2D.54解析由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 C5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .答案 A 二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________. 解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋ 21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.答案 97.(2015·东北师大附中三模)已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________.解析由已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， ∴2＝2x ·23y ＝2x＋3y，∴x ＋3y ＝1，故1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时等号成立. 答案 48.若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.解析x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 三、解答题9.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值.解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3解析由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.答案 B12.(2015·江西五校联考)已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B.2 2C. 2D.2解析 ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2. 答案 D13.(2015·重庆卷)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________. 解析 (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2×（a ＋1）2＋（b ＋3）22＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.答案 3 214.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x 米.总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38880(元)，当且仅当x ＝100x(x ＞0)，即x ＝10时取等号.∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元. (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤16，0＜162x ≤16，∴818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝⎛⎭⎫818≤x ≤16，g (x )在⎣⎡⎦⎤818，16上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×⎝⎛⎭⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元).∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元.复习导读高考中，不等式的性质可单独命题，也可与常用逻辑用语相结合命题，一般为选择题或填空题，难度不会太大；解不等式多与集合的运算相结合，考查一元二次不等式和指数不等式的求解，多为选择题，难度中等偏下；利用基本不等式求最值问题常常隐含在其他试题中进行考查.特别地，基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能.考点一求代数式的取值范围应用不等式的性质求含有多个变量的代数式的取值范围时，由于变量间的相互制约，在“取等”的条件上会有所不同，则应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求待求整体的取值范围，解此类题目时要特别小心，必须依据不等式的性质进行求解，做到步步有据.【例1】已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围.解因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1≤f （－1）＝a －b ≤2，3≤f （1）＝a ＋b ≤4.法一 (待定系数法)由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b ).所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1).又⎩⎪⎨⎪⎧1≤f （－1）≤2，3≤f （1）≤4，所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10，即f (－2)的取值范围是[6，10].探究提高同向不等式只能相加，不能相减.即可以利用1≤f (－1)＝a －b ≤2和3≤f (1)＝a ＋b ≤4相加得2≤a ≤3，但不能利用3≤f (1)＝a ＋b ≤4和1≤f (－1)＝a －b ≤2相减得1≤b ≤1. 【训练1】已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析法一设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎨⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8). 法二作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8). 答案 (3，8)考点二含参不等式恒成立问题的求解含参不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以各种形式出现在高中数学的各部分内容中，扮演着重要的角色.解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用. [考查角度一] 变化主元，转化为一次函数问题【例2－1】求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＞0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围. 解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9＞0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )＞0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去.(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12＞0，x 2－5x ＋6＞0，解得x ＜2或x＞4.探究提高在含参不等式恒成立的问题中，参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系.本题已知参数a 的取值范围，求x 的取值范围，若能转换两者在问题中的地位，则关于x 的不等式就立即转化为关于a 的不等式，问题便迎刃而解了.[考查角度二] 联立不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题【例2－2】 (1)若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－2，2]B.(－2，2)C.(－∞，－2)∪[2，＋∞)D.(－∞，2](2)已知x ∈(0，＋∞)时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(2－22，2＋22) B .(－∞，2) C.(－∞，2＋22)D.[2＋22，＋∞)解析 (1)原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4＜0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2＜0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)＜0. 解得－2＜m ＜2，综合①②，得m ∈(－2，2].(2)令t ＝3x (t ＞1)，则由已知得函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋1的图象在t ∈(1，＋∞)上恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，f （1）＝1－m ＋m ＋1≥0，解得m ＜2＋2 2. 答案 (1)A (2)C探究提高本题第(2)问利用换元法转化为二次函数问题，但要注意换元后自变量的取值范围.[考查角度三] 分离变量，构造函数求最值【例2－3】 (1)(2016·郑州调研)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)法一由于x ＞0，则由已知可得a ≥－x －1x在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，⎝⎛⎭⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1.②若－a2＜0，即a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1＞0恒成立，故a ＞0. ③若0≤－a 2＜12，即－1＜a ≤0时，则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a24≥0恒成立，故－1＜a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax ＞0恒成立，即x 2＋2x ＋a ＞0恒成立.即当x ≥1时，a ＞－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立.而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a ＞－3.∴实数a 的取值范围是{a |a ＞－3}. 答案 (1)－52(2){a |a ＞－3}探究提高这类问题经常用到下面的结论：若函数f (x )存在最小值，则a ≤(＜)f (x )恒成立⇔a ≤(＜)f (x )min ；若函数f (x )存在最大值，则a ≥(＞)f (x )恒成立⇔a ≥(＞)f (x )max .【训练2】 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＞0恒成立，则实数m 的取值范围为________. 解析 (1)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. (2)设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＞0恒成立，等价于在区间(1，2)上函数f (x )的图象位于x 轴上方.函数f (x )的图象的对称轴方程是x ＝－m 2.①当－m2≤1，即m ≥－2时，f (x )在区间(1，2)上单调递增，只要f (1)＝m ＋5≥0即可，解得m ≥－5，所以m ≥－2；②当1＜－m2＜2，即－4＜m ＜－2时，只要f (x )min ＞0即可，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－m 2＝－m24＋4，由－m 24＋4＞0，解得－4＜m ＜4，所以－4＜m ＜－2；③当－m2≥2，即m ≤－4时，f (x )在区间(1，2)上单调递减，只要f (2)＝2m ＋8≥0即可，解得m ≥－4，所以，得m ＝－4. 综合①②③，得m 的取值范围是[－4，＋∞). 答案 (1)⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ (2)[－4，＋∞) 考点三线性规划问题(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是已知目标函数的最值求参数的值或取值范围.(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解.(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数.【例3】 (1)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A.[－1，0]B.[0，1]C.[0，2]D.[－1，2](2)设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则实(建议用时：60分钟)一、选择题1.若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.a 2＞b 2 B.b a＜1 C.lg(a －b )＞0D.⎝⎛⎭⎫13a＜⎝⎛⎭⎫13b解析 ∵0＜13＜1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，又a ＞b ，∴⎝⎛⎭⎫13a ＜⎝⎛⎭⎫13b .答案 D2.已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( ) A.{x |x ＜－1或x ＞－lg 2} B.{x |－1＜x ＜－lg 2} C.{x |x ＞－lg 2} D.{x |x ＜－lg 2}解析因为一元二次不等式f (x )＜0的解集为{x |x ＜－1或⎭⎬⎫x ＞12，所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12(a ＜0)，由f (10x )＞0，可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎫10x －12＜0，即10x ＜12，解得x ＜－lg 2，故选D.答案 D3.设函数f (x )＝x －1x 对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B.⎝⎛⎭⎫－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，12D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (2mx )＋2mf (x )＝4mx －1＋4m 22mx，当m ＞0时，h (x )＝4mx －1＋4m 22mx 在[1，＋∞)上单调递增，h (x )不可能恒小于0，故m ＞0不符合题意；当m ＜0时，h (x )＝4mx －1＋4m 22mx(x ∈[1，＋∞))单调递减，h (x )在x ＝1处取得最大值，[h (x )]max＝h (1)＝4m －1＋4m 22m ＜0，解得m ＜－12，故选A.答案 A4.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( ) A.1B.13C.14D.18解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值3；当平移到经过该平面区域内的点(a ，a )时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值3a ，于是有8×3a ＝3，a ＝18，故选D.答案 D5.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞B.(0，1]C.⎣⎡⎦⎤1，43D.(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 的a 的取值范围是(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 答案 D6.(2014·福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A.5B.29C.37D.49解析由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界.∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6，1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 答案 C 二、填空题7.若不等式m ＋－x 2－2x ≤x ＋1对x ∈[－2，0]恒成立，则实数m 的取值范围是________. 解析原不等式即为－x 2－2x ≤x ＋1－m .令f (x )＝－x 2－2x ＝－（x ＋1）2＋1，g (x )＝x ＋1－m . 则在同一坐标系内f (x )图象在g (x )图象下方.如图所示，f (x )图象是以(－1，0)为圆心，以1为半径的半圆(x 轴上方部分)，g (x )图象是一组随m 变化的平行直线.当直线和半圆相切时，由d ＝r 得，|－m |2＝1，解得m ＝－2或m ＝2，又由已知得1－m ＞0即m ＜1，故只取m ＝－2，当直线向上平移时，也满足条件，所以实数m 的取值范围是(－∞，－2]. 答案 (－∞，－2]8.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ＋1，x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是113，则实数k 的值是________.解析可行域如图所示，则目标函数z ＝2x ＋y 在点A 处取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＋y ＋k ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫－k ＋13，1－2k 3，所以－2（k ＋1）3＋1－2k 3＝113，解得k ＝－3. 答案－3 三、解答题10.已知不等式ax －1x ＋1＞0(a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0. ①当a ＝0时，由－(x ＋1)＞0，得x ＜－1； ②当a ＞0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞1a；③当a ＜0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)＜0；若1a ＜－1，即－1＜a ＜0，则1a ＜x ＜－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集；若1a ＞－1，即a ＜－1，则－1＜x ＜1a. 综上所述，a ＜－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1＜x ＜1a ； a ＝－1时，原不等式无解；－1＜a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜－1 ； a ＝0时，解集为{x |x ＜－1}； a ＞0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞1a .(2)∵x ＝－a 时不等式成立，∴－a 2－1－a ＋1＞0，即－a ＋1＜0，∴a ＞1，即a 的取值范围为(1，＋∞). 11.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.12.已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1，1]，m ＋n ≠0时f （m ）＋f （n ）m ＋n＞0.(1)用定义证明f (x )在[－1，1]上是增函数； (2)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＜f ⎝⎛⎭⎫1x －1； (3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1，1]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数t 的取值范围. (1)证明任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[－1，1]，则 f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f （x 1）＋f （－x 2）x 1－x 2·(x 1－x 2).∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1－x 2＜0.又已知f （x 1）＋f （－x 2）x 1－x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在[－1，1]上为增函数.(2)解 ∵f (x )在[－1，1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12＜1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ＜－1. (3)解由(1)可知f (x )在[－1，1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1，1]，恒有f (x )≤1，∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1，1]，a ∈[－1，1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.对a ∈[－1，1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1，1]上的最小值大于等于0， ∴g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. ∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t ＝0或t ≥2}.。

待定系数法在高中数学解题中的应用

待定系数法在高中数学解题中的应用作者：张雨嫣来源：《青年时代》2016年第21期摘要：高中数学题目逻辑性较强，在解题过程中一些常用的方法往往计算量过大或难以奏效。

因而需要针对不同的题型选用合适的解题方法，待定系数法是高中数学中一项常用的解题方法。

待定系数法在因式分解、求解函数解析式及数列的通项公式的求解等问题中应用广泛，通过待定系数法可以将复杂的问题简单化。

本文结合具体的例题就待定系数法的应用技巧进行了详细的论述。

关键词：待定系数法；高中数学；应用待定系数法师在高中数学阶段一种常用的解题手段，待定系数法是将一些具有某种特殊形式的数学问题，通过引入待定的系数，利用命题恒成立的条件得到一系列的方程组。

通过对这些方程组的求解得到待定系数的数值，从而解决相应的数学问题。

待定系数法在许多数学问题中都有运用，例如因式分解、曲线方程、数列及函数解析式等。

一、待定系数法在因式分解中的应用待定系数在因式分解中应用广泛，对一元三次、四次等较为复杂的多项式，用常规的因式分解方法往往难以解决，此时就可以选择用待定系数法进行求解。

对其它类型的多项式，在分解过程中也可以尝试用待定系数法解决。

下面结合实例对待定系数法在因式分解中的应用进行讨论。

例题1.对多项式x3+5x2+2x-8进行因式分解。

对例题进行分析：该多项式的最高次幂为3次方，该项的系数为1，因此可以假定该多项式可以分解为（x+A）（x2+Bx+C）的形式。

将该式子展开可得，（x+A）（x2+Bx+C）--x3+（A+B）x2+（AB+C）x+AC。

如果假设成立，则有：对该方程组进行求解，得：A=2；B=3；C=-4二、待定系数法在函数解析式待定系数法在函数解析式的求解中也有很多运用。

在解题过程中可以先设出函数解析式的一般形式，再根据已知条件利用待定系数法求得函数解析式。

对复杂函数解析式的求解这一过程可以综合函数的性质，选择合适的待定系数。

将函数解析式的求解化成对方程组的求解。

用基本不等式求最值六种方法

用基本不等式求最值六种方法用基本不等式求最值六种方法一．配项求 $\frac{9}{x-2}$ 的最小值。

解析：$y=\frac{9}{x-2}+2-2\geq 8$。

当 $x-2=2$ 时，即$x=5$ 时等号成立。

二．配系数求 $y=x^4-3x$ 的最大值。

解析：$y=\frac{1}{2}(3x^4-3x)\leq \frac{1}{2}\cdot 2=1$。

当 $x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ 时，即 $y=1$ 时等号成立。

三．重复使用不等式求 $a^2+b^2$ 的最小值，已知 $a>b>0$。

解析：$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2=2ab$。

再用$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2$，得 $a^2+b^2\geq 2ab+(a-b)^2$。

当 $a-b=b$ 时，即 $a=2b$ 时等号成立，此时$a^2+b^2=5b^2$。

四．平方升次求 $y=x+4-x^2$ 的最大值，当 $x>0$ 时。

解析：$y^2=x^2+2x(4-x^2)+(4-x^2)^2=8-2x^4+6x^2\leq8+(x^2+(4-x^2)^2)=16$。

当 $x=2$ 时，即 $y=4$ 时等号成立。

五．待定系数法求 $y=2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值。

解析：$y=2\sin^2 x+2\sin x\cos x=2\sin x(\sin x+\cos x)\leq 2\sqrt{(\sin^2 x+\cos^2 x)(\sin^2 x+2\cos^2 x)}=2\sqrt{\sin^2x+2\cos^2 x}$。

当 $\sin^2 x=2\cos^2 x$ 时，即 $\tan^2 x=2$，即 $x=\frac{\pi}{8}$ 时取得最大值 $\sqrt{6}$。

六．常值代换已知 $x>0,y>0$，且 $x+2y=3$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值。

试论高中数学基本不等式解题技巧

龙源期刊网试论高中数学基本不等式解题技巧作者：刘金兰来源：《学习与科普》2019年第29期摘要：高中数学有着较强的逻辑性，自身它就是一个相对较难的学科，学生在学习的过程中需要面对各种类型的知识整合，其中不等式的应用相对较难，而且高考中不等式会占据较大的分值，在试题中常常和其他内容结合出新的题型，想要对其进行解析并非一件容易事情。

本文对高中不等式的解题思路与技巧进行分析，并加以案例说明，以供相关人士参考。

关键词：高中数学;基本不等式;解题技巧引言：基本不等式作为高中数学重要的一类不等式来讲，其能够贯穿高中数学众多的知识点，学生合理的掌握解题技巧才能有效提高自身的综合能力。

然而部分学生虽然掌握不等式的特性，但是仍然无法正确地将习题解答，导致這种现象的主要原因就是学生没有完全掌握不等式的本质，同时在日常学习的过程中没有高效的应用不等式，所以无法提高解题的效率。

一、线性规划中的不等式问题在考试题中，基本不等式最多的运用就是线性规划问题，而且这种类型题的出现通常都会与它其他知识混合在一起，这也使得学生们在解题的过程中经常难以下手。

这就说明通常情况下，线性不等式的问题考察的内容相对较多，包括一些特殊数值的计算与方法包括面积运算等，而且通常情况会利用最大值去求最小值，或最小值去求最大值。

还有一些例题会提升一个难度通过图像或函数来建立相应的关系去求相应的数值。

学生需要对相应范围的参数进行计算并获得相应的参数来进行求值。

在解题的过程中学生不仅要明确相关知识，还要懂得其理念和性质，才能将相应的题目进行解析。

例如，已知a>0，且x，y满足x≥2x+y≤4y≥a（x-4），目标函数为z=2x+y的最小值为2，求参数a的取值。

这一题中，解题的主要思路在于坐标中的直线，再加上题目中我们已知条件以轴为中心形成三角形进行计算，但与以往不大相同的是，这道例题在解题的过程中学生需要运用逆向思维来进行推理，根据已给的已知条件进行调整，同时还要注重大于等于号的使用。

待定系数法在不等式中的应用

√ 14 21 3 2
·
√ 7 14
14√ − 7 14
=
1√4 14 14.
所
ab c
√
1 8 27
√
14
以 + + 的最小值为 14 14, 当且仅当 a =
,
a√b c √
14
2 14 3 14
b=
,c=
时取最小值.
14
14
接下来看二元不等式中待定系数法的应用.
例 3 设 a, b > 0, 且 8 + 1 = 1, 求 a2 + b2 的最小值. ab
3
2
解得 y = , x = . 于是
10
5
a2 + b2 + 9
9
7
125ab 7
( 2 )2
( 3 )2
17
− a− b−
2019 年第 3 期 (上)
中学数学研究
27
a2 2xa − x2, 同理可得 b2 2yb − y2. 所以
a2 + b2 + 9
2xa + 2yb + 9 − x2 − y2
(
125ab
) 12(5ab
)
9a
9b
9
9
=
+
+
125x2y 125xy2 125ab
+
2x − 125x2y
a
(
)
+
1
ab
且 8 + 1 = 1, 得 x = 10, y = 5. 于是 a2 + b2
x 3(102
+

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待定系数法在基本不等式中的应用
邬坚耀
（宁波市北仑中学，浙江 315800）
请先看一个例子：
例1 有一块长为2米宽为1米的矩形铁皮，现要在四角各截去一个同样大小的正方形，然后做成无盖盒子，问该如何截法方能使其容积最大？
解：设截去的正方形边长为x ，则所做成的盒子的容积为
)21)(22(x x x V --=.
此时)21)(22(44x x x V --=可以看成三个因式的乘积，而这三个因式的和为定值.然而由于方程4x=2-2x=1-2x 无解，因此这时我们不能直接应用基本不等式
+
∈++≤
R x x x x x x x x x 3213
213
321,,,3
来求解.
为了能用基本不等式求解，我们引入参数)2
10,2
10(,<
<<
<b a b a ，此时x 、
ax a 22-、bx b 2-均大于0，把V 写成如下形式： 3
321
)2)(22(1
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅≤--=b a ab bx b ax a x ab V .
等号当且仅当和一定，即0221=--b a 且)2()22(bx b ax a x -=-=时取到. 从而1
21
22+=
+=
b b a a x 且0221=--b a ,
联立此二方程可得)32(32舍去+
=-
=a a .
此时3
311
22-
=+=
a a x .
答：截去的小正方形边长为331-
时，所做成的盒子的容积最大.
例2 求函数))2
,
0((cos 2
sin 3
6π
∈+
=
x x
x
y 的最小值.
解：0cos ,0sin ),2
,0(>>∴∈x x x π
.
引入大于零的常数k ，函数x
x
y cos 2sin 3
6+
=
可变形为
k x k x
x
x k x
x
y -++
+
++
=
2
2
cos
cos 1cos 1sin
sin 3
3sin 3
3,
k k k k k -=-+≥3
3
3
12
3273
.
等号成立当且仅当⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧=
=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3
2
2
3
2
2
3
3
22
1cos 3sin 33cos 3
3sin cos cos 1sin sin 33k
x k
x k x k x x k x x k x
由1cos
sin
2
2
=+x x 得
11
33
2
=+k
，即80,
642
=⇒>=k k k
又.
所以函数y 的最小值为16821212
3
=-⨯=-k k .
例3 设]2
,
0[π
∈x ，求函数x
x y 2
sin
1sin +
=的最小值.
分析：因为]2,
0[π
∈x ，所以0s in >x ，x
x y 2
sin
1sin +
=可变形为
x
x x y 2
sin 12
sin 2
sin +
+=
由基本不等式得
3
2
4
13sin
12
sin 2
sin ≥+
+
x
x x
等号当且仅当
x
x 2
sin
12
sin =
取到，即2sin
3
=x ，这是不可能的.
解：因为]2
,
0[π
∈x ，所以0sin >x ，为了能用基本不等式求解，我们引
入参数)10(<<k k ，把y 写成如下形式：
x
k x
k x x y 2
2
sin
1sin
2
sin 2
sin -+
+
+=1
14
33
k k -+
≥
等号当且仅当
x k x 2
sin 2
sin =
且1sin =x 时取到,
从而2
1=k ，得22
1
8
133
=+
≥y ，
即函数x
x y 2
sin
1sin +
=的最小值为2.
由上述三例可知，适当引入参数，利用待定系数法，可以解决基本不等式中等号不能成立的问题.
参考文献
徐飞.利用带参数的均值不等式求解最值问题,数学通讯,1990.1。