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北大附中高三数学总复习函数部分单元测试(1)

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北大附中2013届高三数学一轮复习课时作业指数函数及其性质

北大附中2013届高三数学一轮复习课时作业指数函数及其性质

北大附中2013届高三数学一轮复习课时作业：指数函数及其性质第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1．若函数、三、四象限，则一定有( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 2．函数21(0)x y aa a -=+>≠且1的图象必经过点( )A ． (0,1)B ． (1,1)C ． (2,0)D ． (2,2)【答案】D 3．已知函数()21,x f x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是( )A ． 0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ． 22ac -<D ．222ac +<【答案】D4．已知函数()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21，对于任意的两个实数()b a b a ≠,，下列关系不一定成立的是( )A ．()()()ab f b f a f =+B ．()()()b a f b f a f +=C ．()()0<--ba b f a fD ．()()[]b f a f b a f +<⎪⎭⎫⎝⎛+212 【答案】A5．设，，，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D6．若函数y =(a 2-3a +3)a x是指数函数，则( )A ． a ＞1且a ≠1B ． a ＝1C ． a ＝1或a ＝2D ． a ＝2【答案】D 7．函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是( )【答案】D8．函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21与函数2xy =-的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．直线y x =对称D ．原点对称【答案】D9．设，则( )A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1【答案】A10．已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f(ab)，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A 【答案】A11．已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：① ABC ∆一定是钝角三角形 ② ABC ∆可能是直角三角形 ③ ABC ∆可能是等腰三角形 ④ABC ∆不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是( )A ．①③B ．①④C ． ②③D ．②④【答案】B12．下列函数中，图象与函数2xy =的图象关于原点对称的是( )A ．2xy =-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．12xy -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C13．已知集合11{1,1},{|24,}2x M N x x Z +=-=<<∈,则MN =( )A ．{1,1}-B ．{0}C ．{1}-D ．{1,0}-【答案】C 14．设函数6522221)(,21)(+++-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=x x bx x x g x f ，若)()(x g x f <对于任意实数x 恒成立，则实数b 的取值范围是( ) A ．12>b B ．12<bC ．15<bD ．15>b【答案】D15．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于y 轴对称，若，则的值为( )A ．-eB ．-C ．eD ．【答案】B 16．函数33()2x xf x --=在其定义域内( )A ．是增函数又是偶函数B ．是增函数又是奇函数C ．是减函数又是偶函数D ．是减函数又是奇函数 【答案】B17．若函数x a x f 2)(⋅-=与14)(++=a x f x的图象有交点，则a 的取值范围是( )A ． 222-≤a 或 222+≥aB ． 1-<aC ． 2221-≤≤-aD ． 222-≤a【答案】D 18．函数bx ax f -=)(的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a【答案】D19．若方程021411=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是( )A ．()1,∞-B ．)2,(--∞C ．()2,3--D ．()0,3-【答案】D 20．函数()x bf x a-=的图象如图，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是( )A. 01,0a b <<<B. 1,0a b >>C. 01,0a b <<>D. 1,0a b >< 【答案】A 21．设111()()1222b a <<<，那么( ) A ．a a＜a b＜b aB ．a a ＜ b a ＜a bC ．a b＜a a＜b aD ．a b＜b a＜a a【答案】C第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题22．若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【答案】1>a23．已知函数xx f )21()(=的图象与函数g(x)的图象关于直线x y =对称，令①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在(0，1)上为减函数.其中正确命题的序号为 (注：将所有正确．．命题的序号都填上） 【答案】②③24．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是____________． 【答案】1a ≥或0a =25．若函数|21|xy =-，在(,]m -∞上单调递减，则m 的取值范围是 ． 【答案】0≤m 26．不等式1622<-+x x 的解集是 ．【答案】{31}xx -<<27．已知函数11()()12xf x x a =-+(a>0),若()f x ≤0恒成立,则a 的取值范围是 【答案】a ≥128．若关于x 的不等式1420x x a +--≤在[]2,1上恒成立,则实数a 的取值范围为 .【答案】0≤a29．已知函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 与点B )0,(m 、C )0,)(,0(≠≠mn n m n 在同一直线上，则11m n+的值为 【答案】130．已知函数m x g x x f x-⎪⎭⎫⎝⎛==21)(,)(2，若对[][],2,0,3,121∈∃-∈∀x x 使得)()(21x g x f ≥，则实数m 的取值范围是____________【答案】41≥m 31．如图，过原点O 的直线与函数2xy =的图象交与A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数4xy =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 。

新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(有答案解析)(1)

新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是（ ）. A ． B ．C ．D ．2．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”，已知函数()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3]4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()4,+∞ B ．()6,+∞ C ．()1,4D ．()4,65．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12-B ．-1C ．-5D ．126．已知实数1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，4log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<7．设函数()ln |31|ln |31|f x x x =+--，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在11(,)33-单调递增 B ．是偶函数，且在1(,)3-∞-单调递增 C ．是奇函数，且在11(,)33-单调递减 D ．是奇函数，且在1(,)3-∞-单调递减8．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c9．函数2y 34x x =--+ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 10．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞ 11．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．现有下列四个结论：①若25a b m ==且a b =时，则1m =； ②若236log log log a b c ==，则c ab =；③对函数()3xf x =定义域内任意的1x ，都存在唯一的2x ，使得()()121f x f x ⋅=成立；④存在实数a ，使得函数()()2ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R .其中所有正确结论的序号是_________. 14．已知()(3),1log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是_________．15．已知函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______.16．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______．17．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________. 18．若幂函数()2()57m f x m m x =-+在R上为增函数则1log 2log 2lg5lg4mm m+-=_____．19．已知函数()f x 满足()()1f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3xf x =，则13log 19f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 20．已知2336m n ==，则11m n+=______． 三、解答题21．计算下列各式的值： （1）1100.753270.064()160.258---++;（2）53log 425log lg lg 4522++-.22．已知函数()22x x f x k -=+. （1）若()f x 为偶函数，求实数k 的值；（2）若()4f x 在2[log x m ∈，2log (2)](m m +为大于0的常数)上恒成立，求实数k 的最小值.23．分别计算下列数值：（1）1lg3lg94lg81lg 27+--； （2）已知()1401x xx -+=<<，求221122x x x x---+.24．（1）若223a a -+=，求1a a --和33a a --的值；（2）计算33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+的值.25．（1）160.25371.586-⨯-+-⎫⎛ ⎪⎝⎭（2）1324lg lg82493-+26．设函数()log (1)a f x ax =-，其中01a << (1)证明()f x 是1(,)a-∞上的增函数； (2)解不等式()1f x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】由函数解析式可得：1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为：01y <≤， 由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．C解析：C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,02,0xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3xy -=，()0x >，作函数3xy -=，()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.3．D解析：D 【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈，所以1,8 22m⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo2g0,32m mf⎛⎫=⎪⎝∈⎭.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m∈，即可得解.4．D解析：D【分析】转化条件为函数()f x是周期为2的周期函数，且函数()g x、()f x的图象均关于1x=-对称，由函数的对称性可得两图象在1x=-右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可得解.【详解】因为函数()f x满足()()2f x f x+=，所以函数()f x是周期为2的周期函数，又函数()log1ag x x=+的图象可由函数logay x=的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log1ag x x=+的图象的对称轴为1x=-，当[)1,1x∈-时，()2f x x=，所以函数()f x的图象也关于1x=-对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x=与()y g x=在1x=-右侧的图象，数形结合可得，若函数()log1ag x x=+图象与()f x的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在1x=-右侧有5个交点，则()()13log415log61aaagg⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a∈.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.5．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.6．D解析：D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >，然后根据1a <以及1c >得出c a >，即可得出结果.【详解】 因为2log 3b =，42log 7log 7c ，函数2log y x =在()0,∞+上是增函数，所以b c >，因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，44log 7log 41c ， 所以c a >， 综上所述，a c b <<， 故选：D. 【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.7．D解析：D 【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论． 【详解】函数定义域是1{|}3x x ≠±，()ln 31ln 31ln 31ln 31()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，()f x 是奇函数，排除AB ，312()lnln 13131x f x x x +==+--，11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2310x -<-<，2231x <--，即21031x +<-，而131u x =-是减函数，∴2131v x =+-是增函数，∴()f x 在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，排除C ．只有D 可选． 故选：D ． 【点睛】结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键．()y f x =与()y f x =-的单调性相反， 在()f x 恒为正或恒为负时，()y f x =与1()y f x =的单调性相反，若()0f x <，则()y f x =与()y f x =的单调性相反．0a >时，()y af x =与()y f x =的单调性相同．8．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.9．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C10．C解析：C 【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23<a ， 综上023a <<． 故选：C ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．11．C解析：C 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可． 【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立， 所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．12．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5， 由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<. 因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．①②③【分析】利用换底公式结合求得的值可判断①的正误；设利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正误；由求得可判断③的正误；求出函数的定义域值域分别为时对应的实数的取值范围可判断④的正误【详解析：①②③ 【分析】利用换底公式结合a b =，求得m 的值，可判断①的正误；设236log log log a b c t ===，利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正误；由()()121f x f x ⋅=求得21x x =-，可判断③的正误；求出函数()g x 的定义域、值域分别为R 时，对应的实数a 的取值范围，可判断④的正误. 【详解】对于①，由于250abm ==>，可得2lg log lg 2m a m ==，5lg log lg 5mb m ==， 由于a b =可得lg lg lg 2lg 5m m=，则lg 0m =，解得1m =，①正确； 对于②，设236log log log a b c t ===，可得2t a =，3t b =，6t c =，则236t t t ab c =⋅==，②正确；对于③，对任意的1x R ∈，则()()1212123331xxx x f x f x +⋅=⋅==，120x x ∴+=，可得21x x =-，③正确；对于④，若函数()()2ln g x x ax a =++的定义域为R ，对于函数2y x ax a =++，240a a ∆=-<，解得01a <<；若函数()()2ln g x x ax a =++的值域为R ，则函数2y x ax a =++的值域包含()0,∞+，则240a a ∆=-≥，解得0a ≤或1a ≥.所以，不存在实数a ，使得函数()()2ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R ，④错误.故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：解本题第④问的关键点在于找到函数()()2ln g x x ax a =++的定义域为R的等价条件∆<0；函数()()2ln g x x ax a =++的值域为R 的等价条件0∆≥.14．【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解：若当时当时此时的值域不为R 不符合题意；若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查分解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】分类讨论01a <<和1a >，结合已知和对数函数及一次函数的单调性，得a 的不等式组求解即可． 【详解】 解：若01a <<， 当1≥x 时，log 0a x ≤，当1x <时，()3332a x a a a a --<--=-，此时f x （）的值域不为R ，不符合题意；若1a >，当1≥x 时，log 0a x ≥，当1x <时，要使函数f x （）的值域为R ，需使30log 13a a a a ->⎧⎨≤--⎩，解得332a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，312a ∴<≤， 综上所述，312a <≤， 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查分段函数的值域及对数函数的性质，考查分类讨论思想与数学运算能力，是中档题.15．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果. 【详解】令2t x ax a =-+,则原函数化为12()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有232330aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.16．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.17．【分析】由复合函数的单调性：同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性 解析：3(1,]2【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．【详解】∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >， 且320a -≥，∴312a <≤． 故答案为：3(1,]2．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．18．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键解析：3 【分析】利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数，25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去）， 1log2log 2lg 5lg 4mm m∴+-=31log 23l l og 3g1003+=故答案为：3. 【点睛】正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.19．【分析】由满足得到函数是以2为周期的周期函数结合对数的运算性质即可求解【详解】由题意函数满足化简可得所以函数是以2为周期的周期函数又由时函数且则故答案为：【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解 解析：2719-【分析】由()f x 满足()()1f x f x =-+，得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()1f x f x =-+，化简可得()()2f x f x =+， 所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由()0,1x ∈时，函数()3xf x =，且()()1f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log )19f f f f =-=-+= 327log 193392727(log 1)(log )3191919f f =-+=-=-=-.故答案为：2719- 【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期； 解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.20．【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解【详解】由可得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用考查了学生的计算能力属于中档题 解析：12【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解． 【详解】由2336m n ==可得23log 36,log 36m n == 所以361log 2m =，361log 3n=， 所以363636111log 2log 3log 62m n +=+==， 故答案为：12【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）10 （2）0 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 解:（1）1100.753270.064()160.258---++()11333244211254-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦51182210=（2）53log 425log lg lg 4522++-34223log 2log 2lg 5lg 22lg 24=-+-+- ()331lg5lg 244=-++- 331144=-+- 0=【点睛】本题考查指数幂的运算,考查对数的运算.22．（1）1k =；（2）当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+. 【分析】（1）根据函数是偶函数，利用偶函数的定义求解. （2）将()4f x ，转化为2(2)42x x k-+⨯，令2[x t m =∈，2]m +，构造函数2()4g t t t =-+，利用二次函数的性质求得其最大值即可..【详解】 （1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-， 2?22?2x x x x k k --∴+=+，即(1)(22)0x x k ---=，对任意的x 恒成立，1k ∴=.（2）由()4f x ，可得2?24x x k -+，即2(2)42x x k -+⨯，令2[xt m =∈，2]m +，2()4g t t t ∴=-+，当02m <<时，对称轴2[t m =∈，2]m +， 则()max g t g =（2）4244=-+⨯=， 当2m 时，对称轴2t m =，则2()()4max g t g m m m ==-+，故当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的和不等式恒成立的问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．（1）32；（2）-. 【分析】（1）利用对数的运算性质化简可求得所求代数式的值；（2）由已知条件可求得1x x --的值，可求得22x x -+，并求得1122x x -+的值，代入计算可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式11lg3lg3lg3111lg3322lg5lg 2lg1081222lg32lg 27+-=++=+=； （2）因为()()()221114x x x x x x x x -----=+-=-，所以()()2211412x xx x ---=+-=，因为01x <<，则1x x -<，所以1x x --=-22x x --=-，又因为21112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以1122x x -+=所以221122x x x x---=-+【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，考查了平方关系以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.24．（1）1,4±±；（2）1.【分析】（1）利用完全平方公式和立方差公式计算． （2）由对数的运算法则计算． 【详解】（1）1222()2321a a a a ---=-+=-=，所以11a a --=±，33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=±⨯+=±；（2）lg 2lg5lg(25)1+=⨯=．3322(lg 2)3lg 2lg5(lg5)(lg 2lg5)(lg 2lg 2lg5lg 5)3lg 2lg5+⋅+=+-++ 2222lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5lg 22lg 2lg5lg 5=-++=++2(lg 2lg 5)1=+=．【点睛】本题考查幂的运算法则和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题基础． 25．（1）110；（2）13lg5lg 222- 【分析】（1）利用指数幂的运算法则即得解； （2）利用对数的运算法则即得解. 【详解】（1）原式1111323334422()12223()33⨯=⨯+⨯+⨯-2108110=+=（2）原式153222124lg lg 2lg(57)273=-+⨯11(5lg 22lg 7)4lg 2(lg5+2lg7)22=--+ 11(5lg 22lg 7)4lg 2(lg5+2lg7)22=--+ 31lg 2lg522=-+【点睛】本题考查了指数与对数运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 26．（1）见解析；（2）11{|}a x x a a-<< 【分析】(1)根据函数单调性的定义及对数函数的性质，即可证出结果；(2)根据函数()f x 的单调性，可将不等式()1f x >转化为一元一次不等式，即可得到原不等式的解集． 【详解】(1)由10ax ->，01a <<得1x a<，所以()f x 的定义域为1(,)a -∞，设1x ，2x 为区间1(,)a -∞的任意两个值，且211x x a<<，则 211ax ax ->->-，所以21110ax ax ->->，又01a <<，所以21log (1)log (1)a a ax ax -<-，即21()()f x f x <， 所以()f x 是1(,)a-∞上的增函数．(2)由()1f x >得log (1)1log a a ax a ->=，又01a <<， 所以01ax a <-<，所以11ax a -<-<-，所以11a x a a-<<， 所以不等式()1f x >的解集为11{|}a x x a a-<<． 【点睛】本题主要考查对数型复合函数单调性的证明及对数不等式的解法，属于中档题．。

北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(答案解析)(1)

北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(答案解析)(1)

一、选择题1．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”，已知函数()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．42．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b >B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >3．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且当(1x ∈，3]时，4()log f x x =，则(2021)f =（ ）A ．12B ．0C ．4log 3D ．15．设0.34()5a =，0.254b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，125log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．b c a >>6．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（ ）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减7．设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤D ．222a c +<8．已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为 A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e9．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（ ）A ．2aB ．2C ．154D ．17410．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>11．设()lg (21)fx x a =-+是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0, 1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)12．函数32ln ||()x x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若函数()22log 3y x ax a =-+在[2,)+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是____________．14．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.15．已知()()2log 1f x x =-，若()()f a f b =（ab ），则2a b +的最小值为________.16．函数1()a x f x x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点，其坐标为_____________. 17．方程()()22log 972log 31xx+=++的解为______. 18．已知2312a b ==，则21a b+=_______． 19．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ . 20．关于下列命题：①若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤②若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ ③若函数2yx 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤④若函数2log y x =的值域是{}|3y y ≤，则它的定义域是{}|8x x ≤其中不正确的命题的序号是________.（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）三、解答题21．已知函数1()log 1a mxf x x -=-（0a >且1a ≠）是奇函数． （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的方程2()6(1)50f x kx x a -+--=对(1,)x ∈+∞恒有解，求k 的取值范围．22．设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值．（2）若[2,4]x ∀∈，不等式1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =++-，0k ≠. （1）当()f x 分别为奇函数和偶函数时，求k 的值；（2）若()f x 为奇函数，证明：对任意的m 、()1,1n ∈-，()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+=⎪+⎝⎭. 24．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ． （1）当2m =时，求A B 、()R A B ⋂；（2）若AB A =，求实数m 的取值范围．25．已知函数()21log 1x f x x +=-， （1）求函数()y f x =的定义域； （2）证明：()y f x =是奇函数； （3）设()()()14h x f x f x =+，求函数()y h x =在[]3,7内的值域； 26．已知函数1()log a f x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 其中实数0a >且1a ≠. （1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若()f x 在区间[1,3]上单调递增，求a 的取值范围；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,02,0xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3xy -=，()0x >，作函数3xy -=，()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.2．D解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.3．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．4．A解析：A 【分析】根据题意，由(3)()f x f x +=可得()f x 是周期为3的周期函数，则有(2021)f f =（2），结合函数的解析式计算可得答案. 【详解】根据题意，定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，则()f x 是周期为3的周期函数，则(2021)(23673)(2)f f f =+⨯=，又由当(1x ∈，3]时，4()log f x x =，则f （2）41log 22==， 故1(2021)2f =， 故选：A.【点睛】关键点点睛：根据函数的周期性将(2021)f 化为(2)f ，再利用函数解析式求值是解题关键.5．A解析：A 【分析】根据指数函数、对数函数的 性质结合中间值0和1比较． 【详解】由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭，由对数函数性质得125log 04<， ∴b a c >>． 故选：A ． 【点睛】本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．6．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xx e e e >∴>解得0;x >所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.7．D解析：D 【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x =-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．8．D解析：D 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，以及函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，求得()ln g x x =-，再由()1g a =，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =与xy e =互为反函数，所以()ln f x x =，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，所以()ln g x x =-， 又由()1g a =，即ln 1a -=，解得 1a e= 故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数()g x 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x xf xg x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+xx g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .② +①②，得()24g x =，()2g x ∴=. (),2g b a a =∴=. ()22﹣-∴=x x f x . 22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．A解析：A 【解析】分析：0.20.4b =， 0.60.4c =的底数相同，故可用函数()0.4xf x =在R 上为减函数，可得0.60.200.40.40.41<<=．用指数函数的性质可得0.20221a =>=，进而可得0.20.20.620.40.4>>．详解：因为函数()0.4xf x =在R 上为减函数，且0.2<0.4 所以0.60.200.40.40.41<<= 因为0.20221a =>=． 所以0.20.20.620.40.4>>． 故选A ．点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力．比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小．11．A解析：A 【解析】 试题分析：由()lg (21)f x x a =-+为奇函数，则()()fx f x -=-，可得1a =-，即()lg 11f x x x =+-，又()0f x<，即lg110xx+-<，可变为0111x x <+-<，解得10x -<<．考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．12．A解析：A 【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项． 【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣， 因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x xf x x x x-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．二、填空题13．【分析】利用复合函数单调性的判断方法分内层和外层分别判断解出的取值范围【详解】由题意得设根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数且所以所以故答案为:【点睛】本题考查复合函数单调性的应用考查 解析：(4,4]-【分析】利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出a 的取值范围. 【详解】由题意得，设2()3g x x ax a =-+，根据对数函数及复合函数单调性可知：()g x 在[)2,+∞上是单调增函数，且(2)0g >，所以2240aa ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩，所以44a -<≤． 故答案为: (4,4]- 【点睛】本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.14．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解.【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a+++++>恒成立，即10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010xxxg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.15．【分析】根据求得之间的等量关系再利用均值不等式求得的最小值【详解】因为且不妨设则一定有且即即可得解得因为故可得当且仅当且即时取得最小值故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查对数函数的性质以及对数运算 解析：3【分析】根据()()f a f b =，求得,a b 之间的等量关系，再利用均值不等式求得2a b +的最小值. 【详解】因为()()2log 1f x x =-，且()()f a f b = 不妨设a b <，则一定有12a b <<<，且()()22log 1log 1a b -=- 即()()22log 1log 1a b --=-， 即可得()()2log 110a b --=， 解得()()111a b --=. 因为10,10a b ->->故可得()()22113a b a b +=-+-+3≥3=当且仅当()211a b -=-，且()()111a b --=，即112a b =+=+.故2a b +的最小值为3.故答案为：3. 【点睛】本题考查对数函数的性质，以及对数运算，涉及均值不等式求最值的问题，属综合性困难题.16．（12）【分析】根据幂函数以及指数函数性质直接缺定点坐标【详解】因为所以当时即恒过定点（12）故答案为：（12）【点睛】本题考查根据幂函数以及指数函数性质求定点考查基本分析求解能力属基础题解析：（1，2） 【分析】根据幂函数以及指数函数性质，直接缺定点坐标. 【详解】因为0=111=a a ，，所以当1x =时(1)2f =，即()f x 恒过定点（1，2） 故答案为：（1，2） 【点睛】本题考查根据幂函数以及指数函数性质求定点，考查基本分析求解能力，属基础题.17．或【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于的一元二次方程求得的值进一步求得值得答案【详解】由得即化为解得：或或故答案为：或【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解将对数方程转化为指数方程是解决本题的关解析：0x =或1x =. 【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于3x 的一元二次方程，求得3x 的值，进一步求得x 值得答案.【详解】由()()22log 972log 31xx+=++，得()()22log 97log 431x x +=+，即()97431xx+=+， 化为()234330x x-⋅+=，解得：31x =或33x =， 0x ∴=或1x =.故答案为：0x =或1x =. 【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解，将对数方程转化为指数方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力，是基础题.18．【分析】根据指对互化先计算出的结果然后计算的结果由此即可计算出的结果【详解】因为所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用指对互化将化为对数形式然后根据对数运算法则完成计算 解析：1【分析】根据指对互化先计算出,a b 的结果，然后计算11,a b 的结果，由此即可计算出21a b+的结果. 【详解】因为2312a b ==，所以23log 12,log 12a b ==，所以121211log 2,log 3a b==， 所以1212121212212log 2log 3log 4log 3log 121a b +=+=+==， 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用指对互化将2312a b ==化为对数形式，然后根据对数运算法则完成计算.19．【解析】由于对数函数y=lnx 在区间(0＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x 所以函数y ＝x2比函数y ＝xlnx 在区间(0＋∞)上增长较快填 解析：2yx【解析】由于对数函数y=lnx 在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x ，所以函数y ＝x 2比函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快，填2y x =.20．①②④【分析】根据①②③④各个函数的定义域求出各个函数的值域判断正误即可【详解】①中函数的定义域值域;故①不正确;②中函数的定义域是值域;故②不正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是正确的;解析：①②④ 【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可. 【详解】①中函数2x y =的定义域{}|0x x ≤,值域2(0,1]x y =∈;故①不正确; ②中函数1y x =的定义域是{|2}x x >,值域110,2y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭;故②不正确; ③中函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤,故③是正确的;④中函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤,∵2log 3,08y x x =≤∴<≤,,故④不正确; 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函数的值域与最值,考查计算能力,属于基础题.三、解答题21．（1）1m =-；（2）(0,7)． 【分析】（1）由函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，可得()2210m x -=，从而求出m 的值.(2)由（1）即将原问题化为2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解，即216k x x=+，令1t x =，则26k t t =+，(0,1)t ∈有解，从而得出答案. 【详解】 解：（1）因为函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即11log log 11a a mx mxx x +-=---- 化简得()2210m x-=，所以1m =±，当1m =时1101mx x +=-<--不成立，当1m =-时1111mx x x x +-=--+，经验证成立 所以1m =-．（2）由（1）知函数1()log 1ax f x x +=-，则方程可化为： 216(1)501x kx x x +-+--=-，即2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解 所以分离参数得216k x x=+，令1t x =，则26k t t =+，(0,1)t ∈有解而2067t t <+<，故k 的取值范围为(0,7)． 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数为奇函数求参数和不等式有解求参数的范围，解答本题的关键是将问题转化为2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解，分离参数即216k x x=+在(1,)x ∈+∞恒有解，属于中档题.22．（1）1a =-；（2）89m <. 【分析】（1）由奇函数的性质()()0f x f x ，代入运算后可得1a =±，代入验证即可得解；（2）转化条件为131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，结合函数的单调性求得()min g x 即可得解.【详解】（1）因为131()log 1axf x x -=-为奇函数， 则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦()21231log 01ax x-==-， 则()22111ax x -=-，所以21a =即1a =±， 当1a =时，()11331()log log 11xf x x -==--，不合题意； 当1a =-时，131()log 1x f x x +=-，由101xx +>-可得1x >或1x <-，满足题意； 故1a =-；（2）由1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可得131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-，则131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，因为函数12111x y x x +==+--在[2,4]上单调递减， 所以函数131log 1xy x +=-在[2,4]上单调递增， 所以()g x 在[2,4]上单调递增，所以()()1min32log 182993g x g -===+， 所以89m <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.23．（1）()f x 为奇函数时，1k =-，()f x 为偶函数时，1k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得k 的值； （2）根据函数解析式分别求得()()+f m f n ，1m n f mn +⎛⎫⎪+⎝⎭，即可证明结论.【详解】（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，得函数()f x 的定义域为()1,1-，当()f x 为奇函数时，()()0f x f x +-=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++-+-++=， 整理可得()()()1ln 1ln 10k x x +-++=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k +=，所以1k =-； 当()f x 为偶函数时，()()0f x f x --=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++----+=， 整理得()()()1ln 1ln 10k x x -+--=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k -=，所以1k =.综上，当()f x 为奇函数时，1k =-，当()f x 为偶函数时，1k =； （2）由（1）知，1k =-，()()()1ln 1ln 1ln1xf x x x x+=+--=-， ()()()()()()1111ln ln ln 1111m n m nf m f n m n m n +++++=+=----，()()()()11111ln ln ln 111111m nm n m n mn m n mn f m n mn mn m n m n mn++++++++⎛⎫+=== ⎪+++----⎝⎭-+，所以()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：（1）利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=（偶函数）或()()f x f x -=-（奇函数），从而建立方程，使问题获得解决；（2）取一对互为相反数的自变量的函数值，建立等式求出参数的值，但同时要对此时函数的奇偶性进行验证.24．(1) {|27}B x x A -<≤⋃=，(){|21}RA B x x =-<<；(2)()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）根据题意，由2m =可得{|17}x A x =≤≤，由并集定义可得A B 的值，由补集定义可得{|1RA x x =<或7}x >，进而由交集的定义计算可得()R AB ⋂，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分2种情况讨论：①、当A =∅时，有123m m ->+，②当A ≠∅时，有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案． 【详解】根据题意，当2m =时，{|17}x A x =≤≤，()2()lg 28f x x x =-++有意义，则2280x x -++>，得{|24}B x x =-<<，则{|27}B x x A -<≤⋃=， 又{|1RA x x =<或7}x >，则(){|21}R AB x x =-<<；（2）根据题意，若A B A =，则A B ⊆，分2种情况讨论：①当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-， ②当A ≠∅时，若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<，综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.25．（1）见解析；（2）见解析；（3）[]4,5 【分析】 （1）由不等式101x x +>-即可求出()f x 的定义域； （2）证明()()f x f x -=-可得()f x 为奇函数；（3）先求出()f x 在[]3,7上的值域，令()t f x =，求()14h t t t=+的值域. 【详解】 （1）由101x x +>-得：1x >或1x <-， ()f x ∴的定义域为()(),11,-∞-+∞；（2）()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-， ()f x ∴为奇函数；（3）()22log 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在[]3,7上单调递减，令()t f x =，则24log ,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 而()14h t t t=+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()2411log 15,4342h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数()h x 在[]3,7内的值域为[]4,5.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，奇偶性，考查了复合函数的单调性，值域求解，属于中档题.26．(1) 10,4⎛⎫⎪⎝⎭;(2) 103a <<【分析】(1)代入3a =,根据对数函数的单调性求解即可.(2)先根据区间[1,3]结合定义域可求得a 的大致范围,从而确定log a y x =的单调性,再根据复合函数的单调性确定a 的取值范围即可. 【详解】(1) 当3a =时, 31()log 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,故()0f x >即31log 30x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即131x ->,14x >,解得104x <<.故()0f x >解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由定义域可知,1ax->,即1ax>在区间[1,3]上恒成立,故13a<<,所以log ay x=为减函数.又1y ax=-在区间[1,3]上为减函数,故1()logaf x ax⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[1,3]上为增函数.满足题意.故1 03a<<【点睛】本题主要考查了对数函数的不等式求解以及对数型复合函数的单调性求解参数的问题.属于中档题.。

北京大学附属中学必修一第二单元《函数》检测(有答案解析)

北京大学附属中学必修一第二单元《函数》检测(有答案解析)

一、选择题1．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，对称轴为1x =-，给出下面四个结论：①24b ac >；②21a b -=；③0a b c -+=；④若0y >，则()3,1x ∈-.其中正确的是（ ） A ．①④B ．②④C ．①③D ．①②③2．对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（ ） A ．13x <<B ．1x <或3x >C ．12x <<D ．1x <或2x >3．已知,a t 为正实数，函数()22f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a ≤成立.若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B ，则下列关系正确的是（ ） A ．2B ∈B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉4．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.14-=-，[]4.84=.则函数21()122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为（ ） A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-5．如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，上为减函数，则m 的取值范围（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，6．某兴趣小组对函数()f x 的性质进行研究，发现函数()f x 是偶函数，在定义域R 上满足(1)(1)(1)f x f x f +=-+，且在区间[1,0]-为减函数.则(3)f -与5()2f -的关系为（ ）A ．5(3)()2f f -≥- B ．5(3)()2f f ->- C ．5(3)()2f f -≤-D ．5(3)()2f f -<-7．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，则()0f x x<的解集是（ ）A ．{2002}xx x -<<<<∣或 B ．{22}xx x <->∣或 C ．{202}xx x <-<<∣或 D ．{202}xx x -<<>∣或 8．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，()13131x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（ ）A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f9．若函数()28,12,1ax x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,+∞B ．[)4,+∞C ．[]4,6D ．()0,∞+10．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当0x >时()f x 单调递减，若()()()1.360.5log 3,0.5,0.7,a f b f c f -===则,,a b c 的大小关系（ ）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>11．已知函数()2f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,上最大值为M ，最小值为m ，则M m -（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关12．定义{},,max a b c 为,,a b c 中的最大值，设()28,,63⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭h x max x x x ，则()h x 的最小值为（ ） A ．1811B ．3C ．4811D ．4二、填空题13．定义在R 上的减函数()f x 满足(0)4f =，且对任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，则不等式|()2|2f x -<的解集为____________.14．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i AB ϕ=且()1A B ⋃=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+； ③设{}*2,A x x n n N==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，对任意*i N∈，都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=其中正确结论的序号为______.15．已知对于任意实数x ，函数f （x ）都满足f （x ）+2f （2-x ）=x ，则f （x ）的解析式为______．16．对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是________________.17．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式()cos f x x<0的解集为________．18．下列给出的命题中：①若()f x 的定义域为R ，则()()()g x f x f x =+-一定是偶函数；②若()f x 是定义域为R 的奇函数，对于任意的x ∈R 都有()(2)0f x f x +-=，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称；③某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；④若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则12a >； 其中正确的命题序号是__________．19．定义在R 上的函数()f x 满足(3)()1f x f x +=+，且[0,1]x ∈时，()6x f x =，(1,3)x ∈时，(1)()f f x x=，则函数()f x 的零点个数为__________. 20．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是__________ 三、解答题21．已知函数2()f x x bx c =++的图象经过坐标原点，且()1y f x =+为偶函数． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：对于任意的[0,4]x ∈，总有24()2x f x x -≤≤；（3）记函数|()2|y f x x m =--在区间[]0,4的最大值为()G m ，直接写出()G m 的最小值．22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式，并作出函数的大致的简图；(作图要求：①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑)； （2）根据图象写出函数单调区间；（3）若不等式()21f x m -≥在[1,3]x ∈-上有解，求m 的取值范围. 23．已知函数()2()01axf x a x =≠+. （1）判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）若2a =，函数满足44()55f x -≤≤，求x 的取值范围. 24．已知函数()1f x x x=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）证明：函数()f x 在[)1，+∞上是增函数； （3）求函数()f x 在[]41--，上的最大值与最小值. 25．已知函数()21axf x x =-（0a ≠）． （1）判断函数()f x 的奇偶性并给予证明； （2）若函数()f x 满足()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，判断函数()f x 在区间()1,+∞的单调性，并用单调性的定义证明．26．已知a R ∈，奇函数()f x 与偶函数()g x 的定义域均为(,0)(0,)-∞+∞，且满足()()2af xg x x x-=+-. （1）分别求()f x 和()g x 的解析式： （2）若对任意[1,),()()0x f x g x ∞∈++>恒成立，试求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点，可判定①正确；由对称轴方程为12bx a=-=-，可判定②不正确；由()10f ->，可判定③不正确；由根据函数的对称性和(3)0f -=，可判定④正确. 【详解】由函数2y ax bx c =++的图象，可得函数的图象开口向下，与x 轴有两个交点，所以0a <，240b ac ∆=->，所以①正确； 由对称轴方程为12bx a=-=-，可得2a b =，所以20a b -=，所以②不正确； 由()10f ->，可得0a b c -+>，所以③不正确； 由图象可得(3)0f -=，根据函数的对称性，可得()10f =， 所以0y >，可得31x -<<，所以④正确. 故选：A. 【点睛】识别二次函数的图象应用学会“三看”：一看符号：看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向； 二看对称轴：看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三看特殊点：看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.2．B解析：B 【分析】将函数()f x 的解析式变形为()2()244f x x a x x =-+-+，并构造函数()2()244g a x a x x =-+-+，由题意得出()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解此不等式组可得出实数x 的取值范围 【详解】对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零设()()2244g a x a x x =-+-+，即()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立.()g a 在[]1,1a ∈-上是关于a 的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在x 轴上方，即()()2215601320g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩ ，解得3x >或1x < 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数()()2244g a x a x x =-+-+，将问题转化为()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立，从而得到()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，属于中档题.3．A解析：A 【分析】根据函数的特征，要对t 进行分类讨论，求出t 的最大值，再根据a 是正实数，求出()g a 的值域即可判断答案． 【详解】 解：2()2f x x x a =-+∴函数()f x 的图象开口向上，对称轴为1x =①01t <时，()f x 在[0，]t 上为减函数，()(0)max f x f a ==，2()()2min f x f t t t a ==-+ 对任意的[0x ∈，]t ，都有()[f x a ∈-，]a ． 22a t t a ∴-≤-+，即2220t t a -+≥，当()()22424120a a ∆=--⨯=-≤，即12a ≥时，01t <，当()()22424120a a ∆=--⨯=->，即102a <<时，11t ≤ ②1t >时，()f x 在[0，1]上为减函数，在[1，]t 上为增函数，则()()11min f x f a a ==-≥-，2(){(0),()}{,2}max f x max f f t max a t t a a ==-+≤，12a ∴≥，且22t t a a -+，即12t < t 的最大值为()g a综上可得，当12a ≥时(]0,2t ∈ 当102a <<时，()0,1t ∈ ∴函数()g a 的值域为(]0,2故选：A ． 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．4．C解析：C 【分析】先求出函数()21122x x f x =-+的值域，再根据题干中要求即可得出()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域. 【详解】()21121111=122122212x x x x xf x +-=--=-+++， ()121,x +∈+∞，()10,112x∴∈+， ()11,012x∴-∈-+， 1111,21222x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭， 即函数()21122x xf x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由高斯函数定义可知：函数()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为{}1,0- 故选：C. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.5．B解析：B 【分析】当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.综合可得m 的取值范围.【详解】当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，上为减函数；当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的对称轴为12mx m-=，且函数在区间(]1-∞，上为减函数， 则0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.综上可得，103m ≤≤. 故选：B 【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.6．B解析：B 【分析】对于(1)(1)(1)f x f x f +=-+，令0x =，可推出(1)(1)0f f =-=；令2x =-，推出(3)0f -=；令32x =-，推出51()()22f f -=-，最后结合()f x 的单调性得解．【详解】解：对于(1)(1)(1)f x f x f +=-+，令0x =，则(1)(1)(1)f f f =-+，(1)0f ∴-=，()f x 是偶函数，∴(1)(1)0f f =-=，令2x =-，则(21)(21)(1)f f f -+=--+，即(1)(3)(1)f f f -=-+，(3)0f ∴-=， 令32x =-，则33(1)(1)(1)22f f f -+=--+，51()()22f f ∴-=-，()f x 在区间[1-，0]为减函数，51()()(1)0(3)22f f f f ∴-=-<-==-，故选：B ． 【点睛】函数的单调性与奇偶性的综合运用，灵活运用赋值法是解题的关键．7．A解析：A 【分析】由()0f x x <对0x >或0x <进行讨论，把不等式()0f x x<转化为()0f x >或()0f x <的问题解决，根据()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．解：()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，∴在(,0)-∞内()f x 也是增函数，又(2)0f -=，()20f ∴=，∴当(x ∈-∞，2)(0-⋃，2)时，()0f x <；当(2x ∈-，0)(2⋃，)+∞时，()0f x >；∴()0f x x <的解集是{|20x x -<<或02}x <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，解决此类问题的关键是理解奇偶函数在关于原点对称的区间的单调性，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；8．D解析：D 【分析】利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、()2020f 、()2021f 中最小值.【详解】(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．又)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．(2)(2)0f x f x --+-=，(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故(2021)f 最小．故选：D 【点睛】本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.9．C解析：C由题意可知二次函数282a y x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，函数ay x =在区间()1,+∞上为减函数，且有92aa -≥，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由于函数()28,12,1ax x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则二次函数282ay x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线4ax =，所以，14a ≥；函数ay x =在区间()1,+∞上为减函数，则0a >，且有92a a -≥.所以，14092a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪⎪-≥⎩，解得46a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]4,6. 故选：C. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，要注意分析每支函数的单调性以及分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题.10．A解析：A 【分析】函数()f x 是偶函数，判断出自变量的大小，利用函数的单调性比较大小得出答案． 【详解】函数()f x 的图像关于y 轴对称， ∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，∴()()120.52log 3log 3log 3f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2221log 2log 3log 42=<<=， 1.3 1.30.522-=>，600.71<<． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>， 故选：A 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查函数的单调性和奇偶性，考查指数和对数的单调性，属于中档题．11．B解析：B 【解析】函数()2f x x ax b =-+-的图象是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线， ①当22a -＞ 或22a-<-，即4a -＜ ，或4a ＞时， 函数f x （） 在区间[]2,2-上单调， 此时224M m f f a -=--=（）（）， 故M m - 的值与a 有关，与b 无关 ②当022a≤-≤ ，即40a -≤≤ 时， 函数f x （）在区间[2]2a --， 上递增，在[2]2a -， 上递减， 且22f f -<（）（） ， 此时2322424a a M m f f a -=---=--（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关③当202a-≤-≤，即04a ≤≤时， 函数f x （）在区间[2]2a -，上递减，在[2]2a --，上递增， 且22f f <-（）（）此时222424a a M m f f a -=--=-+（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关 综上可得M m - 的值与a 有关，与b 无关 故选B【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．12．C解析：C 【分析】首先根据题意画出()h x 的图象，再根据图象即可得到()h x 的最小值. 【详解】 分别画出2yx ，83y x =，6y x =-的图象， 则函数()h x 的图象为图中实线部分.由图知：函数()h x 的最低点为A ，836y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得1848,1111⎛⎫⎪⎝⎭A .所以()h x 的最小值为4811. 故选：C. 【点睛】本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】由绝对值不等式可知利用中x 的任意性得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】因为任意实数都有且令则故不等式解得即又函数为上的减函数解得故不等式的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查了解抽 解析：(0,2)【分析】由绝对值不等式可知0()4f x <<，利用()(2)4f x f x +-=中x 的任意性得(2)0f =，再利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，且(0)4f =， 令2x =，则(2)(0)4f f +=，故(2)0f =不等式|()2|22()22f x f x -<⇒-<-<，解得0()4f x <<，即(2)()(0)f f x f << 又函数()f x 为R 上的减函数，解得02x <<，故不等式|()2|2f x -<的解集为(0,2) 故答案为：(0,2) 【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.14．①③【分析】根据题目中给的新定义对于或可逐一对命题进行判断举实例证明存在性命题是真命题举反例可证明全称命题是假命题【详解】∵对于定义∴对于①例如集合是正奇数集合是正偶数集合①正确；对于②例如：当时；解析：①③ 【分析】根据题目中给的新定义，对于()*,0i i N A ϕ∈=或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i Aϕ∈⎧=⎨∉⎩，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*AB A B N ∴=∅=，()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，①正确；对于②， 例如：{}{}{}1232341234A B AB ===,,,,,,,,,，当2i =时，()1i A B ϕ⋃=；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； ②错误；对于③， {}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，明显地，,A B 均为偶数集，A B ∴≠∅，()1i AB ϕ=，若i 为偶数，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈；()()1i i A B ϕϕ∴⋅=，则有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=；若i 为奇数，此时，()0i A B ϕ=，则i A ∉且i B ∉，()()0,0i i A B ϕϕ==，()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=∴也成立；③正确∴所有正确结论的序号是：①③； 故答案为：①③ 【点睛】关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.15．【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到f （2-x ）+2f （x ）=2-x②这样①②联立即可解出f （x ）【详解】由题意因为f （x ）+2f （2-x ）=x①；∴f （2-x ）+2f （x ） 解析：()4f x x 3=- 【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到，f （2-x ）+2f （x ）=2-x②，这样①②联立即可解出f （x ）． 【详解】由题意，因为f （x ）+2f （2-x ）=x①； ∴f （2-x ）+2f （x ）=2-x②； ①②联立解得()43f x x =-. 故答案为()43f x x =-． 【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中根据题意，联立方程组求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16．【分析】令由题意得出解出该不等式组即可得出实数的取值范围【详解】对于任意的不等式恒成立即不等式恒成立令则解得或因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题涉及主元思想的应用将问题转 解析：()(),52,-∞-+∞【分析】令()()224f m t m t =-+-，由题意得出()10230f f ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，解出该不等式组，即可得出实数t 的取值范围. 【详解】对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，即不等式()2240t m t -+->恒成立，令()()224f m t m t =-+-，则()()()()()()2211524202223324250f t t t t f t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-+-=-+>⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=-+-=-+>⎩， 解得5t <-或2t >，因此，实数t 的取值范围是()(),52,-∞-+∞.故答案为：()(),52,-∞-+∞.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及主元思想的应用，将问题转化为一次函数不等式恒成立是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.17．【解析】在区间上不等式不成立在区间上要使不等式成立则所以所以在区间上不等式的解集为再由偶函数的对称性知在区间上不等式的解集为所以不等式的解集为点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想属于中档题 解析：(,1)(1,)22ππ--⋃ 【解析】在区间[]0,1 上，()0,cos 0f x x ≥>，不等式不成立，在区间[]1,4 上，()0f x ≤，要使不等式()0cos f x x <成立，则cos 0x >，所以(1,)2x π∈，所以在区间[]0,4上，不等式的解集为(1,)2π，再由偶函数的对称性知，在区间[)4,0-上，不等式的解集为(,1)2π--，所以不等式的解集为(,1)(1,)22ππ--⋃． 点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想，属于中档题．18．①③④【分析】①根据奇偶函数的定义判断；②利用抽象函数的对称性判断；③通过特殊函数判断；④通过分离常数转化为熟悉的函数判断【详解】①函数的定义域为所以函数的定义域也是即所以函数是偶函数故①正确；②对解析：①③④ 【分析】①根据奇偶函数的定义判断；②利用抽象函数的对称性判断；③通过特殊函数判断；④通过分离常数，转化为熟悉的函数判断. 【详解】①函数()f x 的定义域为R ，所以函数()g x 的定义域也是R ，()()()g x f x f x -=-+，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，故①正确；②对应任意的x ∈R ，都有()()20f x f x +-=，即函数()f x 关于()1,0对称，并不关于1x =对称，故②不正确；③函数0y =既是偶函数又是奇函数，故③正确； ④()()212112222a x a ax af x a x x x ++-+-===++++，若函数在()2,-+∞上单调递增，则120a -<，解得：12a >，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：函数的对称性包含中心对称和轴对称，一般判断的方法包含：1.若对函数()y f x =的定义域内的任一自变量x 的值都有()()2f x f a x =-，则()y f x =的图象关于x a =成轴对称；若对函数()y f x =的定义域内的任一自变量x 的值都有()()22f x b f a x =--，则()y f x =的图象关于(),a b 成中心对称；19．【分析】由题意首先结合所给的关系式画出函数图象结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数可得函数零点的个数【详解】解：由题意可得：（1）时即：结合绘制函数图象如图所示：由图可得函数图象与横轴交点有9 解析：9【分析】由题意首先结合所给的关系式画出函数图象，结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数，可得函数零点的个数． 【详解】解：由题意可得：f （1）166==，∴(1,3)x ∈时，(1)6()f f x x x==， 即：6,01()6,13x x f x x x⎧⎪=⎨<<⎪⎩，结合(3)()1f x f x +=+绘制函数图象如图所示：由图可得，函数图象与横轴交点有9个， 所以函数()f x 的零点个数为9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查函数的零点，数形结合的数学思想，函数图象的绘制等知识，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点．20．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：是定义在上的偶函数且在上是减函数不等式等价为即所以即即解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解根据函数奇偶性和解析：1,13⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【详解】 解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，∴不等式()()21f m f m ->，等价为()()21f m f m ->，即21m m -<，所以()2221m m -<，即()22210m m --<，即()()3110m m --<，解得113m << 即1,13m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）2()2f x x x =-；（2）证明见解析；（3）,2()4,2m m G m m m -<-⎧=⎨--≥-⎩，()G m 的最小值为2． 【分析】（1）由题意得，(0)0f =，再由偶函数的图象关于y 轴对称，求得,b c ，可得出函数的解析式；（2）原问题等价于对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，令222()224(2)4g x x x x x x x =--=-=--，求得()2f x x -的范围，即可得证；（3）2|(2)4||()2|y f x x x m m =----=-，讨论m 的大小并结合二次函数的图象进行分析； 【详解】（1）由题意得，(0)0f =，即0c，所以2()f x x bx =+，()22+2+++(+1)(+1)(1+1)f x x b x x b x b =+=，因为()1y f x =+为偶函数，所以202b+-=，即2b =-， 所以2()2f x x x =-；（2）对于任意的[0,4]x ∈，总有24()2x f x x -≤≤等价于对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，令222()224(2)4g x x x x x x x =--=-=--，则当[][]0,4,()4,0x g x ∈∈-，即对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，故得证；（3）2|(2)4||()2|y f x x x m m =----=-，当4m ≤-时，由（2），因为对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，则此时2(2)40x m ---≥，即有2(2)4,y x m =---，故0x =或4时，y 有最大值，即()G m m =-；当42m -<<-时，如图，由图，可得此时在0x =或4时，y 有最大值，即()G m m =-； 当2m ≥-时，如图或，由图，可得此时在2x =时，y 有最大值，即()4G m m =--，综上,2()4,2m m G m m m -<-⎧=⎨--≥-⎩； 当2m <-时，()2G m >，当2m ≥-时，()2G m ≥，故()G m 的最小值为2． 【点睛】方法点睛：解决关于二次函数在某区间上的值域时，注意讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，再根据二次函数的单调性得出最值.22．（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，简图答案见解析；（2）单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-；（3）1m .【分析】（1）设0x <，则0x ->，利用()f x f x =--（）即可求出0x <时，()f x 的解析式，进而可得函数()f x 的解析式，按步骤列表描点连线即可作出函数图象； （2）根据图象上升和下降趋势即可得单调区间；（3）将原问题转化为max 21m f x ≤-（），利用单调性求出()f x 在区间[1,3]-上的最大值即可求解. 【详解】（1）设0x <，则0x ->，因为f x （）是奇函数所以()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦（） 所以222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩（） ， 列表如下：x … 3- 2-1-0 1 2 3 … y…3-11-3…（2）由图知：函数f x （）的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-（3）不等式21f x m -≥（）在1[]3x ∈-，上有解， 等价于在21m f x ≤-（）在1[]3x ∈-，有解.可得max 21m f x ≤-（）， 由（2）可知f x （）在[11-，）上单调递减，在[1]3，上单调递增， 因为()()()211211f -=---⨯-=，()233233f =-⨯=所以()max 3f x =，所以2312m ≤-=，所以1m 【点睛】方法点睛：求不等式有解问题常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.23．（1）答案见解析；（2）(][)11,2,2,22⎡⎤-∞--+∞⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先设﹣1＜x 1＜x 2＜1，然后利用作差法比较f （x 2）与f （x 1）的大小即可判断函数的单调性，（2）把a ＝2代入后，然后把分式不等式转化为二次不等式组求解即可． 【详解】（1）当0a >时，函数()f x 在()1,1-上是增函数；当0a <时，()f x 在()1,1-上是减函数. 理由如下：当0a >时，任取1211x x -<<<，21212221()()11ax ax f x f x x x -=-++ 21122221()(1)(1)(1)a x x x x x x --=++. 因为111x -<<，211x -<<，∴1211x x -<<，1210x x ->，2212(1)(1)0x x ++>，210x x ->，所以21122212()(1)0(1)(1)x x x x x x -->++， 当0a >时，得21()()f x f x >，故函数()f x 在()1,1-上是增函数；同理可证，当0a <时，21()()f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是减函数，得证.（2）2a =时，得22()1xf x x =+， ∴44()55f x -≤≤，即2424515x x -≤≤+，∴222520112,,2222520x x x x x x x ⎧++≥⇒≤--≤≤≥⎨-+≥⎩. 由此可得，x 的取值范围是(][)11,2,2,22⎡⎤-∞--+∞⎢⎥⎣⎦.【点睛】过程点睛：用定义证明单调性时，第一步，任取12,x x 并规定大小；第二步，将函数值作差并化简；第三步，判断每个因式符号进而得到函数值大小；第四步，下结论. 24．（1）奇函数；（2）证明见解析；（3）172,4-- 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断即可；（2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论； （3）利用（2）的结论，得到函数在区间上的单调性，进一步求得最值． 【详解】 函数1()f x x x=+的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞ （1）因为对任意的0x ≠，都有11()()()()()f x x x f x x x-=+-=-+=--， 故函数()f x 为奇函数．（2）对区间[)1，+∞上的任意两个数1x 、2x ，且12x x <， 则121212121212111()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 由于1x 、[)21x ∈+∞，且12x x <，则121x x >，1210x x ->，120x x -<． 从而12())0(f x f x -<即12()()f x f x <，因此函数()f x 在区间[)1，+∞上为增函数． （3）由（2）知，函数()f x 在区间[)1，+∞上为增函数，由（1）知，函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 在区间(],1-∞-上为增函数，则函数()f x 在区间[]41--，上为增函数， 故()min f x =()1744f -=-，()()12max f x f =-=-． 【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） . 25．（1）奇函数，证明见解析；（2）在区间()1,+∞单调递减，证明见解析． 【分析】（1）求出函数的定义域，直接得到()f x 和()f x -的关系即可得结果； （2）由题意解出a 的值，由单调性的定义即可得结果. 【详解】（1）函数()y f x =是奇函数，证明如下：()y f x =的定义域为{}1x x ≠±，又()()()()2211a x axf x f x x x --==-=--+-+ ∴()y f x =是定义在{}1x x ≠±的奇函数．（2）∵()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即21242433112aa a -==⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：3a = ∴()231xf x x =-，1x ，()21,x ∈+∞且12x x < ()()()()()()()()()()1212221222122112212222121231313111331111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x -=----+-=---=--- ∵1x ，()21,x ∈+∞且12x x <，∴2110x ->，2210x ->，1210x x ->，210x x ->∴()()12f x f x >，∴()y f x =在区间()1,+∞单调递减． 【点睛】利用定义证明函数单调性的步骤：（1）取值；（2）作差；（3）化简；（4）下结论. 26．（1）(),()2,(,0)(0,)af x xg x x x∞∞=+=∈-⋃+；（2）3a >-. 【分析】（1）利用函数的奇偶性，列方程组，求函数的解析式；（2）由（1）知，()()2,[1,)af xg x x x x∞+=++∈+，方法一，讨论a 的正负，以及函数的单调性，转化为求函数的最小值大于0，求a 的取值范围；方法二，利用参变分离，()22a x x >-+，转化为求函数最大值，即求a 的取值范围. 【详解】（1）由已知条件()()2af xg x x x-=+-——① ①式中以x -代替x ，得()()2af xg x x x---=---——② 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()(),()()f x f x g x g x -=--=②可化为()()2af xg x x x--=---——③ ①-③，得22()2a f x x x=+ 故(),()2,(,0)(0,)af x xg x x x∞∞=+=∈-⋃+ （2）由（1）知，()()2,[1,)af xg x x x x∞+=++∈+ 当0a ≥时，函数()()f x g x +的值恒为正； 当0a <时，函数()()2af xg x x x+=++在[1,)+∞上为增函数 故当1x =时，()f x 有最小值3a + 故只需30a +>，解得30a -<<. 综上所述，实数a 的取值范围是(3,)-+∞ 法二：由（1）知，()()2a f x g x x x+=++ 当[1,)x ∈+∞时，()()0f x g x +>恒成立，等价于()22a x x >-+而二次函数()222(1)1y x x x =-+=-++在[1,)+∞上单调递减1x =时，max 3y =-故3a >- 【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.。

北京大学附中高三数学一轮复习 圆锥曲线与方程单元训

北京大学附中高三数学一轮复习 圆锥曲线与方程单元训

北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设F 为抛物线214y x =-的焦点，与抛物线相切于点P （-4，-4）的直线l 与x 轴的交点为Q ，则PQF ∠等于( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点是F 1，F 2，设P 是双曲线右支上一点，121F F F P u u u u r u u u r 在上的投影的大小恰好为1||F P u u u r 且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 为( )A ．12+ B ．12C 1+D 1【答案】C3．若双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是( )A ．122=-y xB ．122=-x yC ．222=-y xD ．222=-x y【答案】D4．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为( ) A ．(2,9)-- B ．(0,5)- C ．(2,9)- D ．(1,6)- 【答案】A5．抛物线22y x =的准线方程是( )A ．12x =-B ． 12y =-C ． 18x =-D ．18y =-【答案】D6．椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为( )A ． 216x +212y =1B ． 212x +28y =1C ． 28x +24y =1D ． 212x +24y =1【答案】C7．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率251+=e ，点A 与F 分别是双曲线的左顶点和右焦点，B （0，b ），则∠ABF 等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C8．方程x=2)1(1--y 所表示的曲线是( ) A ．四分之一圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆【答案】C9．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为( )A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=【答案】B10．抛物线 24y x =- 的准线方程是( )A ．1y =B ．1y =-C ．1x =D ．1x =-【答案】C11．已知P 是抛物线x y 42=上一动点，F 是抛物线的焦点，定点A(4,1)，则|PA|+|PF|的最小值为( ) A ． 5B ． 2C ． 17D ． 10【答案】A12．动点在圆x 2＋y 2=1上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点轨迹方程是( )A ．（x ＋3)2＋y 2=4B ．（x －3)2＋y 2=1C ．（2x －3)2＋4y 2=1D ．（x ＋32 )2＋y 2=12【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设F1，F2分别是以曲线22221x ya b-=的左、右焦点。

北京大学附中高三数学一轮复习 集合与逻辑单元训练

北京大学附中高三数学一轮复习 集合与逻辑单元训练

北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：集合与逻辑 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列集合中，不是．．方程(1)(2)0x x +-=的解集的集合是( ) A ． {}1,2-B ． {}2,1-C ． {}(1)(2)0x x x +-=D ．(){}1,2- 【答案】D2．命题:22,p x +>命题1:13q x>-，则q ⌝是p ⌝成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B3．“非空集合M 不是P 的子集”的充要条件是( )A ．P x M x ∉∈∀,B ．M x P x ∈∈∀,C ．P x M x ∈∈∃11,又P x M x ∉∈∃22,D ．P x M x ∉∈∃00,【答案】D4．若非空集合S ⊆{1,2,3,4,5}，且若a ∈S ，则必有6－a ∈S ，则所有满足上述条件的集合S 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B 5．命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A6．设()()()，则和的定义域分别是和N M x x x g x x f 221262log 11-+=-=N C M R ⋂=( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3221，B ．（－1，1）C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3221，D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--132211，， 【答案】D7．已知0c >，设:p 函数x y c =在R 上单调递减；:q 函数2()lg(221)g x cx x =++的值域为R ，如果“p 且q ”为假命题，“p 或q 为真命题，则c 的取值范围是( )A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U D ．(,)-∞+∞ 【答案】C 8．若集合},,{c b a M =中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】A 9．含有三个实数的集合可表示为{,,1}b a a,也可表示为2{,,0}a a b +,则20112011a b +的值为( ) A ．0 B ．1±C ．1-D ．1 【答案】C10．下列语句中命题的个数是( )① 地球是太阳系的一颗行星； ② {}0N ∈；③ 这是一颗大树；④ x a +；⑤ 112+> ⑥ 老年人组成一个集合；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D11．下列说法错误的是( )A ．“21sin =θ”是“ο30=θ”的充分不必要条件 B ．命题“若0=a ，则0=ab ”的否命题是：“若0≠a ，则0≠ab ” C ．若命题R x p ∈∃:，012<+-x x ，则R x p ∈∀⌝:，012≥+-x xD ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是命真题，那么命题q 一定是真命题【答案】A12．巳知全集11,E G ，i 是虚数单位，集合M =Z （整数集）和221(1i){i,i ,,}i i N +=的关系韦恩图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷个【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．命题”，“032>++∈∀x x R x 的否定是 . 【答案】03,0200≤++∈∃x x R x14．下列命题中_________为真命题．①“A ∩B =A ”成立的必要条件是“A B ”； w ②“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题； ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【答案】②④15．已知集合}1|),{(22=+=y x y x A ，集合}0|),{(=++=a y x y x B ，若φ≠⋂B A 的概率为1，则a 的取值范围是 ．【答案】]2,2[-16．方程012=+-x 的全体实数解组成的集合为________．【答案】φ三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知命题p:“[]0,2,12≥-∈a x x 对任意”，命题q:“022,2=-++∈a ax x R x 存在”若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围.【答案】{}21a a a ≤-=或 提示： 由命题“p 且q ”是真命题可知命题p 与命题q 都成立.则有()⎩⎨⎧≥--≥-0244012a a a ，可解得{}21a a a ≤-=或18．已知集合A ＝{x| x 2－3x －11≤0}，B ＝{x| m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ⊇B 且B ≠ο/，求实数m 的取值范围。

北京大学附属中学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测(有答案解析)

北京大学附属中学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测(有答案解析)

一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．211xyx-=-与1y x=+B．y x=与log xay a=（0a>且1a≠）C．21y x=-与1y x=-D．lgy x=与21lg2y x=2．已知()f x，()g x分别为定义在R上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x+=，若对于任意的[]1,2x∈，都有()()20f x ag x a-⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数a的取值范围是（）A．317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．函数()()221lg21xxxf x-=+的部分图象大致为（）A．B．C．D．4．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且当(1x ∈，3]时，4()log f x x =，则(2021)f =（ ）A ．12B ．0C ．4log 3D ．15．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据：lg 20.3≈， 3.96109120≈）（ ） A ．7596B ．9119C ．11584D ．144696．若13log 2a =，131()2b =，2log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<7．已知函数()()2ln f x ax bx c =++的部分图象如图所示，则a b c -+的值是（ ）A ．1-B ．1C ．5-D ．58．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为 A ．235x y z<<B ．325y x z<<C ．523z x y<<D ．532z y x<<9．已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( )A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --10．已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为 A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e11．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．测量地震级别的里氏震级M 的计算公式为:0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的______倍.14．已知函数()()212log 23f x x ax =-+，若函数的增区间是(),1-∞，则实数a =______.15．72log 2338log272lg 5lg 47-+++=______.16．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______． 17．方程()()122log 44log 23xx x ++=+-的解为____；18．若函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点(,)P m n ，则函数()11142xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是_____.19．已知函数2,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是________．20．已知27a b m ==，1112a b +=，则m =_______.三、解答题21．已知函数122()log 2xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性；（2）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性定义证明． 22．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增，求实数a 的取值范围． 23．已知二次函数()f x 满足(0)(2)1f f ==-且(1)4f =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()(0xy f a a =>且1)a ≠在[]1,1x ∈-上的最大值为8，求实数a 的值.24．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求不等式()1f x >的解集.25．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数． （3）若()11f =，解不等式()422xxf -<．26．已知函数121()log 21axf x x -=-，a 常数.（1）若2a =-，求证()f x 为奇函数，并指出()f x 的单调区间；（2）若对于35,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数；C ．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．B解析：B 【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=，()222x x g x --=，讨论()22x xh x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立，则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=，()()2x f x g x --+-=∴，()f x 是偶函数，()g x 分是奇函数，()()2x f x g x -=∴-，可得()222x xf x -+=，()222x xg x --=，则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦，令()22xxh x -=+，令2x t =，由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增，则()22x xh x -=+在[]1,2单调递增，则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====， 对于()222x x g x --=，因为2xy =单调递增，2x y -=-单调递增，()g x ∴在[]1,2单调递增，()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====， ()()h x g x ∴>恒成立，则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()g x a h x ≤≤，()()max min g x a h x ∴≤≤，即15582a ≤≤. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.3．B解析：B 【分析】求出函数()f x 的定义域，分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,1上的函数值符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 函数()()221lg 21xxx f x -=+的定义域为{}0x x ≠，()()()()()()()22221lg 221lg 12lg 2112221xx x xx xxxx x x f x f x ---------====-+++，函数()f x 为奇函数，当01x <<时，201x <<，则2lg 0x <，210x ->，210x +>，()0f x ∴<.因此，函数()f x 的图象如B 选项中的图象. 故选：B. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．A解析：A 【分析】根据题意，由(3)()f x f x +=可得()f x 是周期为3的周期函数，则有(2021)f f =（2），结合函数的解析式计算可得答案. 【详解】根据题意，定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，则()f x 是周期为3的周期函数，则(2021)(23673)(2)f f f =+⨯=，又由当(1x ∈，3]时，4()log f x x =，则f （2）41log 22==， 故1(2021)2f =， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据函数的周期性将(2021)f 化为(2)f ，再利用函数解析式求值是解题关键.5．B解析：B 【分析】根据题设条件列出方程，计算即可. 【详解】由题可知 ()()()22log 119991+20%log 1W W λ+⨯=+，即()221.2log 2000log 1λ⨯=+，所以()lg 1lg 20001.2lg 2lg 2λ+⨯=，即()()lg 1 1.2lg2000 1.23lg2 3.96λ+=⨯=⨯+≈，所以 3.961109120λ+≈≈，所以9119λ≈. 故选：B 【点睛】本题主要考查对属于对数函数，考查学生的运算能力.6．C解析：C 【分析】由题容易看出，0a <， 01b <<，2log 31c =>，便得出,,a b c 的大小关系. 【详解】1133log 2log 10a =<=，310110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 3log 21c =>=，因此a b c <<.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值0-1,1，来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4，利用根与系数的关系结合(1)0f =列式求得,,a b c 的值，则答案可求.【详解】解：由图可知，函数()f x 的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4， 又(1)0f =，68ln()0ba ca abc ⎧-=⎪⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩. 182533a b c ∴-+=++=.故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题.8．A解析：A 【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k kk x y z---=>=>=>，． 即10k ->因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<. 故选A.9．B解析：B 【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算10．D解析：D 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，以及函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，求得()ln g x x =-，再由()1g a =，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =与xy e =互为反函数，所以()ln f x x =，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，所以()ln g x x =-， 又由()1g a =，即ln 1a -=，解得 1a e= 故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数()g x 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．A解析：A 【分析】由对数函数，对a 分类，01a <<和1a >，在对数函数图象确定的情况下，研究二次函数的图象是否相符．方法是排除法． 【详解】由题意，若01a <<，则log a y x =在()0+∞，上单调递减， 又由函数()21y a x x =--开口向下，其图象的对称轴()121x a =-在y 轴左侧，排除C ，D.若1a >，则log a y x =在()0+∞，上是增函数， 函数()21y a x x =--图象开口向上，且对称轴()121x a =-在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象，排除错误选项即可得．二、填空题13．10000【分析】根据条件先计算出的值然后分别计算出里氏9级地震的最大的振幅和里氏5级地震最大振幅由此可求解出最终结果【详解】由条件可知：所以设里氏9级地震的最大的振幅为里氏5级地震最大振幅为所以所解析：10000 【分析】根据条件先计算出0A 的值，然后分别计算出里氏9级地震的最大的振幅和里氏5级地震最大振幅，由此可求解出最终结果. 【详解】由条件可知：06lg1000lg A =-，所以3010A -=，设里氏9级地震的最大的振幅为1A ，里氏5级地震最大振幅为2A ，所以31329lg lg105lg lg10A A --⎧=-⎨=-⎩，所以621210,10A A ==，所以1210000A A =， 故答案为：10000. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解公式0lg lg M A A =-中各个量的含义并先求解出0A 的值，由此继续分析.14．1或2【分析】因为函数在上单调递减要使的单调增区间为分两种情况讨论对称轴和对称轴分别计算可得；【详解】解：因为函数在上单调递减要使的单调增区间为①当函数对称轴为时因为所以恒成立满足条件②当函数对称轴解析：1或2 【分析】因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，分两种情况讨论，对称轴1x =和对称轴1x a =>，分别计算可得； 【详解】解：因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，①当函数()223g x x x a =-+对称轴为1x a ==时，因为()22430∆=--⨯<，所以2230x ax -+>恒成立，满足条件，②当函数()223g x x x a =-+对称轴1x a =>时，需满足()10g =，即21230a -+=解得2a =；综上可得1a =或2 故答案为：1或2 【点睛】本题考查复合函数的单调性判断，已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.15．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值解析：32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++34222=-+++32=故答案为：32【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值.16．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.17．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【详解】解：可得即：解得（舍去）可得经检验是方程的解故答案为：【点睛】本题考查方程的解的求法对数的运算法则的应用考查计算能力 解析：2【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可． 【详解】 解：()()122log 44log 23x x x ++=+-()()1222log 44log log 232x x x +∴+=+-可得()()122log 44log 232x x x++=-⎡⎤⎣⎦， 即：()144232x x x++=-，()223240xx -⋅-=，解得21x =-（舍去）24x =，可得2x =．经检验2x =是方程的解．故答案为：2． 【点睛】本题考查方程的解的求法，对数的运算法则的应用，考查计算能力．18．【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点得到换元令利用二次函数的单调性即可求解【详解】函数恒过点则区间变为由函数令则利用二次函数的单调性当时则函数在上的最小值是故答案为：【点睛】关键点睛：把指数型解析：34【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到1,2m n =-=，换元，令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，利用二次函数的单调性，即可求解. 【详解】函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点()1,2-，则1,2m n =-=，区间[],x m n ∈变为[]1,2x ∈-，由函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭， 则()2213124f t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 利用二次函数的单调性， 当12t =时，()min 34f t =，则函数()11142xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是34.故答案为：34. 【点睛】关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键.19．【分析】分两种情况讨论当时结合图象可知；当时再分两种情况讨论分离参数后化为函数的最值可解得结果【详解】当时则恒成立等价于恒成立函数的图象如图：由图可知；当时所以恒成立等价于恒成立若则若则恒成立所以综 解析：10a -≤≤【分析】分0x >，0x ≤两种情况讨论，当0x >时，结合图象可知0a ≤；当0x ≤时，再分0x =，0x <两种情况讨论，分离参数后化为函数的最值可解得结果. 【详解】当0x >时，()ln(1)0f x x =+>，则|()|f x ax ≥恒成立等价于ln(1)x ax +≥恒成立， 函数ln(1)y x =+的图象如图：由图可知0a ≤；当0x ≤时，2()0f x x x =-+≤，所以|()|f x ax ≥恒成立等价于2x x ax -≥恒成立，若0x =，则a R ∈，若0x <，则1a x ≥-恒成立，所以1a ≥-， 综上所述：10a -≤≤. 故答案为：10a -≤≤ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；20．196【分析】将指数式化成对数式再根据对数的运算及对数的性质计算可得；【详解】解：∵∴∵∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查指数与对数的关系对数的运算及对数的性质的应用属于中档题解析：196 【分析】将指数式化成对数式，再根据对数的运算及对数的性质计算可得； 【详解】 解：∵27a bm ==，∴2log a m =，7log b m =，1log 2m a ∴=，1log 7m b= ∵1112a b +=，∴1log 2log 7log 142m m m +==，∴14m =，解得196m =故答案为：196 【点睛】本题考查指数与对数的关系，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）定义域为(2,2)-，奇函数（2）函数()f x 在(2,2)-上为增函数，证明见解析 【分析】（1）根据真数大于0可得定义域，根据奇函数的定义可得函数为奇函数；（2）设1222x x -<<<，根据对数函数的单调性可得12()()f x f x <，再根据定义可证函数()f x 在(2,2)-上为增函数. 【详解】（1）由函数有意义得202xx->+，解得22x -<<， 所以函数的定义域为(2,2)-，因为1112222()log log ()22x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数为奇函数. （2）因为124()log 12f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 证明：设1222x x -<<<， 则120224x x <+<+<，则1244122x x >>++，则124411022x x -+>-+>++， 因为1012<<，所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数，【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的思路： ①求出定义域，并判断其是否关于原点对称；②若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=-，则函数为奇函数；若()()f x f x -=，则函数为偶函数.22．（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,+∞.【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围. 【详解】（1）因为()22log 46y ax x =-+的值域为R ，所以246y ax x =-+的值域包含()0,∞+，当0a =时，246y ax x =-+即46y x =-+，此时46y x =-+的值域为R ，满足；当0a ≠时，则有016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，所以203a <≤，综上可知：20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）当1a >时，log a y x =在()0+∞，上单调递增，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递增，所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，所以2a ≥，当01a <<时，log a y x =在()0+∞，上单调递减，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减，所以()2330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩，此时a 无解，综上可知：[)2,a ∈+∞. 【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有0a >⎧⎨∆<⎩； 若函数的值域为R ，则有0a >⎧⎨∆≥⎩. 23．（1）2()361f x x x =--；（2）3a =或13a = 【分析】（1）由(0)(2)f f =，可知()f x 关于1x =对称，结合(1)4f =-、(0)1f =-，可求出函数()f x 的解析式；（2）分1a >和01a <<两种情况，分别讨论函数()xy f a =的最大值，令最大值等于8，可求出实数a 的值. 【详解】（1）∵(0)(2)1f f ==-，∴函数()f x 关于1x =对称，又(1)4f =-，故设2()(1)4f x b x =--，0b ≠，而(0)1f =-，41b ∴-=-，解得3b =，2()3(1)4f x x ∴=--，即2()361f x x x =--.（2）①当1a >时，101a <<，由11x -≤≤，则1x a a a≤≤， 由二次函数的性质可知，()xf a 的最大值为1(),()f f a a中的较大者，若211()3(1)48f a a=--=，解得13a =或1a =-，都不符合题意，舍去； 若()23(1)48f a a =--=，解得3a =或1a =-，只有3a =符合题意. ②当01a <<时，11a >，由11x -≤≤，则1x a a a≤≤， 由二次函数的性质可知，()xf a 的最大值为1(),()f f a a中的较大者，若211()3(1)48f a a=--=，解得13a =或1a =-，只有13a =符合题意； 若()23(1)48f a a =--=，解得3a =或1a =-，都不符合题意. 综上所述，实数a 的值为3a =或13a =. 【点睛】易错点睛：本题主要考查二次函数相关知识，属于中档题.解决该问题应该注意的事项： （1）要注意二次函数的开口方向、对称轴、顶点；（2）开口向上的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越大；离对称轴越近，函数值越小；（3）开口向下的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越小；离对称轴越近，函数值越大.24．（1）()2,2-．（2）见解析;(3)18,211⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】试题分析：(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量x 的不等式组,求出()f x 的定义域; (2)由函数奇偶性的定义,判定()f x 在定义域上的奇偶性;(3)化简()f x ,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式()f x >1的解集. 试题（1）要使函数()f x 有意义．则20{20x x +>->，解得22x -<<.故所求函数()f x 的定义域为()2,2-．（2）由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-． 且()()()()lg 2lg 2f x x x f x -=-+-+=-， 故()f x 为奇函数．（3）因为()f x 在定义域()2,2-内是增函数， 因为()1f x >，所以2102x x+>-，解得1811x >． 所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫⎪⎝⎭． 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x < 【分析】（1）令0m n ==，代入等式，可求得()00=f ；（2）令n m =-，代入等式，结合()00=f ，可得到()()f m f m -=-，从而可知()y f x =是奇函数，然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数；（3）原不等式可化为()()422x xf f -<，结合函数()f x 的单调性，可得出422x x -<，解不等式即可.【详解】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f . （2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-， ∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-， ∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数． 在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112xxf f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x-<，即()()12022x x+<-，∵210x +>，∴220x -<，解得1x <， 故原不等式的解集为{}|1x x <. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.26．（1）证明见解析；单调增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）98m <-. 【分析】（1）2a =-时，1221()log 21x f x x +=-，求其定义域，计算()()0f x f x 即可.（2）将不等式整理为21211log 214x x m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，只需要min ()g x m >.利用()g x 单调性即可求出min 39()28g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而可得98m <-.【详解】（1）证明：当2a =-时，1221()log 21x f x x +=-. ()f x 的定义域为11,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当11,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时， 11222121()()log log 2121x x f x f x x x -++-+=+---11222121log log 102121x x x x -++⎛⎫=⋅== ⎪---⎝⎭.∴()()0f x f x +-=， ∴()f x 是奇函数，1221()log 21x f x x +=-是由2121x t x +=-和12log y t=复合而成，12log y t =单调递减，2121221212121x x t x x x +-+===+---在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，所以1221()log 21x f x x +=-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）由1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭，得21211log 214xx m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，令12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，若使题中不等式恒成立，只需要min ()g x m >.由（1）知()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减， 所以12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以min 39()28g x g ⎛⎫==-⎪⎝⎭. 所以m 的取值范围是98m <-. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的单调性求最值，考查了恒成立问题，属于中档题.。

北京市北大附中必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测卷(包含答案解析)

北京市北大附中必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．函数()212()log 23f x x x =--+单调减区间为（ ） A ．(,1]-∞- B ．(3,1]--C ．[)1,1-D ．[)1-+∞， 2．下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5+=+ B ．2221log 3log 32-=C ．222log 3log 5log (35)⋅=+D ．231log 3log 2= 3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()()()2331log 6log 1y x a a x x =--++在[]0,1x ∈内恒为正值，则实数a的取值范围是（ ）A ．133a <<B ．3a >C ．3133a <<D ．33a >5．设函数()ln |31|ln |31|f x x x =+--，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在11(,)33-单调递增 B ．是偶函数，且在1(,)3-∞-单调递增 C ．是奇函数，且在11(,)33-单调递减 D ．是奇函数，且在1(,)3-∞-单调递减 6．函数1()1x f x a +=-恒过定点（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,0)-D ．(1,1)--7．若函数y ＝x a a - (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c9．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，设()41331=log ,log 3,92a f b f c f log ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．[]1,2D ．(]0,2 12．若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．m 1≥D ．01m <≤二、填空题13．已知0a >，函数()y f x =，其中21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()y f x =在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，则a 的取值范围为_______．14．已知18log 2a =，试用a 的式子表示2log 3=________．15．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 16．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.17．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______．18．已知函数22()log ()f x ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是_________ 19．给出下列四个命题：（1）函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)；（2）函数2log y x =与函数2xy =互为反函数；（3）若1log 12a>，则a 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭或(2,)+∞；（4）函数log (5)a y ax =-在区间[1-，3)上单调递减，则a 的范围是5(1,]3； 其中所有正确命题的序号是___________.20．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.三、解答题21．已知函数()2log f x x =，()241g x ax x =-+.（1）若函数()()y f g x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）函数22()()()h x f x f x =-，若对于任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都存在[]1,1t ∈-使得不等式()22th x k >⋅-成立，求实数k 的取值范围.22．已知函数21()log 1x f x x +=-. （1）求函数()f x 的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当(1,)x ∈+∞时，2()()log (1)g x f x x =+-，求函数()g x 的值域. 23．（1）已知函数()()()2110x g x a a -=++>的图像恒过定点A ，且点A 又在函数()()f x x a =+的图像上，求不等式()3g x >的解集；（2）已知121log 1x -≤≤，求函数1114242x xy -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 24．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的“有上界函数”，其中M 称为函数()f x 的上界．已知函数11()139x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）当12a =-时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0)-∞上是否为“有上界函数”，请说明理由；（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以4为上界的“有上界函数”，求实数a 的取值范围．25．计算1132113321(4()40.1()ab a b ----⋅（其中0a >，0b >）26．计算：(1)011327(0.064)0.258-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； (2)22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复合函数的单调性可知，()()212log 23f x x x =--+的单调减区间为223t x x =--+在定义域上的单调增区间.再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即可. 【详解】解：函数()()212log 23f x x x =--+的定义域为()3,1-令223t x x =--+，则()12log g t t =为单调递减函数，由复合函数的单调性可知：()f x 的单调递减区间为223t x x =--+在()3,1-上的单调增区间.()222314t x x x =--+=-++，对称轴为1x =-，开口向下，所以223t x x =--+的单调增区间为(]3,1--. 故选：B. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，属于中档题. 方法点睛：（1）先求出函数的定义域； （2）判断外层函数的单调性；（3）根据复合函数同增异减的原则，判断要求的内层函数的单调性； （4）求出单调区间.2．D解析：D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断． 【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；22221log 32log 3log 32-=-≠，B 错误；222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误； 3233log 31log 3log 2log 2==，D 正确． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，log log n a a b n b =，一般log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1log log n a a b b n≠． 3．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．C解析：C 【分析】令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦，由题意得出()()0010g g ⎧>⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦， 由题意可得()()()()23301log 0126log 0g a g a ⎧=->⎪⎨=->⎪⎩，可得311log 3a -<<，解得13a <<故选：C. 【点睛】思路点睛：求解一次函数不等式在区间上恒成立，一般限制一次函数在区间上的端点函数值符号即可，即可得出关于参数的不等式，求解即可.5．D解析：D 【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论． 【详解】函数定义域是1{|}3x x ≠±，()ln 31ln 31ln 31ln 31()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，()f x 是奇函数，排除AB ，312()lnln 13131x f x x x +==+--，11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2310x -<-<，2231x <--，即21031x +<-，而131u x =-是减函数，∴2131v x =+-是增函数，∴()f x 在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，排除C ．只有D 可选． 故选：D ． 【点睛】结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键．()y f x =与()y f x =-的单调性相反， 在()f x 恒为正或恒为负时，()y f x =与1()y f x =的单调性相反，若()0f x <，则()y f x =与()y f x =的单调性相反．0a >时，()y af x =与()y f x =的单调性相同．6．C解析：C 【分析】根据指数函数性质求定点. 【详解】因为01a =,所以()011f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2， 所log a 56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由()()11f x f x -=+可得函数()f x 关于直线1x =对称，根据对数的运算法则，结合函数的对称性，变形41log 2、13log 3、39log 到区间[)1,+∞内，由函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，即可得结果. 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()11f x f x -=+， 则函数()f x 关于直线1x =对称，又由当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，则函数在[)1,+∞上单调递增， 又由()44115log log 2222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()13log 313b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()()3log 92c f f ==，则有c a b <<，故选B.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性（对称性）与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．10．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】由恬24a =，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．11．A解析：A 【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2()2()-=+=f x x x f x ， ∴函数()f x 为偶函数，∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2xy -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可得结果.【详解】11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2xy -=图象如图可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选：B 【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.二、填空题13．【分析】由函数单调性可得在区间上的最大值最小值则可得对任意恒成立利用二次函数的性质即可求出【详解】因为在区间内单调递减所以函数在区间上的最大值与最小值分别为则得整理得对任意恒成立令则的图象是开口向上解析：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】由函数单调性可得()f x 在区间[1]t t ，+上的最大值()f t ，最小值(1)f t +，则可得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的性质即可求出.【详解】因为()f x 在区间[1]t t ，+内单调递减， 所以函数()f x 在区间[1]t t ，+上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +， 则2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭， 得1121a a tt ⎛⎫+≤+⎪+⎝⎭，整理得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．令2()(1)1h t at a t =++-，则()h t 的图象是开口向上，对称轴为11022t a=--<的抛物线，所以()h t 在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，2(1)10at a t ++-≥等价于102h ⎛⎫≥⎪⎝⎭， 即211(1)1022a a ⎛⎫⨯++⨯-≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥，所以a 的取值范围为23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 故答案为：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，根据二次函数性质求解. 14．【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：故答案为：【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得再结合对数运算性质化简即可得答案 解析：12aa- 【分析】根据换底公式和对数运算性质得18182181818log log 9112log 32log 22log 2=⨯=⨯运算化简即可得答案.【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：18181818182181818181818log log 32log 3log 91log 211111112log 3log 22log 22log 22log 22log 222a a a a---==⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.故答案为：12aa-. 【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得182182log 31log 32log 2=⨯，再结合对数运算性质化简18182181818log log 9112log 32log 22log 2=⨯=⨯即可得答案. 15．8【分析】根据函数平移法则求出点得再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知恒过定点又点在直线上故当且仅当时取到等号故的最小值等于8故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用基本不等式中1的妙用属解析：8 【分析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题16．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a+++++>恒成立，即10210xxa ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.17．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.18．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数 解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设2()u x ax x a =++值域为A ，根据题意(0,)A +∞⊆，对a 分类讨论，结合根的判别式，即可求解. 【详解】设2()u x ax x a =++值域为A ，函数22()log ()f x ax x a =++的值域为,(0,)R A +∞⊆，当0a =时，2()log f x x =值域为R ，满足题意；当0a ≠时，须20140a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得102a <≤， 综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.19．（2）（4）【分析】（1）函数的图象过定点所以该命题错误；（2）函数与函数互为反函数所以该命题正确；（3）若所以的取值范围是所以该命题错误；（4）由题得解得的范围是所以该命题正确【详解】（1）当时（解析：（2）（4） 【分析】（1）函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,1)-，所以该命题错误；（2）函数2log y x =与函数2x y =互为反函数，所以该命题正确；（3）若1log 12a>，所以a 的取值范围是1(,1)2，所以该命题错误；（4）由题得1530a a >⎧⎨-⎩，解得a 的范围是5(1,]3，所以该命题正确. 【详解】（1）当1x =时，f （1）1=-恒成立，故函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,1)-，所以该命题错误；（2）函数2log y x =与函数2xy =互为反函数，所以该命题正确；（3）若1log 12a >，所以112a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或0112a a <<⎧⎪⎨<⎪⎩，则a 的取值范围是1(,1)2，所以该命题错误；（4）函数log (5)a y ax =-在区间[1-，3)上单调递减，则1530a a >⎧⎨-⎩，解得a 的范围是5(1,]3，所以该命题正确. 故答案为：（2）（4） 【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题和反函数，考查对数函数的单调性和解对数不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题 解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >，综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.三、解答题21．（1）[]0,4a ∈；（2）2k <. 【分析】（1）由()2log f x x =，()()y f g x =的值域为R ，知()g x 值域应为小于等于0的数直至正无穷，分类讨论参数a 的正负，再结合二次函数值域与判别式的关系即可求解； （2）对恒成立问题与存在性问题转化得()22tmin k h x ⋅<+在[]1,1t ∈-有解，求得()min h x ，再结合函数单调性即可求解【详解】（1）0a <时，内函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意； 当0a =时，内函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R ，符合题意； 当0a >时，要使内函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0， 故只需0≥，解得(]0,4a ∈.综上得[]0,4a ∈；2（）由题意可得2222()222t k h x log x log x ⋅<+=-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 则()221tmin k h x ⋅<+=在[]1,1t ∈-有解，即1<2tk 在[]1,1t ∈-有解， 122t maxk ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，综上，实数k 的取值范围2k <.【点睛】关键点睛：本题考查由对数型复合函数的值域求解参数取值范围，由恒成立与存在性问题建立的不等式求解参数取值范围，解题关在在于： （1）()()()log a f x g x =值域为R ，()g x 值域范围的判断； （2）全称命题与存在性命题逻辑关系的理解与正确转化. 22．（1）{1x x <-或}1x >，证明见解析；（2）()1,+∞. 【分析】（1）本题首先可通过求解101xx +>-得出函数()f x 的定义域，然后通过()()f x f x -=-证得函数()f x 是奇函数；（2）本题可根据题意将函数转化为2()log (1)g x x =+，然后通过当1x >时2log (1)1x +>即可求出函数()g x 的值域.【详解】（1）因为函数21()log 1x f x x +=-， 所以101xx +>-，解得1x <-或1x >， 则函数的定义域为{1x x <-或}1x >，且定义域关于原点对称， 因为222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-===-=---+-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）22221l ()()log (1)log (1)log (1)og 1g x x x f x x x x +=+-==-+-+， 当1x >时，22log (1)log 21x +>=，函数2()log (1)g x x =+是增函数， 故当(1,)x ∈+∞时，()1g x >，函数()g x 的值域为()1,+∞. 【点睛】方法点睛：判断或证明函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后通过()()f x f x -=-判断函数是奇函数或者通过()()f x f x -=判断函数是偶函数. 23．（1）()3,+∞；（2）min 1y =，max 54y =. 【分析】（1）结合指数函数性质首先求a 的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值. 【详解】（1）由题意知定点A 的坐标为()2,2， ∴)22a =+解得1a =.∴()221x g x -=+.∴由()3g x >得，2213x -+>. ∴222x ->. ∴21x ->. ∴3x >.∴不等式()3g x >的解集为()3,+∞.（2）由121log 1x -≤≤得122x ≤≤令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则142t ≤≤， 221442412y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.∴当12t =，即1122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，1x =时，min 1y =， 当14t =，即1124x⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x =时，max 54y =. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解． 24．（1）值域为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，不是“有上界函数”；理由见解析；（2）(,2]-∞ 【分析】（1）把12a =-代入函数的表达式，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得1t >，可求出2112y t t =-+的值域，即为()f x 在(,0)-∞的值域，结合“有上界函数”的定义进行判断即可；（2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得(0,1]t ∈，整理得3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭对(0,1]t ∈恒成立，只需min 3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭即可.【详解】（1）当12a =-时，111()1239x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x <，1t ∴>，2112y t t =-+，2112y t t =-+在(1,)+∞上单调递增，111232y -∴>+=，即()f x 在(,0)-∞的值域为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 故不存在常数0M >，使()f x M ≤成立． ∴函数()f x 在(,0)-∞上不是“有上界函数” （2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x ≥，(0,1]t ∴∈，214at t ∴++≤对(0,1]t ∈恒成立，即3a t t ⎛⎫≤-⎪⎝⎭对(0,1]t ∈恒成立， 设3()g t t t=-，易知()g t 在(0,1]t ∈上递减， ()g t ∴在(0,1]t ∈上的最小值为(1)2g =．∴min ()2a g t ≤=，∴实数a 的取值范围为(,2]-∞ 【点睛】本题考查新定义，考查函数的值域与最值，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.25．85【分析】将小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，利用指数幂的运算性质化简求值. 【详解】11131322133133221(4)1(4)()=()4410.1()()()10ab ab a b a b --------⋅⋅ 原式13113322211()()(4)()410ab a b ----=原式33333002222211848555a b a b a b --=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题考查指数幂的运算，要熟练掌握基本的运算法则和运算性质，小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，更有利于运算. 26．(1)10；(2)3. 【分析】（1）根据根式定义化根式为分数指数幂，再由幂的运算法则计算； （2）由对数运算法则计算． 【详解】 (1)解：原式()()1323120.410.5-=-+1321511218105222-⎛⎫=-++=-++= ⎪⎝⎭.(2)解：原式2322lg5lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)3=++++ 222lg52lg 22lg5lg 2(lg5)(lg 2)=++++2=+++=+=.2(lg5lg2)(lg5lg2)213【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，考查幂和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题关键．。

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09届高三数学单元练习（一）集合，简易逻辑，函数 2008-09班级_____________ 姓名_____________ 成绩__________一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（请将本题的答案填入下面的表格中）1. 已知集合M ={x| y =x x 22+-}, N ={y| y =lg (-x 2+2x )}, 则M ∪N = ( )A. [0 , 2]B. ]2,(-∞C. ]1,0(D. ]0,(-∞2. （文科学生做．．．．．）已知映射：f ：A →B ，其中A=R +，B=R ，对应法则f ：x →y =-lg x ,,x A y B ∈∈则2的原象为( ) A.1100 B. –lg2 C. 110D. –2lg2 （理科学生做．．．．．）已知复数z 0=1+2i ， f : z →z ⋅z 0 是复数集C 到复数集C 的映射, 则复数5i 的原象为 ( )A. 2+iB. 2-iC. 1-2iD. 1+2i 3. 函数f (x ) =231x x +-，若函数y = g (x )的图象与y = f (x )的图象关于直线y = x 对称， 则g (3) = ( )A.72B.92C. 3D.6 4. （文科学生做．．．．．）下列函数的值域是定义域的真子集的是( ) A. y =x B. y =lg (x 2-2) C. yD. y =11x + （理科学生做．．．．．）设a 、b 为常数，若f (x ) =ln (0 2)( 2)x x ax b x <≤⎧⎨+>⎩，在x = 2处连续，且满足(4)(4)1lim2x f x f x ∆→+∆-=∆，则a 、b 的值分别为( )A. a = b =21 B. a = ln2-21, b = 1-ln2 C. a =21, b = ln2 – 1 D. a = 21, b = ln2 5.已知函数f (x ) = x 3 + mx 2+ (m + 6)x + 1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是( )A. [– 3, 6]B. (– ∞, – 3) (6, + ∞)C. (– 3, 6)D. (– ∞, – 3] [2, + ∞)6. 若函数()(01)(,)x x f x ka a a a -=->≠-∞+∞且在上既是奇函数，又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图像是( )A. B. C. D.7. 设二次函数f (x ) = x 2 – x + a (a > 0), 若f (m ) < 0, 则f (m – 1)的值为 ( )A. 负数B. 正数C. 非负数D.正数、负数和零都有可能8. 已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则满足条件的实数t 的个数为( )A . 1个 B. 2个 C . 3个 D . 4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上.9. 函数y ______________________.10. 曲线y = x 3 + 3x 2 + 6x + 5的切线中，斜率最小的切线方程是__________________. 11. （文科学生做．．．．．）已知3()2(,)f x x ax c a c R =-+∈在),(+∞-∞上单调递增，则a 须满足的条件为__________.（理科学生做．．．．．）已知函数f (x ) = log 12(x + 1 –ax)在区间[1, + ∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是__________.12. 国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800 元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元时，这个人应得稿费（扣税前）为 元. 13. 下列结论正确有___________(填写所有你认为正确结论的序号).①函数y =542)21(+-x x 的单调递减区间为(-∞,2)；②已知a ,b R ∈,“若a 2+b 2=0，则a ,b 全是零”的否命题是真命题； ③与函数f (x )的值域比较,f (x +1)的值域不变，f (2x )的值域改变；④已知p :不等式∣x ∣+∣x -1∣>m 的解集为R ；q : f (x )=-(5-2m )x 是减函数，则p 是q 成立的充分不必要条件；⑤函数f (x )=x 2-2ax +a (a R ∈)在区间(-∞,1)上有最小值，则函数g (x )=()f x x在区间 (1,+ ∞)上一定是增函数. 14. （文科学生做．．．．．） 把函数)(x f y =的图像沿x 轴向右平移2个单位，所得的图像为C ,C 关于x 轴对称的图像为xy 2=的图像，则)(x f y =的函数表达式为 _____________.（理科学生做．．．．．） 已知集合M ={f (x )∣f (-x )= -f (x ),x R ∈},集合N ={f (x )∣f (x +2)+f (x )=0,x R ∈}, (1)若不恒为零的函数f (x )(),M N ∈ 则f (x )的一个可能的函数解析式为 ______________.(2) 若函数f (x )(),M N ∈ 且f (3)=0,则f (x )=0在[-7，8]上的解的个数的最小值为 ______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15. （本小题满分13分）已知222{(log )log 0}A x x x =-<，22{210}B x x ax a =-+->，且A B A = ，求实数a 的取值范围16. （本小题满分13分）已知()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+.(1)若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ； (2)设函数11()()()2H x g x f x -=-，当x ∈D 时，求函数()H x 的值域.17. (本题满分13分) 已知函数()f x 的图象与函数1()2h x x x=++的图象关于点A （0，1）对称.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()g x =()f x +xa，且)(x g 在区间(0,2]上的函数值不小于6，求实数a 的取值范围.18. (本题满分13分) 如图所示，曲线段ＯＭＢ是函数2()(06)f x x x =<<的图象，ＢＡ⊥x 轴于Ａ，曲线段ＯＭＢ上一点Ｍ(t ,f (t ))处的切线ＰＱ交x 轴于P ，交线段ＡＢ于Ｑ，（１）求在M 点的切线ＰＱ的方程；（２）设ΔＱＡＰ的面积为g(t)，若函数g (t )在(m ,n )上单调递减，试求出m 的最小值；（３）试求ΔＱＡＰ的面积g (t )的取值范围．19. (本题满分14分)（文科学生做．．．．．）若二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>-2x 的解集为（1，3）. （1）若方程f (x )+6a =0有两个相等的实数根，求f (x )的表达式； （2）若函数g (x )=xf (x )无极值，求实数a 的范围；（3）若对任意7[,1]4a ∈--，g (x )=m 在x ∈[-1,1]上无实根，求m 的范围.（理科学生做．．．．．）已知,0>a 函数ax x x f +-=)2ln()( （1）设曲线)(x f y =在点（1，f （1））处的切线为l ，若l 与圆（x +1）2＋y 2=1相切， 求a 的值；（2）求f (x)的单调区间；（3）求函数)(x f 在[0，1]上的最小值.20. （本小题满分14分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ；那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数．（1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ；（2）判断函数)0(143)(>+=x x x x f 是否为闭函数？并说明理由；（3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．参考答案和评分标准 一、选择题二、填空题 9.(5,6]10.3x-y+4=011.(文科)a ≤0 (理科)-1≤a<2 12.380013.(2)(4)(5)（漏一个得2分，错一个不给分，全选对给5分） 14. .(文科)y= -2x+2(理科) y=sin 2x π(其他答案若对，应给2分),16(第二空3分)三、解答题15. 由222(log )log 0x x -< 得 20log 1x << 即1<x<2∴}21{<<=x x A ， …………… 5分 由22210x ax a -+-<得11x a x a >+<-或∴}11{-<+>=a x a x x B 或 …………… 9分2111,≥-≤+∴⊆a a B A 或 …………… 12分30≥≤∴a a 或 ……………13分16. 解：(1)∵12)(-=xx f ，∴)1(log )(21+=-x x f(x ＞-1)由)(1x f -≤g （x ） ∴⎩⎨⎧+≤+〉+13)1(012x x x ，解得0≤x ≤1 ∴D ＝［0，1］…………… 6分(2)H （x ）＝g （x ）－)123(log 21113log 21)(21221+-=++=-x x x x f∵0≤x ≤1 ∴1≤3－12+x ≤2 ∴0≤H （x ）≤21 ∴H （x ）的值域为［0，21］ ………………………13分 17. 解：（1）设)(x f 图象上任一点坐标为),(y x ，点),(y x 关于点A （0，1）的对称点)2,(y x --在)(x h 的图象上………… 3分,1,212xx y x x y +=∴+-+-=-∴即x x x f 1)(+= …… 6分（2）由题意x a x x g 1)(++= ，且61)(≥++=xa x x g ∵∈x （0，]2 ∴)6(1x x a -≥+，即162-+-≥x x a ，………… 9分令16)(2-+-=x x x q ，∈x （0，]2，16)(2-+-=x x x q 8)3(2+-x ＝－，∴∈x （0，]2时，7)(max =x q …11′∴ 7≥a ……………… 13分18. (1)切线PQ 的方程为y-f(t)=f /(t)(x-t),∵f(t)=t 2, f /(t)=2t 代入整理得PQ 的方程为y=2tx-t 2(0<t <6) ……………4分 (2)令y=0,可得点P 的横坐标为12t,令x=6可得Q 的纵坐标为12t-t 2,∴g(t)=12(6-12t)(12t-t 2)( (0<t <6) ……………7分 ∴g /(t)= 12(t 2-16t+48),当4<t<6时，g /(t)<0,∴g(t)在(4,6)上单调递减，∴（m,n ）⊆(4,6),∴m 的最小值为4……………10分由（2）可知，当0<x<4时，g /(t)>0，∴g(t)在（0，4）上递增，在[4,6)上递减， ∴0<g(t)≤64……………13分19. （文科）依题意可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0)(1) f(x)+6a= a(x-1)(x-3)-2x+6a=ax 2-(4a+2)x+9a=0有两相等的实根，∆=0，a=15-, f(x)=2163555x x ---……5分 (2)g(x)=xf(x)=ax 3-(4a+2)x 2+3ax,g ,/(x)=3ax 2-(8a+4)x+3a, ∆≤0,227a -≤≤-……8分 (3)由（2）知，∆<0, g ,/(x)<0,g(x)在[-1，1]上单调递减，∴g(1)≤g(x) ≤g(-1),∴m< g(1)或m> g(-1)恒成立，即m<-2或m>-8a-2恒成立，∴m<-2或m>12. ……14分 (理科)（1）依题意有，21)(,2-+='<x a x f x ， …………………2分过))1(,1(f 点的直线的斜率为1-a ，所以，过))1(,1(f 点的直线方程为),1)(1(--=-x a a y又已知圆圆心为（－1，0）半径为1，依题意11)1(|11|2=+-+-a a ，解之得1=a .……4分（2）21)]12([212)(---=-+-='x a x a x a ax x f212,0<->aa 时当， ,212,0)(,12,0)(<<-<'-<>'x ax f a x x f 解得令解得令 ………………6分所以，)()12,(x f a 是--∞的增区间；)2,12(a -是)(x f 的减区间。

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