正方体的大小关系
长方体和正方体知识点归纳和习题
长方体和正方体知识点归纳和习题｛知识点归纳｝1、认识长方体的长、宽、高；认识正方体的棱长2、长方体、正方体各自的特点。
3、能计算长方体、正方体的棱长总和。
长方体的棱长总和二（长+宽+高）X4或长X4+宽X4+高X4正方体的棱长总和二棱长X124、认识并了解长方体和正方体的平面展开图；熟悉几种正方体平面展开图的几种形式，并能判断。
5、长方体的表面积（1）、长方体表面积是指六个面的面积之和。
（2）、长方体和正方体表面积的计算方法。
长方体表面积=（长X宽+长X高+宽X高）X2正方体表面积=棱长X棱长X66、能结合生活中的实际情况，计算图形的表面积。
如：粉刷墙壁。
7、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。
8、体积与容积的概念。
体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。
容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。
9、常用的体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米。
常用容积单位：升、毫如：冰箱的容积用“升”作单位；我们饮用的自来水用“立方米”作单位。
10、长方体的体积二长X宽X高正方体的体积二棱长X棱长X棱长长方体（正方体）的体积二底面积X高11、能利用长方体（正方体）的体积及其他两个条件求出问题。
如：长方体的高二体积三（长X宽）12、相邻两个体积单位、容积单位之间的进率是1000。
如：1dm3=1000cm31L=1000mL1m3=1000dm3高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率。
13、不规则物体体积测量方法：将物体体积转化成可测量的水的体积。
如：容器中上升水的体积=不规则物体体积专题练习一、填空：1、长方体和正方体都有（）个面，（）条棱，（）个顶点。
2、长方体的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，它的棱长和是（）厘米；六个面中最大的一个面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。
3、2850平方厘米二（）平方分米（）平方厘米12.8米二（）分米二（）厘米4、一个棱长是1分米的正方体，锯成2个小长方体，其中一个长方体的表面积是（）平方分米。
长方体和正方体的表面积(定稿)
跟踪小练笔
练一练：求下列图形的表面积。（单位：厘米）
4
24 5
4 4
1、(1)计算上面的面积是（ B ）。
(2)计算右面的面积是（ C ）。
(3)计算后面的面积是（ A ）。
1.5
3
1.2
A. 3×1.5 B. 3×1.2 C. 1.2×1.5
（单位：厘米）
2、一个正方体的棱长为3厘米，他的表面积是
（ C ）平方厘米。
A.3×3×4 B.3×3×3 C.3×3× 6
分析在计算下列物体面积时，应 考虑几个面的面积。
1、给长方体饼干罐的四周贴一圈商标纸。 四个面
2、给礼堂内长方体柱子刷油漆。 四个面 3、要将一个长方体的游泳池内部贴上瓷砖。 五个面 4、用木料做一个抽屉。 五个面 5、粉刷教室的墙壁（黑板门窗除外）。 五个面
说一说该求哪部分的面积
制一个长方体无 盖鱼缸，求所需 玻璃的面积。
粉刷教室时，粉刷 教室四面墙壁，求 粉刷的面积。。
说一说该求哪部分的面积
给一个长方体罐头 盒贴包装纸，求包 装纸的面积。
给一个长方体的领 操台刷上油漆，求 粉刷的面积。。
三、知识应用
亮亮家要给一个长0.75m，宽0.5m，高1.6m的简易衣柜换 布罩(如下图，没有底面)。至少需要用布多少平方米?
我们借助长方体表面展开图来研究。 将一个长方体的表面展开：
二、合作探索
上
二、合作探索
上 后
下 前
二、合作探索
上 后
下 前
二、合作探索
体积与表面积的关系
体积与表面积的关系体积与表面积是几何学中的两个重要概念，它们在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
本文将探讨体积与表面积之间的关系，并分析其中的数学原理和物理应用。
一、体积的定义与计算公式体积是三维物体所占据的空间大小。
对于规则几何体，我们可以使用特定的公式来计算其体积：1. 正方体和长方体的体积公式：正方体的体积公式为V = a³，其中a表示正方体的边长。
长方体的体积公式为V = l × w × h，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。
2. 圆柱体和圆锥体的体积公式：圆柱体的体积公式为V = πr²h，其中r表示底面半径，h表示高度。
圆锥体的体积公式为V = (1/3)πr²h，其中r表示底面半径，h表示高度。
3. 球体的体积公式：球体的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r表示球体的半径。
二、表面积的定义与计算公式表面积是三维物体外部所占据的面积大小。
同样地，对于规则几何体，我们可以使用特定的公式来计算其表面积：1. 正方体和长方体的表面积公式：正方体的表面积公式为A = 6a²，其中a表示正方体的边长。
长方体的表面积公式为A = 2lw + 2lh + 2wh，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。
2. 圆柱体和圆锥体的表面积公式：圆柱体的表面积公式为A = 2πr² + 2πrh，其中r表示底面半径，h表示高度。
圆锥体的表面积公式为A = πr² + πrl，其中r表示底面半径，l表示斜高线（母线）的长度。
3. 球体的表面积公式：球体的表面积公式为A = 4πr²，其中r表示球体的半径。
三、体积与表面积的关系体积和表面积之间存在一定的关系，特别是对于某些几何体而言。
以立方体为例，我们可以观察到体积和表面积之间的关系：对于边长为a的正方体来说，它的体积和表面积分别为V = a³、A = 6a²。
立方米和立方厘米的换算
立方米和立方厘米的换算立方米和立方厘米是一种常用的容量单位，用于测量物体的体积大小。
在进行立方米和立方厘米之间的换算时，需要注意两者之间的数量级关系。
立方米是国际单位制中用于表示容积的单位，其符号为m³。
它是指边长为1米的正方体的体积大小。
换句话说，如果一个物体的长、宽、高分别为1米，那么它的体积就是1立方米。
立方厘米是一个更小的容量单位，其符号为cm³。
它是指边长为1厘米的正方体的体积大小。
由于1立方米等于10⁶立方厘米，所以1立方厘米相当于立方米的百万分之一。
要进行立方米和立方厘米之间的换算，可以利用上述数量级关系。
如果要将立方米转换为立方厘米，则可以将立方米乘以10⁶。
例如，2立方米乘以10⁶等于2000000立方厘米。
同样，如果要将立方厘米转换为立方米，则可以将立方厘米除以10⁶。
例如，500000立方厘米除以10⁶等于0.5立方米。
立方米和立方厘米的换算在实际生活中经常被使用。
例如，当我们购买建材时，商家通常会以立方米为单位给出价格，但我们又更常用立方厘米来衡量小物件的体积。
因此，了解这两个单位之间的换算关系对我们正确理解和比较容量大小非常重要。
除了立方米和立方厘米，还有其他容量单位，如升和毫升。
1升等于1立方分米，即1升等于1000立方厘米。
1毫升等于1立方厘米的千分之一，即1毫升等于0.001立方厘米。
所以，在升、立方米和立方厘米之间也存在着换算关系。
在生活中，我们经常需要在不同的容量单位之间进行转换，这就需要我们熟悉各单位之间的换算关系。
通过这些换算，我们可以更加方便地掌握不同物体的体积大小，从而更好地进行计算和比较。
总之，立方米和立方厘米是容量单位，用以测量物体的体积大小。
它们之间的换算关系是1立方米等于10⁶立方厘米，而1立方厘米等于立方米的百万分之一。
通过这些换算关系，我们可以在不同容量单位之间进行转换，更好地理解和比较物体的体积大小。
这些换算在生活中非常常见，对我们准确测量和计算容量非常重要。
正方体面的大小关系
正方体面的大小关系
正方体的六个面大小相等。
正方体是一种侧面和底面均为正方形的直平行六面体，即棱长都相等的六面体。
（1）正方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱。
（2）正方体有12条棱，每条棱长度相等。
（3）正方体有6个面，每个面面积相等，形状完全相同。
扩展资料
用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体，也称立方体、正方体。
正六面体是一种侧面和底面均为正方形的直平行六面体，即棱长都相等的六面体。
正六面体是特殊的长方体。
正六面体的动态定义是：由一个正方形向垂直于正方形所在面的方向平移该正方形的.边长而得到的立体图形。
正方体属于棱柱的一种，棱柱的体积公式同样适用，即体积=底面积×高。
由于正六面体6个面全部相等，且均为正方形，所以，正六面体的体积=棱长×棱长×棱长。
设一个正方体的棱长为a，则它的体积：ａ的三次方。
五下第7次课第4单元长方体体积复习
正方体棱长=棱长总和÷12 =108÷12 =9（厘米）
正方体体积=棱长×棱长×棱长 =9×9×9 =729（立方厘米）
答：这个正方体的体积是729立方厘米。
例题8
一根长2米的长方体木料，把它截成三段，表面 积增加了24平方分米，这根木料原来有多少立方 米？ 增加4个面，每个面是它的横截面，即底面
12
12
3
3
12÷4=3（厘米）
12
3×3×12=108（立方厘米） 答：这个长方体的体积是108立方厘米。
例、将一个长18厘米，宽10厘米，高8厘米的 长方体，切成2个长方体，2个长方体表面积 的总和是多少平方厘米？
8cm
18cm 18cm
105ccmm
切法一：
5cm
宽：10÷2=5（cm）
表面积：(18×5＋18×8＋5×8) ×2×2 =1096cm2
表面积是1168平方分米
说一说，把两个长5分米,宽4 分米,高3分米的长方体拼成 一个大长方体,有几种拼法? 表面积是多少?
3dm
3dm
5dm 4dm
5dm 4dm
5dm
重合的是：上下面
3dm 4dm
5 长：（ ）dm
4 宽：（ ）dm
高：（56d）mdm
表面积是：
3dm 4dm
（5×4＋5×6＋4×6）×2
3dm 4dm
长：（ 5 ）d3mdm
宽：（ 8 ）4ddmm 5d高m：（ 3 ）dm
表面积是：
（5×8＋5×3＋8×3）×2 =（40＋15＋24）×2 =79×2 =158（平方分米）
① 6dm
②
3dm
人教A高中数学必修二课时分层训练：第一章 空间几何体 2 含解析
第一章1．3空间几何体的表面积与体积1．3．2球的体积和表面积课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3 B.32π3C．8π D.82π3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π(R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：选A设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝13a2h＝a2＝6，得a＝ 6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(3)2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2 ＜ 3216V 2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( )A.π3B.π4C.π2 D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2. 6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π.答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以球的表面积S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2. 解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 23＝1∶4∶9，即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27，∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．(2019·吉林白城四中二模)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )A．24π B．36πC．48π D．60π解析：选C由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得该几何体的外接球的半径r＝23，其外接球的表面积S＝4π×()232＝48π，故选C.2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3解析：选C根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3＝500π3(cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π解析：选A由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π(3)2＝12π.答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________． 解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，三棱柱的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3.答案：48 37．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．答案：48．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CD AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )，∴r 3－r＝12，∴r ＝33 cm ，V球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm3)，即球的体积等于4327π cm3.。
体积和表面积的关系与运算
体积和表面积的关系与运算一、体积与表面积的定义1.体积：物体所占空间的大小。
2.表面积：物体表面的总面积。
二、体积与表面积的计算公式1.立方体的体积公式：V = a³（a为立方体的边长）2.立方体的表面积公式：S = 6a²三、体积与表面积的运算关系1.体积与边长的关系：体积随边长的增加而增加。
2.表面积与边长的关系：表面积随边长的增加而增加。
四、体积与表面积的单位1.体积的单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）等。
2.表面积的单位：平方米（m²）、平方分米（dm²）、平方厘米（cm²）等。
五、体积与表面积的换算1.1立方米（m³）= 1000立方分米（dm³）2.1立方米（m³）= 1000000立方厘米（cm³）3.1平方米（m²）= 100平方分米（dm²）4.1平方米（m²）= 10000平方厘米（cm²）六、常见几何体的体积与表面积公式1.圆柱体的体积公式：V = πr²h（r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高）2.圆柱体的表面积公式：S = 2πrh + 2πr²3.圆锥体的体积公式：V = (1/3)πr²h（r为圆锥的底面半径，h为圆锥的高）4.圆锥体的表面积公式：S = πr² + πrl（l为圆锥的母线长）5.球的体积公式：V = (4/3)πr³（r为球的半径）6.球的表面积公式：S = 4πr²七、体积与表面积的实际应用1.计算物体的体积和表面积，以便了解物体的大小和形状。
2.在制作和包装物体时，计算体积和表面积，以节省材料和空间。
3.在建筑设计中，计算建筑物的体积和表面积，以确定建筑材料的需求量和建筑物的外观。
八、体积与表面积的拓展1.立体图形的体积和表面积的计算。
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正方体的大小关系
1. 立方体和正方体的区别
立方体和正方体都是有六个面的，但是它们的特点又是不一样的。
正方体每个面都是正方形，每条边长度相等，体积呈立方体。
而立方
体则是每个面都是相等的正方形，也具有立方体体积。
因此，正方体
和立方体虽然有共同点，但是它们的形状和大小特性略有不同。
2. 正方体的大小
正方体的大小可以通过边长来表示。
正方体的体积可以通过边长
的立方来求得。
例如，一个边长为3厘米的正方体，其体积为3的立方，即27立方厘米。
正方体的表面积等于六个面积之和。
每个面积可
以用边长求得，因此，该正方体的表面积为6个3的平方，即54平方
厘米。
3. 正方体的应用
正方体的形状和大小特性使得它可以应用在很多领域。
例如，它
可以用作建筑中的基础，也可以制成盒子和容器用于储存。
在数学和
几何学中，正方体是一个重要的概念。
它可以用于许多几何问题和计
算中，例如求解体积和表面积等。
4. 正方体的变形
正方体可以通过拉伸或切割变形成不同的形状。
例如，通过将正
方体拉伸成长条形，可以得到长方体。
通过沿对角线或者中心线将正
方体切开，可以得到两个或四个不同的三角形体或棱锥体。
这些变形使得正方体的应用更加广泛。
综上所述，正方体是一种典型的几何体，它通过六个相等的正方形组成。
正方体的大小可以通过边长求得，应用广泛。
正方体还可以被变形成许多不同的几何体，使得它的应用更加多样化。