力学平衡稳定性(动画)稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡
12.2 静力学系统平衡位置的确定及稳定性判断
12.2 稳定平衡与不稳定平衡实例（6-1）图1处于静止平衡状态（即静力学平衡状态）的物体或物体系统，如果不具备抗击外界轻微干扰的能力，这种平衡就称为不稳定平衡；如果具备抗击外界轻微干扰能力，则称为稳定平衡；如果系统对外界轻微干扰的反应是随遇而安、稍微换个位置还能平衡，就称为随遇平衡例题对于第12.1节例题12.1-2,(1)假设系统不是在θ=30°位置,而是在任意角θo位置,即θ=θo位置保持静止平衡状态,求力偶M的值;(2)该例题计算结果表明,M=3.75mgL时系统能够在θ=30°位置保持静力学平衡状态,请问这属于哪种类型的平衡?图2(1)W (θ)=M (θ-θo )-7.5mgL (cos θo -cos θ)从功函数表达式可知,系统运动初始位置不同时功函数也不同,但只是相差一个常数.为什么？W ′(θ)=M -7.5mgL sin θ,令W ′(θo )=0得:M =7.5mgL sin θo ,系统在θ=θo 位置静止平衡时M =7.5mgL sin θo .W(θ)=3.75mgL [(θ-π/6)-2(cos30°-cos θ)] 1W(θ)=M(θ-π/6)-7.5mgL(cos30°-cos θ)3M =3.75mgL 24θo =30°图2假设3.75mgL =10W(θ)= 3.75mgL [(θ-π/6)-2(cos30°-cos θ)]4结论：本系统在30°位置的平衡是稳定平衡，在150°位置的平图3图4图2图5有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）12.2 不稳定平衡实例（6-2）图1处于静止平衡状态（即静力学平衡状态）的物体或物体系统，如果不具备抗击外界轻微干扰的能力，这种平衡就称为不稳定平衡；如果具备抗击外界轻微干扰能力，则称为稳定平衡；如果系统对外界轻微干扰的反应是随遇而安、稍微换个位置还能平衡，就称为随遇平衡例12.1-4、求图示无重组合梁支座A的约束力.图2图4解把A 铰用外力等效替代,设系统从静止开始加速运动(C 铰向下),系统运动至任意位置时动能及力系作功:图3图2θF αM αF F αw A sin sin )()(21438++-=⇒θr F αM αr F αr F αw DK BJ BA A sin sin sin )(21++-=56CD BC :sin :sin =αθαθsin sin 117=⇒αθθααd d F M F F w A ⋅++-=⇒cos 4cos )38()(' 21ααθθcos 11cos 7=⋅⇒d d 00令=)('w 2114118183F M F F A --=得：θF αM αF F αw A sin sin )()(21438++-=⇒6789W(α)=M (α-sinα)11图2图3图4假设M =100W(α)=M (α-sinα)11图2图3图4结论：图2所示系统为不稳定平衡图51112.2 静力学系统平衡位置的确定及稳定性判断（6-3）图1处于静止平衡状态（即静力学平衡状态）的物体或物体系统，如果不具备抗击外界轻微干扰的能力，这种平衡就称为不稳定平衡；如果具备抗击外界轻微干扰能力，则称为稳定平衡；如果系统对外界轻微干扰的反应是随遇而安、稍微换个位置还能平衡，就称为随遇平衡定理12.2-1单自由度物体系统运动过程中力系对系统做的功是系统参数的一元函数,该函数(即功函数)的驻点位置与系统运动起始位置无关;功函数的所有驻点位置都是系统能够保持静止平衡状态的位置,系统在这些位置静止时所受力系都是平衡力系,而在除此以外的其他任何位置,系统静止时所受力系都不是平衡力系.系统在功函数极大值位置的平衡是稳定平衡,在功函数常量位置的平衡是随遇平衡.在其他驻点位置的平衡是不稳定平衡.如何确定功函数的极大值、极小值位置？设q o 位置是功函数w(q)的驻点位置,即w ′(q o )=0,那么系统在q o 位置可处于静止平衡状态,则有:1)当w ″(q o )<0时q o 位置是功函数的极大值位置,系统在该处的平衡是稳定平衡;2)当w ″(q o )>0时q o 位置是功函数的极小值位置,系统在该处的平衡是不稳定平衡;3)当w ″(q o )=0时q o 位置是功函数的驻点但不一定是极值位置,要考察更高阶导数才能确定.25x y =25x y -=35x y =45x y =例12.2-1 图示细杆OA、AB长度都为L,OA杆上作用有力偶M, A铰销钉上作用有竖直力F1, 滑块B上有水平力F2 ,不计构件自重.图示θ=30°时系统处于静止平衡状态,求力偶M大小,并判断平衡的稳定性.图2)cos 22(sin )(21θθθθL L F L F M w -⋅-⋅-=θθθsin 2cos )(' 21L F L F M w ⋅--=θθθcos 2sin )('' 21L F L F w ⋅-=0) 30(' =︒w L F F M )2/3(21+=⇒解令系统从θ=0位置开始运动,OA 杆逆时针转动,功函数：0)30(''>︒w 2132F F >⇒不稳定平衡；0)30(''<︒w 2132F F <⇒稳定平衡；0)30('' =︒w 2132F F =⇒0 sin 2 cos ''' 3021≠⋅+=︒=θθθL F L F w 无极值,不稳定平衡.123456789图2例12.1-1 匀质圆轮半径为r,质量为m1，受到力偶M作用。
平衡名词解释
平衡名词解释
定义：
在力学系统里，平衡是指惯性参照系内，物体受到几个力的作用，仍保持静止状态，或匀速直线运动状态，或绕轴匀速转动的状态，叫做物体处于平衡状态，简称物体的“平衡”。
分类：
因稳度的不同，物体的平衡分为：稳定平衡、随遇平衡、不稳定平衡三种情况。
其他意义：
1.对立的两个方面、相关的几个方面在数量或质量上均等或大致均等：收支平衡、产、供、销总体平衡、生态平衡。
2.几股互相抵消的力作用于一个物体上，使物体保持相对的静止状态：保持身体平衡飞机失去了平衡。
3.平稳安适：心理平衡。
平稳安适：心理平衡。
物体平衡的种类及其判断方法
（１）受力 （力矩 ）分析法 ：当质点偏 离平衡位 置时 ，如 果 所受外 力指 向平衡 位置 ，则是稳定 平衡 ；如果外 力背 离平衡位 置 ，则 是不稳定平 衡 ；如果外 力为零 ，则是 随遇 平衡 。有 转轴的物 体 ，当它偏 离平 衡位 置 时，如果 所受 外 力矩 有把 物 体拉 回平衡 位置 的倾 向，物 体是 稳定 平 衡 ；如果外 力矩 有把 物体推 离原平衡 位 置的倾 向 ，则属 于不稳定平衡 ；如果外力矩 为零 ，则属 于随遇平衡 。
度不变 ，则为随遇平衡 ，如静止 于水平 面的均匀小 球 ，偏
离原来 位 置后 ，重 心 的高 度和重 力势 不变 ，小球仍 保
持平衡 。
（３）支面判断法 ：当具有支 面的物体平 衡 时，物 体所
受重力 的作用线在支面 内。若 物体偏 离平衡位 置后 ，重
力作 用线 在支 面内 ，物体 能 回到平衡 位置 ，则属 于稳定
中学 教 学 参考
解 题方 法 ｓ技巧
物 体 平 衡 的 种 类 及 其 判 断 方 法
江苏 盐城 市 东 台 中学 （２２４２００） 蒋 汉松
物理竞 赛 中把物体 的平衡 分为 ：稳 定平衡 、不稳 定 平衡和 随遇 平衡 。它 是处 于重 力场 以及其 他有 势场 的 物体在场作 用下 的三 种平 衡情 况。处于 势场 的物体 和 场一起具有势 能 ，而物体都有 向势能较 小位置运 动的趋 势 。
例如 ，在 凹面底部 的小球 ，由于某 种 因素 ，小球稍稍 偏 离平衡 位置 ，重 心升 高 ，重力 势 能增 大 ，重力 和支持力 不 再保持 平衡 ，合 力指 向原来 的平衡 位置 ，小球会 恢复 平衡 ，这种平衡是稳定平衡 。
《物体平衡的稳定性》 知识清单
《物体平衡的稳定性》知识清单一、物体平衡的基本概念物体的平衡状态是指物体处于静止或匀速直线运动的状态。
在这种状态下，物体所受的合力为零。
平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种类型。
稳定平衡是指当物体受到微小扰动偏离平衡位置后，能自动恢复到原来的平衡位置。
例如，一个放在碗底的小球，稍微推动它一下，它会在重力和碗的支持力作用下回到碗底的平衡位置。
不稳定平衡则是当物体受到微小扰动偏离平衡位置后，会继续偏离平衡位置而无法恢复到原来的平衡位置。
比如，一个放在倒置碗顶的小球，稍微推动它，它就会滚落下来。
随遇平衡是指物体在任意位置都能保持平衡状态，且受到微小扰动后，能在新的位置保持平衡。
例如，一个在光滑平面上滚动的小球，它在平面上的任何位置都处于平衡状态。
二、影响物体平衡稳定性的因素1、重心位置物体的重心位置越低，其平衡稳定性越高。
例如，一个底部较重的花瓶比一个上重下轻的花瓶更不容易倾倒。
这是因为重心越低，物体在受到扰动时，重力产生的力矩越小，从而更容易恢复平衡。
2、支撑面大小支撑面越大，物体的平衡稳定性越好。
比如，一个四脚站立的桌子比一个单脚站立的桌子更稳定，因为前者的支撑面更大。
3、物体的形状和结构物体的形状和结构也会影响其平衡稳定性。
具有对称结构的物体通常比不对称的物体更稳定。
此外，物体的连接方式和部件的强度也会对平衡稳定性产生影响。
三、物体平衡稳定性的判断方法1、势能法通过分析物体在不同位置的势能来判断平衡的稳定性。
对于稳定平衡，物体在平衡位置的势能最小；对于不稳定平衡，物体在平衡位置的势能最大；而随遇平衡时，物体在不同位置的势能相同。
2、力矩法当物体受到扰动偏离平衡位置时，分析重力、支持力等力产生的力矩。
如果合力矩使物体回到平衡位置，则为稳定平衡；如果合力矩使物体继续偏离平衡位置，则为不稳定平衡。
四、常见物体平衡稳定性的例子1、站立的人体人站立时，通过调整身体的姿势和重心位置来保持平衡。
当身体前倾或后仰时，腿部和脚部的肌肉会自动调整，产生相应的力矩以保持平衡。
动态平衡课件
动态平衡课件一、引言动态平衡是指物体在受到外力作用后，其内部各部分相互抵消，使物体保持稳定状态的现象。
动态平衡的研究涉及物理学、力学、数学等多个学科领域，具有广泛的应用价值。
本课件旨在介绍动态平衡的基本概念、原理和应用，帮助大家更好地理解和掌握这一重要物理现象。
二、动态平衡的基本概念1.动态平衡的定义动态平衡是指物体在受到外力作用后，内部各部分相互抵消，使物体保持稳定状态的现象。
在动态平衡状态下，物体的加速度为零，即物体不会发生运动。
2.动态平衡的条件（1）合外力为零：物体所受的合外力为零，即物体处于力的平衡状态。
（2）合外力矩为零：物体所受的合外力矩为零，即物体处于力矩的平衡状态。
3.动态平衡的稳定性动态平衡的稳定性分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种：（1）稳定平衡：当物体受到微小扰动后，能够自动恢复到原来的平衡状态。
（2）不稳定平衡：当物体受到微小扰动后，无法恢复到原来的平衡状态，且偏离平衡状态的程度逐渐增大。
（3）随遇平衡：当物体受到微小扰动后，偏离平衡状态的程度保持不变。
三、动态平衡的原理1.牛顿第一定律牛顿第一定律，又称惯性定律，指出：物体在不受外力作用时，将保持静止状态或匀速直线运动状态。
在动态平衡状态下，物体所受的合外力为零，因此物体将保持静止状态或匀速直线运动状态。
2.牛顿第二定律牛顿第二定律，又称加速度定律，指出：物体所受的合外力等于物体的质量与加速度的乘积。
在动态平衡状态下，物体的加速度为零，因此物体所受的合外力也为零。
3.牛顿第三定律牛顿第三定律，又称作用与反作用定律，指出：两个物体之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在同一直线上。
在动态平衡状态下，物体所受的合外力为零，说明物体内部各部分之间的作用力和反作用力相互抵消。
四、动态平衡的应用1.静力学问题动态平衡在静力学问题中具有广泛应用，如桥梁、建筑物、机器设备等的设计和计算。
通过分析物体在动态平衡状态下的受力情况，可以确保物体在受到外力作用时保持稳定。
(完整版)物理竞赛讲义(四)一般物体的平衡、稳度
郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义第四讲：一般物体的平衡、稳度【知识要点】（一）一般物体平衡条件受任意的平面力系作用下的一般物体平衡的条件是作用于物体的平面力系矢量和为零，对与力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零，即：ΣF=0ΣM=0若将力向x、y轴投影，得平衡方程的标量形式：ΣF x=0 ΣF y=0 ΣM z=0（对任意z轴）（二）物体平衡种类（1）稳定平衡：当物体受微小扰动稍微偏离平衡位置时，有个力或力矩使它回到平衡位置这样的平衡叫稳定平衡。
特点：处于稳定平衡的物体偏离平衡位置的重心升高。
（2）不稳定平衡：当物体受微小扰动稍微偏离平衡时，在力或力矩作用下物体偏离平衡位置增大，这样的平衡叫不稳定平衡。
特点：处于不稳定平衡的物体偏离平衡位置时重心降低。
（3）随遇平衡：当物体受微小扰动稍微偏平衡位置时，物体所受合外力为零，能在新的平衡位置继续平衡，这样的平衡叫随遇平衡。
特点：处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时重心高度不变。
（三）稳度：物体稳定程度叫稳度。
一般来说，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度越高；重心越低，底面积越大，物体稳度越高。
一般物体平衡问题是竞赛中重点和难点，利用ΣF=0和ΣM=0二个条件，列出三个独立方程，同时通过巧选转轴来减少未知量简化方程是处理这类问题的一般方法。
对于物体平衡种类问题只要求学生能用重心升降法或力矩比较法并结合数学中微小量的处理分析出稳定的种类即可。
这部分问题和处理复杂问题的能力，如竞赛中经常出现的讨论性题目便是具体体现，学生应重点掌握。
【典型例题】【例题1】如图所示，匀质管子AB长为L，重为G，其A端放在水平面上，而点C则靠在高h=L/2的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角=45°，处于平衡时，它与水平面之间的动摩擦因数的最小值。
【例题2】如图代表某一竖直平面，在其面内有两根均匀细杆AB 和BC ，质量相同，长度分别为，它们共同接触水平地面，端点记为B ，各自的另一端A 和C 分别靠在相对21l l 、的两堵竖直墙上。
大学物理中的力学平衡物体的平衡与稳定性
大学物理中的力学平衡物体的平衡与稳定性大学物理中的力学平衡：物体的平衡与稳定性在大学物理学习中，力学平衡是一个基本概念，也是我们研究物体静止与稳定性的重要工具。
了解物体的平衡与稳定性对于我们理解力学规律、应用于实际问题具有重要意义。
本文将详细介绍大学物理中的力学平衡、物体的平衡以及稳定性，并从实例角度加深理解。
物体的平衡分析物体的平衡可以分为两种情况：平衡在一维的情况称为一维平衡，平衡在三维的情况称为三维平衡。
一维平衡在一维平衡中，物体的平衡状态仅需考虑物体在水平方向上的力平衡。
假设物体在水平面上，当物体受到力的合力为零时，物体处于一维平衡状态。
这个概念比较容易理解，就像在一个水平的桌面上放置一个书本，只有当受到的外力合力为零时，书本才能保持静止不动。
三维平衡在三维平衡中，物体同时受到多个方向的力作用，物体的平衡状态需要考虑力的合力以及力矩平衡。
力矩的概念涉及到物体的旋转，当物体受到的合力矩为零时，物体处于平衡状态。
例如，如果我们将一个木块放在桌子的边缘，只有当木块受到的合力矩为零时，它才能保持在桌子上不掉下来。
稳定性分析物体的稳定性是指物体在平衡状态下，受到干扰时能否返回原始的平衡位置。
根据稳定性的不同，物体可以分为稳定平衡、不稳定平衡和部分稳定平衡。
稳定平衡当物体在平衡位置附近发生微小偏移时，回归平衡位置的趋势增强，我们称这种平衡状态为稳定平衡。
例如，将一个圆球放在一个U型凹槽中，无论它发生微小偏移，都会回归到凹槽的底部，保持原有平衡。
不稳定平衡当物体在平衡位置附近发生微小偏移时，回归平衡位置的趋势减弱，甚至偏移越大越不容易回归平衡位置，我们称这种平衡状态为不稳定平衡。
例如，将一个圆球放在一个尖顶上，即使微小的偏移也会导致圆球离开尖顶，不再保持平衡。
部分稳定平衡部分稳定平衡是介于稳定平衡和不稳定平衡之间的状态。
当物体在平衡位置附近发生微小偏移时，回归平衡位置的趋势存在，但其强度较弱。
例如，将一个圆锥形物体放置在一个斜面上，当它发生轻微偏移时，可能会回到原位，但在较大偏移时可能会滚落。
力学系统中的平衡与不平衡状态研究
力学系统中的平衡与不平衡状态研究力学系统是物体或物体集合的组合，它们之间通过力的作用相互联系。
在力学系统中，平衡和不平衡是两种重要的状态。
平衡状态指的是系统内部各个部分的力相互抵消，没有产生任何运动或变形的趋势。
而不平衡状态则是指系统内部存在未抵消的力，从而导致系统发生运动或变形。
平衡状态是力学系统的稳定状态之一。
在平衡状态下，系统内部的各个部分的力之和为零，物体不会发生运动或变形。
这种平衡可以是静态平衡或动态平衡。
静态平衡是指物体处于静止状态，不受外力的作用。
动态平衡则是指物体处于匀速直线运动状态，受到的合外力为零。
平衡状态是力学系统的一种稳定状态，它使得物体能够保持相对稳定的位置或状态。
不平衡状态是力学系统的另一种重要状态。
在不平衡状态下，系统内部存在未抵消的力，物体会发生运动或变形。
不平衡状态可以分为静态不平衡和动态不平衡。
静态不平衡是指物体处于静止状态，但受到的合外力不为零，从而导致物体发生形变。
动态不平衡则是指物体处于加速运动状态，受到的合外力不为零，导致物体发生运动。
研究力学系统中的平衡与不平衡状态对于理解物体的运动和变形规律具有重要意义。
通过研究平衡状态，可以探究物体如何保持相对稳定的位置或状态。
这对于设计和构建稳定的结构、机器和设备至关重要。
例如，在建筑工程中，研究平衡状态可以帮助我们设计出稳定的建筑结构，防止倒塌和损坏的发生。
在机械工程中，研究平衡状态可以帮助我们设计出平衡的机械装置，提高机器的性能和效率。
而研究不平衡状态则可以揭示物体的运动和变形规律。
通过研究不平衡状态，可以了解物体在受到外力作用下的运动轨迹和变形方式。
这对于预测和控制物体的运动和变形具有重要意义。
例如，在交通工程中，研究不平衡状态可以帮助我们预测车辆在不同路况下的运动轨迹，从而提高交通流量的效率和安全性。
在航天工程中，研究不平衡状态可以帮助我们预测航天器在不同引力场中的运动轨迹，从而实现精确的航天任务。
除了对实际应用具有重要意义外，研究力学系统中的平衡与不平衡状态还可以深化对物理规律的理解。
物体的平衡和不平衡
物体的平衡和不平衡物体的平衡是指物体在力的作用下不发生移动或转动的状态，而物体的不平衡则是指物体在力的作用下发生移动或转动的状态。
在日常生活中，我们经常会遇到物体的平衡和不平衡，这与力的平衡和不平衡密切相关。
一、物体的平衡1. 稳定平衡稳定平衡是指物体受到外力作用后，能够恢复到原来的平衡位置。
在稳定平衡状态下，物体的重心位于支持点的上方，任何微小的扰动都会被自动矫正。
这种平衡状态常见于直立的物体，如人体站立、摆放的书架等。
2. 不稳定平衡不稳定平衡是指物体受到外力作用后，无法恢复到原来的平衡位置，而是发生偏离或倾倒的状态。
在不稳定平衡状态下，物体的重心位于支持点的下方，微小的扰动会进一步偏离平衡位置，导致物体倾倒。
如倒立的铅笔、站立不稳的圆珠笔等就是不稳定平衡的例子。
3. 中立平衡中立平衡是指物体受到外力作用后，既不恢复到原来的平衡位置，也不发生进一步的偏离或倾倒，而是保持在新的平衡状态。
在中立平衡状态下，物体的重心处于支持点的同一水平线上，微小的扰动不会引起物体的移动或转动。
例如球体在平坦地面上的滚动就是中立平衡的例子。
二、物体的不平衡物体的不平衡是指物体受到外力作用后，发生移动或转动的状态。
当物体所受的合力不等于零时，物体就会发生不平衡。
不平衡力的作用下，物体会按照所受力的方向和大小发生移动或转动。
1. 平移运动平移运动是指物体在不平衡力的作用下沿着直线方向移动。
物体在水平面上受到水平方向的力的作用，就会发生平移运动。
例如用力推动的小车沿着桌面前进，人推行李箱等都属于平移运动。
2. 旋转运动旋转运动是指物体在不平衡力的作用下围绕轴心转动。
物体在不平衡力的作用下，会发生绕轴心旋转的运动。
例如旋转的陀螺、转动的风扇等都属于旋转运动。
三、力的平衡和不平衡物体的平衡和不平衡与力的平衡和不平衡密切相关。
力的平衡是指物体受到的合力等于零的状态，物体处于平衡状态。
而力的不平衡是指物体受到的合力不等于零的状态，物体处于不平衡状态。
压杆稳定的概念及三种平衡状态-PPT
cr s
a s
b
令
2
a s
b
2 (小柔度杆)
cr s
令 1
2E p
目录
表 1 直线公式的系数 a 和 b
材料 低碳钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
a(MPa) 304 461 578
980.7 332.2
373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
(a)
(b)
平衡的三种状态
稳定平衡状态
随遇平衡状态
不稳定平衡状态
平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：
稳定平衡 —— 凹面上，刚球回到原位置； 随遇平衡 —— 平面上，刚球在新位置上平衡； 不稳定平衡 —— 凸面上，刚球不回到原位置，
压杆的稳定校核 已知拖架D处承受载荷 例题F=10kN。AB杆外径D=50mm， 内径d=40mm，材料为Q235钢， E[=n2st0]0=G3P。a，校核A=B1杆01 0的，稳定性。
解： CD梁
MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆
l 1
dx
x l, v
B
Ak 0
Asin kl B coskl
cos kl 0
kl (2n 1) (n 1,2)
2 k2 F
EI
F
(2n
1)2
(2l)2
2 EI
取 n=1, 得：
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最大功原理： 在可逆等温过程中系统所做功 最大，由此得最大功原理。
在等温不做功的情况下： dF 0 由此可得： 等温不做功的系统中进行的过程， 系统的自由能绝不会增加， 而平衡 对应于自由能F 取最小值的宏观态
若将系统对外做功分为膨胀功与非膨胀功，有： dW系 PdV dW系 有之前 1 式： dU TdS dW系 作勒让德变换： dG SdT VdP dW系
热力学势
U
基本关系式
条件
等熵
相应关系式
dU TdS dW系
F
dU dW系
等熵不做功
等温 等温不做功
dU 0
dF SdT dW系
dF dW系
dF 0
dG dW系
G
等温等压
dG SdT VdP dW系
H
等温等压无非 膨胀功 等熵等压
dG 0
结论：CV 0保证了系统的热平衡稳定性
U U D ， D S ,V 2 2 S V V S U U 2 S V V S
2U 2 S V
D T， P D S ,V 0
3
U 由 2 式,同时T = : S V 2U T 2 S V S V T T U 0 U V S V CV
因为 则 所以：
T 0，CV 0 (P V )T 0
T 1 V (P V )T 0
最终得： CV 0 热平衡稳定性条件 T 0 力学平衡稳定性条件
dH dW系
dH TdS VdP dW系
等熵等压无非 膨胀功
dH 0
平衡的虑孤立系统 可知该过程总是向熵增加的方向进行，有： dS 0 因而达到平衡态后，熵有最大值，且不变化。
设想此时有一个偏离平衡态的虚变动，则有： 2 1 平衡态的条件是： S 0 (平衡判据） S 1 S
2U S V
D T， P D S ,V 0
3
由 3 式:
D T， P D S ,V D T， P D T ,V D T， P D T ,V T (P V )T CV
P V T S T V
（T 0)
CV dQ系 dT 0
V
具体分析
热平衡时: T系 = T
a
由系统内部的涨落，使得: T系 > T
a
此时,热量从系统传向外界，则: dQ系 0
代入热平衡稳定性条件： CV dQ系 dT 0 dT 0
V
系统会因为放热而降温回到热平衡
反之: CV 0 dT 0， 系统会因为放热而升温偏离热平衡
2
写成二次型的形式 U S V S 2 U S V 2 2 U U V 2 S V V S
2 2
U 2 S V
根据线性代数，正定二次型系数有下列条件： 2U 2 0 S V
将稳定性判据 U 0应用于热力学系统：
2U 2U 2U 2 2 2 U 2 S 2 S V 2 V 0 S V S V V S
焓H
同理分析： dH 0
即： 在满足以上条件的系统发生的过程中， 焓决不会增加， 平衡态对应于焓具有 最小值的宏观态
(等熵等压无非膨胀功）
总结：
在三种不同的条件下，系统分别向F、G、H 减小 的方向变化，平衡态分别对应于F、G、H的最小值
注意： 在绝热过程中没有最大功原理，因为绝热过程中有 dU = dW系
同理分析： dG dW系 （可逆等温等压过程） dG dW系 （不可逆等温等压过程） 最大功原理： 系统在可逆的等温等压过程中所做 非膨胀功最大
在等温等压无非膨胀功条件下： dG 0 所以： 在等温等压无非膨胀功的系统发生 过程中，自由焓G绝不会增加，平衡态 对应于自由焓具有最小值的宏观态 （等温等压无非膨胀功）
平衡稳定
（熵除外）
U
性判据
U 0
2 F 0
2
2
F
G H
F 0
1
G0
1 H 0
1
G0
2 H 0
2 S 0
S
S 0
1
平衡判据： S 0
1
应用于孤立系统各部分中，可得：
T T P P (热平衡条件） (力学平衡条件） (相平衡条件）
2U 2 S V 2U S V
2
U U D ， D S ,V 0 2 2 S V V S U U S V V 2 S
2 S
0
2 S 0（稳定性判据）
由热力学第一、二定律： dU TdS dW系
1
0
等熵、无外功的系统过程： U U
U 0
2 1
1
U
2
2
（平衡判据）
U 0 （平衡稳定性判据）
热力学势
平衡判据
1U 0
最大功原理
热力学第一定律： dU dQ dW系 有关系式： TdS dQ 得： dU TdS dW系 利用勒让德变换，得： dF SdT dW系
1
若为可逆等温过程 dT 0，由1 得: dF dW系 dF dW系 （可逆等温过程） （不可逆等温过程） 若经历的是不可逆等温过程，则由1 得：