基于MATLAB的倒立摆系统定性分析(1)
基于MATLAB的直线一级倒立摆的PID控制研究
基于MATLAB的直线一级倒立摆的PID控制研究一、内容概述本文旨在研究基于MATLAB的直线一级倒立摆的PID控制策略。
倒立摆系统作为控制理论中的重要实验对象，具有非线性、不稳定性以及快速运动等特点，对于控制系统的设计与实现提出了较高要求。
PID控制作为一种经典的控制方法，在倒立摆系统中具有广泛的应用价值。
本文利用MATLAB软件平台，对直线一级倒立摆的PID控制进行深入研究和探讨。
文章对直线一级倒立摆系统的基本原理进行介绍，包括其物理模型、运动方程以及稳定性分析等方面。
在此基础上，详细阐述了PID 控制器的基本原理、参数整定方法及其在倒立摆系统中的应用。
通过对比不同PID参数下的控制效果，分析了PID控制器在倒立摆系统中的性能特点。
文章重点介绍了基于MATLAB的直线一级倒立摆PID控制系统的设计与实现过程。
利用MATLAB的Simulink仿真工具，搭建了直线一级倒立摆的仿真模型，并设计了PID控制器进行仿真实验。
通过不断调整PID控制器的参数，观察系统的动态响应和稳态性能，得到了较优的控制参数。
文章还讨论了在实际应用中可能遇到的挑战与问题，并提出了相应的解决方案。
针对倒立摆系统的非线性特性，可以采用模糊PID控制或神经网络PID控制等智能控制方法进行改进；针对干扰和噪声的影响，可以采用滤波技术或鲁棒控制策略来提高系统的抗干扰能力。
文章总结了基于MATLAB的直线一级倒立摆PID控制研究的主要成果和贡献，并展望了未来研究方向和应用前景。
通过本文的研究，不仅加深了对倒立摆系统和PID控制方法的理解，也为实际工程应用提供了有益的参考和借鉴。
1. 直线一级倒立摆系统的介绍直线一级倒立摆系统，作为一个复杂且典型的非线性不稳定系统，历来被视为控制理论教学及实验的理想平台。
它不仅能够有效地反映出控制中的多种问题，如非线性、鲁棒性、镇定等，还因其在多个领域中的实际应用价值而备受关注。
直线一级倒立摆系统主要由小车、摆杆等部件构成，它们之间通过自由连接形成一个整体。
基于MATLAB的单级倒立摆系统研究 (1)
机制引入模糊系统, 使模糊系统也具有自学、自适应能力, 而神经网络也
能够利用已有的经验知识。既发挥二者的优点, 又可弥补各自的不足。
3.单级倒立摆系统的数学模型及 MATLAB 仿真
状态空间法是一种应用广泛的系统模拟分析和设计方法，它可以
用于表示非线性系统、多变量系统。状态空间法中所用到的数学模型就
衡点附近线性化后的的状态空间模型中的状态方程和输出方程分为
为：
θ θθ θ 0 0
1
0
0
·x =
0 0
0 - 0.644
0 - 4.26
1 0
x+
0 84.27
u
0 - 17.29 7.058 - 0.145
- 139.5 （下转第 435 页）
基金项目：本文系海南省教育厅高等学校科学研究项目（Hj2009- 134）,琼州学院青年教师科研基金项目（QY200913）。 作者简介：孙志雄(1974- )，男 ，副教授，主要研究方向为电子与通信技术。林雄（1962- ），男，教授，主要研究方向为神经网络和模糊系统。
2.3 倒立摆系统的模糊控制 模糊控制是以模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理为基础 的计算机智能控制。模糊控制的核心部分是模糊控制器, 其实现主要包 括 3 个部分, 即: 模糊化、模糊推理、解模糊化。在倒立摆系统的控制中, 模糊控制的实现过程主要是：通过计算机采样获得输入变量值(摆角, 角速度,小车位置, 小车速度) , 然后与设定值 R 进行比较得到误差信号 e,将误差信号 e 作为模糊控制器的输入, 通过模糊推理得到模糊控制量 u, 最后通过解模糊化得到控制量的非模糊解 y。将模糊控制方法用于倒 立摆控制的原理如图 4 所示。
教学模式 以学科内容为依托的教学理念要求教学要适应不同学生群体的需 求。在教学中，可根据具体专业、学生英语语言水平和高校师资情况选 择适当的模式。如主题模式对学生的语言水平要求比较低，适用于各种 水平的学习者，形式比较灵活。在教学过程中，语言教师可以单独开展 教学活动，无需求助于其它学科的教师来教授课程内容。课程模式要求 学生语言水平在中等或中等以上，教学材料选自目标语的各类专业课 程。由专业教师而不是语言教师来授课，这就要求教师既要熟悉本专业 的知识，又要有丰富的语言知识，能用目标语进行理解性的课堂教学。 辅助模式是指同时开设语言课程和专业课教学的一种模式。专业课和 语言课教学都以共同的学科内容为基础，而教学的侧重点有所不同。专 业教师主要讲解专业知识，语言教师则以课程内容为背景进行语言教 学，提高学生的语言能力。这类课程主要是为那些参加正常的专业课程 学习但又因缺乏必要的语言能力跟不上专业课教学进度的学生而开设 的。专题模式的授课内容与某一行业或专业有密切关系。学生通过学习 与学科相关的教学材料来提高语言技能。专题模式根据不同对象，选派 不同教师，可以由专业教师主讲，也可以由语言教师主讲。在具体的语 言环境中，还可以与其他教学模式混合使用。在研究生英语教学环境中 实施以学科内容为依托的教学要因人、因时和因地选择适当的教学模 式。 教学安排 以学科内容为依托的研究生英语教学强调通过学习学科知识来学 习语言能力，使得教学重点不再只是关注语言技能，而逐渐变化到关注 内容。但是在实际的教学过程中，要注重语言技能与学科内容的平衡。 特别是对一些语言技能比较低的学生，应加强语言技能的训练，使他们 的语言技能与学科知识能平衡发展。
基于matlab的一级倒立摆系统仿真研究
第一章绪论1.1倒立摆系统的简介1．１．1倒立摆系统的研究背景及意义倒立摆系统的最初分析研究开始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的不稳定、多变量、带有非线性和强耦合特性的高阶机械系统，它的稳定控制是控制理论应用的一个典型范例[1]。
倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统的受到不确定因素的干扰。
通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题,还将控制理论涉及的相关主要学科：机械、力学、数学、电学和计算机等综合应用。
在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程中,存在一种可行性的实验问题,将其理论和方法得到有效的验证，倒立摆系统可以此提供一个从控制理论通过实践的桥梁。
近些年来,国内外不少专家、学者一直将它视为典型的研究对象，提出了很多控制方案，对倒立摆系统的稳定性和镇定问题进行了大量研究，都在试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制，以便检查或说明该方法的严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力,其控制方法在军工、航天、机械人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，如精密仪器的加工、机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、导弹拦截控制、航空对接控制、卫星飞行中的姿态控制等方面均涉及到倒置问题。
因此，从控制这个角度上讲,对倒立摆的研究在理论和方法论上均有着深远意义。
倒立摆系统是一个典型的自不稳定系统,其中摆作为一个典型的振动和运动问题，可以抽象为许多问题来研究。
随着非线性科学的发展,以前的采用线性化方法来描述非线性的性质，固然无可非议,但这种方法是很有局限性,非线性的一些本质特征往往不是用线性的方法所能体现的。
非线性是造成混乱、无序或混沌的核心因素,造成混乱、无序或混沌并不意味着需要复杂的原因，简单的非线性就会产生非常的混乱、无序或混沌。
在倒立摆系统中含有极其丰富和复杂的动力学行为，如分叉、分形和混沌动力学,这方面的问题也值得去探讨和研究。
无论哪种类型的倒立摆系统都具有如下特性[2］:（1）非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统。
基于MATLAB的倒立摆系
运行结果及响应曲线如下：
num = 2.3566 0 0 den = 1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0 kd = 1 k= 1 ki = 1 numc = 2.3566 0 0 0 denc = 1.0000 2.4449 -25.4720 0.0471 0 0 初始PID参数摆角状态图 参数摆角状态图 初始
其中，num1,deni,num2.den2分别代表被控对象1和
被控对象2传递函数的分子和分母。
4 3
ml2 q
G2 (s) =
可以推出小车位置的传递函数为
X (s) = U(s)
s2 −
mgl q
s +
3
4 3
bml2 q
s2 −
(M + m)mgl bmgl s− q q
其中
q = [( M + m )( I + ml
2．小车位置变化仿真 仿真结果如下：
M = 1.096; m = 0.109; b = 0.1; I = 0.0034; g = 9.8; l = 0.25; q =(M+m)*(I+m*l^2) -(m*l)^2; %simplifies input num1 = [m*l/q 0 0] den1 = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] num2 = [-(I+m*l^2)/q 0 m*g*l/q] den2 = den1 kd = 20 k = 100 ki = 1 numPID = [kd k ki]; denPID = [1 0]; numc = conv(num2,denPID) denc = polyadd(conv(denPID,den2),conv(numPID,num 1)) t=0:0.05:5; impulse(numc,denc,t)
基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计
基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计一级倒立摆是一个经典的控制系统问题，它由一根杆子和一个在杆子顶端平衡的质点组成。
杆子通过一个固定的轴连接到一个电机，电机可以通过施加力来控制杆子的平衡。
设计一个控制系统来实现对一级倒立摆的稳定控制是一个重要的研究课题。
在这篇文章中，我们将介绍基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计。
我们将首先介绍一级倒立摆的数学模型，并根据模型设计一个反馈控制器。
然后，我们将使用MATLAB来进行仿真，评估控制系统的性能。
一级倒立摆的数学模型可以通过牛顿第二定律得到。
假设杆子是一个质点，其运动方程可以表示为：ml²θ''(t) = mgl sin(θ(t)) - T(t)其中m是质点的质量，l是杆子的长度，g是重力加速度，θ(t)是杆子相对于竖直方向的偏角，T(t)是电机施加的瞬时力。
为了设计一个稳定的控制系统，我们可以使用PID控制器，其控制输入可以表示为：T(t) = Kp(θd(t) - θ(t)) + Ki∫(θd(t) - θ(t))dt +Kd(θd'(t) - θ'(t))其中Kp，Ki和Kd分别是比例，积分和微分增益，θd(t)是我们期望的杆子偏角，θ'(t)是杆子的角速度。
在MATLAB中，我们可以使用Simulink来建模和仿真一级倒立摆的控制系统。
我们可以进行以下步骤来进行仿真：1. 建立一级倒立摆的模型。
在Simulink中，我们可以使用Mass-Spring-Damper模块来建立质点的运动模型，并使用Rotational Motion 库提供的Block来建立杆子的旋转模型。
2. 设计反馈控制器。
我们可以使用PID Controller模块来设计PID 控制器，并调整增益参数以实现系统的稳定性和性能要求。
3. 对控制系统进行仿真。
通过在MATLAB中运行Simulink模型，我们可以观察控制系统的响应，并评估系统的稳定性和性能。
基于MATLAB的倒立摆系统控制系统设计与仿真【毕业作品】
1 绪论1.1倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。
倒立摆系统是一个非线性，强耦合，多变量和自然不稳定的系统。
它是由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成的。
在导轨一端装有用来测量小车位移的电位计，摆体与小车之间由轴承连接，并在连接处安置电位器用来测量摆的角度。
小车可沿一笔直的有界轨道向左或向右运动，同时摆可在垂直平面内自由运动。
直流电机通过传送带拖动小车的运动，从而使倒立摆稳定竖立在垂直位置。
图1.1一级倒立摆装置简图由图1.1中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成。
导轨的一端固定有位置传感器，通过与之共轴的轮盘转动可以测量出沿导轨由图中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆运动的小车位移；小车通过轴承连接摆体，并在小车与摆体的连接处固定有共轴角度传感器，用以测量摆体的角度信号；并通过微分电路得到相应的速度和角速度信号；导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动，在小车沿导轨左右运动的过程中将力传送到摆杆以实现整个系统的平衡。
倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、和球平衡式倒立摆；倒立摆的级数可以是一级，二级，乃至更多级。
控制方法也是多种，可以通过模糊控制，智能控制，PID控制，LQR控制等来实现倒立摆的动态平衡，本文介绍的是状态反馈极点配置方法来实现一级倒立摆的控制。
1.2倒立摆的控制规律当前，倒立摆的控制规律可总结如下:（1）状态反馈H控制[1]，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈和Kalnian滤波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。
（2）利用云模型[2-3]实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。
基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计
《控制系统分析与综合》任务书题目：基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真分析与设计要求：对给定直线倒立摆系统模型，首先利用matlab对系统进行根轨迹、bode 图或能控性分析，然后根据控制系统设计指标进行相应控制器设计，在matlab 仿真环境下得到控制器参数，再将其写入实际倒立摆控制系统中，观察实际控制效果，进行控制参数的适当调整。
任务：1、超前校正控制器设计设计指标：调整时间t s=0.5s (2%) ；最大超调量δp≤10%设计步骤：先对传递函数模型进行根轨迹分析，讨论原系统的稳定性等，然后利用sisotool设计超前校正控制器，仿真满足设计要求后，再在实际系统中运行测试控制效果，观察分析实际控制现象，进行参数微调。
2、滞后超前校正控制器设计设计指标：系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为500，增益裕量等于或大于10 分贝。
设计步骤：先对传递函数模型进行bode图分析，讨论原系统的稳定性等，然后利用sisotool设计滞后超前校正控制器，仿真满足设计要求后，再在实际系统中运行测试控制效果，观察分析实际控制现象，进行参数微调。
3、PID控制设计指标：调整时间t s尽量小；最大超调量δp≤10%设计步骤：先在matlab/simulink下构建PID仿真控制系统，依照PID参数整定原则进行系统校正，仿真满足设计要求后，再在实际系统中运行测试控制效果，观察分析实际控制现象，进行参数微调。
4、状态空间极点配置控制设计指标：要求系统具有较短的调整时间（约3秒）和合适的阻尼（阻尼比ζ= 0.5-0.7）。
设计步骤：先对系统进行能控性分析，然后根据设计要求选择期望极点（考虑主导极点），编程求出反馈矩阵K，进行系统仿真。
仿真满足设计要求后，再在实际系统中运行测试控制效果，观察分析实际控制现象，进行参数微调。
设计报告要求：报告提供如下内容1 封面2 目录3 正文（1）任务书（2）分别对四个设计任务按照系统分析、控制器仿真设计、实际系统运行分析形成报告4 收获、体会5 参考文献格式要求：题目小三，宋体加粗目录、正文、小标题均为小四宋体，其中标题加粗。
基于MATLAB的二阶倒立摆控制分析
基于MATLAB的二阶倒立摆控制分析工作原理倒立摆的工作原理可简述为：用一种强有力的控制方法使小车以一定的规律来回跑动，从而使全部摆杆在垂直平面内稳定，这就是倒立摆控制系统。
若小车不动，摆杆会由于重力倒下；若在水平方向给小车一个力，则摆杆朝与小车运动方向相反的方向运行，通过有规律性地改变小车的受力方向,使摆杆在竖直方向左右摆动，从而实现摆杆在竖直方向的动态平衡。
为了简化系统分析，假设：1)二级摆体视为刚体；2)各部分的摩擦力(力矩)与相对速度(角速度)成正比；3)施加在小车上的驱动力与加在功率放大器上的输入电压成正比，并无延时地施加到小车上；4)皮带轮与传送带之间无滑动，转送带无伸长现象。
所以，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，二阶倒立摆的系统模型如图1所示。
图1 二阶倒立摆系统模型图数学模型的建立系统模型参数如下：下摆与小车驱动系统的等效质量M=1.328 kg；小车质量m3=0.208 kg；下摆杆质量m1= 0.220 kg；上摆杆质量m2=0.187 kg；下摆杆质心到轴心距离l1=0.304 m；上摆杆质心到轴心距离l2=0.226 m；加在小车上的力为F；下摆杆与垂直方向夹角为θ1；上摆杆与垂直方向夹角为θ2。
为了简化系统模型，建立系统的拉格朗日方程：=-L(,)(,)(,)q q T q q V q q其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统动能，V 为系统势能。
拉格朗日方程由q 和L 表示为：i i id L Lf dt q q ⎡⎤∂∂-=⎢⎥∂∂⎣⎦ 其中fi 为系统沿该广义坐标方向的外力。
由于在广义坐标系下，θ1,θ2没有外力作用，所以110d L Ldt θθ⎡⎤∂∂-=⎢⎥∂∂⎣⎦ 220d L Ldt θθ⎡⎤∂∂-=⎢⎥∂∂⎣⎦ 解此方程组并在平衡点12 0x θθ===和120x θθ===附近对方程进行线性化处理,即设sin θθ≈，cos 1θ≈，线性化后得：112113217222123227=k +k +k =k +k +k x xθθθθθθ由于采用加速度作为输入，因此还要加上一个方程：x u =其中u 为控制能量作适当变换，得系统状态方程：xAx Bu y Cx Du =+⎧⎨=+⎩其中状态变量：[]123456*********,,,,,[,,,,,,,,,,]TT T T x x x x x x x r r y x x x r θθθθθθ⎤⎡⎤⎡====⎦⎣⎦⎣ 111322230010000001000000100000000000000A k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 17270001B k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100000010000001000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，D=0 根据相关参数计算的各系数矩阵如下：00100000010000001000000024.8355 6.89740000161.3151149.6025000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，00011.82661.1940B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 100000010000001000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， D=000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 稳定性判定源程序如下： clear all clc a1=zeros(6);a1(1,4)=1;a1(2,5)=1;a1(3,6)=1; a1(5,2)=24.8355;a1(5,3)=-6.8974; a1(6,2)=161.3151;a1(6,3)=149.6025; A=a1;B=[0 0 0 1 1.8266 1.1940]'; c1=zeros(3,6);c1(1,1)=1;c1(2,2)=1;c1(3,3)=1; C=c1; D=zeros(3,1); sys=ss(A,B,C,D) eig （sys ） ans = 11.8294 5.8739 -5.8739 -11.8294可得系统的开环极点为0，0，11.829 4，5.873 9，-5.873 9，-11.829 4。
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信息技术与信息化自动控制79 基于MAT LAB 的倒立摆系统定性分析Qualitative Analysis of I nverted Pendulu m System Based on MAT LAB张 彬3 郭晓玉 王金凯33高军伟3ZHAN G B in G UO X iao -yu WAN G J in -kai G AO Jun -w ei摘 要 倒立摆系统作为控制理论研究中的一种较为理想的实验手段,是检验控制策略效果的不可或缺的工具,也是控制界中研究的热点。
判断系统的稳定性、可控性和可观性是设计倒立摆控制器的前提。
应用MAT LAB 对倒立摆系统进行分析、研究,方法方便快捷,实用性强,尤其适用于多级倒立摆系统。
关键词 倒立摆 稳定性 可控性 可观性 MAT LAB Abstract I nverted pendulu m contr ol syste m as a theoretical study is an ideal experi m ental means .Thiscontr ol syste m can not only test the effect of contr ol strategy as an indis pensable t ool,but als o be the hot s pots in the contr ol field .Deter m inati on of the stability,contr ollability and observability are the p re m ise of contr oller de 2sign f or the inverted pendulu m syste m.Analysis and research based on MAT LAB is convenient and p ractical es pe 2cially for multi -stage inverted pendulu m.Keywords I nverted pendulu m Stability Contr ollability Observability MAT LAB3青岛大学自动化工程学院 山东青岛 26607133安丘市供电公司 山东潍坊 262100引言倒立摆(I nverted Pendulu m )是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
它是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。
倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。
又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。
控制过程中的许多关键问题,如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以倒立摆为例加以研究。
对系统进行定性分析,首先要建立系统的数学模型,并对系统的特性进行分析,包括系统的稳定性、可控性以及可观性。
摆杆竖直向上是直线倒立摆系统的不稳定平衡点,由于关心的是系统在平衡点附近的性质,因而可以采用线性模型来分析。
一般地,N 级倒立摆系统有Z (N +1)个状态变量,在分析系统特性时,可以运用MAT LAB 的矩阵计算功能来实现上述功能。
1 倒立摆系统的数学模型为简便起见,建模时一般忽略系统中一些次要的难以建模的因素,例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。
将小车抽象为质点,摆杆抽象为匀质刚体,摆杆绕转轴转动,基于以上的假设,可以用欧拉-拉格朗日方程原理建立小车倒立摆系统的动力学模型。
直线二级倒立摆线性化后的数学模型[1]:x θ1 θ2¨x 1¨θ1¨θ2=0001000000100000010000000K 12K 130000K 22K 230xθ1θ2 x θ1θ20001K 17K 27uy =x θ1θ210000001000001x 1θ1θ2x θ1 θ2+000u其中:K 12=3g (m 1+2m 2+2m 3)(4m 1+3m 2+12m 3)l 1 K 13=9m 2g-2(4m 1+3m 2+12m 3)l 1K 22=9g (m 1+2m 2+2m 3)-(8m 1+6m 2+24m 3)l 2 k 23=3g (m 1+3m 2+3m 3)(4m 1+3m 2+3m 3)l 2K 17=3(2m 1+m 2+4m 3)2(4m 1+3m 2+12m 3)l 1 K 27=3m 1-(8m 1+6m 2+24m 3)l 2式中参量定义及其取值:x,小车位移;θ1,摆杆1与竖直向上方向的夹角;θ2,摆杆2与竖直向上方向的夹角;M ,小车质量,1Kg;m 1,摆杆1质量,0.05Kg;m 2,摆杆2质量,0.1Kg m 3;,质量块质量,0.2Kg ;l 1,摆杆1转动中心到质心的距离,0.1m;l 2,摆杆2转动中心到质心的距离,0.25m;g ,重力加速度,9.8m /s 2。
2 倒立摆系统的定性分析系统的稳定性分析一般可以应用李雅普诺夫稳定性理论。
自动控制信息技术与信息化80 2009年第1期对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据系统的线性化模型进行分析。
在对时不变系统进行定性分析时,一般要用到线性控制理论中Lyapunov 稳定性判据、可控性和可观性判据[3]。
定理1(Lyapunov 稳定性判据)n 阶线性时不变连续系统 X =AX +B μ的平衡状态x e =0渐近稳定的充要条件是矩阵A 的所有特征值均具有负实部,或者说系统的闭环传递函数的极点全部位于左半s 平面内。
定理2(可控性判据)n 阶线性时不变连续系统 X =AX +B μ状态是可控,当且仅当系统的可控性矩阵:S =[B AB A 2B …An -1B ]满秩,即rank (S )=n 。
定理3(可观性判据)n 阶线性时不变连续系统 X =AX +B μ状态是可观测的,当且仅当系统的可观测矩阵:V =[C CA CA 2…CA n -1]T 满秩,即rank (V )=n 。
2.1 系统的稳定性判断在进行系统的稳定性判断的时候,需要求出系统的闭环特征值,应用MAT LAB 求解,代码如下:A =000100;000010;000001;000000;065.897-15.207000;0-39.53838.5240;B =[0;0;0;1;5.1724;-0.10345];C =eye (6);D =zer os (6,1);[nu m,den ]=ss2tf (A,B,C,D );%系统状态方程转换为传递函数p =r oots (den )%求系统特征根Ppan wen;%判断系统稳定性的m 文件其中,Ppan wen .m 如下:%由特征根p 判断系统稳定性程序n =size (p );n1=n (1);%特征根个数flag1=0;flag2=0;f or i =1:n1var1=p (i,1);var2=real (p (i,1));if real (p (i,1))>0flag1=flag1+1;%特征根实部>0,系统不稳定elseif abs (real (p (i,1))-0)<ep sflag2=flag2+1;%特征根实部=0,系统临界稳定end endif flag1>0dis p (’系统不稳定’)elseif flag2>0dis p (’系统临界稳定’)else dis p (’系统稳定’)end从运行结果可知:系统特征根为p =[0,0,8.9593,4.9124,-8.9593,-4.9124],有两个根在右半平面,系统不稳定。
2.2 系统的可控性、可观性判断系统的可控性判断首先要求出可控性矩阵S =[B AB A 2B … A n -1B ],然后求出秩,从而判断系统可控性。
系统的可观性判断首先要计算出可观性矩阵V =[C CA CA 2…CA n -1]T ,然后求秩,从而判断系统的可观性。
MAT LAB 实现如下所示(A 、B 、C 、D 阵同上):Pcontr ols (A,B );Pobserves (A,C );%分别调用判断系统可控性、可观性函数其中,子函数Pcontr ols .m 如下:functi on Strc =Pcontr ols (A,B )S =CTRB (A,B )%系统的可控性矩阵r =rank (S );%求秩l =length (A );if r ==l Strc =’系统完全可控’;else Strc =’系统不完全可控’;end子函数Pobserves .m 如下:functi on Str O =Pobserves (A,C )V =OBS V (A,C )%系统的可观性矩阵r =rank (V );%求秩l =size (A,1);if r ==l Str O =’系统完全可观’;else Str O =’系统不完全可观’;end运行程序后可得系统是完全可控、可观的。
3 结论判断系统的稳定性、可控性和可观性是设计倒立摆控制器的前提。
本文通过对二级倒立摆系统进行建模,并应用MAT LAB 对倒立摆系统进行分析、研究,计算并判断出倒立摆是一个不稳定、可控、可观的系统。
该方法方便快捷,实用性强,尤其适用于多级倒立摆。
参考文献:[1] 固高摆系统与自动控制实验,固高公司,2002.[2] 张志涌.精通MAT LAB6.5.北京:北京航空航天大学出版社,2003.[3] 刘豹.现代控制理论(第二版).北京:机械工业出版社,2006.[4] 欧阳淑丽,符秀辉.倒立摆装置及其稳定控制的研究.沈阳化工学院学报,2003:17(3):227-229.[5] 刘丽,何华灿.倒立摆系统稳定控制之研究.计算机科学,2006:33(5):214-219.[作者简介] 张彬,女,讲师,青岛大学电工电子实验教学中心,大学学历,研究兴趣:嵌入式系统、计算机控制技术。
(收稿日期:2008-12-16)。