复数的乘法及其几何意义

[文件] sxgdja0012.doc [科目] 数学 [年级] 高中 [章节][关键词] 复数/乘法/几何意义 [标题] 复数的乘法及其几何意义 [内容]北京市五中 肖钰 教学目标1.掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程．2.掌握复数乘法的几何意义．3.让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法．4.培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．教学重点与难点重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算．难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握． 教学过程设计师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完 成以下两道题的演算． （利用投影仪出示） 1.（1－2i ）（2+i ）（4+3i ）； 2.化复数－⎪⎭⎫⎝⎛+3cos 3sin21ππi 为代数形式和三解形式． （5分钟后）师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的三角形式概念及复数代数形式与三角形式的互化．答案是：⎪⎭⎫⎝⎛+--67sin 67cos 21;4143ππi i ．如果有的同学演算错了，应想一想怎样错的?错的原因是什么?怎样纠正?请同学们再考虑下面一个问题：如果把复数z 1，z 2分别写成 z 1＝r 1（cos θ1+sin θ1）， z 2＝r 2（cos θ2+isin θ2）．z1·z2这乘法运算怎样进行呢?想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意义．（教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程） 学生板演：z1·z2＝（cos θ1+isin θ1）·r 2（cos θ2+isin θ2）＝（r 1cos θ1+ir1sin θ1）·（r2cos θ2+ir2sin θ2）＝（r 1r 2cos θ1cos θ2－r 1r 2sin θ1sin θ2）+i （r 1r 2sin θ1cos θ2+r 1r 2cos θ1sin θ2） ＝r 1r 2［（cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2）+i （sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］ ＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］． 师：很好，你是怎样想出来的?为什么这样想?生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘 法运算法则就可以完成运算，根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简．在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法 ．我是根据这个思想才想出来的．师：观察这个问题的已知和结论，同们能发现有什么规律吗?生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和． 师：利用这个结论，请同学们计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin 6cos 312sin 12cos 2ππππi i ．大家把计算过程写在笔记本上． （教师请一位同学在黑板上板演） 解： ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙⎪⎭⎫⎝⎛+6sin 6cos 312sin12cos2ππππi i＝⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙612sin 612cos 32ππππi＝⎪⎭⎫⎝⎛+4sin4cos6ππi 教师提示：由于复数定义是形如A+Bi （a,b ∈R ）的数，如果辐角是特殊角或特殊角的终边 相同角，要化成化数形式．即i i i 33222264sin 4cos 6+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ师：同学们已经发现，复数的三角形式的乘法运算若用r 1（cos θ1+isin θ1）·r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］ 计算，简便得多．这就是复数的三角形式乘法运算公式．三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算?辐角怎样算?使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主 值． 同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用．我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢? （同学分组讨论，请小组代表发言．如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转）生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角θ 2（θ2＜0，如果θ2＜0，按顺时针方向旋转一个角｜θ2｜，再把其模变为原来的r 2倍（r 2 ＞1，应伸长；0＜r 2＜1，应缩短；r 2＝1，模长不变），所得的向量就表示积z 1·z 2．这是复数乘法的几何意义．图形演示（如图8－7）：OZ ＝OZ1·OZ2．师：现在我们研究问题，如图8－8，向量OZ 与复数－1+i 对应，把OZ 按逆时针方向旋转 120°，得到OZ ′．求与向量OZ ′对应的复数．请同学们想一想．生：这是形数结合问题，给的题设情境是向量旋转，根据复数乘法的几何意义，将向量OZ 逆时针方向旋转120°，得到OZ ′，由于模未发生变化，应当是OZ 对应复数乘以1·（cos 120°+isin120°）．师：解此题复数是否一定化成三角形式?生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同 一个复数的向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择． 师：说得好，请同学们写一下解题过程． （找一名同学到黑板板演）解：所求的复数就是－1+i 乘以一个复数Z0的积，这个复数Z0的模是1，辐角的主值是120°．所求的复数是： （－1+i ）·1·（cos120°+isin120°）＝(-1+i)i i 2312312321+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-师：为了巩固刚讨论过的复数三解形式的乘法运算公式及复数乘法的几何意义，请同学们继续完成以下练习．（使用投影仪，映出练习题） 1.计算⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+45sin 45cos 23cos 3sin 2112sin12cos4ππππππi i i ．2.已知复数Z 0所对应的向量OZ ．通过作图，画出下列复数Z 所对应的向量OZ ．（1）Z ＝Z 0（sin30°+icos30°）； （2）Z ＝－Z0·⎪⎪⎭⎫⎝⎛+i 2321 （教师在教室里巡视，请三位演算错误的同学板演．） 1.解：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+45sin 45cos 23cos 3sin 2112sin12cos4ππππππi i i ．＝⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯45sin 45cos 2312sin 312cos 214ππππππi i ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+45sin 45cos 2125sin125cos2ππππi i＝ 45sin245cos2125sin 2125cos2ππππi i +++＝⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+45sin 2125sin 245cos2125cos 2ππππi2.（1）将OZ 。

逆时针旋转30°，得到OZ 。

将OZ 逆时针旋转120°，再关于x 轴对称，得到OZ 。

师：这三位同学计算和画图对不对?如果有错误，错在哪里?怎样改正?生甲：第1题计算错了，错在)3c os 3(sin 21ππi +不是复数三角形式的标准式，应化为⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin 6cos 21ππi 师：一人教训大家吸取，千万用复数三角形式的标准式进行复数三角形式的乘法运算． 哪位同学改正一下：生乙：师：板演第1题的两位同学都注意到，不能直接使用三角形式进行加、减法计算，需化成代 数形式才得以进行．接下来看第2题的第（1）小题．生丙：第（1）题画错了，应当把向量OZ0按逆时针方向旋转60°，可板演图只转30°． 师：为什么?生丙：乘数sin30°+icos30°不是复数三角形式的标准式，应化为cos60°+isin60°，这样 才能应用复数乘法的几何意义来解题．师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标 准式来确定．现在看第2题的第（2）小题，将OZ0逆时针旋转120°正确吗?为什么? 生丁：正确．把复数i 2321+-化为三角形式cos120°+isin120°，其模是1，说明模没有变化，只是把向量OZ0绕原点O 按逆时针旋转120°． 师：向量OZ 画的正确吗?若不正确，应当怎么画?生戊：不正确，旋转120°后，取其反方向的向量，模不变，得OZ ．也可以先取OZ0的反方向的向量，再逆时针旋转120°．师：回答得很好，现在我们研究一道几何图形习题的解法，请看题目：已知复平面内一个正方面的两个相邻顶点对应的复数分别为1+2i ，3－5i ，求与另外两个顶点C 对应的复数．为了利于表达，设正方形ABCD ，其中点A 对应复数是1+2i ，3-5i ，求与另外两个顶点对应的复数。

如图8－11． 同学们开始讨论解法．生M ：这道题可以转化为解析几何题，点A 坐标为（1，2），点B 坐标是（3，－5）．本题应 当有两解．设边AB 右侧的顶点是C 和D ，左侧的顶点是C ′和D ′．线段AB 的长度是可求的．而 ｜AD ｜＝｜AB ｜，｜BD ｜＝2｜AB ｜．设D （x ，y ）．由上面两个等量关系，得出关于x ，y 的 二元二次方程组，解这个方程组可得两组解，点D 坐标求出，对应的复数亦可写出． 师：点C 怎么求呢?生N ：先求出BD 的中点，这个中点也是AC 的中点，再通过中点坐标公式求得点C 的坐标． 师：很好．还有什么解法?生P：用复数运算的几何意义解，先求向量AB所对应的复数，由向量AB绕点A按逆时针方向旋转90°角得到AD，由于AD＝OD＝OA，就求出D点对应的复数．师：点C怎么求呢?生Q：由于｜AC｜＝2｜AD｜，∠DAC＝45°．用AD对应的复数乘以2［cos（－45°）+isin（－45°）］得到AC对应的复数了，再求OC对应的复数．师：生Q想到的解法更简单，求点C还有其他方法吗?生R：先求BA所对应的复数，由向量AB绕点B按顺时针方向旋转90°得到BC，再求OC对应的复数．生H：由于OC＝OB+BC＝OB+AD，可以直接求出C点对应的复数．师：生H的方法最简单．请同学们在笔记本上用其中一种解法完成此题的演算．（教师找一名同学到黑板板演）解：向量AB对应的复数：（3－5i）－（1+2i）＝2－7i．向量AD对应的复数：（2－7i）（cos90°+isin90°）＝（2－7i）·i＝7+2i．向量OD对应的复数：（1+2i）+（7+2i）＝8+4i．因为OC＝OB+BC＝OB+AD，则OC对应的复数：（3－5i）+（7+2i）＝10－3i．如图，设点D′对应复数为a+bi（a,b∈R），则有又设点C′对应复数为c+di（c，d∈r），则有因此另外两点对应的复数为：10－3i和8+4i；或－4－7i和6．注意：如果板演有错误，应请同学们发现和纠正．经常发生的错误有：（1）AB＝（3－5i）－（1+2i）．这里不能用等号，应写作“向量AB对应的复数是：（3－5i）－（1+2i）；（2）把向量AD对应的复数7+2i，错认为是点D对应的复数；（要讲清只有当向量的起点在原点处，向量所对应的复数才是向量终点所对应的复数）（3）只得出10－3i和8+4i一组解．（建议学生自己动手画图，容易发现两组解）师：通过此题，我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题与解决问题中的重要作用．为了更好地领悟这一思想，请看：如图8－12，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数计算∠1+∠2+∠3的值．同学们开始讨论解决：生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系．师：你分析得正确，如图8－13，建立坐标系．取正方形的边长为单位长1．生辛：∠B1Ox＝∠1，∠B2Ox＝∠2，∠B3Ox＝∠3，这样，∠1+∠2+∠3＝∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分别看作B1，B2，B3三个点对应复数的辐角主值，下面应考虑B1，B2，B3对应复数是什么?按着老师规定的单位长，B1，B2，B3三点对应的复数分别为1+i，2+i，3+i．师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为2，则三点对应复数分别为2 +2i，4+2i，6+2i，并未影响复数和辐角主值的大小，不过计算要繁一些．同学们继续讨论生壬：2+i，3+i的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大．根据复数乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什么?假若其辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值．师：你分析得很好，请你计算一下： 生癸：（2+i ）（3+i ）＝5+5i ，它的辐角主值是4π，而∠B 10x ＝4π，因此∠1+∠2+∠3＝2π生寅：我想谈另外一种计算方法．因为r1（cos θ1+isin θ1）·r2（cos θ2+isin θ2）·r3 （cos θ3+isin θ3）＝r1r2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］·r3（cos θ3+isin θ3）＝r1·r2·r3［cos （θ1+θ2+θ3）+isin （θ1+θ2+θ3）］，因此（1+i ）·（2+i ）·（3+i ）可以直接求出积的辐角．即（1+i ）（2+i ）（3+i ）＝（1+3i ）（3+i ）＝10i ， 其辐角主值是2π师：想法很好，并把两个复数相乘加以发展，是个小发现．这里，应提醒大家，注意一个问 题，即两个辐角主值相加，其结果不一定还是主值． 例如，1－i 的辐角主值是π47，3－i 的辐角主值是π611，而它们的和是π411，是π43终边相同的角．因此，和角是不是主值，需要确认． 请同学们完成此题的演算．（教师找一名同学到黑板板演）解：如图建立坐标系，由于平行线的内错角相等，∠1，∠2，∠3分别等于复数1+i ，2+i ，3 +i 的辐角的主值，这样∠1+∠2+∠3就是积的辐角，而 （1+i ）（2+i ）（3+i ）＝（1+3i ）（3+i ）＝10i ，其辐角的主值是2π并且∠1，∠2，∠3都是锐角，于是0＜∠1+∠2+∠3＜23π所以 ∠1+∠2+∠3＝2π．师：今天这节课，从知识上要掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则和乘法的几何意义 及其推导过程．从思考方法上要善于从未知与已知、数与形以及复数的各种形式互相转换 度上考虑问题．现在布置作业： 1.课本习题：P203 练习1（4），3． 2.课本习题：P210 习题二十八 5． 3.补充题：（1）在复平面内有两个点z1和z2，它们所对应的复数分别为1和2+i ，以这两点为顶点作一个正三角形，求这正三角形第三个顶点Z3所表示的复数．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-i i 2321232323212323或 （2）z1，z2是不等于零的两个复数，它们在复平面内的对应点分别是P 和Q ，且z 1＝431i-·z2，试确定△OPQ 是什么三角形．（直角三角形）（3）设P 为椭圆4922yx+＝1上任意一点，以｜OP ｜为边长作矩形OPQr （字母顺序按逆时针方向），使｜Or ｜＝2｜OP ｜，求动点r 的轨迹．（椭圆361622yx+＝1）课堂教学设计说明1.没有良好的基础知识是不可能有很好的数学能力的，深刻的理解、纯熟掌握也不是一次就 能完成，因此课堂教学开始时，我安排了检查练习，起着承上启下的作用．2.重视学生参与知识的发生、发展和被运用的过程，为了培养适应21世纪要求的创新人才， 课堂教学的着眼点应放在学生能力的形成和发展上，需要学生去亲自想一想，动手算一算， 动口说一说，从而培养学生敢于创造，逐渐学会创造．因此设计教案时强调了学生主体参与 ，但不能忽视老师的主导作用．。