结构力学2平面体系的几何组成分析
• 自由度分析：几何不变的必要条件。 自由度分析：几何不变的必要条件。 • 几何组成分析：充分条件。 几何组成分析：充分条件。
五、刚片： 刚片：
• 作体系几何组成分析时，不考虑材料应变，将 作体系几何组成分析时，不考虑材料应变， 构件视为刚体－－刚片。 －－刚片 构件视为刚体－－刚片。 • 平面内的一根梁、链杆、任何几何不变的部分。 平面内的一根梁、链杆、任何几何不变的部分。
m: 刚片数 h: 单铰数 r: 支座链杆数
• 链杆体系 w = 2 j－ ( b + r )
j: 铰接点数 b: 杆件数 r: 支座链杆数
2. 体系的几何组成分析
规则一（二元体规则） 在一个刚片上加上或减去一个二元体， 规则一（二元体规则）: 在一个刚片上加上或减去一个二元体， 并不改变体系的几何不变性或可变性。 并不改变体系的几何不变性或可变性。 规则二（两刚片规则）: 两刚片用三根即不相交于一点又不完 规则二（两刚片规则） 全平行的链杆相联，该体系为几何不变体系， 全平行的链杆相联，该体系为几何不变体系，且没有多余 约束。 约束。 规则三（三刚片规则） 三刚片用不在同一直线上的单铰相联， 规则三（三刚片规则）: 三刚片用不在同一直线上的单铰相联， 该体系为几何不变体系，且没有多余约束。 该体系为几何不变体系，且没有多余约束。
2. 计算平面体系的自由度并分析其几何组成。 计算平面体系的自由度并分析其几何组成。 • 刚片体系 w ＝ 3m－（2h ＋ r ） ＝3×3－（2 ×3＋6） ＝－1 有一个多余联系 II III I 有一个多余联系的几何不变体系。 有一个多余联系的几何不变体系。 两刚片规则 二元体规则
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平面体系的几何组成分析习题课
1. 计算体系的自由度w （1）w ＞ 0：几何可变体系；无需再进行几何组 ） ：几何可变体系； 成分析。 成分析。 （2）w ≤ 0：体系满足几何不变的必要条件，尚 ） ：体系满足几何不变的必要条件， 需进行几何组成分析。 需进行几何组成分析。 • 刚片体系 w = 3m－ ( 2h + r )
几何可变体系 无多余联系的几何不变体系 体系 几何不变体系 瞬变体系 有多余联系的几何不变体系
• •
三、 平面体系的几何组成分析
分析步骤： 分析步骤： 1. 计算体系的自由度w （1）w ＞ 0：体系缺少足够的约束，是几何可变 ） ：体系缺少足够的约束， 体系；无需再进行几何组成分析。 体系；无需再进行几何组成分析。 （2）w ≤ 0：体系满足几何不变的必要条件，但 ） ：体系满足几何不变的必要条件， 是否几何不变，尚需进行几何组成分析。 是否几何不变，尚需进行几何组成分析。 2. 体系的几何组成分析 （1）由规则一可将二元体逐一撤除使分析简化。 ）由规则一可将二元体逐一撤除使分析简化。 （2）将基础、体系中的一根链杆、一根梁或某些 ）将基础、体系中的一根链杆、 几何不变的部分视为刚片。 几何不变的部分视为刚片。 （3）应用规则二、三进行判断。 ）应用规则二、三进行判断。
瞬间几何可变－－瞬变体系 瞬间几何可变－－瞬变体系 －－
二、瞬变体系
B A C
FAB
A P
FAC
B
α
A
α
C
P
FAC ＝ FAB ＝ P/(2sin α) 瞬变体系不可做为结构使用。 瞬变体系不可做为结构使用。
关于几何不变体系的说明： 关于几何不变体系的说明：
• 几何不变体系的组成规则指明了最低限度的联 系数目， 系数目，按照规则组成的体系称为无多余联系 的几何不变体系。 的几何不变体系。 体系中联系数目少于规定的数目时， 体系中联系数目少于规定的数目时，体系成为 几何可变体系。 几何可变体系。 体系中的联系数目多于规定的数目， 体系中的联系数目多于规定的数目，称为有多 余联系的几何不变体系。 余联系的几何不变体系。
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一、几何不变体系的组成规则
2. 规则二（两刚片规则） 规则二（两刚片规则） • 两刚片用一单铰和一根链杆相联，三铰不在一 两刚片用一单铰和一根链杆相联， 条直线上，该体系为几何不变体系， 条直线上，该体系为几何不变体系，且没有多 余约束。 余约束。 • 两刚片用三根即不相交于一点又不完全平行的 链杆相联，该体系为几何不变体系， 链杆相联，该体系为几何不变体系，且没有多 余约束。 余约束。
常见约束： 常见约束：
y
B A
（4）固定铰： ）固定铰：
w=1
ϕ1
• 固定铰为两个联系。 固定铰为两个联系。
x
（5）固定端和刚结点： ）固定端和刚结点： • 为三个联系。 为三个联系。
4. 平面体系自由度的计算： 平面体系自由度的计算： 体系：若干刚片加入某些联系组成。 体系：若干刚片加入某些联系组成。 自由度的计算： （1）刚片体系自由度的计算： ）刚片体系自由度的计算
常见约束： 常见约束： （3）复铰： ）复铰：
y B D
ϕ3 ϕ2
x A y
ϕ1
w=9-4=5 w=9-2(n-1)=5 x
• 联接三个刚片的一个复铰减少了四个自由度， 联接三个刚片的一个复铰减少了四个自由度， 相当于两个单铰，为四个联系。 相当于两个单铰，为四个联系。 • 联接 n 个刚片的一个复铰减少了 2(n-1) 个自由 个单铰作用。 度，相当于 (n-1) 个单铰作用。
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§ 2－3 平面体系的几何组成分析 －
一、几何不变体系的组成规则
1. 规则一（二元体规则） 规则一（二元体规则） • 一个刚片与一个点用两链杆相联，三铰不在一 一个刚片与一个点用两链杆相联， 直线上，该体系为几何不变体系， 直线上，该体系为几何不变体系，且没有多余 约束。 约束。 • 在一个刚片上加上或减去一个二元体，并不改 在一个刚片上加上或减去一个二元体， 变体系的几何不变性或可变性。 变体系的几何不变性或可变性。 二元体： 二元体：两根不在一直线 上的链杆与一个结点 相联。 相联。
x A y
ϕ1
ϕ2
ϕ3
D
x
w=6-1=5
常见约束： 常见约束： （2）单铰： ）单铰：
y B
ϕ2
x
ϕ1
y
C
w=6-2=4
A
x
• 一个单铰减少了两个自由度，相当于两根链杆， 一个单铰减少了两个自由度，相当于两根链杆， 为两个联系。 为两个联系。 • 两根链杆相当于一个单铰。 两根链杆相当于一个单铰。
虚铰
单铰相当于两个约束
一、几何不变体系的组成规则
3. 规则三（三刚片规则） 规则三（三刚片规则） • 三刚片用不在同一直线上的单铰相联，该体系 三刚片用不在同一直线上的单铰相联， 为几何不变体系，且没有多余约束。 为几何不变体系，且没有多余约束。
二、瞬变体系
• 定义：原来为几何可变体系，发生微小位移后 定义：原来为几何可变体系， 成为几何不变体系。 成为几何不变体系。
ϕ
3. 联系（约束）： 联系（约束）： • 能减少自由度的装置 • 多余约束：加入某种装置，自由度不减少。 多余约束：加入某种装置，自由度不减少。
常见约束： 常见约束： （1）链杆： ）链杆：
I w=3-1=2
• 一根链杆减少了一个自由度，为一个联系。 一根链杆减少了一个自由度，为一个联系。
y B C
§ 2－2 平面体系的自由度 －
1. 自由度的定义：：体系运动时，用来完全确定 自由度的定义：：体系运动时， ：：体系运动时 其位置的独立几何参数（坐标）的数目。 其位置的独立几何参数（坐标）的数目。 y B 2. 自由度的确定： 自由度的确定：
A点：两个自由度。 点 两个自由度。 刚片AB：三个自由度。 刚片 ：三个自由度。 x A y x
P
P
二、几何可变体系
• 在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形 在不考虑材料应变的条件下， 状是可以改变的。（几何不稳定） 。（几何不稳定 状是可以改变的。（几何不稳定）
机 械 工 程 和 勘 探 工 程
P
P
• 结构是用来承受载荷的，必须是几何不变体系。 结构是用来承受载荷的，必须是几何不变体系。
例1： ：
G
例2： ：
E
D
E
F
II
B K A
F
III
II
A B C
D
C
I 瞬变体系
I 无多余联系的几何不变体系
例3： ：
1 2 3
w=2j-(b+r)=2×8-(13+3)=0 4
5 6 1 2 7 3 8 4
5
I
6 7 8
II
几 何 可 变 体 系
例4： ： A I B
两刚片规则 C II D
§ 2－4 几何组成与静定性的关系 －
• • • • 几何可变体系：体系的自由度大于零， 几何可变体系：体系的自由度大于零，在任意 载荷作用下，体系将产生运动， 载荷作用下，体系将产生运动，平衡条件不成 立。 无多余联系的几何不变体系： 无多余联系的几何不变体系：体系的自由度与 约束数相同，在任意条件下平衡条件成立， 约束数相同，在任意条件下平衡条件成立，仅 凭平衡条件即可求解。 凭平衡条件即可求解。 有多余联系的几何不变体系： 有多余联系的几何不变体系：体系的自由度小 于约束数目，仅凭平衡条件无法求解－－ －－超静 于约束数目，仅凭平衡条件无法求解－－超静 定结构。 定结构。 瞬变体系：有无多余联系不仅取决于约束数目， 瞬变体系：有无多余联系不仅取决于约束数目， 且与约束布置有关。 且与约束布置有关。
铰接点数
j＝ 4
支座链杆数
b＝ 5 r＝ 4
w = 2 j－ ( b + r )
杆件数
w = －1
例：计算链杆体系自由度： 计算链杆体系自由度： 链杆体系自由度 w ＝ 2 j－ ( b + r ) ＝ 2×8－（13＋3） ＝0
五、刚片： 刚片：
• 作体系几何组成分析时，不考虑材料应变，将 作体系几何组成分析时，不考虑材料应变， 构件视为刚体－－刚片。 －－刚片 构件视为刚体－－刚片。 • 平面内的一根梁、链杆、任何几何不变的部分。 平面内的一根梁、链杆、任何几何不变的部分。
m: 刚片数 h: 单铰数 r: 支座链杆数
• 链杆体系 w = 2 j－ ( b + r )
j: 铰接点数 b: 杆件数 r: 支座链杆数
2. 体系的几何组成分析
规则一（二元体规则） 在一个刚片上加上或减去一个二元体， 规则一（二元体规则）: 在一个刚片上加上或减去一个二元体， 并不改变体系的几何不变性或可变性。 并不改变体系的几何不变性或可变性。 规则二（两刚片规则）: 两刚片用三根即不相交于一点又不完 规则二（两刚片规则） 全平行的链杆相联，该体系为几何不变体系， 全平行的链杆相联，该体系为几何不变体系，且没有多余 约束。 约束。 规则三（三刚片规则） 三刚片用不在同一直线上的单铰相联， 规则三（三刚片规则）: 三刚片用不在同一直线上的单铰相联， 该体系为几何不变体系，且没有多余约束。 该体系为几何不变体系，且没有多余约束。
2. 计算平面体系的自由度并分析其几何组成。 计算平面体系的自由度并分析其几何组成。 • 刚片体系 w ＝ 3m－（2h ＋ r ） ＝3×3－（2 ×3＋6） ＝－1 有一个多余联系 II III I 有一个多余联系的几何不变体系。 有一个多余联系的几何不变体系。 两刚片规则 二元体规则
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平面体系的几何组成分析习题课
1. 计算体系的自由度w （1）w ＞ 0：几何可变体系；无需再进行几何组 ） ：几何可变体系； 成分析。 成分析。 （2）w ≤ 0：体系满足几何不变的必要条件，尚 ） ：体系满足几何不变的必要条件， 需进行几何组成分析。 需进行几何组成分析。 • 刚片体系 w = 3m－ ( 2h + r )
几何可变体系 无多余联系的几何不变体系 体系 几何不变体系 瞬变体系 有多余联系的几何不变体系
• •
三、 平面体系的几何组成分析
分析步骤： 分析步骤： 1. 计算体系的自由度w （1）w ＞ 0：体系缺少足够的约束，是几何可变 ） ：体系缺少足够的约束， 体系；无需再进行几何组成分析。 体系；无需再进行几何组成分析。 （2）w ≤ 0：体系满足几何不变的必要条件，但 ） ：体系满足几何不变的必要条件， 是否几何不变，尚需进行几何组成分析。 是否几何不变，尚需进行几何组成分析。 2. 体系的几何组成分析 （1）由规则一可将二元体逐一撤除使分析简化。 ）由规则一可将二元体逐一撤除使分析简化。 （2）将基础、体系中的一根链杆、一根梁或某些 ）将基础、体系中的一根链杆、 几何不变的部分视为刚片。 几何不变的部分视为刚片。 （3）应用规则二、三进行判断。 ）应用规则二、三进行判断。
瞬间几何可变－－瞬变体系 瞬间几何可变－－瞬变体系 －－
二、瞬变体系
B A C
FAB
A P
FAC
B
α
A
α
C
P
FAC ＝ FAB ＝ P/(2sin α) 瞬变体系不可做为结构使用。 瞬变体系不可做为结构使用。
关于几何不变体系的说明： 关于几何不变体系的说明：
• 几何不变体系的组成规则指明了最低限度的联 系数目， 系数目，按照规则组成的体系称为无多余联系 的几何不变体系。 的几何不变体系。 体系中联系数目少于规定的数目时， 体系中联系数目少于规定的数目时，体系成为 几何可变体系。 几何可变体系。 体系中的联系数目多于规定的数目， 体系中的联系数目多于规定的数目，称为有多 余联系的几何不变体系。 余联系的几何不变体系。
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一、几何不变体系的组成规则
2. 规则二（两刚片规则） 规则二（两刚片规则） • 两刚片用一单铰和一根链杆相联，三铰不在一 两刚片用一单铰和一根链杆相联， 条直线上，该体系为几何不变体系， 条直线上，该体系为几何不变体系，且没有多 余约束。 余约束。 • 两刚片用三根即不相交于一点又不完全平行的 链杆相联，该体系为几何不变体系， 链杆相联，该体系为几何不变体系，且没有多 余约束。 余约束。
常见约束： 常见约束：
y
B A
（4）固定铰： ）固定铰：
w=1
ϕ1
• 固定铰为两个联系。 固定铰为两个联系。
x
（5）固定端和刚结点： ）固定端和刚结点： • 为三个联系。 为三个联系。
4. 平面体系自由度的计算： 平面体系自由度的计算： 体系：若干刚片加入某些联系组成。 体系：若干刚片加入某些联系组成。 自由度的计算： （1）刚片体系自由度的计算： ）刚片体系自由度的计算
常见约束： 常见约束： （3）复铰： ）复铰：
y B D
ϕ3 ϕ2
x A y
ϕ1
w=9-4=5 w=9-2(n-1)=5 x
• 联接三个刚片的一个复铰减少了四个自由度， 联接三个刚片的一个复铰减少了四个自由度， 相当于两个单铰，为四个联系。 相当于两个单铰，为四个联系。 • 联接 n 个刚片的一个复铰减少了 2(n-1) 个自由 个单铰作用。 度，相当于 (n-1) 个单铰作用。
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§ 2－3 平面体系的几何组成分析 －
一、几何不变体系的组成规则
1. 规则一（二元体规则） 规则一（二元体规则） • 一个刚片与一个点用两链杆相联，三铰不在一 一个刚片与一个点用两链杆相联， 直线上，该体系为几何不变体系， 直线上，该体系为几何不变体系，且没有多余 约束。 约束。 • 在一个刚片上加上或减去一个二元体，并不改 在一个刚片上加上或减去一个二元体， 变体系的几何不变性或可变性。 变体系的几何不变性或可变性。 二元体： 二元体：两根不在一直线 上的链杆与一个结点 相联。 相联。
x A y
ϕ1
ϕ2
ϕ3
D
x
w=6-1=5
常见约束： 常见约束： （2）单铰： ）单铰：
y B
ϕ2
x
ϕ1
y
C
w=6-2=4
A
x
• 一个单铰减少了两个自由度，相当于两根链杆， 一个单铰减少了两个自由度，相当于两根链杆， 为两个联系。 为两个联系。 • 两根链杆相当于一个单铰。 两根链杆相当于一个单铰。
虚铰
单铰相当于两个约束
一、几何不变体系的组成规则
3. 规则三（三刚片规则） 规则三（三刚片规则） • 三刚片用不在同一直线上的单铰相联，该体系 三刚片用不在同一直线上的单铰相联， 为几何不变体系，且没有多余约束。 为几何不变体系，且没有多余约束。
二、瞬变体系
• 定义：原来为几何可变体系，发生微小位移后 定义：原来为几何可变体系， 成为几何不变体系。 成为几何不变体系。
ϕ
3. 联系（约束）： 联系（约束）： • 能减少自由度的装置 • 多余约束：加入某种装置，自由度不减少。 多余约束：加入某种装置，自由度不减少。
常见约束： 常见约束： （1）链杆： ）链杆：
I w=3-1=2
• 一根链杆减少了一个自由度，为一个联系。 一根链杆减少了一个自由度，为一个联系。
y B C
§ 2－2 平面体系的自由度 －
1. 自由度的定义：：体系运动时，用来完全确定 自由度的定义：：体系运动时， ：：体系运动时 其位置的独立几何参数（坐标）的数目。 其位置的独立几何参数（坐标）的数目。 y B 2. 自由度的确定： 自由度的确定：
A点：两个自由度。 点 两个自由度。 刚片AB：三个自由度。 刚片 ：三个自由度。 x A y x
P
P
二、几何可变体系
• 在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形 在不考虑材料应变的条件下， 状是可以改变的。（几何不稳定） 。（几何不稳定 状是可以改变的。（几何不稳定）
机 械 工 程 和 勘 探 工 程
P
P
• 结构是用来承受载荷的，必须是几何不变体系。 结构是用来承受载荷的，必须是几何不变体系。
例1： ：
G
例2： ：
E
D
E
F
II
B K A
F
III
II
A B C
D
C
I 瞬变体系
I 无多余联系的几何不变体系
例3： ：
1 2 3
w=2j-(b+r)=2×8-(13+3)=0 4
5 6 1 2 7 3 8 4
5
I
6 7 8
II
几 何 可 变 体 系
例4： ： A I B
两刚片规则 C II D
§ 2－4 几何组成与静定性的关系 －
• • • • 几何可变体系：体系的自由度大于零， 几何可变体系：体系的自由度大于零，在任意 载荷作用下，体系将产生运动， 载荷作用下，体系将产生运动，平衡条件不成 立。 无多余联系的几何不变体系： 无多余联系的几何不变体系：体系的自由度与 约束数相同，在任意条件下平衡条件成立， 约束数相同，在任意条件下平衡条件成立，仅 凭平衡条件即可求解。 凭平衡条件即可求解。 有多余联系的几何不变体系： 有多余联系的几何不变体系：体系的自由度小 于约束数目，仅凭平衡条件无法求解－－ －－超静 于约束数目，仅凭平衡条件无法求解－－超静 定结构。 定结构。 瞬变体系：有无多余联系不仅取决于约束数目， 瞬变体系：有无多余联系不仅取决于约束数目， 且与约束布置有关。 且与约束布置有关。
铰接点数
j＝ 4
支座链杆数
b＝ 5 r＝ 4
w = 2 j－ ( b + r )
杆件数
w = －1
例：计算链杆体系自由度： 计算链杆体系自由度： 链杆体系自由度 w ＝ 2 j－ ( b + r ) ＝ 2×8－（13＋3） ＝0
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结构力学
二、几何组成分析的目的
（1）判别体系是否几何不变； （2）按什么规律组成一个几何不变体系; （3）区分结构是静定的还是超静定的。
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§2-2 刚片、约束、体系自由度 和计算自由度
一、体系自由度的定义：
体系自由度：体系的独立运动方式数，或确定体系位置所需的独立坐标数。 例如：平面内一个点有2个自由度，一个刚片有3个自由度。
在某一瞬间可以产生微小运动的体系，称为瞬变体系，它是可变体系 的一种特殊情况。
FN
瞬变体系在工程中不能采用。
FP 2 Sin
如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。
法则Ⅱ： 两刚片法则，两刚片用不完全 相交于一点且不完全平行的三 根连杆连接而成的体系，是几 何不变而无多余约束的。
两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联，构成几何不变体系。
法则Ⅲ：三刚片六连杆法则，三刚片之间用六连杆彼 此两两相连接，六连杆所组成的三个铰不在 同一条直线上，则所组成的体系是几何不变 而无多余约束的。
讨论
虚铰在无穷远的情形
二元体的概念
二元体的定义：从任意基础上用不共线的两根连杆形成一个 新结点的装置。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系。
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例六
试分析图示体系是否为几何不变系
解：1.几何组成分析 去除二元体 刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ符合三刚片法则。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系
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例七 试分析图示体系是否为几何不变体系
解：1.几何组成分析 ABEF与基础之间符合两刚片法则，组成新刚片Ⅲ 在刚片Ⅲ上增加一个二元体形成新节点G，由二元体的性质知 体系仍为几何不变，看作刚片Ⅳ CDHI看作刚片Ⅴ,刚片Ⅳ、Ⅴ之间三根连杆交于点D。 2.结论：该体系为几何瞬变体系。
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
结构力学习题及答案
构造力学习题第2章平面体系的几何组成分析2-1～2-6 试确定图示体系的计算自由度。
题2-1图题2-2图题2-3图题2-4图题2-5图题2-6图2-7～2-15 试对图示体系进展几何组成分析。
假设是具有多余约束的几何不变体系，那么需指明多余约束的数目。
题2-7图题2-8图题2-9图题2-10图题2-11图题2-12图题2-13图题2-14图题2-15图题2-16图题2-17图题2-18图题2-19图题2-20图题2-21图2-11=W2-1 9-W=2-3 3-W=2-4 2-W=2-5 1-W=2-6 4-W=2-7、2-8、2-12、2-16、2-17无多余约束的几何不变体系2-9、2-10、2-15具有一个多余约束的几何不变体系2-11具有六个多余约束的几何不变体系2-13、2-14几何可变体系为2-18、2-19 瞬变体系2-20、2-21具有三个多余约束的几何不变体系第3章静定梁和静定平面刚架的内力分析3-1 试作图示静定梁的内力图。
〔a〕〔b〕(c) (d)习题3-1图3-2 试作图示多跨静定梁的内力图。
〔a〕〔b〕(c)习题3-2图3-3～3-9 试作图示静定刚架的内力图。
习题3-3图习题3-4图习题3-5图习题3-6图习题3-7图习题3-8图习题3-9图3-10 试判断图示静定构造的弯矩图是否正确。
(a)(b)(c)(d)局部习题答案3-1〔a 〕m kN M B ⋅=80〔上侧受拉〕，kN F RQB 60=，kN F L QB 60-=〔b 〕m kN M A ⋅=20〔上侧受拉〕，m kN M B ⋅=40〔上侧受拉〕，kN F RQA 5.32=，kN F L QA 20-=，kN F LQB 5.47-=，kN F R QB 20=(c)4Fl M C =〔下侧受拉〕，θcos 2F F L QC =3-2 (a)0=E M ，m kN M F ⋅-=40〔上侧受拉〕，m kN M B ⋅-=120〔上侧受拉〕〔b 〕m kN M RH ⋅-=15(上侧受拉)，m kN M E ⋅=25.11〔下侧受拉〕〔c 〕m kN M G ⋅=29(下侧受拉)，m kN M D ⋅-=5.8(上侧受拉)，m kN M H ⋅=15(下侧受拉) 3-3 m kN M CB ⋅=10〔左侧受拉〕，m kN M DF ⋅=8〔上侧受拉〕，m kN M DE ⋅=20〔右侧受拉〕 3-4 m kN M BA ⋅=120〔左侧受拉〕3-5 m kN M F ⋅=40〔左侧受拉〕，m kN M DC ⋅=160〔上侧受拉〕，m kN M EB ⋅=80(右侧受拉) 3-6 m kN M BA ⋅=60〔右侧受拉〕，m kN M BD ⋅=45〔上侧受拉〕，kN F QBD 46.28=3-7 m kN M C ⋅=70下〔左侧受拉〕，m kN M DE ⋅=150〔上侧受拉〕，m kN M EB ⋅=70(右侧受拉) 3-8 m kN M CB ⋅=36.0〔上侧受拉〕，m kN M BA ⋅=36.0〔右侧受拉〕 3-9 m kN M AB ⋅=10〔左侧受拉〕，m kN M BC ⋅=10〔上侧受拉〕 3-10 〔a 〕错误 〔b 〕错误 〔c 〕错误 〔d 〕正确第4章 静定平面桁架和组合构造的内力分析4-1 试判别习题4-1图所示桁架中的零杆。
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
精品课件
例2-4-3
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分析图:
(a)
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(b)
(c)
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(d)
(e)
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说明：
1、通过本题中的两例可知，当上 部体系和大地之间的联系符合两刚 片规则时，体系几何组成分析的结 论只与上部体系的几何组成有关。 因此，当符合此条件时，可仅分析 上部体系。
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2、(a)所示体系先去掉与大地的支 座约束后，对上部体系可依次去掉 二元体213、453、563后，体系简化 成一铰接三角形，所以原体系是无 多余约束的几何不变体系。
结构力学
结构力学教研组 青岛理工大学工管系
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第二章 平面体系的几何组成分析
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§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
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其目的在于:
❖ 了解和掌握结构的基本组成规律和
合理组成形式。正确区分各类体系， 判定结构；选择合理的结构形式。 ❖ 根据各类结构的几何组成，选择 正确的计算方法和简捷的解题途径。
几何不变体系
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(2)内部几何不变体系
若作为几何组成分析的结论， 内部几何不变体系指仅除大地 外的体系的整体。
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(a)
(b)
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(c)
(3)刚片
在平面问题中，刚性体化为平面 内的一个不会有变形的面，则称 这个面为刚片.刚片在其平面内， 任意两点间的距离都保持不变。
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(4)几何瞬变体系
对体系加载时，体系在瞬时内发 生微小位移，然后便成为几何不 变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）
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(a)
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02-2结构力学第二章 平面体系的几何组成分析-作业答案汇总
38 3 2 29 3 3
3个单铰结点, 3个折算为2个单铰结点的复铰结点
支杆
b3
11/73
(II III) 刚片II
(I II)
刚片III
几何不变且无多余约束
j9 单链杆：12根 复链杆：2根 折算为6根单链杆
W 2 j b 29 12 6 0
5/73
【作业1】分析图示体系的几何构造
图3
【作业1】分析图示体系的几何构造
图4
先考察如图所示结构
∞(II III)
9/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
刚片 m 1 单刚结点 g 4 铰结点 h 0 支杆 b 3
内部无多余约束刚片
W 3m 3g 2h b
31 3 4 3 12
10/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
刚片 m 8
单刚结点 g 2
W 3m 3g 2h b
铰结点 h 9
刚片 m 14 单铰链结点 h 18
刚片II
刚片III
(I II)
(I III) 刚片I
瞬变体系
其中折算为2个单铰结点的 复铰结点有6个
∞(II III)
其中折算为3个单铰结点的 复铰结点有2个 单刚结点 2个 g 2 和基础相连的支杆 0个 b 0
W 3m 3g 2h b
314 3 2 218 0
∞(II III)
刚片II (I II) (I III) 刚片III
刚片I
几何不变且无多余约束
(I II) 刚片II (I III) 刚片III
刚片I
几何不变且无多余约束
7/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
图1 并进行几何构造分析
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
结构力学第2章
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析 五、体系的计算自由度与自由度
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1. 计算自由度与自由度的关系
自测
S（自由度） W（计算自由度）= n（多余约束） 2. 自由度与几何体系的关系 几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的 体系都是几何可变体系。 3. 几何性质与静定、超静定的关系 静定、超静定结构都必须是几何不变体系，其中无多 余约束的几何不变体系是静定结构，有多余约束的几何不 变体系是超静定结构。
A B C A D O1 B C
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II
O1 D E
I
F O2
I II
E F III
III (a)
O2
(b)
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析 四、应注意的问题
返回
自测
(1) 刚片必须是内部几何不变的部分。 例如，不能把图a中的 EFGD取作刚片（图b）， 因为它是几何可变的。
烟台大学
A B (a) C C (b) B D A B (c) A C
注意：去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的外 边缘开始进行，而增加二元体是体系的组装过程，应从一 个基本刚片开始。
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析
二、几个容易混淆的概念
返回
自测
E C A D B
1. 二元体
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烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析
返回
自测
例如, 在分析图a 所示体系的几何组成时，可去掉二 元体，体系变为图b。将基础视为刚片，AB杆（刚片Ⅰ）、 BC杆（刚片Ⅱ）与基础（刚片Ⅲ）符合三刚片规律，体 系为无多余约束的几何不变体系。
第2章 平面体系的几何构造分析 五、体系的计算自由度与自由度
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1. 计算自由度与自由度的关系
自测
S（自由度） W（计算自由度）= n（多余约束） 2. 自由度与几何体系的关系 几何不变体系的自由度为零，凡是自由度大于零的 体系都是几何可变体系。 3. 几何性质与静定、超静定的关系 静定、超静定结构都必须是几何不变体系，其中无多 余约束的几何不变体系是静定结构，有多余约束的几何不 变体系是超静定结构。
A B C A D O1 B C
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II
O1 D E
I
F O2
I II
E F III
III (a)
O2
(b)
烟台大学
第2章 平面体系的几何构造分析 四、应注意的问题
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自测
(1) 刚片必须是内部几何不变的部分。 例如，不能把图a中的 EFGD取作刚片（图b）， 因为它是几何可变的。
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A B (a) C C (b) B D A B (c) A C
注意：去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的外 边缘开始进行，而增加二元体是体系的组装过程，应从一 个基本刚片开始。
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第2章 平面体系的几何构造分析
二、几个容易混淆的概念
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自测
E C A D B
1. 二元体
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第2章 平面体系的几何构造分析
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自测
例如, 在分析图a 所示体系的几何组成时，可去掉二 元体，体系变为图b。将基础视为刚片，AB杆（刚片Ⅰ）、 BC杆（刚片Ⅱ）与基础（刚片Ⅲ）符合三刚片规律，体 系为无多余约束的几何不变体系。
结构力学第二章
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。
固定一点
固定两刚片
固定一刚片
36
（2）从内部刚片出发构造 从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
若上部体系与基础由不交于一点的三 杆相连，可去掉基础只分析上部体系
37
（3）从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
利用虚铰
铰杆代替
例如三铰拱
大无地多、余A几C何、不BC变为刚片;A、B、C为单铰
II
A II
I
I
A(∞) II I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平
行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体
系。
31
3. 三刚片规则
三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不 变体系。
II
II
I
I
32
规律1. 规律2. 规律3. 规律4.
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构 使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结 构的多余约束的数目等。
固定一点
固定两刚片
固定一刚片
36
（2）从内部刚片出发构造 从刚片出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
若上部体系与基础由不交于一点的三 杆相连，可去掉基础只分析上部体系
37
（3）从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。
利用虚铰
铰杆代替
例如三铰拱
大无地多、余A几C何、不BC变为刚片;A、B、C为单铰
II
A II
I
I
A(∞) II I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平
行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体
系。
31
3. 三刚片规则
三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不 变体系。
II
II
I
I
32
规律1. 规律2. 规律3. 规律4.
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
《结构力学》习题解答(内含解答图)
习题2-3图习题2-3解答图
解：杆AB由固定支撑与基础联结形成一体，此外，杆AB又用链杆1再与基础联结，故链杆1为多余约束；将此部分取为刚片，杆CD取为刚片，则两刚片用个BC、链杆2、链杆3三根不平行也不交于一点相连，组成几何不变体。所以，体系是具有一个多余约束的几何不变体系。
习题2-4试对图示体系进行几何组成分析。
习题2-8试对图示体系进行几何为了便于分析，对图中的链杆和刚片进行编号，分析过程见图2-21(b)。首先去掉二元体NMI、JNI，然后分析剩余部分。杆AD由固定支撑与基础联结形成一体，构成几何不变体，在此基础上增加二元体DEB、EFC、EHF形成刚片Ⅰ（注意固定铰支座与铰相同）；铰结△GIJ为刚片Ⅱ；刚片I与刚片Ⅱ之间用不交于一点的杆DI、杆GI、杆HJ相连，组成几何不变体。
另外，该题也可用二元体概念求解，即杆AB由固定支撑与基础联结形成一体后，把杆BC和链杆1作为二元体，由规则三，组成几何不变体；再将杆CD和链杆2作为二元体，组成几何不变体，而链杆3为多余约束。
习题2-5试对图示体系进行几何组成分析。
习题2-5图习题2-5解答图
解：地基为刚片I，折杆BCD为刚片Ⅱ(注意曲杆BC与CD在C点刚性联结)，刚片I与刚片Ⅱ之间用不交于一点的链杆1和杆AB、杆ED相连，组成几何不变体，而曲杆AB和ED的联结方式为图（b）中的虚线。
习题2-12图习题2-12解答图
习题2-13试对图示体系进行几何组成分析。
习题2-13图习题2-13解答图
解：将原图结点进行编号，并将支座6换为单铰，如图（b）。取基础为刚片Ⅰ，△134为刚片Ⅱ，△235为刚片Ⅲ，由规则一知，三刚片用三个不共线的铰联结组成几何不变体。在此基础上增加二元体674、785，而杆38看作多余约束。杆910由铰联结着链杆10，可看作二元体，则整个体系为有一个多余约束的几何不变体系。
解：杆AB由固定支撑与基础联结形成一体，此外，杆AB又用链杆1再与基础联结，故链杆1为多余约束；将此部分取为刚片，杆CD取为刚片，则两刚片用个BC、链杆2、链杆3三根不平行也不交于一点相连，组成几何不变体。所以，体系是具有一个多余约束的几何不变体系。
习题2-4试对图示体系进行几何组成分析。
习题2-8试对图示体系进行几何为了便于分析，对图中的链杆和刚片进行编号，分析过程见图2-21(b)。首先去掉二元体NMI、JNI，然后分析剩余部分。杆AD由固定支撑与基础联结形成一体，构成几何不变体，在此基础上增加二元体DEB、EFC、EHF形成刚片Ⅰ（注意固定铰支座与铰相同）；铰结△GIJ为刚片Ⅱ；刚片I与刚片Ⅱ之间用不交于一点的杆DI、杆GI、杆HJ相连，组成几何不变体。
另外，该题也可用二元体概念求解，即杆AB由固定支撑与基础联结形成一体后，把杆BC和链杆1作为二元体，由规则三，组成几何不变体；再将杆CD和链杆2作为二元体，组成几何不变体，而链杆3为多余约束。
习题2-5试对图示体系进行几何组成分析。
习题2-5图习题2-5解答图
解：地基为刚片I，折杆BCD为刚片Ⅱ(注意曲杆BC与CD在C点刚性联结)，刚片I与刚片Ⅱ之间用不交于一点的链杆1和杆AB、杆ED相连，组成几何不变体，而曲杆AB和ED的联结方式为图（b）中的虚线。
习题2-12图习题2-12解答图
习题2-13试对图示体系进行几何组成分析。
习题2-13图习题2-13解答图
解：将原图结点进行编号，并将支座6换为单铰，如图（b）。取基础为刚片Ⅰ，△134为刚片Ⅱ，△235为刚片Ⅲ，由规则一知，三刚片用三个不共线的铰联结组成几何不变体。在此基础上增加二元体674、785，而杆38看作多余约束。杆910由铰联结着链杆10，可看作二元体，则整个体系为有一个多余约束的几何不变体系。
《结构力学》课后习题答案__重庆大学出版社
第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题2.1 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 2.1(5)图(6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题2.1(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
()(a)(b)(c)AEBFCD习题 2.1(6)图【解】（1）正确。
（2）错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。
只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。
CEF 不是二元体。
（6）错误。
ABC 不是二元体。
（7）错误。
EDF 不是二元体。
习题2.2 填空(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题 2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题2.2(3)图(4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(4)图(5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(5)图(6) 习题2.2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。