伯特兰德(Bertrand)价格竞争模型

伯特兰德（Bertrand ）价格竞争模型
伯特兰德模型是由法国经济学家约瑟夫·伯特兰德（Joseph Bertrand ）于1883年提出的一个竞争模型。

它是分析寡头垄断市场上企业价格竞争的模型，这与古诺竞争模型是不同的。

古诺模型是把产量作为企业决策的变量，是一种产量竞争模型。

实际上，在企业的实际竞争过程中，定价是企业决策更基本的战略，每个企业所面临的消费者需求的大小往往取决于其定价。

特别是当市场上企业的数量较少时，企业在定价策略上的差异对企业产品需求的影响更为明显。

因此，伯特兰德模型对于研究寡头垄断企业的价格竞争行为的特征及其影响具有重要作用。

一、生产同质产品的伯特兰德竞争模型
假定市场上只有两家企业：企业1和企业2，双方同时定价，它们生产的产品完全相同（即同质），寡头企业的成本函数也完全相同：生产的边际成本等于单位成本c ，且假设不存在固定成本。

市场需求函数()P D 是线性函数，相互之间没有任何正式的或非正式的串谋行为。

由于两个寡头垄断企业生产的产品同质，因而具有完全的替代性，所以两个企业中定价低者将获得所有需求，而定价高者将失去整个市场；如果两个企业定价相同，则他们将平分市场。

即若有企业1、企业2两企业，若企业1的定价1P 低于企业2的定价2P ，则企业1获得的需求)(1P D 将是整个市场的需求，而企业2的市场需求则为零；若双方定价相同，1P =2P =P ，则双方将平分市场，都将获得相当于整个市场需求量的一半，即2
1()P D 。

在上述情况下，两个企业中每一个企业的最优定价战略取决于其对另一家企业定价的推测。

（1）假设企业1预计企业2的定价将高于垄断价格，那么企业1的最优战略是按照垄断水平定价，此时它将获得所有的需求和垄断利润（即可能的最大利润）。

（2）假如企业1预计企业2的定价低于垄断水平，但高于边际成本，那么企业1的最优战略是定价略低于企业2，价格制定得偏高会导致零需求和零利润，而价格制定得略低将使企业1获得所有的需求，但利润要少一些。

价格定得越低，所得利润越少。

（3）假如企业1预计企业2的定价低于边际成本，那么企业1的最优选择是制定相当于边际成本的价格。

也即是，当MC P <2时，企业1选择价格MC P =1；当m P P MC <<2（垄断价格）时，企业1选择略低于2P 的定价1P ；当m P P >2时，企业1选择垄断价格m P P =1。

与古诺模型一样，上述最优定价过程是企业1对企业2选择的最优反应，用反应函数表示即是：企业1的最优反应函数)(21P P *
是指企业1针对企业2确定的每个价格而制定的最优价格；反之，企业2的最优反应函数)(12P P *是指企业2针对企业1确定的每个价格而制定的最优价格。

两个企业的反应函数及其纳什均衡水平见下图。

图8-2伯特兰德竞争模型
在上图中，)(21P P *、)(12P P *分别是企业1和企业2的最优反应函数，两个坐标轴分别代表两个企业的策略选择。

由于企业2与企业1具有相同的边际成本，所以它们的反应函数曲线形状相
同，并且关于45°线对称。

两条反应曲线的交点N 表示该博弈的纳什均衡点。

在这里，纳什均衡是一对价格战略的组合，此时没有哪个企业能通过单方面改变价格而获利。

该均衡点N 既是企业1的最优定价)(211P P P *
=，又是企业2的最优定价)(122P P P *=。

另外，这两个企业的最优定价都等于边际成本，即MC P P ==**21。

通过以上分析可知，在两企业产品同质且边际成本不变的条件下，伯特兰德模型存在唯一的纳什均衡，这时两家企业的价格相同，且都等于边际成本，利润等于零（但仍获得正常利润）。

伯特兰德悖论及其解释 伯特兰德均衡说明，只要市场上有两个或两个以上生产同样产品的企业，则没有一个企业可以控制市场价格，获取垄断利润。

根据该模型的推导可知，超过边际成本的价格不是均衡价格。

在该价格水平上，至少有一家企业存在以低于对手的价格出售其产品，从而获得所有市场需求的动机。

而在现实市场上，企业间的价格竞争往往并没有使均衡价格降低到等于边际成本的水平上，而是高于边际成本。

对于大多数产业而言，即使只有两个竞争者，它们也能获得超额利润。

这与伯特兰德模型的得出的结论是不一致的，这被称为“伯特兰德悖论”。

对“伯特兰德悖论”的解释，主要有三种理论：
1.产品差别（Product differentiation ）理论。

该模型假定两个生产者生产并销售同质产品，是完全可以相互替代的，这会引发企业间的价格战，使价格趋于边际成本。

但现实中，企业生产的产品是存在差异的，这种差异可以是多个方面。

在双寡头垄断价格竞争中，如果企业销售的产品不同，那么，就没有必要像在该模型中所得到的那样把价格降到边际成本的水平，并且在这时，以低于竞争对手的价格出售产品并不能保证能够获得整个市场的需求。

2.动态竞争（dynamic competition ）理论。

在该模型中假定企业只是在一个时期展开竞争，即只制定一次价格。

实际上，削价往往会引起价格战。

这样，当一家企业看到自己降价后会引起另一家企业更低定价的报复，这家企业未必还敢降价。

即使真的降价，也并不能保证它能够获得整个市场需求，也许在短期内可能。

由于该模型是静态的，故没有考虑企业价格战所造成的对企业定价的影响。

一旦考虑了动态竞争因素，即使在企业制定相同价格和产品同质的情况下，仍存在高于边际成本的均衡价格。

3.生产能力约束（capacity constraints ）理论。

这一解释最早是由埃奇沃斯（Edgeworth ）提出来的。

他在1897年发表的论文《关于垄断的纯粹理论》中指出，由于现实中企业的生产能力是有限的，所以只要一个企业的全部生产能力可供量不能全部满足社会需求，则另一个企业对于尚未满足的那部分社会需求就可以收取超过边际成本的价格。

而伯特兰德模型的一个重要假定是企业没有生产能力约束。

因此，模型的结论与现实存在一定的差异也就是自然的了。

二、存在产品差别的伯特兰德竞争模型
考虑两种有差别的产品，如果企业1和企业2分别选择价格1P 和2P ，消费者对企业i 的产品的需求为：j i j i i bP P a P P q +-=),(，其中，0>b ，即只限于企业i 的产品为企业j 产品的替代品的情况。

这里也假定企业生产没有固定成本，并且边际成本为常数c ，a c <，两个企业同时选择各自的价格。

每个企业的战略空间可表示为所有非负实数),0[∞=i S ，其中企业i 的一个典型战略i s 是所选择的价格0≥i P 。

假定每个企业的收益函数等于其利润额，当企业i 选择价格i P ，其竞争对手选择价格j P 时，企业i 的利润为：
))(())(,(),(c P bP P a c P P P q P P i j i i j i i j i i -+-=-=π
则价格组合),(21**P P 若是纳什均衡，则对每个企业i ，*i P 应是以下最优化问题的解：
))((m ax ),(m ax 00c P bP P a P P i j i P j i i P i i -+-=*
∞≤≤*∞≤≤π 对企业i 求此最优化问题的解为：
)(2
1c bP a P j i ++=** 由上可知，若价格组合),(21**P P 为纳什均衡，企业选择的价格应满足
)(2121c bP a P ++=**和)(2
112c bP a P ++=**
联立以上两式，解得b c a P P -+=
=**221 ),(21**P P 即是伯特兰德博弈的唯一纳什均衡，将*1P 、*2P 代入得益函数，即可得到均衡时两企业的得益。

若有具体数字，代入上述各式，可得到具体的结果。

可以看到，伯特兰德模型中的价格决策与古诺模型中的产量决策一样，其纳什均衡结果同样劣于各博弈方通过协商、合谋所得到的结果。

但与古诺产量均衡一样，伯特兰德价格竞争中企业的合谋结果也是一种不稳定的状态，各博弈方都存在偏离这种状态的动机。

只有纳什均衡价格组合，才是一种稳定的状态，这时两个企业都不再有偏离这种状态的动机。