混沌学浅议
混沌理论学习的总结
(1)
式中 τ 为时间延迟，m 为嵌入维数。 （2） 选取邻近点。设中心点 XM 的 K 个邻近相点为（XMi=1,2…,K） ，到中心点 XM 的欧式距 离为 d i ，设 dmin 是 d i 中最小值，定义 X Mi 的权值为 Pi ，则
di X M X Mi
判断系统是否具有混沌特征（需先求出 τ 和 m） 常用表征系统是否具有混沌特征一般有两类方法：定性方法（功率谱）和定量方法（最 大Lyapunov指数） 。利用Fourier分析法求出时间序列的功率谱，从而可以识别该时间序列表征 的动力系统的规则性态与不规则性态。若时间序列具有混沌特征，则其功率谱具有连续性、 噪声背景和宽峰特征等图形特征；若时间序列是确定性的周期系统，则其功率谱是仅包含有 基频和其谐波或分频的离散波形；若时间序列是确定性的准周期系统，则其功率谱是包括不 同层次频率的离散波形，但谱线并不像周期运动那样以某间隔的频率分离。 最大Lyapunov指数是评判和表征非线性时间序列混沌特性的重要参数，是一个非常关键 的混沌不变量。Lyapunov指数是用来描述混沌系统内部相邻相点间辐散的平均速率（其中正 Lyapunov指数值（ Lyapunov指数＞0）评判两个相邻轨道的平均指数分离程度，负 Lyapunov 指数值（Lyapunov指数＜0）评判两个相邻轨道的平均指数靠拢程度） 。如果一个非线性系统 是离散的，那么正Lyapunov指数则是衡量系统是否混沌的一个重要指标。 （PS：Lyapunov指数 的倒数就是有效预测步数！ ） 从时间序列的角度来研究混沌，我们知道对于决定系统长期演化的任一变量均包含了系 统所有变量长期演化的所有信息。因此，我们可以通过决定系统的长期演化的任一单变量时 间序列来研究系统的混沌行为，于是帕卡德（Packard）等人提出的重构相空间理论。 相空间的重构： 混沌动力学系统分析的第一步是相空间重构。由 Takens 定理可知系统中任意一个分量的 演化均是由与它相互作用的其它分量所决定的。所以，这些相关分量的数据信息隐含在任意 一分量的变化过程中，系统相空间的重构只需要考察其中的一个分量，再通过某些延时点上 的观测数值找到如 Y={x(i),x(i+τ),…,x(i+(m-1)τ},x(i+ (m-1)τ)}所示的 m 维向量，就能重构出一 个等价的相空间用于恢复原有的动力学系统。 从 Y 中可以看出， 未知参数只有 m 和 τ， 所以， 如何选择适当的嵌入维数 m 和延迟时间 τ 是相空间重构的主要研究内容。 举例： 设时间序列为 X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}，假设算出此时间序 列的 τ=3，m=5。则相空间重构有：M=N-（m-1）τ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
浅谈混沌理论
浅谈混沌理论《科学方法论》课程论文学院：公共管理学院专业：科技哲学指导老师 : 蒙绍荣教授学号： 1022301013姓名：朱严峰一、混沌理论的提出——由线性科学到非线性科学线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系。
例如：v1、线性科学的成就由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的。
例如：经典物理学中，首先考察的是没有摩擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。
理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性效应。
经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，如牛顿经典力学等；就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。
从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。
线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。
2、线性科学的局限线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或“科学思想”，认为线性系统才是客观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍规律，才能建立一般原理和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。
由此得出结论说，线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。
3、线性科学和非线性科学的差异线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。
1）从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或可还原性，部分之和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因素单独作用效应的加和；因而描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理线性问题的有效方法；非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效。
混沌学
身边的混沌学
2 大脑的混沌规律 这个过程为什么说是混沌的呢？
因为人类的大脑是最复杂的 物体，近十年来的神经生理学 的研究已经让人们更多地认识 了大脑。 大脑中神经元的工作机理也逐 步清晰：一些比较底层的神经元 （是指执行最基本任务的神经元） 从它的数千个树突上获得外界的 信号，然后这些神经元的任务就 是做出评判。
混沌也不是独立存在的科学，它与其 它各门科学互相促进、互相依靠，由此派 生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌 经济学、混沌数学以及混沌在学习中的奥 妙等。混沌学不仅极具研究价值，而且有 现实应用价值，能直接或间接创造财富。
混沌学的应用进展
混沌思想已被一群数学家和物理学 家，变成了一项非常有用的实用技 术，即混沌控制。
洛伦兹在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。 他原本的意图是利用计算机的高速运算来提高天气预 报的准确性。但是，事与愿违，多次计算表明，初始 条件的极微小差异，均会导致计算结果的很大不同。
身边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ混沌学
1 混沌与学习的关系
人的学习活动从微观尺度 到宏观尺度都有混沌的潜规 则在发挥作用，这些作用甚 至可能完全改变一个人的终 身轨迹，可能会有巨大的成 功，也可能会陷入不可避免 的怪圈中。 n “不积跬步，无以至千里” n “勿以善小而不为，勿以 恶小而为之”
一则西方寓言： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。 马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条 件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是 一个帝国存与亡的根本差别。 这就是军事和政治领域中所谓的"蝴蝶效应"。
人行道上 摆满自行车
浅谈混沌理论
浅谈混沌与世间种种巨大的力量相比，扇动着翅膀的蝴蝶似乎没多大力量。
然而有一句谚语却说：“中国上空的一只蝴蝶振动双翅，美国某处便下起了大雨。
”混沌理论可以证明这一谚语。
对蝴蝶力量的科学洞察始于洛伦兹的工作。
洛伦兹是一位气象学家，也被尊称为混沌理论的缔造者之一。
当时，洛伦兹正在检验一个简单的气象预测模型。
洛伦兹完成了冗长的计算后，需要对结果进行复核，他将 0. 506而不是初始的精确值 0.506127作为初值输入计算机。
他知道这样做将产生千分之一的误差，并预计在其气象预测中和原来的计算将有同等大小的差异。
然而，令他大为吃惊的是，新的天气预报和原先的结果几乎没有什么相似之处，他立即意识到了问题的症结所在：当计算机反馈出每一步的结果并作为原数据重新输入时，两组数据开始时的细微差别被迅速放大为巨大的差异。
这万分之一的误差——这种误差大约相当于多了一阵轻柔的微风——很快就使天气预报变成了一片混乱。
他用图像来模拟气候的变化 ，最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅。
这就是我们今天所熟知的 “蝴蝶效应“， 从科学的角度来看，蝴蝶效应反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。
混沌理论认为：在混沌系统中，初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
正所谓失之毫厘，谬以千里。
对气象工作者来说，那一天是黑暗的日子。
洛伦兹意识到：“如果大气层真是这样活动的话， 那么要想做出长期气象预报几乎是不可能了。
”但这一天的经历并非只对气象工作者有意义。
他冲破了束缚人们思想的堤坝，并为新的研究领域的开辟奠定了基石，由此引入了混沌这一理论。
我们再来看看一个简单的物理系统-单摆。
在一根不能伸缩的长度为 Z 的细线下端悬挂一个小球，微微移动后，就可以在一竖直面内来回摆动，这种装置称为单摆。
只要有一定物理常识就知道，在一定的条件下(忽略细线质量、空气阻力及系统内的摩擦力，且摆角) ，回复力 F=一k x ，单摆振动的回复力跟位移成正比而方向相反，单摆做简谐振动。
“混沌学”告诉人们未来是不可能完全预测的
“混沌学”告诉人们未来是不可能完全预测的也许你没有意识到，当有人问你：明天有雨吗？你的回答其实是在预测未来。
在生活中这样的例子屡见不鲜：如股票行情预测、奥运会金牌竞猜、足球世界杯竞猜、等等。
预测未来实际上已经成为人们的生活内容和方式之一，甚至还成为未来学家的专业。
那么，未来真的是可预测的吗？在现实生活中，人们总是习惯于由已知推测未来，由现在推测将来，虽然这种推测失误率相当高，但是人们一般不认为自己的思想方法有问题，而是觉得自己“预测”的能力和水平不够，这种观念实际上源于人们常常把事物看成简单、直线式的发展和有规则（比如周期性）运动的习惯性错误。
说其“错误”是因为，作为现代科学的前沿学科之一的混沌学研究表明，未来是不可能完全预测的。
所谓“混沌”原意指混乱、无序；未开化，不开通。
混沌现象指的是自然界中那些不确定的、随机的、模糊的、复杂的状态和行为。
混沌理论把现实世界划分为确定性和不确定性的两种事件和过程，前者的特点是其未来可预测，如日出日落、四季更替等；后者的特点是有许多偶然的、随机的和模糊的因素在事件过程中起作用，因而使得其未来不可预测，比如投掷硬币、摇奖，等。
混沌理论认为，混沌是自然界中比确定性和有序的现象更为普遍的现象，其根本特征或起源可归结为事物的运动变化对初始条件的敏感依赖性，即初始条件的任何微小的差异，可能导致完全不同的结果。
这使得人们只能预测事件系统的短期行为，而对于系统的长期行为，原则上是不可预测的，这也是为什么随着技术的进步，短期天气预报越来越准，而长期天气预报却没有多大进展的原因。
科学家们用混沌理论来说明对自然现象的变化作出预报的可能与不可能：由于大气运动存在着广泛而典型的混沌现象，所以短期天气预报是可能的，但长期预报却极其困难；由于地震、飓风、洪水、森林火灾的发生等“地球行为”是混沌运动的结果，目前人类都无法对这些自然灾害作出长期（一年或一年以上）和中期（一个月到几个星期）的预报，只有短期的预报才有一定可能。
浅谈混沌理论
目录摘要...............................................................目录............................................................... 引言...............................................................一、混沌理论的提出——由线性科学到非线性科学........................线性科学的成就..................................................... 线性科学的局限..................................................... 线性科学和非线性科学的差异.........................................二、混沌理论——无序中的有序.......................................蝴蝶效应........................................................... 蝴蝶效应与混沌学................................................... 什么是混沌呢....................................................... 混沌的特征.........................................................对初始条件的敏感依赖性...........................................极为有限的可预测性...............................................混沌的内部存在着超载的有序....................................... 混沌学的意义....................................................... 身边的混沌现象.....................................................三、混沌的应用.....................................................混沌与经济学....................................................... 混沌与艺术.........................................................四、总结........................................................... 参考文献...........................................................引言说起“混沌”这个词，我们中国人首先想到的是我国古代传说中宇宙形成以前模糊一团的景象，即古哲学中认为盘古开天辟地之前，天地处于混沌状态。
混沌的道理
混沌的道理
混沌的道理是指一种没有明确秩序或规则的状态或状态，是不确定和不可预测的。
混沌理论认为，通过非线性动力学系统的研究，可以揭示在看似不规则的混乱中存在着一定的隐含规律。
混沌理论认为，即使在一个连续演变的系统中，微小的变动也可能产生巨大的影响，从而导致系统的不可预测性。
这表明一些本质上复杂的系统，如天气模式、金融市场、心脏跳动等都可以归类为混沌系统。
混沌的道理也可以理解为一种对于事物和世界的一种思考方式。
混沌的道理认为，世界并不总是按照人们的期待和规则进行。
事物或现象是否按照规定进行，常常取决于诸多因素的复杂相互作用，而不是简单的线性或可预测的关系。
因此，我们应当接受和应对事物的不确定性和变化，而不是一味追求完美的秩序或规则。
混沌的道理也提醒我们要关注于变化、不确定性和复杂性，从中寻找新的可能性和机会。
通过适应和把握事物的不确定性，我们可以更好地应对变化和创新，提高个人和组织的适应性和竞争力。
混沌理论浅说
混沌理论浅说混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。
在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。
这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。
一·混沌学形成的背景在经典力学中，简化的力学模型人为地排除了偶然性，把必然性强烈地体现出来。
根据牛顿的动力学方程，可以从物体的初始状态准确地计算出在此之前或以后的任一时刻的运动状态，这些运动状态之间具有确定的、必然的因果联系。
拉普拉斯虽然对牛顿的一些错误观点作了尖锐的批判，但他却像牛顿一样积极宣传机械论，并把机械决定论推到了极端。
他在《概率论》引言中说：“让我们想象有个精灵，它知道在一定时刻的自然界里一切的作用力和组成这个世界的一切东西的位置；让我们又假定，这个精灵能够用数学分析来处理这些数据，由此，它能够得到这样的结果：把宇宙中最大物体的运动和最轻原子的运动都包括在同一个公式里。
对于这个精灵来说，没有不确定的东西。
过去和未来都会呈现在它的眼前。
”［1］1963年美国气象学家爱德华·诺顿·劳仑次]]提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。
混沌理论解释了决定系统可能产生[[随机]]结果。
理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。
在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用二·混沌理论的基本概念混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。
一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性——不可重复、不可预测，这就是混沌现象[2]1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断[3]：“在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风”，并由此提出了天气的不可准确预报性。
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然界 的各个部分 。从伽利 略， 到牛顿完成 ， 牛顿的万有引力定律 成为近代 自然科学 的统一基础 。近代 自然科 学的世界 图景及方
法论特点便是机械唯物论 。然而 ， 科学 的视野也更多甚至全部被 限制到 了 自然界 的局部和线 形 、 连续性 、 光滑性 、 有续 性问题方 面， 其典型的思维模式便是 ： 首先认 为事 物一定有一个确定 的答
・
作 者 简介 ： 霍
剑 ， ，９ ０年 出生 ，０ ８ 毕业于山西财经 男 １８ ２０ 年
山西科技
Ｓ Ａ Ｘ ＣＥ Ｃ Ｎ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ Ｙ Ｈ Ｎ Ｉ ＩＮ ＥＡ ＤＴ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ Ｓ
２１ ０ ２年
第２ ７卷
第 ５期
● 问题 探 讨 混 沌 学 浅 议 Nhomakorabea霍 剑
（ 山西省 科技 发展 战略 研究所 ， 山西太原 ， ３ ０ ２ ０ ００ ）
摘 要： 通过对混沌现象的介绍， 了混沌运动的具体机制及混沌学在各个学科领域的应用。 浅议
系统中存在的一种普遍现象 ，它是非线形系统所特有 的一 种复 杂状态 ， 常常是 不可积 的或者是离散性质 的动力学系统。而这也
正是经典力学没 有重视 ，无法 处理或将其简化处理 的那一 类还
包含着更深刻丰富的规律性系统 。 混 沌学的出现修 正了科学 所描述的 自然 图景 ，人们 原来限
文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ４ ６ ２ （０ ２ ０ — ０ ５ ０ １０ — ４ ９ ２ １ ）５ ０ １ — ３
关键词 ： 混沌 ； 混沌学； 浅议
中图 分 类 号 ： ０１ １
混沌论 在现代科 学技 术发展中起着十分重要 的作 用 ，正如 美 国科学家施策辛格所说 ，２ “Ｏ世纪科学将永远铭记的只有三件 事， 那就是相对论 、 量子论和混沌论 ” 。物理学 家福特也认为混沌
也可以说它是近似于确定 性的 ， 然而却不是看起来 像确定性 的 ，
换 句话说 ， 现有状态完全或几乎完全决定未来 ， 但却不是 看上去
如此。
研 究混沌学及混沌理论的创建 ，不能不提 到美 国气 象学家
洛伦兹 （ ｄ ａｄ１ ｅｚ在这方面 的卓越贡献 。１６ 年 ， Ｅ ｎｒ．ｒｎ ） ｏ ９ ３ 洛伦兹根
混 沌 一 词 译 自英 文 “ｈｏ” “ｈ ｏ” 词 源 自希 腊 文 ， 意 ｃ ａｓ ， ｃ ａｓ一 原
１ 混 沌 现 象 的 重视 引发 一 门新 学 科
１１ 近代 自然科学的方法论特点 ． 到 了近代 ， 自然科学开始按不 同学科靠 实验 和分析把握 自
是指先于一切事物而存在 的广袤虚无 的空 间。人 类 自古便有混 沌这一概念 ，易乾凿度》 《 上讲 ：气似 质具 而未相离 ， 之混沌” “ 谓 ；
性 的 行 为 ； 者 ， 考 虑 它 出 在 稍 微 有 点 随 机 性 的 实 际 系统 中 ， 或 若
近代 自然科 学家特别 是物理学 家在探索 自然规律 的科 学实
践 过程 中， 一直忽略无序 的存在。而存 在于大气 、 海洋湍 流、 野生 动物种群数的涨落以及心脏与大脑的振动 中的 自然界 的不规则 方面 ， 不连续 、 不稳定方面 ， 一直都是科 学的难题 。与近代科学不 同 ，上个世 纪 ７ Ｏ年代 ，美 欧少数科学家 开始找 到了无序 的 门 径—— 开创 了混沌学 。二三十年问 ， 门新 兴学科在理论概念及 这 实际应用上迅速发展 ， 已渗透到各个学科和领域 。混沌是非线形
１２ 混 沌 开创 新 科 学 －
精致 的晶体 。数学家维纳 （ ． ｅｅ） ＮＷｉ ｒ用这个单词 “ｈｏ” ｎ ｃａｓ来强调 说 明诸 如一群 随机分 布的气体分子 或云中杂乱无章 的水滴群 这 样 的系统 。可以肯定 的是 目前存在 多种 新的混沌的定义 。在这
里 ，我们试 图将 混沌 理解 为它是一 种确定的系统 中出现 的无 规 则运动 。混沌理论所研究的是非线形动力学混沌 ， 目的是要揭示 貌似 随机 的现象 背后 隐藏 的简单规 律 ，以求发现一大类复杂 问 题普遍遵循 的共 同规律。洛伦兹 曾经指 出， 混沌可 以说它是确定
是２ ０世纪科学上的第三次革命 。他说 ：相对论消除了关于绝对 “
空间和时间的幻象 ，量子论消除了关于可控测量过程 的牛顿式 的迷梦 ，而混沌论则消除 了拉普拉斯关 于决定论 式可预测性 的
幻想。”
于简单系统 的观念发生 了革命 性的转变 ，使人们更 清楚地认识
了简单 与复杂 、 确定 与随机 的内在联系。
（ Ｓｅ ｇｒ） Ｉ ｔｎｅｓ的力作《 从混沌 到有 序》 研究 了许 多无序系统 自发地 获得有序结构 的方式 ，如无定 型的液体 如何 在冷却时 固化形成
的、 简单的事物分别加 以分析研究并进而来说明大的事物。难怪 伟 大的法国数学家和 自然哲学 家拉 普拉斯曾骄傲地宣称 ：只要
人们 找到一个无所不包 的宇宙方程 ，而且也知道宇宙 的一 切初 始条件和边界条件 ， 那么 ， 宇宙过去或将来的一切状态都会 昭然 若揭 。
据牛顿定律建立了温度压强 ，压强和风速之 间的非 线形方程并
收稿 日期 ： ０ ２ ８ ２ ２ １ —０ － ５
将其运用于计算机上 ， 进行模拟实验 ， 因嫌那些参数 小数点后面
的位数太 多 ， 输人时很烦 琐 ， 便舍去 了几位 ， 管舍去部分 微不 尽 足道 ， 可是结果却大大 出乎 意料 ： 该气象模型竟 与没有舍去几位
案 ， 能 为 我 们 所 认 识 ， 时 ， 的 、 杂 的 事 物 可 以分 解 为 小 并 同 大 复
《 子》 庄 内篇七末尾上讲 ：中央之帝 为混沌 ”《 “ ；旧约》 开卷第一句
话便是“ 起初神创造天地 。地是虚空混沌 ， 渊面黑 暗； 神的灵行在
水面上” 。然而给混沌下一个确切的定义却并非一件易事 。诺 贝 尔奖获得 者 ， 物理化学 家普里高津 （ Ｐｉｏｉ ） Ｉ ｒ ｇｎ 及其 同事斯坦格 ｇ ｅ