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今天分享复杂性科学领域⾥⾯⼀个⾮常本质的理论：混沌理论。本⽂将介绍混沌理论的基本概念，相关概念，著名学者，⼀些学习资源推介，供⼤家深⼊学习。

⽬录

⼀、什么是混沌理论？

⼆、混沌理论的相关概念

三、混沌理论的⼏个典型⽰例

四、相关资源推荐

五、集智百科词条志愿者招募

1、什么是混沌理论？

“南美洲⼀只蝴蝶扇⼀扇翅膀，就可能会在佛罗⾥达引起⼀场飓风。”想必⼤家对这样⼀句话都不陌⽣，这⾥描述的就是⼀种典型的混沌现象：蝴蝶效应。

混沌是⼀个由⾮线性效应引起的⼀个相当独特的现象，具有对初值的敏感性、⽆周期性、长期不可预测性以及分形性和普适性等特点。混沌理论则是研究这⼀类典型现象的理论，是系统从有序突然变为⽆序状态的⼀种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。

2.混沌的重要概念

混沌边缘（Edge of chaos）

混沌边缘（Edge of chaos）是⼀个⽤来形容由计算机科学家克⾥斯托弗·朗顿发现的现象。最开始该现象被⽤来描述⼀个变量λ的⼀段取值范围，该变量是作为细胞⾃动机的⼀个参数。当λ变化，细胞⾃动机的⾏为会产⽣相变。克⾥斯托弗·朗顿（Christopher Langton)发现λ的某⼀⼩段取值可以使细胞⾃动机具有通⽤计算的能⼒。根据λ的连续变化能够得到四种细胞⾃动机之间的过渡转化图景即：固定点->周期->复杂->混沌，因此我们说，复杂的结构诞⽣于混沌的边缘。

点击官⽹链接体验不同阈值下的混沌边缘状态

吸引⼦（Attractor）

吸引⼦（Attractor）是微积分和系统科学论中的⼀个概念。⼀个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引⼦。吸引⼦分为平庸吸引⼦和奇异吸引⼦。例如⼀个钟摆系统，它有⼀个平庸吸引⼦，这个吸引⼦使钟摆系统向停⽌晃动的稳态发展。⽽不属于平庸的吸引⼦的都称为奇异吸引⼦，它表现了混沌系统中⾮周期性，⽆序的系统状态，例如洛伦兹吸引⼦（Lorenzoscillator）。

混沌

1 混沌

摘要：本文通过简要解释混沌理论的定义，介绍了发展的背景，概括了混沌理论在现代科学中各方面的理论要点，然后涉及到文化领域，最后总结混沌理论的发展前景，作为一门新科学，有待人们去探索。

关键词：混沌理论，蝴蝶效应，理论要点，文化领域

1、引言

2、定义

3、发展背景

4、混沌理论要点

4.1、非线性系统的非因果性

4.2、对初始条件的极端敏感依赖性

4.3、能量法则

4.4、分形

4.5、自相似性

4.6、自组织性

5、文化领域

5.1、决定论的破产

5.2、有序与无序的认识

5.3、必然性与偶然性之间的关系

5.4、系统间的相互依存

5.5、古代智慧

5.6、新的整体观

6、总结

引言

气似质具而未相离谓之混沌——《易乾凿度》

蝴蝶效应——在我小时候，某个东西的流行总是突然到来，也总是突然结束。比如有一阵突然流行拍纸牌，结果全校到处都在拍纸牌。有一阵流行玩一种角色扮演的纸牌，结果全

校都在玩这个游戏。有一阵特别流行吃蜜蜂糕，结果学校周边到处都在买蜜蜂糕。孩子们的兴致总是让人着不着头脑，而学校周边精明的商家也特别关心孩子们的动向，一有机会就大笔敛财。

混沌，这个在中外文化中渊流悠久的词儿，正在成为具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字，它正在促使整个现代知识体系成为新科学。

混沌理论，最初用于理解产生暴风雨、洪水和飓风的运动，如今正被运用于从医学、战争到组织如何形成、变化的社会动力学和理论。混沌正从一个科学理论演变成文化隐喻。

混沌研究的进展，无疑是非线性科学最重要的成就之一。它正在消除对于统一的自然界的决定论和概率论两大对立描述体系间的鸿沟，使复杂系统的理论开始建立在“有限性”这个更符合客观实际的基础之上。跨越学科界限，是混沌研究的重要特点。普适性、标度性、自相似性、分形几何学、符号动力学，重整化群等等概念和方法，正在超越原来数理科学的狭窄背景，走进化学、生物、地学，乃至社会科学的广阔天地。越来越多的人认识到，这是 1 相对论和量子力学问世以来，对人类整个知识体系的又一次巨大冲击。

比尔.威廉姆斯的混沌理论

比尔.威廉姆斯的混沌理论（一）

Bill Williams Chaos Theory

比尔.威廉姆斯博士在金融界绝对算是一个名人，他发明了多个非常流行的指标。他从事交易将进四十年，在1995年他著作了有关混沌理论的书籍（Trading chaos），本文节录了书中的重点和实际操作方法。他把交易心理和混沌理论组合在一起发明了他的混沌理论。他认为交易结果是由心态决定的，在看起来非常混乱的市场中，任何人只有能发掘出隐藏的决定因素就能致胜。

他认为单凭技术面分析不能真正地看清市场情况，所以不能保证长期盈利。而其它的单一分析也一样，不太可能在一个非线性，动态的市场中取胜。

交易是一个心理游戏，是一个自我认识，自我学习的过程，所以要想成功首先要彻底认识作为交易者的自己，并且不断加强自己的知识认识市场的结构。

比尔认为在金融市场赚钱还是比较容易的，只有真正认识市场的结构和它的各个层次。这些层次包括：

空间：分析型（Fxactal）

能量：动量（Momentum）

力量：加减速（Acceleration/Deceleration）

区域：能量和力量的综合

平衡线：吸引因素

值得一提的是当第一层次的分量指标，显示一个交易信号后，应该忽视其它层次的信号，其次层次的信号可以用来增加仓位，所以一次30%的走势往往可以产生90%-12%的利润。

比尔的平仓策略对价格变化非常敏感，常能追到趋势的最后10%。他的交易常能捕获80%以上的趋势，所以很受汇市交易者的追择。

鳄鱼线（Alligator）

比尔形容鳄鱼线就像指南针一样，能指出交易的正确方向，它能找到趋势并且避免在盘整时交易以免遭致损失，鳄鱼指标有三条线：

它们其实是三条移动平均线，蓝线代表鳄鱼下巴，是13时段中间价（（最高价+最低价）/2）平移8。红线代表鳄鱼牙，它是8时段中间价平移5，绿线代表鳄鱼唇，他是5时段中间价平移2.

如果三条线都纠缠在一起，表示鳄鱼在睡觉，市场在盘整，鳄鱼睡的时间越长它就会越饿，当它醒来后就会追价格追得越远，代表趋势越强烈，这是鳄鱼会张大了嘴巴，所以鳄鱼线会分得很开。

浅谈混沌理论

浅谈混沌

与世间种种巨大的力量相比，扇动着翅膀的蝴蝶似乎没多大力量。然而有一句谚语却

说：“中国上空的一只蝴蝶振动双翅，美国某处便下起了大雨。”混沌理论可以证明这一谚语。

对蝴蝶力量的科学洞察始于洛伦兹的工作。洛伦兹是一位气象学家，也被尊称为混沌理论的

缔造者之一。当时，洛伦兹正在检验一个简单的气象预测模型。洛伦兹完成了冗长的计算后，

需要对结果进行复核，他将 0. 506而不是初始的精确值 0.506127作为初值输入计算机。他

知道这样做将产生千分之一的误差，并预计在其气象预测中和原来的计算将有同等大小的差

异。然而，令他大为吃惊的是，新的天气预报和原先的结果几乎没有什么相似之处，他立即

意识到了问题的症结所在：当计算机反馈出每一步的结果并作为原数据重新输入时，两组数

据开始时的细微差别被迅速放大为巨大的差异。这万分之一的误差——这种误差大约相当于

多了一阵轻柔的微风——很快就使天气预报变成了一片混乱。他用图像来模拟气候的变化，

最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅。这就是我们今天所熟知的 “蝴

蝶效应“，从科学的角度来看，蝴蝶效应反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行

为对初始条件的敏感依赖性。混沌理论认为：在混沌系统中，初始条件十分微小的变化经过

不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。正所谓失之毫厘，谬以千里。对气象工作

者来说，那一天是黑暗的日子。洛伦兹意识到：“如果大气层真是这样活动的话，那么要想

做出长期气象预报几乎是不可能了。”但这一天的经历并非只对气象工作者有意义。他冲破

了束缚人们思想的堤坝，并为新的研究领域的开辟奠定了基石，由此引入了混沌这一理论。我们再来看看一个简单的物理系统-单摆。在一根不能伸缩的长度为 Z 的细线下端悬

挂一个小球，微微移动后，就可以在一竖直面内来回摆动，这种装置称为单摆。只要有一定

物理常识就知道，在一定的条件下(忽略细线质量、空气阻力及系统内的摩擦力，且摆角

生命科学中的混沌理论与应用

生命科学是一门研究生命现象的学科，它包含了分子生物学、遗传学、细胞生物学、发育生物学、生物物理学等多个分支学科。生命科学的发展，不仅是一门科学探索的过程，同时也是对人类认知自身、改变自身的历程。而混沌理论，则是生命科学中一个新兴而有潜力的领域。

混沌理论最初起源于物理学领域，它指的是非线性系统中的一种动态行为，也就是说当系统非常敏感地依赖于输入的小变化时，系统的行为就会表现出随机、无规律的、似乎没有任何规律可循的特点。混沌理论的核心思想是探究由简单系统规律的微小变化而产生的复杂行为，以及这些行为对系统整体性质的影响。混沌现象的发现，为科学研究带来了深远的影响，不仅是物理学，化学、生物学等领域也逐渐引进了混沌理论，并开始探究混沌现象在这些领域的表现和应用。

在生命科学领域，混沌理论的应用日渐扩展。生命科学中的混沌现象，是由分子层面的随机行为所导致的，比如基因突变、蛋白质折叠等。而混沌现象在生物分子方面的应用，主要表现在以下几个方面：

第一，混沌理论对于探究生物分子在系统中的动态行为有着重要的作用。生物分子在体内的行为是极其复杂的，分子之间相互作用错综复杂，往往呈现出非线性动态行为。混沌理论可以帮助研究人员探究生物分子运动规律、群体行为等诸多问题，揭示生物分子之间的相互作用方式，对于探索生物分子的结构和功能变化等方面，都起到了重要的帮助作用。

第二，混沌理论可帮助研究人员深入了解人体内部的代谢活动。人体内部的代谢过程极其复杂，各个因素之间的相互作用具有非常高的复杂性。混沌理论可以帮助研究人员探究代谢过程中的非线性动态行为，深入了解人体内部的细胞信号传递和能量代谢等重要信息，为药物研发、疾病诊治和人体健康等方面提供有力的支持。

第三，混沌理论也可以应用于神经系统的研究中，帮助科学家探究神经元在体内的运动轨迹、树突末梢的运动状态、大脑内部信息传递方式等重要问题。这对于理解大脑的功能和修复神经系统的损伤等方面都具有重要价值。

切线理论：混沌理论及其发展背景

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一、什么是混沌理论

混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。

混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。

二、混沌理论的发展背景

混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。

在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家HenryPoincare那里得到的启示。Poincare提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。

Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。一个名叫StephenSmale的数学家用差分拓扑学发展了一系列的理论模型。气象学家EdwardLorenz设计了一个简单的方程组用来模拟气候，这个气候对于初始条件当中的变化极其敏感。生物学家RobertMay使用逻辑的差分方程在连续的时间过程中对人口水平建模。这个模型恰好是我们在这一章中后面要介绍的用来生成汇率中的混沌行为的模型。

混沌理论

混沌理论（Chaos Theory）

一、现实中的几个例子

李双江（paradise.lsj@） Ver2.7

很小的时候我们都听过这样一则寓言：

丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，

伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。

马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是十分微小的一个事件，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。告诫我们细节的重要性。

对应于这则寓言的是最近在各个领域里面都比较热门的一个词语“蝴蝶效应（Butterfly Effect）1”。说的是：巴西热带雨林里一只蝴蝶煽动翅膀这个看似微不足道的现象，可改变大气运动的方式，引发美国得州爆出龙卷风。

故事来源于1960年，美国麻省理工学院教授爱德华.洛伦兹2 研究“长期天气预报”问题时，在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。他原本的意图是利用计算机的高速运算来提高技期天气预报的准确性。但是，事与愿违，多次计算表明，初始条件的极微小差异，均会导致计算结果的很大不同。由于气候变化是十分复杂的，所以在预测天气时，输入的初始条件不可能包含所有的影响因素（通常的简化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些被忽略的次要因素却可能对预报结果产生重大影响，导致错误的结论。由此，洛伦兹认定，尽管拥有高速计算机和精确的测量数据（温度、风速、气压等），也难以获得准确的长期天气预报。

1 /zh/蝴蝶效应 2 /a/zhaotieyugao/20091214/335.html

二、混沌简介

1.由线性科学到非线性科学

混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。

混沌理论简介

要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和，可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。这是一个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的，水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。这使我们产生某种数学的“横向思维”，它向我们解释了为什么此种怪事是可能的。

假如你很小心地打开水龙头，等上几秒钟，待流速稳定下来，通常会产生一系列规则的水滴，这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下。很难找到比这更可预言的东西了。但假如你缓缓打开水龙头，使水流量增大，并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落，这种滴落方式似乎是随机的。只要做几次实验就会成功。实验时均匀地转动水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断的水流，你需要的是中速滴流。如果你调节得合适，就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。

1978年，加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生组成了一个研究动力学系统的小组。他们开始考虑水滴系统的时候，就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。他们用话筒记录水滴的声音，分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列。他们所发现的是短期的可预言性。要是我告诉你3个相继水滴的滴落时刻，你会预言下一滴水何时落下。例如，假如水滴之间最近3个间隔是 0.63秒、1.17秒和0.44秒，则你可以肯定下一滴水将在0.82秒后落下(这些数只是为了便于说明问题)。事实上，如果你精确地知道头3滴水的滴落时刻，你就可以预言系统的全部未来。

那么，拉普拉斯为什么错了? 问题在于，我们永远不能精确地测量系统的初始状态。我们在任何物理系统中所作出的最精确的测量，对大约10位或12位小数来说是正确的。但拉普拉斯的陈述只有在我们使测量达到无限精度(即无限多位小数，当然那是办不到的)时才正确。在拉普拉斯时代，人们就已知道这一测量误差问题，但一般认为，只要作出初始测量，比如小数点后10位，所有相继的预言也将精确到小数点后10位。误差既不消失，也不放大。不幸的是，误差确实放大，这使我们不能把一系列短期预言串在一起，得到一个长期有效的预言。例如，假设我知道精确到小数点后10位的头3滴水的滴落时刻，那么我可以精确到小数点后9 位预言下一滴的滴落时刻，再下一滴精确到8位，以此类推。误差在每一步将近放大10倍，于是我对进一步的小数位丧失信心。所以，向未来走10步，我对下一滴水的滴落时刻就一无所知了。(精确的位数可能不同：它可能使每6滴水失去1位小数的精度，但只要取60滴，同样的问题又会出现。)

混沌理论与动力系统

混沌理论与动力系统是现代科学中的两个重要概念，它们的研究涉及到多学科的交叉和合作。混沌理论研究的是一种似乎没有规律可循的复杂现象，而动力系统则是研究物体或系统的运动行为，通过数学模型描述和分析其演化规律。本文将探讨混沌理论与动力系统之间的关系，并介绍一些相关的研究成果和应用。

一、混沌理论的基本概念与特征

混沌理论源于20世纪60年代的一系列研究，最初是应用于气象学和天体物理学领域。它提出了一种新的动力学模型，用于描述当系统变量连续演化时可能出现的非周期性行为。混沌的定义相对宽泛，一般指的是系统的演化过程中表现出的极度敏感性和随机性，即使初始条件略有差异，系统的演化轨迹也会迅速发生巨大的变化。

混沌现象具有以下几个特征：首先，混沌系统对初值非常敏感，微小的初始扰动可以引起系统演化轨迹的严重偏离。其次，混沌系统的演化并不完全是没有规律的，而是存在一种隐含的确定性。虽然混沌系统的行为看起来像是随机的，但其实是由一些确定性的非线性规律所决定的。最后，混沌系统的演化呈现出无周期、无重复和无界限的性质，即系统的演化轨迹不会回到起始点，也没有确定的稳定状态。

二、动力系统的基本原理与应用

动力系统是研究物体或系统运动行为的数学模型，它描述了物体在时间和空间上的变化规律。动力系统的研究对象可以是天体运动、经济增长、生物演化等各种现象，其目的是通过建立数学模型，分析系统的行为和演化规律。

动力系统的基本原理是牛顿力学和微分方程理论。根据这些理论，可以将动力系统分为两类：确定性动力系统和随机动力系统。确定性动力系统是指系统的演化规律完全由数学模型所决定，并且在给定初始条件下具有确定的演化轨迹。而随机动力系统则包含了随机因素，使得系统的演化不再完全可预测。

动力系统的研究在许多领域都有广泛的应用。在物理学领域，动力系统的理论不仅用于解释和预测天体运动、粒子物理等现象，还被用于复杂系统的建模和仿真。在经济学领域，动力系统的模型可以用于分析和预测经济增长、市场波动等现象。此外，生物学、化学、社会学等领域也都广泛应用了动力系统的理论和方法。

数学中的混沌理论与预测难题

导言

混沌理论是20世纪60年代初期发展起来的一种新的数学分支，它揭示了一类在表面上看起来毫无规律可循的系统内部却存在着某种确定性规律的现象。混沌理论为科学家们提供了一种全新的角度去理解自然界中普遍存在的复杂现象，而这其中包括了许多传统数学模型无法准确描述的情况。在这篇文章中，我们将探索数学中的混沌理论，并关注其中带来的预测难题。

混沌理论的基本概念

混沌理论最早由美国数学家洛伦茨（Lorenz）提出，他在研究大气环流模型时发现了奇妙的现象：微小摄动可能导致系统行为的巨大不同。这个发现引起了数学界的广泛兴趣，逐渐形成了今天我们所知的混沌理论。在混沌理论中，所研究的对象通常是一类非线性动力学系统，这类系统对初始条件极其敏感，即使是微小的变化也会导致系统行为发生巨大变化。

混沌理论的数学模型

为了更好地研究和描述混沌现象，数学家们提出了一系列精妙的数学模型。其中最著名的就是著名的洛伦茨吸引子（Lorenz

attractor）和蒙徳罗布（Mandelbrot）集合。这些模型不仅仅是对混沌系统行为的定量描述，更给人们带来了全新的视角去审视自然界中普遍存在的复杂现象。

非确定性和预测难题

传统意义上，科学家们习惯于用数学模型去描述和预测自然界中的现象。然而，在混沌系统中，微小误差可能导致长期的不确定性，这也为科学家们带来了前所未有的预测难题。即使是具有良好模型、足够数据和精确初始条件的情况下，也无法长期准确预测系统行为。

混沌理论在天气预报中的应用

天气预报是一个典型的非线性动力学系统，受多种因素影响并且具有极高的敏感性。传统天气预报方法往往基于流体力学方程和大气化学方程建立模型，并通过计算机模拟得到结果。然而由于混沌理论中提到的预测难题，长期准确天气预报依然是一个未解之谜。

混沌现象与金融市场

金融市场是另一个典型的混沌系统应用场景。股票交易市场中存在着诸多非线性因素，并且充满着极高程度的随机波动。传统金融模型试图通过大量数据和复杂算法来预测市场走势，然而混沌现象使得金融市场具有较大的不确定性，从而给交易策略带来了更大挑战。