2018年北师版数学必修1 第2章 章末分层突破
2018北师大版高中数学必修1第二章 §2.3 知能演练轻松闯关
1．下列对应法则f 中，能构成从A 到B 的函数的有( )①A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x 2；②A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2；③A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝1x2；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ＋1. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.②中A 的元素0在B 中无像，不能构成映射，也就不能构成函数；③中A 的元素0在B 中无像，不能构成映射，也就不能构成函数．①④都能构成A 到B 的函数．2．下列对应关系是从集合M 到集合N 的一一映射的是( )A ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝－1x，x ∈M ，y ∈N B ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈NC ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x，x ∈M ，y ∈N D ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N解析：选D.判断一个对应关系是否为一一映射，要从基本概念入手，看是否满足一一映射的条件，A 选项M 中元素0在N 中没有像与之对应，所以A 不是映射；B 选项M 中元素±1在N 中对应相同的像1，虽然B 是映射，但不是一一映射；C 选项M 中元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以C 不是映射；D 选项M 中的每一个元素在N 中都有唯一元素与之对应，M 中的不同元素在N 中的像也不同，且N 中的元素在M 中都有原像，所以D 是一一映射．3．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，映射f ：A →B 把集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，像(2,1)的原像是________．解析：本题即为求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1的解． 答案：⎝⎛⎭⎫32，124．已知映射f ：A →B ，其中，集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数最少是________．解析：本题题意叙述虽长，但转换成图表语言则非常简洁．如图，即可知个数最少应为4. 答案：4[A 级 基础达标]1．(2018·九江检测)在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( )A ．集合B 中的某一个元素b 的原像可能不止一个B ．集合A 中的某一个元素a 的像可能不止一个C ．集合A 中的两个不同元素所对应的像必不相同D ．集合B 中的两个不同元素的原像可能相同解析：选A.由映射的概念可知，A 中的每个元素都有像，且像唯一，B 中未必每个元素都有原像且不一定唯一，故选A.2．下列对应关系f 中，不是从集合A 到集合B 的映射的是( )A ．A ＝{x |1<x <4}，B ＝[1,3)，f ：求算术平方根B ．A ＝R ，B ＝R ，f ：取绝对值C ．A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：求平方D ．A ＝R ，B ＝R ，f ：取倒数解析：选D.因为D 中0取倒数无意义，故选D.3．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.∵20＝2n ＋n ，分别将选择项代入检验，知当n ＝4时成立．4．(2018·淮北质检)已知A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则分别是：(1)f ：x →y ＝12x ，(2)f ：x →y ＝x －2，(3)f ：x →y ＝x ，(4)f ：x →y ＝|x －2| 其中能构成一一映射的是________．解析：(1)y ＝12x .x ∈[0,4]．y ∈[0,2]＝B (2)y ＝x －2∈[－2,2]≠B .(3)y ＝x ∈[0,2]＝B .(4)y ＝|x －2|∈[0,2]，但如y ＝1.∴x ＝3或x ＝1. 答案：(1)(3)5．已知从A 到B 的映射是x →2x ＋1，从B 到C 的映射是y →y 2－1，其中A ，B ，C ⊆R ，则从A 到C 的映射是________．解析：x ∈A .y ∈B .z ∈C .∴y ＝2x ＋1.z ＝y 2－1 ∴z ＝12(2x ＋1)－1＝x －12.∴x →x －12答案：x →x －126．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，e ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射A →B 为：并称A 中字母拼成的文字为明文，相应B 中对应字母拼成的文字为密文，则：(1)“mathematics”的密文是什么？(2)试破译密文“ju jt gvooz”．解：由明文与密文的关系可知：(1)“mathematics”对应的密文是“nbuifnbujdt”．(2)“ju jt gvooz”对应的明文是“it is funny”．[B 级 能力提升]7．(2018·汉中调研)下列对应法则是从集合A 到集合B 的映射的是( )A ．A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |B ．A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝xC ．A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝|x －1|D ．A ＝R ，B ＝{y |y ≥0}，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2解析：选D.x ＝0，y ＝0∉B ，A 错．同理B 错．C 中：当x ＝1时，y ＝0∉B .C 错.8．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有( )A ．6种B ．7种C ．8种D ．27种解析：选B.该函数的值域C 的不同情况有{4}，{5}，{6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，{4,5,6}7种．9．已知(x ，y )在映射f 作用下的像是(x ＋y ，xy )，则(3,4)的像为________，(1，－6)的原像为________．解析：根据条件可知x ＝3，y ＝4，则x ＋y ＝3＋4＝7，xy ＝3×4＝12，所以(3,4)的像为(7,12)；设(1，－6)的原像为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.所以(1，－6)的原像为(－2,3)或(3，－2)．答案：(7,12) (－2,3)或(3，－2)10．(创新题)已知集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N ＋，k ∈N ＋，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k ，A ，B .解：根据对应法则f ，有：f ：1→4；2→7；3→10；k →3k ＋1.若a 4＝10，则a ∉N ＋，不符合题意，舍去；若a 2＋3a ＝10，则a ＝2(a ＝－5不符合题意，舍去)．故3k ＋1＝a 4＝16，得k ＝5.综上可知，a ＝2，k ＝5, 集合A ＝{1,2,3,5}，B ＝{4,7,10,16}．11．已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12，13的映射f ：x →1|x |－1，那么集合A 中的元素最多有几个？并写出元素个数最多时的集合A .解：∵f 是映射，∴A 中的每一个元素都应在B 中有唯一的元素对应．∵1|x |－1≠0，∴0在A 中不存在原像； 由1|x |－1＝1，得x ＝±2，∴±2可取作1的对应元素； 由1|x |－1＝12，得x ＝±3，∴±3可取作12的对应元素； 由1|x |－1＝13，得x ＝±4，∴±4可取作13的对应元素； ∴A 中元素最多只能是6个，即A ＝{－4，－3，－2,2,3,4}．。
2018学年高中数学北师大版必修一课件：第二章 函数-第4节-4.2 精品
③当t1≤－1t≤ ＞t＋t＋11，－1， 即 0≤t＜12时，f(x)在[t，t＋1]上先减后增，且对称 轴更靠近于端点 t＋1，此时当 x＝t 时，f(x)取得最大值 f(t)＝t2－2t＋3.
④当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，所以当 x＝t 时，f(x) 取得最大值 f(t)＝t2－2t＋3.
3－4a，a>2.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【精彩点拨】 解答本题可先由图求出销售收入与销售量之间的函数关系 式，即 R＝f(t)，然后建立纯收益与销售量之间的函数关系式进而求出纯收益的 最大值．
【尝试解答】 (1)由图可知：R＝a(t－5)2＋225， 由 t＝0 时，R＝0 得 a＝－12. ∴R＝－12(t－5)2＋225(0≤t≤5)． (2)年纯收益 y＝－12t2＋5t－0.5－14t＝－12t2＋149t－0.5， 故 t＝149＝4.75 时，y 取得最大值为 10.78 万元． 故年产量为 475 台，纯收益取得最大值为 10.78 万元．
求解实际问题“四步曲”： 1读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言， 找出问题的主要关系目标与条件的关系. 2建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题 转换成函数问题. 3求解：选择合适的数学方法求解函数.
2018学年高中数学北师大版必修1课件：第2章-章末分层突破 精品
【答案】 C
4．(2013·山东高考)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝x2＋1x，则
f(－1)＝( )
A．2
B．1
C．0
D．－2
【解析】 当 x＞0 时，f(x)＝x2＋1x，∴f(1)＝12＋11＝2. ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 【答案】 D
【答案】 1
6．(2014·浙江高考)设函数 f(x)＝x－2＋x22，x＋x＞2，0. x≤0， 若 f(f(a))＝2，则 a＝ ________.
【解析】 若 a＞0，则 f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得 a＝ 2. 若 a≤0，则 f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0， f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解． 【答案】 2
已知函数 f(x)＝a3xx2＋＋b2是奇函数，且 f(2)＝53. (1)求实数 a，b 的值； (2)判断函数 f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
【精彩点拨】 (1)利用奇函数定义和 f(2)＝53，求 a，b 的值； (2)根据单调性的定义证明．
【规范解答】 (1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴－ax32x＋＋2b＝－a3xx2＋＋b2，∴－3x＋b＝－3x－b， 因此 b＝－b，即 b＝0. 又 f(2)＝53，∴4a＋ 6 2＝53，∴a＝2. (2)由(1)知，f(x)＝2x32＋x 2＝23x＋1x， f(x)在(－∞，－1]上为增加的．
设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最小值． 【精彩点拨】 分抛物线的对称轴 x＝1 在区间[t，t＋1]的左侧、内部和右 侧三种情况讨论．
2018学年高中数学北师大版必修1课件：第3章-章末分层突破 精品
7．(2014·陕西高考)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数
是( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x12
D．f(x)＝12x
【解析】 f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，A 错 误．f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，且 f(x)＝3x 是增函数， B 正确．f(x)＝x12，f(x＋y)＝(x＋y)12≠x12·y12，不满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，C 错误．f(x) ＝12x，f(x＋y)＝12x＋y＝12x·12y，满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)，但 f(x)＝12x 不是增函数， D 错误．
得 0＜x＜
a或
x＞
a a.
综上可知，当 a＞1 时，f(logax)＞0 的解集为0， aa∪( a，＋∞)；当 0＜a ＜1 时，f(logax)＞0 的解集为(0， a)∪ aa，＋∞.
[再练一题] 4．已知函数 y＝ax2－3x＋3在 x∈[1,3]时有最小值18，求 a 的值． 【解】 令 t＝x2－3x＋3＝x－322＋34， 当 x∈[1,3]时，t∈34，3. ①若 a>1 时，则 ymin＝a34＝18，解得 a＝116，与 a>1 矛盾． ②若 0<a<1，则 ymin＝a3＝18， 解得 a＝12，满足题意．综合①，②知，a＝12.
B．y＝x3
C．y＝ln x
D．y＝|x|
【解析】 A 项，函数定义域为 R，但在 R 上为减函数，故不符合要求；B 项，函数定义域为 R，且在 R 上为增函数，故符合要求；C 项，函数定义域为(0， ＋∞)，不符合要求；D 项，函数定义域为 R，但在(－∞，0]上单调递减，在[0， ＋∞)上单调递增，不符合要求．
2018学年高中数学北师大版必修一课件：第二章 函数-第5节 精品
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3：
解惑：
幂函数的概念
[小组合作型]
函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时， f(x)是增加的，求 f(x)的解析式．
【精彩点拨】 先由 m2－m－1＝1 求出 m 的值，再代入到 m2＋m－3 中， 找到满足 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的 m 的值．
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 1 ；
3 x5 (2)f(x)＝3 x2； (3)f(x)＝ x2－4＋ 4－x2； (4)f(x)＝－ x2＋x2＋ 2x＋2x－ 3，3， x＜x＞ 0. 0，
【精彩点拨】 首先要看定义域是否关于原点对称，然后通过 f(－x)与 f(x) 的关系得出结论．对于(4)，要分别在 x＞0 和 x＜0 的情况下考察 f(－x)与 f(x)的 关系．
下列函数中是幂函数的是( )
①y＝x13；②y＝axm(a，m 为非零常数，且 a≠1)；③y＝x15＋x4；④y＝xn；⑤
y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.
A．①②③⑧
B．①④
C．③④⑤⑥
D．②④⑦
【解析】 由幂函数的定义：形如 y＝xa(a∈R)的函数才是幂函数，则 y＝x13 ＝x－3，y＝xn 是幂函数．
函数奇偶性的应用
[探究共研型]
探究 1 如图 2-5-3，给出了奇函数 y＝f(x)的局部图像，求 f(－4)的值．
图 2-5-3 【提示】 f(－4)＝－f(4)＝－2.
探究 2 定义在 R 上的偶函数 f(x)，当 x≥0 时，f(x)＝x，求 x＜0 时，f(x) 的值．
2017-2018学年高中数学北师大版必修一课件 第2章 2 2-
下列映射是不是 A 到 B 上的一一映射？为什么？
图 227
【解】 (1)是 A 到 B 上的一一映射，因为(1)满足一一映射的定义；(2)不是 A 到 B 上的一一映射，因为集合 B 中元素 1 在集合 A 中没有原像．
教材整理 3
函数与映射的关系
阅读教材 P33 的有关内容，完成下列问题． 设 A，B 是两个非空数集，f 是 A 到 B 的一个 映射 ，那么映射 f：A→B 就 叫作 A 到 B 的函数．即函数是一种特殊的映射，是从 非空数集 到非空数集的映 射．
【答案】 ②⑤
求像与原像
已知集合 A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B 是从 A 到 B 的映射，f： x→(x＋1，x ＋1)，求 A 中元素 2在 B 中的像和 B
2
3 5 ， 中元素 2 4在
A 中的原像．
【精彩点拨】 把 x＝ 2代入对应关系中可求得在 B 在 A 中对应的元素可通过列方程组解出．
3 5 ， 中对应的元素， 2 4
【尝试解答】 1,3)． 3 x＋1＝2， 由 x2＋1＝5， 4
把x＝
2 代入对应关系，可求出其在B中的像为(
2 ＋
1 得x＝ . 2
3 5 1 2＋1,3)，2，4在A中的原像为 . 2
【解析】 ①是映射，也是函数； ②是映射，但不是函数； ③中元素 0 无像与之对应，不是映射，更不是函数．
【答案】 ①② ①
[小组合作型]
映射、一一映射的判断
已知集合 A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}．判断下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射，是否是一一映射，并说明理由． 1 (1)f：x→y＝ x； 3 (2)f：x→y＝(x－2)2； 1 (3)f：x→y＝ (x－1)2. 4
高中数学 新北师大版必修第一册 第二章 章末整合 课件
方法技巧偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
这一结论可以推广:①f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(x)的图象关于
直线x=a对称;②f(a-x)=-f(a+x)⇔f(x)的图象关于点(a,0)对称.
变式训练4函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时单调递增,假
设f(1)=0,求不等式f
1
2
-<0的解集.
解:∵f(x)是奇函数,且f(1)=0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(-1)=-f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递增.
1
1
∴不等式 f - 2 <0 可化为
当 1≤x1<x2≤2 时,1<x1x2<4,
4
>1.
1 2
4
∴1- <0.
1 2
∴
∴f(x1)>f(x2),
即f(x)在[1,2]上是减函数.
当2≤x1<x2≤3时,4<x1x2<9,
4
<1.
1 2
4
∴1- >0.
1 2
∴0<
∴f(x1)<f(x2),
即f(x)在[2,3]上是增函数.
变形、判断符号、结论,最后再借助最值与单调性的关系,写出最
值.
变式训练3函数f(x)=x2-2x+3在[0,a](a>0)上最大值为3,最小值为2,
2018秋新版高中数学北师大版必修1：第二章函数 2.4.2.2
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 若 a>0,当 x=-2������������时,函数取得最小值4������4���������-���������2,无最大值. 若 a<0,当 x=-2������������时,函数取得最大值4������4���������-���������2,无最小值. 2.决定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上取最值的因素 (1)开口方向、对称轴与区间的端点. (2)对称轴与区间的关系:
������2
+
1 2
(������-������)(������-������)
=-2x2+(a+b)x=-2
������-
������+������ 4
2 + (������+8������)2.
所以当 x=������+4������时,S(x)取得最大值18(a+b)2,
即最大面积为18(a+b)2.
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
2018学年高中数学北师大版选修1-2课件：章末分层突破4 精品
x－3>0， ③ 由②得 x＝4，经验证满足①③式． 所以当 x＝4 时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为 0，
x2－3x－3>0， ① 所以log2x－3≠0， ②
x－3>0， ③
由①得
3＋ x> 2
21或
3－ x< 2
21 .
【答案】 (1)A (2)D
转化与化归思想
一般设出复数 z 的代数形式，即 z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、 几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数 x，y 应 满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．
设 z∈C，满足 z＋1z∈R，z－14是纯虚数，求 z. 【精彩点拨】 本题关键是设出 z 代入题中条件进而求出 z. 【规范解答】 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则 z＋1z＝x＋yi＋x＋1 yi＝x＋x2＋x y2＋y－x2＋y y2i， ∵z＋1z∈R，∴y－x2＋y y2＝0，解得 y＝0 或 x2＋y2＝1，
复数的概念
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚 数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．
复数 z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当 x 为何实数时， (1)z∈R；(2)z 为虚数． 【精彩点拨】 根据复数的分类列方程求解． 【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为 0，
【答案】 A
6．(2016·四川高考)设 i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )
2018学年高中数学北师大版必修2课件：第1章 章末分层突破 精品
【精彩点拨】 观察折叠前后的平面图形与立体图形，弄清折叠前后哪些 元素间的位置关系及数量关系发生了变化，哪些没有发生变化，依据未变化的 已知条件求解．
【规范解答】 (1)证明：由题意知，AF∥BE，DF∥CE， 又∵AF⊆/ 平面 BCE，BE 平面 BCE，
∴AF∥平面 BCE. 同理可证 DF∥平面 BCE. 又∵AF∩DF＝F， ∴平面 ADF∥平面 BCE. 又 AD 平面 ADF，
【解】 (1)圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示．
(2)设所求的圆柱的底面半径为 r，它的侧面积 S＝2πr·x，因为Rr ＝h－h x，所 以 r＝R－Rh·x，所以 S＝2πRx－2πhR·x2，即圆柱的侧面积 S 是关于 x 的二次函数， S＝－2πhRx2＋2πRx.
(3)因为 S 的表达式中 x2 的系数小于 0，所以这个二次函数有最大值，这时 圆柱的高 x＝－－22π·2RπhR＝h2，即当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面 积最大．
∴AB⊥平面 BCD.
(2)∵折叠前四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB⊥BD， ∴CD⊥BD.由(1)知 AB⊥平面 BCD，∴AB⊥CD. ∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面 ABD. 又∵CD 平面 ACD，
∴平面 ACD⊥平面 ABD.
函数与方程思想
函数与方程的思想是高中数学的一条主线，是中学数学的基础思想，是历 届高考考查的重点．所谓函数的思想，就是用运动变化的观点分析和研究具体 问题中的数量关系；所谓方程的思想，就是把函数解析式看成一个方程，将变 量间的等量关系表达为方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题得以解决．
(2)利用面面平行得到线线平行，得对应线段成比例，从而得到比值．
【规范解答】 (1)如图所示，
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对于函数 f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性； (2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值．
【精彩点拨】 (1)按照奇、偶函数的定义对 f(x)的奇偶性作出判断；(2)利用 f(x)的对称性画出 f(x)的图像，根据图像写出 f(x)的单调区间和最小值．
【规范解答】 (1)函数的定义域为 R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则 f(－x)＝f(x)， ∴f(x)是偶函数， 图像关于 y 轴对称．
【解】 ∵f(x)是 R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的， ∴f(x)在(0，＋∞)上是减少的， ∵f(－2)＝f(2)＝0，由 f(m－1)<0， ∴|m－1|>2，∴m－1<－2 或 m－1>2， ∴m<－1 或 m>3.
函数图像及其应用
函数的图像是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图 像能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质， 有助于图像正确的画出．函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题 具有直观、明了、易懂的优点．
2 2 x － 2 x ＝ x － 1 －1x≥0， 2 (2)f(x)＝x －2|x|＝ 2 2 x ＋ 2 x ＝ x ＋ 1 －1x＜0.
画出图像如图所示．
根据图像知，函数 f(x)的最小值是－1. 单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
巩 固 层 . 知 识 整 合
拓 展 层 . 链 接 高 考
章末分层突破
提 升 层 . 能 力 强 化
章 末 综 合 测 评
[自我校对] ①对应关系 ②函数的值域 ③解析法 ④简单的幂函数 ⑤单调性的定义 ⑥函数的奇偶性 ⑦奇偶性的判定方法
函数的定义域
1.已知函数解析式求其定义域，就是求使解析式有意义(分母不为零，偶次 根式的被开方数非负等)的自变量的取值范围． 2．已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，求函数 f[φ(x)]的定义域，可解不等式 a≤φ(x)≤b 求得；如果已知函数 f[φ(x)]的定义域，可通过求函数 φ(x)的值域，求 得函数 f(x)的定义域．
【规范解答】
(1)依题意，x∈R，解析式有意义，即对任意 x∈R，都有
ax2＋4ax＋3≠0 成立，故方程 ax2＋4ax＋3＝0 无实根． ①当 a＝0 时，3≠0 满足要求； 3 ②当 a≠0 时，则有 Δ＝16a －12a＜0，即 0＜a＜ 时满足要求．综上可知 4
2
3 a∈0，4 .
2x2＋2 2 1 (2)由(1)知，f(x)＝ ＝ x＋ x ， 3x 3 f(x)在(－∞，－1]上为增加的． 证明：设 x1＜x2≤－1，
1 2 则 f(x1)－f(x2)＝ (x1－x2)1－x x 3 1 2 x x －1 2 1 2 ＝ (x1－x2) x x ， 3 1 2
1 (2)由题意知，0≤ x－1≤1， 2 解得 2≤x≤4. 因此，函数
1 f2x－1 的定义域为[2,4]．
【答案】
3 (1)0，4
(2)[2,4]
[再练一题] 1．已知函数 f(2x－1)的定义域为[0,1)，求 f(1－3x)的定义域. 【导学号：04100036】
【解】 ∵f(2x－1)的定义域为[0,1)，∴0≤x＜1， ∴－1≤2x－1＜1， ∴f(x)的定义域为[－1,1)， 2 即－1≤1－3x＜1,0＜x≤ . 3 故函数
2 f(1－3x)的定义域为0，3 .
函数的性质
函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要的性质： (1)利用函数的单调性，可将函数值之间的关系转化为自变量间的关系进行 研究，从而达到化繁为简的目的，特别是比较大小、证明不等式、求值域或最 值等方面的应用较为广泛．判定单调性的方法主要有定义法，图像法． (2)利用奇偶函数图像的对称性，可以减少对变量的讨论，常(x)＝ 是奇函数，且 f(2)＝ . 3 3x＋b (1)求实数 a，b 的值； (2)判断函数 f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
5 【精彩点拨】 (1)利用奇函数定义和 f(2)＝ ，求 a，b 的值； 3 (2)根据单调性的定义证明．
【规范解答】 (1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ax2＋2 ax2＋2 ∴ ＝－ ，∴－3x＋b＝－3x－b， －3x＋b 3x＋b 因此 b＝－b，即 b＝0. 4a＋2 5 5 又 f(2)＝ ，∴ ＝ ，∴a＝2. 3 6 3
x－7 (1) 若函数 y ＝ 2 的定义域为 R ，则实数 a 的取值范围是 ax ＋4ax＋3 ________． (2)已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，则函数
1 f2x－1 的定义域为________．
3
【精彩点拨】 (1)对任意 x∈R，都有 ax2＋4ax＋3≠0 成立，分 a＝0，a≠0 两种情况，a≠0 时，Δ<0 即可； 1 (2)由 0≤ x－1≤1 解出 x 的范围即为所求． 2
∵x1＜x2≤－1，
∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
x x －1 1 2 x1x2－1>0，因此，(x1－x2) x x <0. 1 2
∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－1]上为增加的．
[再练一题] 2．设 f(x)是 R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的，f(－2)＝0，若 f(m －1)<0，求 m 的取值范围．
[再练一题] 3 1 2 3．对于任意 x∈R，函数 f(x)表示－x＋3， x＋ ，x －4x＋3 中的较大者， 2 2 则 f(x)的最小值是________．