高中数学第三章导数及其应用3_3_2第1课时利用导数研究函数的极值教学案新人教B版选修1_1

第1课时利用导数研究函数的极值[学习目标] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.掌握函数在某一点取得极值的条件．[知识链接]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，观察下图，函数y＝f(x)在x＝d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答：以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.[预习导引]1．极值点与极值已知函数f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)<f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．2．求可导函数y＝f(x)极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f ′(x )的符号如何变化，如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；如果f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值．如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右侧符号不变，则f (x 0)不是极值.要点一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解 函数的定义域为R .f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x由上表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. 规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )． (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．跟踪演练1 求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值．解 函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝x －x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝3. 要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知，f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值点两侧导数的符号列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f －＝0，f －＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 要点三 函数极值的综合应用 例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－2或x ＝ 2.因为当x >2或x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以，此时a的取值范围是(5－42，5＋42)．规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪演练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)即k<－4或k>4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞).1．下列关于函数的极值的说法正确的是( )A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 答案 C解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．3．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．(－1,2) B ．(－3,6)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a <－3或a >6.4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，则x 1，x 2是f ′(x )＝0的两根，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.1.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．2．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．。