现代控制理论4

1 x2 u L
R4 1 R2 x2 R R R R C 1 2 3 4
1 1 1 x1 R R R R x2 C 1 2 3 4
其可控性矩阵为
S b
1 L Ab 0
x 2 5 x 2 2u
y 6 x 2
这表明状态变量 x 1 和 x 2 都可通过选择控制量 u而由始点达 到原点，因而系统完全可控。但是，输出 y 只能反映状态 变量 x 2 ，而与状态变量 x 1 既无直接关系也无间接关系， 所以系统是不完全可观测的。
例9-11:下图所示网络，设 x1 u C , x 2 u C ，输 出 y x2 。
1 A 2b a2 2 a1 a 2
0 x 0 a0
0 b 0 1
0 Ab 1 a2
故
0 0 S 0 1 1 a 2
1 2
当 R1 R 2 , C1 C 2 且初始状态 x 1 ( t 0 ) x 2 ( t 0 )时，则不论将 输入 u 取为何种形式，对于所有 t t 0，只能是 x1 (t ) x 2 (t ) ， 不可能做到 x1 (t ) x 2 (t ) 。也就是说，输入 u 能够做到使 x 1 和 x 2 同时转移到任意相同的目标值，但不能将 x 1 和 x 2分别 x1 x2 转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路 不可控。由于 y x1 x 2 ，故系统可观测。
现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输 入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量， 这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由 输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统 所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的 初态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切地是状态可 控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可 控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系统可 观测。
----卡尔曼（RE.Kalman)美籍匈牙利人，是现代控制理论的 主要奠基人之一。首先引入状态空间分析法，提出能控能观、 最优调节器、卡尔曼滤波、最优控制的反问题等。
2、能控性是u(t)支配X(t)的能力，回答u(t)能否使X(t)作 任意转移的问题；
3、能观性是Y(t)反应X(t)的能力，回答是否能通过Y(t)的 量测来确定X(t)的问题。
证： 1.
f ( ) ( 1 )( 2 ) ( n )
1 P 1 AP
2
2.
n
3. f ( P 1 AP ) ( P 1 AP 1 I )( P 1 AP 2 I ) ( P 1 AP n I )
2 1
1 3 0 0 0
2 3
即：
f ( P 1 AP ) P 1 f A P o
故有：
f A o
推论1 矩阵 A 的 k(k≥n) 次幂可表示为 A 的n-1 阶多项式
注意：1、某些状态能控≠系统完全能控 2、系统完全能控→肯定状态能控
2. 线性定常系统可控性判据
考虑线性定常连续系统的状态方程
x Ax (t ) Bu (t )
格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可控的充分必 要条件是，存在时刻 t1>t0，使如下定义的格拉姆矩阵： 为非奇异。 格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系 统可控性的常用判据是直接由矩阵 A 和 B 判断可控性的 秩判据
系统可控： 对于上式所示线性时变系统，如果状态空间中 的所有非零状态都是在 t 0 ( t 0 Tt ) 时刻可控的，则称系 统在 t0 时刻是完全可控的，简称系统在 t0 时刻可控。若 系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。
系统不完全可控： 对于上式所示线性时变系统，取定 t 0 Tt
w(0, t1 ) e
0
t1
At
BB e
T
AT t
dt
凯莱－哈密顿定理
设n阶矩阵的特征多项式为
f ( ) I A n a n 1n 1 a1 a0
则A满足其特征方和，即
f ( A) A n a n 1 A n 1 a1 A a0 I O
1 0 0 x x u , y 1 1x 0 2 1
-
分析： 1、x1与输入u无关，不能控，x2能 控， x1, x2不完全能控。 2、y= x1+ x2 , x1或x2 都能对y产生影响，通过y能确 定x1或x2 ，能观测。
3、能控能观是最优制和最优估 计的设计基础。
1. 线性连续系统的可控性
（一）定义：对于系统
x A(t ) x (t ) B (t )u (t )
若存在输入信号u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将 系统的任意一个初始状态x(t0)转移到终端状态x(t1), 称x(t)在t0时刻或[t0,t1]区间上是完全能控的，或称 系统在t0时刻是能控的，否则不能控。
例9-9 ： 给定系统的动态方程为
x1 4 x2 0
0 x1 1 x 2 u 5 2
x1 y 0 6 x2 将其表示为标量方程组的形式，有
x1 4 x1 u
1 1 1 x2 R R R R x2 C 1 2 3 4
A am A , k n
k m m 0
n 1
推论2
矩阵指数e
At
可表示为 A 的 n-1 阶多项式
e At a m (t ) A m
m 0
n 1
秩判据
线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是
rank B

AB
A n 1 B

A
n 1
其中 n 为矩阵 A 的维数，S B 称为系统的可控性判别阵。
2
t 0, t Tt
状态与系统可达： 若存在能将状态 x (t0)=0 转移到 x (tf)=xf 的控制作用，则称状态xf是 t0 时刻可达的。若xf 对 所有时刻都是可达的，则称状态 xf 为完全可达或一致可达。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是 t0 时刻可 达的，则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统 是 t0 时刻可达的。 对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但 对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。
a2 2 a1 a 2 1
它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论a2、a1取何值， 其秩为3，系统总是能控的。因此把凡是具有本例形式的状态方 程，称之为能控标准型。
例9-12桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。 解： 该桥式电路的微分方程为
i L i1 i 2 i 3 i 4 R 4 i 4 uc R 3 i 3 R1 i1 uc R 2 i 2 L di L dt R 1 i1 R 3 i 3 u
第九章 线性系统的状态空间分析与综合
9.2 线性系统的可控性与可观测性
本节目标:
1.识记 (1) (2) 2.理解 (1)状态可控的定义/系统可控 (2)凯莱-哈密顿定理 3.应用 (1)利用秩判剧进行相关的可控性判断
1、能控性和能观性是现代控制理论两个重要的基本概念。 1960年由卡尔曼首先提出。
当电桥处于平衡状态，即 R1 R 4 R 2 R 3 时， R1 R 2 R 3 R 4
及
R1
R3
R2 R1 R 2

R4 R3 R4
成立，这时状态方程变为
R3 R4 1 R1 R 2 x1 R R R R L 1 2 3 4
1 x1 u L
R3 R4 1 R1 R 2 2 R R R R L 1 2 3 4 R 2 1 R4 R R R R LC 3 4 1 2
当
R4 R3 R4

R2 R1 R 2
时， rankS 2 n ，系统可控。

AB
B

例:已知 解:
1 0 1 x x 1 x1 u x2 2 x2 u
S B
全能控，即能控
x1 , x 2 都与u有关，所以状态完
1 1 AB 1 2
古典中：C(s)既是输出又是被控量
(1)、 C(s)肯定与R(s)有关系 ， (2)、 C(s)肯定是可测量的， 因此，只要满足稳定，肯定能控能观 现代中：
被控制量是X（状态变量）
问题： 1、每个状态X (t)是否受u(t)控制 2、状态变量在系统内部，能否通过观测Y (t)来测量X (t)
例:
选取状态变量 x 1 i L , x 2 u C ， 消去 i1 , i 2 , i 3 , i 4 ，可得状态方程
R3 R4 1 R1 R 2 x1 R R R R L 1 2 3 4
R3 1 R1 x1 R R R R L 1 2 3 4
t0
t1
因此
x (t 0 ) (t1 t 0 ) (t1 ) B ( )u ( ) d
1 t0
t1
x (t 0 ) (t 0 ) B ( )u ( ) d
t0
t1
意义：系统状态x(t0)能控，即[t0,t1]区间上受u(t)控制。