18学年高中数学算法初步第3节算法案例教学案新人教A版31802083126
人教版数学高一教学设计1.3算法案例第三课时
§1.3算法案例第三课时割圆术一、教学背景分析（一）教学内容解析本节课虽非普通高中课程标准实验教科书的内容，但人教A版必修3中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容以刘徽的“割圆术”为载体，让学生通过了解“割圆术”的基本特点及其中蕴含的递推思想与迭代算法，体会“割圆术”是几何算法阶段计算圆周率的既有效又科学的方法，又让学生感受到计算工具的不断发展，为圆周率的计算乃至整个数学学科的发展带来前所未有的突破.在数学史上，简洁而精确的圆周率求法，曾经是数学家们不懈追求的目标，在不同历史阶段，各个国家的数学家们提出了形形色色的圆周率近似值求法，如经验实测方法，蒙特卡洛方法，刘徽割圆术，阿基米德割圆术，级数逼近等等.每一次方法的改进，都在严密性与精确性的角度上体现了重要的数学思想，因此在高中阶段，让学生了解和学习各种不同的圆周率近似值的求法，并对这些方法进行比较与分析，是十分必要的.（二）学生学情分析在深化课改的背景下，现阶段的学生并没有学过如何求圆周率，只有人教A版必修3 中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容是以刘徽的“割圆术”为载体，通过算法知识来介绍求圆周率，但是，必修3中算法的相关知识，也没有学过，在算法的建构方面存在一定的困难，同时对圆周率π认知基本上停留在能背出小数点后多少位，却不知圆周率π是如何得到的.学生通过课前资料收集和阅读思考，对历史上几种不同的圆周率求法进行了初步的了解，同时以教材中的“阅读与思考”内容，同时也是历史上完备性最好，且具有算法思想的刘徽的“割圆术”作为重点介绍内容，让学生领悟刘徽的割圆术中所蕴含的递推思想及迭代算法.对于刘徽割圆术的掌握，对学生来说是一个挑战，圆内接正多边形的面积公式的递推关系的推导对学生来说是十分困难的．根据教学内容解析和学情分析，我确定本节课的教学重点和难点如下：重点：在学生通过课前阅读与课外查阅与研究所了解的有关求圆周率的方法的基础上，对各种不同的方法进行简要的介绍与对比，同时深入探究刘徽割圆术的思想方法，获得面积递推公式，同时体会其中蕴含的递推思想与迭代算法．难点：割圆术中“内外夹逼”的极限思想与算法实现过程中递推关系的建立．二、教学目标设置依据课程标准，基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：（一）让学生经历从直观感受到随机模拟，最后到严格推理，然后以计算机实现近似值求解的过程，既对相关数学史有所了解，同时又让学生体会了求解圆周率的历史实质是运算工具的发展史．（二）理解割圆术对于圆周率估计的完备性与精确性，以及求解过程中所蕴含的递推思想，体会计算机程序迭代算法和割圆术的应用价值．（三）了解求解圆周率的历史，感受数学的文化价值．三、教学策略分析本节课在教学材料的组织上选择了让学生课前探究求解圆周率π的方法，自主学习刘徽的割圆术，并以小组交流的形式汇报阅读成果.应用问题探究式教学方式，对课本介绍的刘徽的割圆术进行再思考，让学生自主探究如何方便地计算圆内接正多边形的面积．借助Ｅxcel软件的迭代功能实现算法，完成对圆周率π的近似值的初步估计. 因此本节课采用学生课前阅读与课内思考相结合的方式，让学生体会以阅读学习所获得的知识为基础，在经过再思考后，获得对问题的深刻理解的过程；同时采用公式的理论推导和信息技术相结合的手段，让学生体会到中国古代数学中所蕴含的算法思想，给学生提供了一次动手实践、还原历史的经历．四、教学过程为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下五个阶段：分别从数学史的发展角度，与方法的完备性角度来逐步递进探索并对比不同方法的优劣.下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明.（一）呈现背景【学生活动】学生课前查阅圆周率π的相关知识，自主学习刘徽的割圆术，并相互交流对圆周率的认识.【教师总结】那圆周率的值到底是多少呢？又是如何得到的呢？在绵延的历史长河中，人们又是怎样“计算” 圆周率的呢？【设计意图】从数学史与数学文化的角度，来引起学生对于圆周率求解方法的兴趣，为后面各种方法的介绍做好铺垫.（二）探索方法【第一组：实测法】第一小组学生代表介绍：“用实测的方法求圆周率π”【学生活动】学生讨论实测法的不准确之处：1.圆周是曲线，用细绳去拟合时，存在误差.2.测量长度时，存在误差.【教师总结】尺子的精度越高，得到的测量值可能会越准确.精度再高的刻度尺也无法量得线段长的真实值.其实，早在明代就有一位名叫邢云路的数学家，他呈现背景探索方法完善方法实现算法归纳小结就用实测的方法求圆周率，后来茅以升这样评价他：“云路欲以度量所得，抹煞古人诸率，所见甚浅.”可见，实测的办法是比较粗糙的.【设计意图】通过实测与经验来估计圆周率的近似值，是人类历史上最早采用的方法，但这种方法在数学上既不严密，同时所求得的近似值的精确度也无法保证，在课前让学生通过实验，切身体会到用实测的方法求圆周率π是比较粗糙的.【第二组：布丰投针】第二小组学生代表介绍：“用布丰投针实验求圆周率π”【学生活动】求解任意给出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率. 解：设这三个正数为c b a ，，，不妨设a b c ≤，，由以c b a ，，为边长可以围成一个钝角三角形得：222c b a c b a <+>+，，变形，得：1122<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>+c b c a c b c a ，，令c b y c a x ==,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+≤<≤<11101022y x y x y x ， 由线性规划可知：满足题意的可行域为直线1+-=x y 与圆122=+y x 围成的弓形，总的区域是一个边长为1的正方形.则可以围成一个钝角三角形的概率1--24214S P S ππ===弓形正方形. 【教师总结】早在1904年，R 查特发现，两个随意写出的整数中，互素的概率为26π.然后，我们可以通过“像投针一样的操作实验”或者“让计算机产生随机数，进行计算机模拟实验”，从而得到实验频率，求出圆周率的近似值.【设计意图】布丰投针实验至少给了我们两大启示：1.可以利用概率原理来解释圆周率的计算，虽然实验结果具有随机性；2.投针实验拓宽了人们运用数学知识解决复杂问题的渠道，它已发展为一种新的数学方法——统计实验法，也就是著名的蒙特卡罗法.利用概率论的大数定律，可以保证用该方法求得的近似值在概率意义上是收敛于真实值的，但所得结果的精确度无法准确估计，因此相对于实测的方法，有所进步，但仍不够完善.【第三组：割圆术】第三小组学生代表介绍：“刘徽的割圆术”通过课前学习，让学生对刘徽的割圆术有了基本的认识，并得到了课本上的圆内接正多边形的面积递推公式21(1)2n n n n S S n x h =+⋅⋅-. 【学生活动】小组交流1：刘徽为什么不从圆内接正三角形的面积开始，而是从六边形开始？——好算，且精确度相对较高.小组交流2：如果以正四边形面积为起始可以吗？——以任意正n 边形面积为起始都可以，因为2n x 与n x 及2n S 与n x 之间的递推关系并不会因为初始值的不同而发生改变.随着正多边形边数的增加，最终的效果是一致的.【教师总结】回味刘徽的割圆术，他是以圆内接正六边形的面积为起始，借助6x 来求6S ，然后在6x ，6S 的基础上，求12x ，12S ，依次类推，……，要求2n S ，只需借助于n x ，n S ，得到了圆内接正多边形的面积的递推公式.【设计意图】让学生通过课外阅读与课前学习，以小组交流的形式汇报阅读成果. 为本节课内针对刘徽的割圆术的再思考奠定了必要的认知基础，同时也让学生认识到在数学学习中“阅读．．”的重要性． 【师生互动】在算完正六边形的面积后，为什么不算正七边形的面积，而是选择计算正十二边形的面积？【学生活动】分析与讨论在算完正六边形的面积后，不算正七边形面积的理由.【教师总结】正十二边形的面积容易计算，关键在于在正六边形的基础上，增加的顶点B 是CD 的中点，根据垂径定理，正十二边形的“特征三角形”的底就是半径1，高其实是正六边．．．．．．．形的边长的一半．．．．．．．． 【设计意图】正六边形的面积算完后，为什么直接跳到算正十二边形的面积？正是因为我们可以借助正六边形的边长，来求正十二边形的面积（及边长）. 而知道正六边形的边长和面积，却没有为算正七边形的面积带来任何帮助. 这样设问，是为了让学生在计算的过程中体会从正六边形过渡到正十二边形的合理性．同时让学生体会其中蕴含的递归思想，发现问题本质，为下面的递归关系的建立奠定基础．（三）完善方法问题1：是否有其他办法可以求圆内接正多边形的面积?能否把刚才的方法推广到一般情形？【学生活动】学生介绍不同于课本教材的圆内接正十二边形的面积的求法:把正十二边形分割成十二个特征三角形，容易算得它的面积为： 61211121212222COB x S S OB CA ==⨯⨯⨯=⨯⨯（）（） 【学生活动】那么正2n 边形的面积2n S 就等于：2COB 122222n n n x n S nS n x ==⨯⨯=（）【教师总结】从此式看出：只需借助正n 边形的边长n x 来求正2n 边形的面积2n S ．相比于之前介绍的递推公式))2(1-121(22）（n n n n x x n S S -⨯⨯⨯+=，表达式上更加简洁. 同时，也要注意到：这两个面积递推公式，都是借助于2n x 与n x 之间的递推关系，其本质是一样的.【师生互动】这两种递推公式，哪一种在计算机里运行速度更快？效率更高？【学生活动】后者在表达式上更加简洁，减少了开方运算的次数，效率更高.【教师总结】在1800年前，刘徽只计算到了圆内接正192边形的面积，相当于只迈开了六步.现在，我们已拥有具有强大计算能力的计算机.这个递推公式，恰好符合计算机的迭代算法.我们可以借助计算机来实现算法.【设计意图】割圆术作为历史上第一个出现的完备性最好的求圆周率的方法，也并非在各个方面尽善尽美，因此引导学生在知识的获得之后，但作为课内针对学生课前阅读的“第一次思考”，引导学生成功建立正n 边形的边长与正2n 边形的面积之间的递归关系，而且此面积递推公式比课本介绍的递推公式更加简洁，为后续计算边数更多的正多边形面积提供了一个可行、高效的方法，也为后续的程序的实现提供了算法依据，让学生体会到“阅读”之后“思．考．”的重要性与必要性． （四）实现算法回味此递推公式：2224n n x x =--，已知6x ，求得12x 后，再由12x ，代入此式，求得24x ，……，依此类推，这是一种迭代的算法，而Excel 软件刚好有迭代的功能，我们就借助Excel 来实现算法.nx n S 2n 6 1.0000000 3.0000000120.5176381 3.1058285240.2610524 3.1326286480.1308063 3.1393502960.0654382 3.14103201920.0327235 3.14145253840.0163623 3.14155767680.0081812 3.141583915360.0040906 3.1415905通过表格，我们看到：随着n 的增大，2n S 的面积越来越大，越来越趋近于π真实值. 运用Excel 软件实现的算法，可以用程序框图来表示，再翻译成程序语言，利用计算机实现算法.【数学史介绍】数学家祖冲之在此基础上，把圆周率π精确到小数点后第七位. 在西方，这个成绩由法国数学家韦达于1593年取得, 比祖冲之晚了一千多年.【设计意图】揭示递推公式与迭代算法之间的关系，借助计算机来实现圆周率π的近似值的估计，既是对刘徽割圆术的方法的有效验证，又体现了中国古代数学的算法特征．同时让学生体会用程序框图来表示算法，能使算法的逻辑结构更清楚、步骤更直观．同时了解求解圆周率π的历史，感受数学的文化价值．问题2：已知圆内接正四边形的面积42S =，在此基础上往下算，会选择计算圆内接正几边形的面积？理由是什么？（请看视频）【学生活动】计算圆内接正八边形的面积8S ，再计算圆内接正十六边形的面积16S ，依此类推. 可以借助正n 边形的边长与正2n 边形的面积.【教师总结】2n x 与n x 及2n S 与n x 之间的递推关系并没有因为初始值的不同而发生改变.即使初始值的误差比较大，随着正多边形边数的增加，最终的效果会是一致的.【设计意图】作为课内针对学生课前阅读的“第二次思考”，让学生牢牢把握刘徽的割圆术的本质——递推关系的应用与迭代算法的实现，与迭代过程的初始值无关．我们刚才都是用圆内接正多边形的面积2n S 来近似代替圆的面积，这样得到的π的近似值肯定要比π的真实值小.也就是说，我们得到的是（圆面积）的下限.出于考虑问题的严谨性，还要对圆面积的上限加以估计.问题3：选择哪个几何图形的面积作为圆面积的上限？【学生活动】设圆外切正n 边形的边长为n y ,外切正n 边形的面积为n T . 利用相似比：212n n n x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=得：24n n ny x =-所以21124nn n n T n y x =⨯⨯⨯=-问题4：是否有更合适的几何图形的面积可以做为圆面积的上限？【学生活动】思考是否有更佳的上限估计方式，并提出自己的看法：这些圆内接正多边形每边外有一余径，用边长乘以余径，加到正多边形的面积上，则大于圆的面积，即数学家刘徽的想法. 此时，此几何图形的面积为：()()2222n n n n n n S S S S S S +-=+-.【设计意图】通过圆面积的上限的讨论，进一步完善割圆术的思想，作为课内针对学生课前阅读的“第三次思考”，通过计算、对比，让学生深刻体会刘徽的割圆术的精明之处：1、已有的成果2,n n S S 来表示圆的面积的上限，成功的将计算量减半；2、刘徽的割圆术的完备性与数学研究过程中所要求的严密性相符．让学生感受在“阅读”的基础上“思考”所带来的成果．我们也借助Excel 软件来实现算法:n x S 3.2945078 n 2n S 2n +ΔS 4 1.4142136 2.8284271 80.7653669 3.0614675 160.3901806 3.1214452 3.1814228 320.1960343 3.1365485 3.1516518 640.0981353 3.1403312 3.1441138 1280.0490825 3.1412773 3.1422233 2560.0245431 3.1415138 3.1417504 5120.0122718 3.1415729 3.1416321 10240.0061359 3.1415877 3.1416025 20480.0030680 3.1415914 3.1415951 40960.0015340 3.1415923 3.1415933【设计意图】再次通过Excel 软件实现上限的估计，验证了运用割圆术求解π的近似值的可行性与有效性，实现了学生课前的“阅读成果”．问题5：同学们还有什么感触吗？【学生活动】学生介绍利用三角函数来求圆内接正多边形的的面积：把正十二边形分割成十二个特征三角形，利用三角函数算得它的面积为：2012COB 112121sin 302S S ∆==⋅⋅⋅ 【学生活动】那么正2n 边形的面积2n S 就等于：222sin n n S nS n θ==特征三角形【教师总结】利用三角函数求解圆内接正多边形的面积，在历史上，直到文艺复兴时期，哥白尼（1473--1543）和开普勒（1571-1630）研制了相当精确地三角函数表，这个问题才得以解决.看来同学们都能学以致用！【数学史介绍】事实上，历史上还出现了很多求圆周率的方法，比如：韦达的无穷乘积法，欧拉的无穷级数法，1844年，达赛利用π的反正切函数表达式把π值计算到了小数点后200位.【设计意图】在详细介绍了“实测方法”、“蒙特卡洛方法”与“割圆术”之后，又对如何用高等方法求解圆周率进行了简要的介绍，让学生增加了对近代数学求解π的历史，使得数学史上对于π的求解历程有了更加完整的认识，再次感受数学的文化价值．（五）归纳小结从实测的直觉与粗糙，到割圆术的以直代曲、无限逼近、内外夹逼的严谨，再到三角函数加入割圆术，π的计算精度越来越高，但方法上没有本质改变.直到1665年牛顿等人发明微积分，才使π的计算走到了历史转折点，然而追溯建立微积分的先驱人物又当数阿基米德和刘徽，他们提出的割圆术中已相当自觉地运用了“无穷”和“愈来愈接近”等属于微积分的基本概念.同时，1777年，布丰的投针实验则另辟蹊径，充满创新.纵观几千年来，为了得到更精确地圆周率的值，数学家们千方百计，花费了很多时间和精力，进行着不懈的探索.这个过程不仅仅是“从公元前2000年的几位小数，到公元后2000年的2061亿位小数”的变化，而是在其背后的运算工具的不断发展，昭示了人类在数学领域的卓越追求.高中数学-打印版1761年，当人们还在狂热于计算π值的时候，兰伯特(H·Lambert)证明了π是一个无理数；1882年，林德曼F·vonLindermann于又证明了它是超越数，圆周率的神秘面纱就被揭开了.这一结论解答了公元前434年提出的“化圆为方”的问题是无法实现的.可见，数学越向前发展，人们对事物的认识就越加清晰、深刻.所以说，数学是有用的.愿今天的圆周率之旅，能让你领略到一些数学的魅力，触发起你心中的探索欲望.五、教学特点及反思（1）课前阅读与课内思考紧密结合本节课采用学生课前阅读与课内思考相结合的方式，课前组织学生自主查阅并学习历史上有关圆周率π的各种不同的求法，是为“阅读”；而后在课内引导学生在通过对各种不同的圆周率求法的介绍，对比，以及相关问题进行更加深入的探究，是为“思考”，紧密结合阅读与思考，突破传统的新授课课堂教学模式．通过“阅读”带动“思考”，再经过“思考”加深“阅读”所获得的知识的理解，既给学生创设了自主探究、小组合作交流等平台，又充分挖掘了思维的深度和广度.（2）历史发展与数学进步有效契合本节课既介绍了有关圆周率求解的数学历史，又渗透了各种求解方法所蕴含的数学思想与方法，在方法的介绍与探讨过程中，成功地将历史发展过程，与不同方法的逻辑严密性与精确性的提高过程这两条线索有效契合，贯穿整节课堂，做到数学中有历史，历史中有数学. （3）信息技术与课程内容有机整合通过揭示递推公式与迭代算法之间的关系，用程序框图来表示算法，借助计算机中的Excel软件来实现算法，完成对圆周率π的近似值的初步估计，既验证了运用割圆术求解π的近似值的可行性与有效性，又体现了中国古代数学的算法特征．精心校对完整版。
高中数学人教A版必修3《1.3算法案例》教案3
必修三《1.3算法案例》教学案进位制●三维目标1．知识与技能了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换．2．过程与方法学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律．3．情感、态度与价值观领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系．●重点难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换．难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计．●教学建议本节课主要采用演示、讲解和练习三结合的教学方法，教学内容上选用趣味性较强的数字进行举例说明，使学生在学习的过程中随时有新的发现，让他们感觉到原来数字之间还有这么多的联系．这种方法充分体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则．通过具体实例，帮助学生理解十进制与其他进制之间的相互转换；通过练习，使学生进一步巩固所学到的知识．在课堂上让学生带着问题听老师讲解相关的知识，在此过程中，指导学生积极思考所提出的问题；然后布置相应的练习，让学生边学边练，实际操作，自我探索，自主学习，使学生在完成练习的过程中不知不觉实现知识的传递、迁移和融合；最后归纳总结，引导学生提出问题、讨论问题和解决问题，进一步加深对知识的理解和记忆，有助于知识的掌握．●教学流程创设问题情境引入问题：二进制，十进制之间怎样相互转化⇒学生自主学习，主动探索二进制与十进制的相互转化⇒分组讨论、各组展示自己的成果教师总结，强调关键点及注意点⇒通过例1的教学，使学生掌握k进制转化为十进制的方法⇒通过例2及变式训练使学生掌握十进制转化为k进制的方法⇒通过例3的学习使学生掌握不同进位制间的相互转化⇒归纳整理，课堂小结、整体认识进位制间的关系⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正课标解读 1.了解进位制的概念．(重点)2.掌握不同进位制之间的相互转化．(难点)进位制的概念【问题导思】十进制使用0～9十个数字，那么二进制使用哪些数字？六进制呢？【提示】二进制使用0～1两个数字，六进制使用0～5六个数字．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.进位制之间的相互转化【问题导思】二进制数110 011(2)化为十进制数是多少？【提示】110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝51.k进制化为十进制的方法a n·a n－1·a n－2……a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…a1k＋a0.k进制转化为十进制将二进制数101 101(2)化为十进制数．【思路探究】按二进制化十进制的方法，写成不同位上的数乘以基数的幂的形式，再相加求和．【自主解答】101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45.一个k进制的正整数就是各位数码与k的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1.例如：230 451(k)＝2×k5＋3×k4＋0×k3＋4×k2＋5×k＋1.将下列各数化成十进制数．(1)11 001 000(2)；(2)310(8)．【解】(1)11 001 000(2)＝1×27＋1×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋0×20＝200；(2)310(8)＝3×82＋1×81＋0×80＝200.十进制转化为k进制(1)将194化成八进制数；(2)将48化成二进制数．【思路探究】除k取余→倒序写出→标明基数【自主解答】(1)∴194化为八进制数为302(8)．(2)∴48化为二进制数为110 000(2)．1．将十进制化成k进制的方法：用除k取余法，用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k进制数．2．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．十进制数一般不标注基数．将十进制数30化为二进制数．【解】∴30(10)＝11 110(2).不同进位制之间的转化将七进制数235(7)转化为八进制数．【思路探究】七进制→十进制→八进制【自主解答】235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124，利用除8取余法(如图所示)．∴124＝174(8)，∴235(7)转化为八进制为174(8)．1．本题在书写八进制数174(8)时，常因漏掉右下标(8)而致误．2．对于非十进制数之间的互化，常以“十进制数”为中间桥梁，用除k取余法实现转化．将二进制数1 010 101(2)化为十进制数结果为________；再将该数化为八进制数结果为________．【解析】 1 010 101(2)＝1×26＋0×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝85.∴85化为八进制数为125(8)．【答案】85125(8)(见学生用书第26页)算法案例在实际问题中的应用(12分)古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告，如图1－3－1所示，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？图1－3－1【思路点拨】观察图形发现中间的烽火台未点火，得出其代表数字为0，其他都为1，由此得出二进制数，再将其转化为实际人数．【规范解答】由图易知这组烽火台表示的二进制数为11 011(2)，4分它表示的十进制数为11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，8分由于十进制数的单位是1 000，故入侵敌人的数目为27×1 000＝27 000.12分本题将军事知识与进位制之间的转化巧妙结合起来，在将二进制数转化为十进制数后，应明确此数并不是所求敌人的人数，不要忽视题目中条件“单位是1 000”．把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在使用除k取余法时要注意以下几点：1．必须除到所得的商是0为止；2．各步所得的余数必须从下到上排列；3．切记在所求数的右下角标明基数．(见学生用书第26页)1．下列各数中可能是四进制数的是()A．55B．32C．41D．38【解析】四进制数中最大数不超过3，故B正确．【答案】 B2．110(2)转化为十进制数是()A．5 B．6 C．4 D．7【解析】110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.【答案】 B3．把153化为三进制数，则末位数是()A．0 B．1 C．2 D．3【解析】153÷3＝51，余数为0，由除k取余法知末位数为0. 【答案】 A4．把154(6)化为七进制数．【解】154(6)＝1×62＋5×61＋4×60＝70.∴70＝130(7)．∴154(6)＝130(7).一、选择题1．下列写法正确的是()A．858(8)B．265(7)C．312(3)D．68(6)【解析】k进制中各位上的数字均小于k，故A、C、D选项错误．【答案】 B2．(2013·洛阳高一检测)把89转化为五进制数是()A．324(5)B．253(5)C．342(5)D．423(5)【解析】故89＝324(5)．【答案】 A3．三位五进制数表示的最大十进制数是() A．120 B．124 C．144 D．224【解析】三位五进制数最大为444(5)，444(5)＝4×52＋4×51＋4×50＝124.【答案】 B4．由389化为的四进制数的末位是() A．3 B．2 C．1 D．0【解析】∵∴389＝12 011(4)，故选C.【答案】 C5．下列各数中，最小的数是()A．111 111(2)B．75C．200(6)D．105(8)【解析】111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝63. 200(6)＝2×62＝72.105(8)＝1×82＋0×81＋5×80＝69.【答案】 A二、填空题6．将101 110(2)化为十进制数为________．【解析】101 110(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋1×21＋0×20＝32＋8＋4＋2＝46.【答案】467．已知一个k进制数132(k)与十进制数30相等，则k等于________．【解析】132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2＝30，∴k＝4或－7(舍)．【答案】 48．五进制数23(5)转化为二进制数为________．【解析】23(5)＝2×51＋3×50＝13，将13化为二进制数13＝1 101(2)．【答案】 1 101(2)三、解答题9．在什么进制中，十进制数71记为47?【解】设47(k)＝71(10)，则4×k1＋7×k0＝4k＋7＝71，∴k＝16，即在十六进位制中，十进制71记为47.10．设m是最大的四位五进制数，将m化为七进制．【解】∵m是最大的四位五进制数，∴m＝4 444(5)，∴m＝4×53＋4×52＋4×51＋4×50＝624(10)，∴，∴4 444(5)＝1 551(7)．11．若二进制数10b 1(2)和三进制数a 02(3)相等，求正整数a ，b . 【解】 ∵10b 1(2)＝1×23＋b ×2＋1＝2b ＋9， a 02(3)＝a ×32＋2＝9a ＋2， ∴2b ＋9＝9a ＋2，即9a －2b ＝7， ∵a ∈{1,2}，b ∈{0,1}， 当a ＝1时，b ＝1适合， 当a ＝2时，b ＝112不适合．∴a ＝1，b ＝1.计算机为什么要采用二进制呢？第一，二进制只有0和1两个数字，要得到表示两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高．例如，电位的高与低，电容的充电与放电，晶体管的导通与截止，等等．第二，在各种记数法中，二进制运算规则简单，有布尔逻辑代数作理论依据，简单的运算规则使得机器内部的操作也变得简单．二进制加法法则只有4条：0＋0＝0,0＋1＝1，1＋0＝1,1＋1＝10，而十进制加法法则从0＋0＝0到9＋9＝18，有100条．二进制的乘法法则也很简单：0×0＝0,0×1＝0，1×0＝0,1×1＝1，而十进制的乘法法则要由一张“九九表”来规定，比较复杂.。
高二数学 第一章《算法初步》教案人教A版必修3
1．1．1算法的概念一、三维目标：1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。
（2）能够用自然语言叙述算法。
（3）掌握正确的算法应满足的要求。
（4）会写出解线性方程（组）的算法。
（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
（6）会应用Scilab 求解方程组。
2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。
由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器四、教学设想：1、创设情境：算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。
如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。
人教版高中数学 A版 必修三 第一章 《1.3算法案例》教学课件
D.8
解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，
∴加法6次，乘法6次，
∴6＋6＝12次，故选C.
解析答案
规律与方法
1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数， 若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除 法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最 大公约数. 2.更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数， 然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较 小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.
1 2345
答案
4.把89化成五进制的末尾数是( D )
A.1
B.2
C.3
1 2345
D.4
答案
5.下列各数中最小的数是 ( D )
A.85(9) C.1 000(4)
B.210(6) D.111 111(2)
1 2345
答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 规律与方法
1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的 幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和. 2.十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：
答案
2.更相减损术的运算步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数 .若是，用 2 约简； 若不是，执行 第二步 . 第二步，以较大 的数减去 较小的数，接着把所得的差与 较小 的数比较， 并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 相等 为止，则这个数(等 数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
解析答案
返回
达标检测
1.7不可能是( A ) A.七进制数 C.十进制数
人教A版高中数学必修3第一章 算法初步1、3 算法案例教案
第一章算法初步1.3 算法案例第1课时一、教学目标1．核心素养在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力．2．学习目标（1）通过求较大的两个数的最大公约数感知其中蕴含的数学原理．（2）理解辗转相除法与更相减损术并进行算法分析．3．学习重点掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法，理解二者的区别与联系．4．学习难点认识并把握辗转相除法程序框图与程序语言．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P34－P37，思考：你会求两个较为简单数的最大公约数吗？任务2辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理是什么？2．预习自测1．有关辗转相除法，下列说法正确的是( )A．它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至r<n为止C．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝qn＋r(0≤r<n)，反复进行，直到r＝0为止D．以上说法都错误【解析】：C 由辗转相除法的含义可得，故选C.2．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步为( )A．134－36＝98B．134＝3×36＋26C．先除以2，得到18与67D．134÷36＝3(余26)【解析】：C 利用更相减损术求两个数的最大公约数时，若两个数都是偶数，则首先将两个数都除以2之后再作减法，故选C．（二）课堂设计1．知识回顾（1）最大公因数：两个数的所有公因数中最大的一个数．（2）本课的辗转相除法与更相减损术对于求两数的最大公约数有什么意义？2．问题探究问题探究一如何求两个较大的数的最大公约数？●活动一回顾旧知在初中，我们已经学过求两数的最大公约数，你能求出18与30的最大公约数吗？易知18与30的公约数有：2、3、6，所以18与30的最大公约数是6.我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果两个数数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？●活动二突破探索方法分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数.以此类推：步骤：8251＝6105×1＋21466105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数.问题探究二什么是辗转相除法与更相减损术，其算法是什么？将上述求两个较大的数的最大公约数的方法推广至一般，以上求最大公约数的方法就是辗转相除法.利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商q 0和一个余数r 0；第二步：若r 0＝0，则n 为m ，n 的最大公约数；若r 0≠0，则用除数n 除以余数r 0得到一个商q 1和一个余数r 1；第三步：若r 1＝0，则r 1为m ，n 的最大公约数；若r 1≠0，则用除数r 0除以余数r 1得到一个商q 2和一个余数r 2； ……依次计算直至n r ＝0，此时所得到的n r 1即为所求的最大公约数. 例1 求下列两个数的最大公约数①378和90；②225和135. 解：①378＝90×4＋18，90＝18×5＋0， ∴378与90的最大公约数是18. ②225＝135×1＋90， 135＝90×1＋45， 90＝45×2.∴45是225和135的最大公约数．我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之. 翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数. 例2 分析下列解法错因，并用更相减损术正确写出求36和20的最大公约数的解法. 错解：用更相减损术步骤如下： 36－20＝16， 20－16＝4， 16－4＝12， 12－4＝8， 8－4＝4，故36与20的最大公约数为4.解：错因：本题结果虽正确，但解题过程是错误的．错误的根源在于没有完全掌握更相减损术的规则．更相减损术要求若两数均为偶数则要用2约简．本题出错正是忽略这一过程所致．正确解法：∵36和20都是偶数，∴两次用2约简得9和5.用更相减损的步骤如下：9－5＝4，5－4＝1，4－1＝3，3－1＝2，2－1＝1，∴36和20的最大公约数为4.3．课堂总结【知识梳理】(1)辗转相除法的算法步骤：第一步：给定的两个正整数，第二步：用较大的数除以较小的数，若余数为零，则较小的数即这时的除数就是两个数的最大公约数；若余数不为零，则将较小的数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的除数就是原来两个数的最大公约数.(2)更相减损术是另一种求两数最大公约数的方法.其算法步骤是：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.【重难点突破】(1)辗转相除法与更相减损术的区别与联系①都是求最大公约数的方法②计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主；计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.(2)辗转相除法的程序框图与程序语言程序：INPUT “m=”;mINPUT “n=”;nIF m<n THEN x=mm=nn=xEND IFr=m MOD nWHILE r<>0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND4．随堂检测1．用辗转相除法求得168与486的最大公约数是( )A．3 B．4 C．6 D．16【解析】：C 486＝168×2＋150，168＝150×1＋18，150＝18×8＋6，18＝6×3，所以168与486的最大公约数是6，故选C.2．用更相减损术求459和357的最大公约数.【解析】：51 ∵459－357＝102，357－102＝255，255－102＝153，153－102＝51，102－51＝51，∴51是459与357的最大公约数.（三）课后作业基础型自主突破1．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步为( )A．134－36＝98 B．134＝3×36＋26C．先除以2，得到18与67 D．134÷36＝3(余26)【解析】：C 更相减损术的算法第一步要求若两数均为偶数则要用2约简，故选C2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )A．3 B．9 C．17 D．51【解析】：D 459＝357×1＋102，357＝102×3＋51，102＝51×2＋0，故选D.3．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【解析】：B 294＝84×3＋42，84＝42×2，至此最大公约数便已求出，故选B.4．在m＝nq＋r(0≤r<n)中，若k是n、r的公约数，则k ( )m、n的公约数A．一定是B．不一定是C．一定不是D．不能确定【解析】：A 由辗转相除法的原理可知若k是n、r的公约数，则k一定是m的约数，所以k一定是m、n的公约数.故选A.5．运行下面的程序，当输入n＝840和m＝1764时，输出结果是( )A．84 B．12 C．168 D．252【解析】：A ∵1764＝840×2＋84，840＝84×10，∴1764与840的最大公约数为84.能力型师生共研6．下列各组数的最大公约数不正确的是( )A．16和12的最大公约数是4 B．78和36的最大公约数是6C．85和357的最大公约数是34 D．105和315的最大公约数是105【解析】：C 用更相减损术求它们的最大公约数.(85，357)→(85，272)→(85，187)→(85，102)→(85，17)→(68，17)→(51，17)→(34，17)→(17，17)，所以85和357的最大公约数是17，故选C.7．(1)用辗转相除法求840与1596的最大公约数．(2)用更相减损术求561与357的最大公约数．【解析】：(1) 84 (2)51(1)1596＝840＋756，840＝756＋84,756＝84×9所以840与1596的最大公约数为84.(2)561－357＝204357－204＝153204－153＝102153－102＝51102－51＝51所以459与357的最大公约数为51.8．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中（最后一个瓶子也装满），每个小瓶装入液体的质量相同，则每瓶最多装多少溶液？【解析】：每个小瓶的溶液的质量应是147，343，133的公约数，最大质量即是其最大公约数. 先求147与343的最大公约数：343－147＝196196－147＝49147－49＝9898－49＝49所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：133－49＝8484－39＝3549－35＝1435－14＝2121－14＝714－7＝7所以49与133的最大公约数为7，因此147，343，133的最大公约数为7.即每瓶最多装7 g溶液. 探究型多维突破9．求612、396、264的最大公约数.【解析】：12 由辗转相除法可得：612=396×1+216，396=216×1+180，216=180×1+36，180=36×5，所以612和396的最大公约数为36；又264=36×7+12，36=12×3，所以264和36的最大公约数为12；综上三个数612，396，264的最大公约数是12.10．求225和135的最小公倍数.【解析】：675 ∵225＝135×1＋90，135＝90×1＋45，90＝45×2，∴45是225和135的最大公约数.∴225和135的最小公倍数为(225×135)/45＝675.自助餐1．930与868的最大公约数是________．【解析】：62 ∵930＝868×1＋62，868＝62×14，∴930与868的最大公约数为62.2．用更相减损术，求105与30的最大公约数时，需要做减法的次数是( )A．2 B．3 C．4 D．5【解析】：C 105－30＝75，75－30＝45，45－30＝15，30－15＝15.故选C.3．如图所示的程序表示的算法是( )A．交换m、n的值B．辗转相除法C．更相减损术D．秦九韶算法【解析】：B 由本节课所学的辗转相除法的原理及其算法可知，故选B.4．阅读程序：若INPUT语句中输入m、n的数据分别是72、168，则程序运行的结果为________.【解析】：24 该程序是用辗转相除法求两个数的最大公约数的算法程序，输入72、168，即求它们的最大公约数，可求出它们的最大公约数为24.＝4)，则下列程序的目的是( )5．若INT(x)表示不超过x的最大整数(如INT(4.3)＝4，INT(4)A．求x，y的最小公倍数B．求x，y的最大公约数C．求x被y除的商D．求y除以x的余数【解析】：B这个程序实质上就是辗转相除法，主要用于求两个正整数的最大公约数.6．分别用辗转相除法和更相减损术求1734和816的最大公约数.【解析】：辗转相除法：1734＝816×2＋102，816＝102×8+0，所以1734与816的最大公约数是102.更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867和408；再求867与408的最大公约数.867－408＝459459－408＝51408－51＝357357－51＝306306－51＝255255－51＝204 204－51＝153 153－51＝102 102－51＝51所以1 734与816的最大公约数是51×2＝102.3.1.2椭圆的综合应用一、教学内容 椭圆的综合应用 二、教学目标1.能通过将关于椭圆的实际问题转化为关于椭圆的数学问题，解决数学问题，从而解决关于椭圆的实际问题，发展数学建模素养.2.熟练掌握椭圆的几何性质，能够根据条件求曲线的轨迹方程，并简单了解椭圆第二定义为三种圆锥曲线的统一定义打下基础。
人教课标版高中数学必修3《算法案例(第3课时)》教学设计
1.3 算法案例第3课时一、教学目标1．核心素养在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力．2．学习目标（1）1.3.3.1理解进位制的概念，掌握各种进位制与十进制之间的转换规律．（2）1.3.3.2掌握十进位制转化为各种进位制的除k 余法.3．学习重点各种进位制与十进制之间的转换规律．4．学习难点不同进位制之间的转化规律及其思想二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P40－P45，思考：各种进位制与十进制之间转换的规律是什么？ 任务2你可以熟练的进行各进位制之间的转换吗？2．预习自测1．在2进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？【解析】：分别是0，1，1，102．把二进制数()2110011化为十进制数【解析】：()=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++=543210211001112120202121232162151（二）课堂设计1．知识回顾（1）生活中常见的进位制有哪些（例如时间、钱等）（2）计算机中的2进制和通常的10进制怎么进行转换（3）非10的两种不同进制之间怎么进行转换2．问题探究问题探究一 认识进位制，将十进制数转化为k 进制数●活动一 什么是n 进位制？我们常见的数字都是十进制的，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制，电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢？进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n ，即可称n 进位制，简称n 进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：十进制数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如()2110011表示二进制数,(5)34表示5进制数.●活动二 如何将10进制 数转化为2进制数？解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数. 具体的计算方法如下:=⨯+=⨯+=⨯+=⨯+=⨯+892441442220222110112515221()(((())))=⨯⨯⨯⨯⨯+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=654321028922222211001120212120202121011001这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)●活动三如何将10进制数转化为k进制数？上述方法可以推广为把十进制化为k进制数的算法,这种算法成为除k取余法. 十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：1.除：把十进制数连续去除以k，直到商为0为止，同时将各步的余数写出2.取余：将各步所得的余数倒叙写出，即为所求的k进制数3.标基数：写出k进制数后将基数k用括号括起来标在右下角例1.将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.解：算式如下图，则458＝13022(4)＝2042(6)问题探究二不同进制数相互转换●活动一如何将10进制数与k进制数进行相互转换？二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.那么如何将一个k进制数转换为十进制数？将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数.这样我们就可以进行10进制数与k进制数进行相互转换●活动二如何将非10的不同进制数进行相互转换？进制的数转化为10进制数后再把10进制的十进制是连接其他进制的桥梁.把k1进制数，各个进制数之间就能实现互相转换.数转化为k2例2.1 011 001(2)＝______(10)＝______(5).解：89，324 首先将1011001(2) 化为十进制数为1×26＋0＋1×24＋1×23＋0＋0＋1×20＝89，再将89化成五进制数：89除以5的商是17，余数为4,17除以5的商是3，余数为2，所以五进制数为324.3．课堂总结【知识梳理】（1）k进制化成十进制，幂积求和法（2）十进制化成k进制，除k取余法进制的数转化为10进制数后再把10进制的数转（3）不同进制之间转换：把k1化为k进制数2【重难点突破】（1）进位制之间的转换方法：k进制化成十进制，幂积求和法；十进制化成k 进制，除k取余法．（2）把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在使用除k取余法时要注意以下几点：1.必须除到所得的商是0为止；2.各步所得的余数必须从下到上排列；3.切记在所求数的右下角标明基数4．随堂检测1．下列各进制数中值最小的是( )A．85(9)B．210(6)C．1 000(4)D．111 111(2)【解析】：D 由进位制的知识易得，故选D.2．把189化为三进制数，则末位数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】：A将189除以3得余数为0，所以189化为三进制数的末位数为0. 故选A.3．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于( )A．7或4 B．－7C．4 D．都不对【解析】：C132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．故选C.4．四位二进制数能表示的最大十进制数是( )A．4 B．64 C．255 D．15【解析】：D由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大，此时，1 111(2)＝15.故选D5．七进制数中各个数位上的数字只能是______中的一个．【解析】：0、1、2、3、4、5、6“满几进一”就是几进制．∵是七进制．∴满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0、1、2、3、4、5、6中的一个．6．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．【解析】：33(4)<12(16)<25(7)将三个数都化为十进制数.12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．（三）课后作业基础型自主突破1.二进制数111.11(2)转换成十进制数是( )A．7.3 B．7.5 C．7.75 D．7.125【解析】：C 由题意知二进制对应的十进制是：1×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2＝4＋2＋1＋0.5＋0.25＝7.75. 故选A2.将二进制110 101(2)转化为十进制为( )A．106 B．53 C．55 D．108【解析】：B110 101(2)＝1＋1×22＋1×24＋1×25＝53. 故选B3.下列与二进制数1 001 101(2)相等的是( )A．115(8)B．113(8)C．114(8)D．116(8)【解析】：A 先化为十进制数：1 001 101(2)＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，再化为八进制数．所以77＝115(8)，1 001 101(2)＝115(8)故选A．4.下列各数中，与1 010(4)相等的数是( )A．76(9)B．103(8)C．2 111(3)D．1 000 100(2)【解析】：D 1 010(4)＝1×43＋1×4＝68.因为76(9)＝7×9＋6＝69；103(8)＝1×82＋3＝67；2111(3)＝2×33＋1×32＋1×3＋1＝67；1000100(2)＝1×26＋1×22＝68，所以1 010(4)＝1 000 100(2)故选D.．5.一个k进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k不可能是( )A．3 B．4 C．5 D．7【解析】：D k进制的最小三位数为k2，六进制的最大二位数为5×6＋5＝35，由k2≤35得0<k≤，故k不可能是7.故选D.…a1a0(k)表示一个k进制数，若21(k)＝9，则321(k)在十进制中所表示的6.记anan－1数为( )A．86 B．57 C．34 D．17【解析】：B 由已知中21(k)＝9，求出k值，进而利用累加权重法，可得答案．若21(k)＝9，则2k＋1＝9，解得k＝4，故321(k)＝321(4)在＋进制中所表示的数为：3×42＋2×4＋1＝57. 故选B能力型师生共研7.已知1 0b1(2)＝a02(3)，求数字a，b的值．【解析】：a＝1，b＝1 ∵1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.∵a∈{1，2}，b∈{0，1}，∴当a＝1时，b＝1符合题意，当a＝2时，b＝112不合题意，∴a＝1，b＝1.8.已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数为( )A．8 B．55 C．56 D．62【解析】：B 由题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55. 故选B9.古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？【解析】：27 000 由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11 011，改写为十进制为：11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝16＋8＋2＋1＝27(10)．又27×1 000＝27 000，所以这组烽火台表示边境约有27 000个敌人来犯．探究型多维突破10.分别用算法步骤、程序框图、程序语句表示把k进制数a(共有n位数)转化成十进制数b.【解析】：算法步骤：第一步，输入a，k，n的值.第二步，赋值b＝0，i＝1.第三步，b＝b＋a i·k i－1，i＝i＋1.第四步，判断i>n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图：程序语句：11.若10y1(2)＝x02(3)，求数字x，y的值及与此两数等值的十进制数．【解析】：x＝y＝1，11∵10y1(2)＝x02(3)，∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，将上式整理得9x－2y＝7，由进位制的性质知，x∈{1，2}，y∈{0，1}，当y＝0时，x＝(舍)，当y＝1时，x＝1.∴x＝y＝1，已知数为102(3)＝1 011(2)，与它们相等的十进制数为1×32＋0×3＋2＝11.自助餐1.在什么进位制中，十进位制数71记为47( )A．17 B．16 C．8 D．12【解析】：B 设为k进制，有：4k＋7＝71，从而可解得k＝16.因此是16进制．故选B.2.把十进制数20化为二进制数为( )A．10 000(2)B．10 100(2)C．11 001(2)D．10 001(2)【解析】：B 利用除2取余数可得．故选B3.在八进制中12(8)＋7(8)＝21(8)，则12(8)×7(8)的值为( )A．104(8)B．106(8)C．70(8)D．74(8)【解析】：B 12(8)＝1×81＋2×80＝10(10)，7(8)＝7×80＝7(10)，12(8)×7(8)＝70(10)．故70(10)＝106(8)．即12(8)×7(8)＝106(8)．故选B4.将四位八进制数中的最小数转化为六进制数为( )A．2 120 B．3 120 C．2 212 D．4 212【解析】：C 四位八进制中的最小数为1 000(8)．所以1 000(8)＝1×83＝512.再将512除以6取余得512＝2 212(6)．故选C5.两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为( )A．12 B．11 C．10 D．9【解析】：B101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5，110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6，5+6=11.故选B6.在计算机的运行过程中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与计算．如十进制数8转换成二进制数是1 000，记作8(10)＝1 000(2)；二进制数111转换成十请进制数是7，记作111(2)＝7(10)等．二进制的四则运算，如11(2)＋101(2)＝1 000(2)．计算：11(2)×111(2)＝________，10 101(2)＋1 111(2)＝________.【解析】：10 101(2)，100 100(2)由题可知，在二进制数中的运算规律是“满二进一”，∴11(2)×111(2)＝10 101(2)，10 101(2)＋1 111(2)＝100 100(2)．7.1 101(2)＋1 011(2)＝__________(用二进制数表示)．【解析】：11 000(2)1 101(2)＝1×23＋1×22＋1＝13；1 011(2)＝1×23＋1×2＋1＝11，则1101(2)＋1011(2)＝24.即24＝11 000(2)．。
高中数学《算法初步》教案新人教A版必修
高中数学《算法初步》教案新人教A版必修一、教学目标1. 理解算法的基本概念，了解算法在数学和日常生活中的应用。
2. 掌握算法的基本步骤，能够清晰地描述和分析算法的过程。
3. 学会使用循环结构编写算法，熟练掌握基本的编程技巧。
4. 通过解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、教学内容1. 算法的基本概念：算法、输入、输出、步骤2. 算法的基本步骤：排序、查找、乘法口诀、求解一元二次方程3. 循环结构：for循环、while循环、do-while循环4. 实际问题求解：编写算法解决生活中的实际问题，如计算器、购物清单等。
三、教学重点与难点1. 重点：算法的基本概念、基本步骤和循环结构。
2. 难点：循环结构的嵌套使用和复杂问题的算法设计。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提炼出算法。
2. 使用多媒体教学手段，展示算法的过程和效果，增强学生的直观感受。
3. 引导学生通过编程实践，巩固算法知识，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：介绍算法的基本概念，学习算法的输入、输出、步骤。
2. 第二课时：学习算法的基本步骤，掌握排序、查找、乘法口诀、求解一元二次方程等基本算法。
3. 第三课时：学习循环结构，掌握for循环、while循环、do-while循环的用法。
4. 第四课时：运用所学算法解决实际问题，编写算法程序。
5. 第五课时：进行课堂讨论，分享算法解决问题的经验，进行算法设计的交流和探讨。
六、教学过程1. 导入：通过引入日常生活中的算法例子，如计算购物找零、制定旅行计划等，激发学生的兴趣，引出算法的概念。
2. 新课导入：介绍算法的定义、特点和作用，引导学生了解算法在数学和科学领域中的应用。
3. 案例分析：分析排序、查找等基本算法，让学生通过具体案例理解算法的基本步骤和原理。
4. 编程实践：让学生动手编写简单的算法程序，如排序算法、查找算法等，加深对算法概念的理解。
人教a版必修3数学教学课件第1章算法初步第3节算法案例
故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不
存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项看成0·xn.
目标导航
题型一
题型二
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型三
【变式训练3】 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
当x=2时的值.
v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
错因分析:所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算
法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有x的一次项.
目标导航
题型一
题型二
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
【做一做2】 用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程
中,v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
减小数.
解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数.
1 785=840×2+105,
840=105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3节算法案例[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P34～P45，回答下列问题．(1)小学学过的求两个正整数的最大公约数的方法是什么？提示：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来．(2)辗转相除法的操作步骤是什么？提示：两个数中用较大的数除以较小的数，求得商和余数，再用除数除以余数，如此重复，直到所得余数为0，即可求得两个数的最大公约数．(3)更相减损术的操作步骤什么？提示：第一步，任意给定两个正整数，判定它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．(4)应用秦九韶算法求多项式的值时应怎样操作？提示：求多项式的值时，先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，再由内向外逐层计算一次多项式v k(k＝2,3,4，…，n)的值．(5)将k进制数转化为十进制的方法是什么？提示：“除k取余法”．2．归纳总结，核心必记(1)辗转相除法与更相减损术①辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．②更相减损术：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．(2)秦九韶算法求多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个一次多项式的值，共进行n次乘法运算和n次加法运算．其过程是：改写多项式为：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.设v1＝a n x＋a n－1，v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，……v n＝v n－1x＋a0.(3)进位制①进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．②其他进位制与十进制间的转化(ⅰ)其他进位制化成十进制其他进位制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式．(ⅱ)十进制化成k进制的方法——“除k取余法”．[问题思考](1)辗转相除法与更相减损术有什么联系？提示：①都是求两个正整数的最大公约数的方法．②二者的实质都是递推的过程．③二者都是用循环结构来实现．(2)辗转相除法与更相减损术有什么区别？提示：什么？提示：所缺的项写成系数为零的形式，即写成0·x n的形式．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)辗转相除法是什么？；(2)更相减损术是什么？；(3)秦九韶算法是什么？；(4)进位制及进位制间的互化：.观察如图所示的内容：[思考1] 辗转相除法的算理是什么？名师指津：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．[思考2] 更相减损术的算理是什么？名师指津：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数．讲一讲1．用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．[尝试解答] 用辗转相除法：612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，即612和468的最大公约数是36.用更相减损术检验：612和468为偶数，两次用2约简得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.求最大公约数的两种方法步骤(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．练一练1．用辗转相除法求840与1 785的最大公约数； 解：因为1 785＝840×2＋105， 840＝105×8.所以840和1 785的最大公约数是105.观察如图所示的内容：[思考] 秦九韶算法的原理是什么？名师指津：秦九韶算法是按从内到外的顺序依次计算求值的． 设f (x )＝a n x n＋a n －1xn －1＋…＋a 1x ＋a 0，将其改写为f (x )＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋…＋a 1)x ＋a 0＝((a n x n －2＋a n －1xn －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0＝…＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0令v 0＝a n ，则有公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n .这样我们便可由v 0依次求出v 1，v 2，…，v n ：v 1＝v 0x ＋a n －1，v 2＝v 1x ＋a n －2，v 3＝v 2x ＋a n －3，…， v n ＝v n －1x ＋a 0.讲一讲2．利用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 6－5x 5＋6x 4＋x 2＋3x ＋2当x ＝－2时的值为( )A．320 B．－160 C．－320 D．300[尝试解答] 将多项式变式为f(x)＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋3)x＋2，v0＝1，v1＝－2＋(－5)＝－7，v2＝－7×(－2)＋6＝20，v3＝20×(－2)＋0＝－40，v4＝－40×(－2)＋1＝81，v5＝81×(－2)＋3＝－159，v6＝－159×(－2)＋2＝320，即x＝－2时，多项式的值为320.答案：A利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．练一练2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为( )A．－144 B．－136C．－57 D．34解析：选 B 根据秦九韶算法多项式可化为f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.由内向外计算v0＝3；v1＝3×(－4)＋5＝－7；v2＝－7×(－4)＋6＝34；v3＝34×(－4)＋0＝－136.观察如图所示的内容：[思考1] 进位制应如何表示？名师指津：若一个数为十进制数，其基数可以省略不写，若是其他进位制，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右下角标明基数．[思考2] 常见的进位制有哪些？名师指津：(1)二进制：①只使用0和1两个数字；②满二进一，如1＋1＝10(2)．(2)八进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同数字；②满八进一，如7＋1＝10(8)；(3)十六进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个不同的数码，其中A，B，C，D，E，F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15；②满十六进一，如F＋1＝2＋E＝10(16)．讲一讲3．(1)把二进制数101 101(2)化为十进制数；(2)把十进制数458转化为四进制数．[尝试解答] (1)101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，所以二进制数101 101(2)转化为十进制数为45.(2)458＝13 022(4)．进位制的转换方法(1)将k进制转化为十进制的方法是：先将这个k进制数写成各个数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果．(2)十进制转化为k进制，采用除k取余法，也就是除基数，倒取余．练一练3．(1)二进制数算式1 010(2)＋10(2)的值是( )A．1 011(2) B．1 100(2)C．1 101(2) D．1 000(2)(2)下列各组数中最小的数是( )A．1 111(2) B．210(6)C．1 000(4) D．101(8)解析：(1)选B 二进制数的加法是逢二进一，所以选B.(2)选A 统一化为十进制数为1 111(2)＝15；210(6)＝78；1 000(4)＝64；101(8)＝65.——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数，会用秦九韶算法求多项式的值，会在不同进位制间进行相互转化．难点是会用秦九韶算法求多项式的值．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)掌握求最大公约数的两种方法步骤，见讲1.(2)掌握秦九韶算法步骤，见讲2.(3)进位制的转换方法，见讲3.3．本节课的易错点有两个：(1)弄不清秦九韶算法的原理而致错，如讲2；(2)进位制之间转换的方法混淆而致错，如讲3.课下能力提升(八)[学业水平达标练]题组1 辗转相除法与更相减损术1．下列关于利用更相减损术求156和72的最大公约数的说法中正确的是( )A．都是偶数必须约简B．可以约简，也可以不约简C．第一步作差为156－72＝84；第二步作差为72－84＝－12D．以上都不对解析：选B 约简是为了使运算更加简捷，故不一定要约简，A错．C中第二步应为84－72＝12，故选B.2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是( )A．2 B．3 C．4 D．5解析：选C 294－84＝210,210－84＝126,126－84＝42,84－42＝42，共做4次减法运算．3．1 624与899的最大公约数是________．解析：1 624＝899×1＋725，899＝725×1＋174，725＝174×4＋29，174＝29×6，故1 624与899的最大公约数是29.答案：294．用两种方法求210与98的最大公约数．解：用辗转相除法：210＝98×2＋14，98＝14×7.∴210与98的最大公约数为14.用更相减损术：∵210与98都是偶数，用2约简得105和49，105－49＝56,56－49＝7，49－7＝42,42－7＝35，35－7＝28,28－7＝21，21－7＝14,14－7＝7.∴210与98的最大公约数为2×7＝14.题组2 秦九韶算法5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是( ) A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34解析：选D 因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是7×4＋6＝34.6．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案：A7．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．解：f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13.v0＝3，v1＝v0×6＋12＝30，v2＝v1×6＋8＝188，v3＝v2×6－3.5＝1 124.5，v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2，v5＝v4×6＋5＝40 530.2，v6＝v5×6－13＝243 168.2.所以f (6)＝243 168.2. 题组3 进位制及其转化8．以下各数有可能是五进制数的是( ) A ．15 B ．106 C ．731 D ．21 340解析：选D 五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D. 9．完成下列进位制之间的转化． (1)1 034(7)＝________(10)； (2)119(10)＝________(6)．解析：(1)1 034(7)＝1×73＋0×72＋3×7＋4×70＝368. (2)∴119(10)＝315(6)． 答案：(1)368 (2)31510．若k 进制数123(k )与十进制数38相等，则k ＝________. 解析：由k 进制数123可知k ≥4. 下面可用验证法：若k ＝4，则38(10)＝212(4)，不合题意； 若k ＝5，则38(10)＝123(5)成立，所以k ＝5. 答案：511．若1 0b 1(2)＝a 02(3)，求数字a ，b 的值及与此相等的十进制数． 解：∵1 0b 1(2)＝a 02(3)， ∴1×23＋b ×2＋1＝a ×32＋2， 且a 只能取1,2，b 只能取0,1. 整理得9a －2b ＝7.当b ＝0时，a ＝79(不合要求，舍去)；当b ＝1时，a ＝1. ∴a ＝b ＝1. ∴102(3)＝1 011(2)，转化为十进制数为1×32＋2＝11.[能力提升综合练]1．用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 3－3x 2＋2x －11当x ＝x 0时的值时，应把f (x )变形为( )A．x3－(3x－2)x－11B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11D．((x－3)x＋2)x－11解析：选D f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11，故选D.2．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是( )A．5,150 B．15,450C．450,15 D．15,150解析：选B 利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15,45＝15×3,45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.3．下列各数中，最小的是( )A．101 010(2) B．111(5)C．32(8) D．54(6)解析：选C 101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32(8)＝3×81＋2×80＝26,54(6)＝5×61＋4×60＝34.又42>34>31>26，故最小的是32(8)．4．(2016·福州高一检测)三进制数 2 022(3)化为六进制数为abc(6)，则a＋b＋c＝________.解析：2 022(3)＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62.三进制数2 022(3)化为六进制数为142(6)，∴a＋b＋c＝7.答案：75．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．解析：多项式变形为f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，v0＝3，v1＝3×(－4)＋12＝0，v2＝0×(－4)＋6＝6，v3＝6×(－4)＋10＝－14，v4＝－14×(－4)－8＝48，所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.答案：626．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g、343 g、133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？解：先求147与343的最大公约数．343－147＝196，196－147＝49，147－49＝98，98－49＝49.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数．133－49＝84，84－49＝35，49－35＝14，35－14＝21，21－14＝7，14－7＝7.所以147,343,133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7 g.7．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？解：由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11 011，改写为十进制为：11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝16＋8＋2＋1＝27(10)．又27×1 000＝27 000，所以这组烽火台表示边境约有27 000个敌人来犯.11。