高中数学新湘教版精品学案《双曲线的简单几何性质》
双曲线的简单几何性质(学案)
学案2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）一、教学目标1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。
2、理解双曲线的渐近线。
二、教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。
三、 教学过程 （一）复习1、椭圆标准方程及其几何性质：2、双曲线及其标准方程方程：参数关系：请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。
（二）双曲线的性质1、范围：推导：把双曲线方程12222=-by a x 变形为：结论 范围：2、对称性推导：结论3、顶点：结论 顶点：等轴双曲线：4、离心率定义：双曲线的 与 的比 ，叫做双曲线的离心率。
结论 双曲线的离心率1>e 且e 越大双曲线的开口就越开阔。
5、渐近线结论 双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线方程练习：求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。
（1）369422=-y x 的渐近线方程是： ； （2）369422-=-y x 的渐近线方程是： ； （3）10042522=-y x 的渐近线方程是： ； （4）10042522-=-y x 的渐近线方程是： 。
结论：把双曲线标准方程中等号右边的 改成 ，然后变形，即可得其渐近线方程。
例1、 求双曲线14416922=-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
解：把方程14416922=-x y 化为标准方程1342222=-x y由此可知，半实轴长4=a ，半虚轴长3=b ；5342222=+=+=b a c焦点坐标是)5,0(),5,0(-；离心率45==a c e ；渐近线方程为x y 34±=。
【变式练习】1、求双曲线14416922-=-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例2、 求适合下列条件的双曲线标准方程（1） 顶点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为45； （2） 顶点间距离为6，渐近线方程为x y 23±=；解：（1）设双曲线的标准方程为12222=-b y a x 或)0,0(>>b a 。
双曲线的简单几何性质精品教案
双曲线的简单几何性质章节名称双曲线的简单几何性质（第二课时）本节（课）教课内容剖析数学发展观以为：数学好像其余事物同样，是不停在运动、变化中发展的，又在不停发展中显现新的活力与生命。
学生在学习一个数学新知识时，若能鉴于数学发展观，从问题的本质下手，对问题的条件、结论及结题方法等方面进行商讨，在相对完好的运动发展的过程中领会到新知识的应用价值，那么这样的学习不不过深刻有效的，并且是风趣的。
鉴于以上考虑，在教课上做了以下设计：在网络环境下，以网页为载体，借助《几何画板》强盛的动向演示功能，经过大批自主实验（包含察看实验、考证明验、研究实验等）让学生认识圆锥曲线定义的本质，熟习圆锥曲线的性质，掌握直线与圆锥曲线地点关系的要点。
本节课是在学生借助图象用类比法学习了双曲线的简单几何性质的基础上的一节以复习和研究为主的课。
依照的课程标准1．认识圆锥曲线的本质背景，感觉圆锥曲线在刻画现实世界和解决本质问题中的作用。
2．经历从详细情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握他们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
3．认识双曲线的定义、几何图形和标准方策还可以够，指导双曲线的有关性质。
4．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的地点关系）和本质问题。
5．经过圆锥曲线的学习，进一步领会数形联合的思想。
本节（课）教课目的1．知识与技术（ 1）类比椭圆的几何性质，复习稳固双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、极点、渐近线和离心率等；（ 2）能娴熟运用双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程、极点、离心率等性质解题；（3）经过数学实验，研究直线与双曲线的交点个数问题，掌握用方程与不等式思想解决分析几何问题。
2．过程与方法（1）运用类比复习法，复习稳固椭圆和双曲线的几何性质，并学会划分它们的异同，培育学生独立研究、贯通融会的能力；（2）联合双曲线的图形特色，娴熟运用双曲线的几何性质解题，感悟数与形的交融，掌握数形联合思想；（3）先利用数学软件研究直线与双曲线的地点关系，从而用方程与不等式的方法求解，考证察看结果，培育学生的发现问题、解决问题的能力，掌握方程与不等式相联合解决分析几何问题的方法。
学案1：3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质
3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质情景导入(1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等性质． (2)用多媒体展示几组焦点在x 轴、y 轴上开口大小各不相同的双曲线，观察双曲线形状的美． (3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢？ 新知初探1．双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－ay ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a )，(0，a )轴长实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝c a>1 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心双曲线的 叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线学 习 目 标核 心 素 养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.________________的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ . 3．直线与双曲线的位置关系将y ＝kx ＋m 与x 2a 2－y 2b2＝1联立消去y 得一元方程(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2(m 2＋b 2)＝0.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 24＝1的焦点在y 轴上．( ) (2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． ( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条．( )2．若等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A ．y 218－x 218＝1B ．x 218－y 218＝1C ．x 28－y 28＝1D ．y 28－x 28＝13．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．4．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.合作探究类型1 根据双曲线方程研究几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值；(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． 类型2 由几何性质求双曲线的标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)．规律方法1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)． 2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0，m ＞0，n ＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0，A ＞0，B ＞0)． (2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)共焦点的双曲线系方程可设为x 2a 2－λ－y 2λ－b 2＝1(b 2＜λ＜a 2)． 跟踪训练1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .类型3 求双曲线的离心率 [探究问题]1．双曲线的离心率的范围怎样？对双曲线的形状有什么影响？2．双曲线的离心率与其渐近线斜率有什么关系？例3 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，求其离心率的值． 规律方法求双曲线离心率的方法(1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca 得解．(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2得解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋qac ＋ra 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋qe ＋r ＝0求解． 跟踪训练2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 类型4 直线与双曲线的位置关系 [探究问题]1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？2．过点(0,2)和双曲线x 216－y 29＝1只有一个公共点的直线有几条？例4 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．规律方法直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． (2)数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程． 跟踪训练3．已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程．课堂小结1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程． 2．与双曲线有关的其他几何性质(1)通径：过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1⎝⎛⎭⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点作垂直于焦点所在对称轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫做通径，其长度为2b 2a.(2)焦点三角形：双曲线上的点P 与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积S ＝b 2tan θ2.(3)距离：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上任意一点M 到左焦点的最小距离为a ＋c ，到右焦点的最小距离为c －a .(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率相等的双曲线系方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ＞0)．(5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线系方程为x 2a 2＋k －y 2b 2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．课堂检测1．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3 B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4 C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5 D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±42．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A ．31414B ．324C ．32D ．433．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________． 4．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于A ，B 两点，则|AB |＝________.5．直线l 与双曲线x 2－4y 2＝4相交于A ，B 两点，若点P (4,1)为线段AB 的中点，则直线l 的方程是________．参考答案思考：[提示]渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．2．(1)对称中心(2)实轴和虚轴等长23．一个两个一个没有初试身手1．[提示](1)×(2)√(3)×2．【答案】B【解析】由条件知，等轴双曲线焦点在x 轴上，可设方程为x 2a 2－y 2a 2＝1，a 2＋a 2＝62，解得a 2＝18，故方程为x 218－y 218＝1.3．【答案】2【解析】由题意知4a 2－9b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，得a ＝1，b ＝3，∴e ＝2.4．【答案】5【解析】∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.合作探究类型1 根据双曲线方程研究几何性质例1 解：双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .例2 解：(1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)由两顶点间的距离是6得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.(3)法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意，得⎩⎨⎧ b a ＝43，(－3)2a 2－(23)2b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4，所以双曲线的方程为4x 29－y 24＝1.当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1.由题意，得⎩⎨⎧a b ＝43，(23)2a 2－(－3)2b 2＝1，解得a 2＝－4，b 2＝－94(舍去)综上所得，双曲线的方程为4x 29－y 24＝1.法二：设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即4x 29－y 24＝1.跟踪训练1．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2. 又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)． 把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16.∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1. (3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94. 当λ＜0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1. 类型3 求双曲线的离心率[探究问题]1．[提示] 在双曲线方程中，因为a ＜c ，所以离心率e ＝c a∈(1，＋∞)，它的大小决定了双曲线的开口大小，e 越大，开口就越大．2．[提示] e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2 当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为k ，则e ＝1＋k 2，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为k ，则e ＝1＋1k 2. 例3 (1)【答案】5或52 【解析】当焦点在x 轴上时，b a ＝2，这时离心率e ＝c a ＝1＋22＝ 5. 当焦点在y 轴上时，a b ＝2，即b a ＝12，这时离心率e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＝52.](2)解：因为双曲线的右焦点F (c,0)到渐近线y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0的距离为|bc |a 2＋b 2＝bc c＝b ，所以b ＝32c ，因此a 2＝c 2－b 2＝c 2－34c 2＝14c 2，a ＝12c ，所以离心率e ＝c a＝2. 跟踪训练2．【答案】2＋3【解析】如图，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )，此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a， 得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝c a＝2＋ 3.类型4 直线与双曲线的位置关系[探究问题]1．[提示] 可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．[提示] 四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．例4 解：(1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1， 消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1.∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－2k 1－k 22＋81－k 2 ＝1＋k 28－4k 21－k 22. 又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k 2， ∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝128－4k 21－k 22＝2， 即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62. ∴实数k 的值为±62或0. 跟踪训练 3．解：法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ， 整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝8k (3k ＋1)4k 2－1. ∵A (3，－1)为MN 的中点，∴x 1＋x 22＝3， 即8k (3k ＋1)24k 2－1＝3， 解得k ＝－34. 当k ＝－34时， 满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54， 即3x ＋4y －5＝0.法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎨⎧ x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1). ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1)＝－34. 经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)， 即3x ＋4y －5＝0.课堂检测1．【答案】A【解析】|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A.2．【答案】C【解析】由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，故e ＝32. 3．【答案】x 216－y 24＝1 【解析】由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1. 4．【答案】3【解析】双曲线的左焦点为(－2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 方程为y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋2＝0，x 2－y 23＝1得8y 2－123y ＋9＝0， 则y 1＋y 2＝332，y 1y 2＝98. ∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(1＋3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫3322－4×98＝3. 5．【答案】x －y －3＝0【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k ，易知k 存在且k ≠0，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 又∵点P (4,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.代入，得(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1. 因此直线l 的方程是y －1＝1×(x －4)，即x －y －3＝0.。
高中数学湘教版选修2-1(理科)第2章《2.2.2 双曲线的简单几何性质》优质公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学湘教版选修2-1（理科）第2章《2.2.2 双曲线的简单几何性质》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标通过方程研究平面曲线的性质,在教学参考书中明确规定学生需要掌握双曲线的性质,初步掌握根据双曲线的方程,研究曲线的几何性质的方法和步骤,制定出以下的教学目标:知识与技能目标:(1)使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质,理解并掌握双曲线的几何性质;(2)掌握双曲线中三个字母a、b、c的几何意义,理解双曲线的渐近线的概念及证明;(3) 能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题;过程与方法(1)抓住与椭圆的异同,掌握椭圆和双曲线的几何性质以及他们之间的联系与区别,根据大纲要求及学生现有的实际水平和认知能力,把渐近线和离心率这两个性质座位本节课的重点;(2)培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力,分析、归纳能力和逻辑推理能力,以及类比的学习方法;(3)掌握解析法研究几何问题的一般方法,加深对直角坐标系中曲线与方程概念的理解;情感态度与价值观(1)培养学生学会从“感性认识”到“理性知识”过程中获取新知;(2)对待知识的科学态度和探索精神,会运用运动、变化的观点分析理解事物。
2学情分析在研究圆锥曲线中,双曲线特有的几何性质是渐近线,这个特有性质也是本节的重点与难点。
在教授这节课时,运用类比的思想方法,通过抓住双曲线与椭圆的异同,进而让学生理解并掌握双曲线的一些简单性质,在类比过程中,对x、y的范围、双曲线的对称性、顶点、离心率等简单性质比较容易理解和掌握,而对学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。
因为这一性质是双曲线所特有的,以往的教学中学生都没有接触过,因此,在教学过程中把渐近线的发现作为重点,充分暴露思维过程,培养学生的创造性思维,通过诱导、分析,巧妙地应用极限的思想导出双曲线的渐进方程,这样处理将数学思想渗透于其中,学生。
双曲线的简单几何性质(一)导学案
1标准方程 错误!－错误!＝1 （a 〉0,b>0) 错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0） a ，b,c 关系 a 2+b 2=c 2 a 2+b 2=c 2
渐近
线
探究点二由性质求标准方程(定型→设方程→定量→作答)
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线的焦点为（2，0)，右顶点为(错误!，0)； (2)实半轴长为8，离心率为错误!；
变式:求满足下列条件的双曲线方程
(1）双曲线C的焦点为（0,5)，虚轴长为4; （2）实轴长为2,离心率为2；
四、巩固提高（链接高考）：
1、（2013陕西卷）双曲线x2
16
－错误!＝1的离心率为______，两条渐近线的方程为_____．
2、(2011年高考安徽卷）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
3、（2011年高考江西卷）若双曲线错误!-错误!=1的离心率e=2，则m=__ __.
4、思考：若a=b，则渐近线的方程为_____，离心率e＝
五、小结(方法总结）：
（1）双曲线的简单性质（2）应用：①方程→性质②性质→方程
六、作业：1、P835 2、补充:求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点分别为F1（－3,0），F2（3,0)，离心率e＝ 3
（2)虚轴长为12,离心率为4
5
；。
数学高二-选修2学案 《双曲线的简单几何性质》
3.3.2《双曲线的简单几何性质》导学案【教学目标】1.通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；2.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；3.掌握双曲线的渐近线的求法.【导入新课】复习导入1.复习椭圆的几何性质，重点复习它的范围、对称性、离心率、和有关量，类比得到双曲线的有关性质；2. 双曲线的标准方程及其推导过程.新授课阶段双曲线的简单几何性质①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；④渐近线：直线by x a=±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ace =叫做双曲线的离心率（1e >）． 例1 双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A.0⎫⎪⎪⎝⎭B.0⎫⎪⎪⎝⎭C.0⎫⎪⎪⎝⎭D.)【解析】双曲线的222131,,,22a b c c ===，所以右焦点为.【答案】C例2求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率.解：根据双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±． ① 焦点在x 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k-=，∵()3A -点在双曲线上，∴214k =-，无解； ② 焦点在y 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -+=，∵()3A -点在双曲线上，∴214k =， 因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =． 【点评】这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠. 例3已知双曲线C :12222=-b y a x (0,0)a b >>，B 是右顶点,F 是右焦点, 点A 在x 轴正半轴上，且满足 OA OB OF ||、||、||成等比数列,过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P .（1）求证：FP PA OP PA ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D 、E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.（1）法一．:()a l y x c b =--，(),,a y x cb b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2(,).a abP c c|OA → |,|OB → |,|OF → |成等比数列，PA →=（0，－ab c）法二：同上得2(,).a abP c c0.PA x PA OP PA FP PA OF PA OP PA FP ∴⊥⋅-⋅=⋅=∴⋅=⋅轴．． （2）222222(),,a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩422222244422222222422221242244222222)2()0,()0,.,.2a b x x c a b b a a a c b x cx a b b b b a c a b b x x a b bb a b ac a a e e ∴--=-+-+=-+⋅=<-∴>>->∴>>（）．即（即．即 课堂小结1.双曲线的几何性质的灵活运用；2.双曲线的渐近线的求法及其运用.作业22222222(,),(,),,..a ab b ab OP FPc c c ca b a b PA OP PA FP c cPA OP PA FP ==-∴⋅=-⋅=-∴⋅=⋅见同步练习部分拓展提升1．双曲线1322=-y x 的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是（ ） Ａ．060 Ｂ．090 Ｃ．0120 Ｄ．01502．如果221||21x y k k+=---表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距C 的取值范围是（ ）A ．(1,＋∞)B ．（0，2）C ．(2,＋∞)D ．（1，2）3．已知对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为x －2y =0，则该双曲线的离心率为（ ）A 或 5B 或 3CD ．54 或54．过点（－7，－6 2 ）与（27 ，－3）的双曲线标准方程为 ．．5．已知F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0)的左、右两个焦点，点P 在双曲线右支上，O 为坐标原点，若△POF 2是面积为1的正三角形，则b 的值是 ．6． 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋127． 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．08． 双曲线x 216－y 29＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4 9． 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程是________．10．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________.11．双曲线的渐近线为y ＝±43x ，则双曲线的离心率为________.12．点M (x ，y )到定点F (5,0)距离和它到定直线l ：x ＝95的距离的比是53(1)求点M 的轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为C ，在C 上求点P ，使|OP |＝34(O 为坐标系原点).13．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) . (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程.参考答案1．C 【解析】求出倾斜角的正切值. 2．A 【解析】解不等式组.3．A 【解析】由a,b 之间的关系转化成a,c 之间的关系.4．2212575x y -=【解析】待定系数法.5． 2 【解析】数形结合6．D 【解析】设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，直线FB 的斜率为－bc ，与其垂直的渐近线的斜率为b a ，所以有－b 2ac ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52.7．A 【解析】由已知可得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1(x ≥1)，所以PA 1→·PF 2→＝4x 2－x －5，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.故选A..8．C 【解析】 (5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点.9．y ＝±63x 【解析】双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程为2x ±3y ＝0，即y ＝±63x .10．4ab ＝1【解析】易知双曲线Γ的方程为x 24－y 2＝1，设P (x 0，y 0)，又e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，由OP →＝a e 1＋b e 2，得(x 0，y 0)＝a (2，1)＋b (2，－1)，即(x 0，y 0)＝(2a ＋2b ，a －b )， ∴x 0＝2a ＋2b ，y 0＝a －b ， 代入x 24－y 2＝1整理得4ab ＝1.11.53或54【解析】当焦点在y 轴上时，a b ＝43，即9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，解得e ＝54；当焦点在x 轴上时，b a ＝43，即16a 2＝9b 2＝9(c 2－a 2)，解得e ＝53.12． (1)|MF |＝x －52＋y 2，点M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x －95，依题意，有x －52＋y 2⎪⎪⎪⎪x －95＝53， 去分母，得3x －52＋y 2＝|5x －9|，平方整理得x 29－y 216＝1，即为点M 的轨迹方程．(2)设点P 坐标为P (x ，y )， 由|OP |＝34得x 2＋y 2＝34， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1，x 2＋y 2＝34，得⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝－32，y ＝－4或⎩⎨⎧ x ＝－32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－4，∴点P 为(32，4)或(－32，－4)或(－32，4)或(32，－4)． 13．解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca ＝2，c ＝2，所以a ＝1，则b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1 . (2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)， 所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)， 令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ， 所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →. 当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k ， 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上， 所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212，所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)，当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得，16－4k 23＝1，所以k ＝±352，所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2) .综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2).。
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)
双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。
若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。
高中数学专题双曲线的简单几何性质学案
2.1.5双曲线的简单几何性质（学案）一、知识梳理由椭圆的几何性质出发，类比探究双曲线22221x ya b-=的几何性质范围：x：y:对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）．实轴长为；虚轴长为．离心率：渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为：．双曲线22221y xa b-=的几何性质呢？小结：1、离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?2、如何有方程得双曲线的渐近线？二、典例解析1．求双曲线221169x y -=的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1）焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为34;（2）两条渐近线的方程是x y 3±=，且经过点)6,3(-;(3）与双曲线116922=-y x 有相同的渐近线，且经过点()32,3-A ；（4）离心率2=e ，且经过点)10,4(-P ．三、当堂检测1．双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是( ）．A ．8、 B ．8、C ．4、D ．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是( ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±）3． 双曲线22148x y -=的离心率为( )．A ．1 BC D ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是．5．经过点(3,1)A -,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．6．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．。
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10．设双曲线 的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________。
11．已知双曲线C： ，P为C上的任意点。
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值；
与两个定点的距离差的绝对值等于常数
标准方程
图形
顶点坐标
（±a，0），（0，±b）
（±a，0）
对称轴
轴，长轴长2a
轴，短轴长2b
轴，实轴长2a
轴，虚轴长2b
焦点坐标
（± ，0）
（± ，0）
离心率
准线
渐近线
无
焦半径
a，b，c，e，
点，若MF2垂直于轴，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的一条渐近线方程为＝ ，则双曲线的离心率为（）
双曲线的简单几何性质
【学习目标】
1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质。
2．掌握标准方程中 的几何意义
【学习重点】
双曲线的渐近线及其得出过程。
【学习难点】
渐近线几何意义的证明。
【学习过程】
一、新知学习
（一）知识点
对比椭圆与双曲线的定义与性质（以焦点在轴为例）
椭圆
双曲线
Hale Waihona Puke 定义与两个定点的距离和等于常数
A． B． C． D．
7．过双曲线M： 的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B．C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是（）
A． B． C． D．
8．已知P是双曲线 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3－＝0。设F1．F2分别为双曲线的左、右焦点。若＝3，则＝________。