二重积分
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
二重积分常用公式
二重积分常用公式二重积分是数学分析中的一个重要概念，在很多实际问题中都有着广泛的应用。
那咱们就来好好聊聊二重积分常用的公式。
还记得我读大学的时候，有一次参加数学建模比赛。
题目是要计算一个不规则物体的体积，这个物体的形状非常复杂，用常规的方法根本无法求解。
当时我们小组几个人都急得像热锅上的蚂蚁，到处翻书找资料。
后来我们发现，如果把这个问题转化为二重积分的形式，或许就能找到解决办法。
我们先确定了积分区域，也就是这个物体在平面上的投影范围。
然后根据物体的高度函数，建立了二重积分的表达式。
可是，一开始我们总是在公式的运用上出错，不是积分限弄错了，就是被积函数搞错了。
经过反复的讨论和尝试，我们终于找到了正确的公式和计算方法。
当我们算出那个准确的体积时，那种兴奋和成就感简直无法用言语来形容。
咱们先说直角坐标系下的二重积分公式。
如果积分区域是 X 型区域，也就是可以表示为a≤x≤b，φ₁(x)≤y≤φ₂(x)，那么二重积分可以表示为∫∫f(x,y)dxdy = ∫ₐᵇ[∫₍φ₁(x)₎ᵍ(φ₂(x)) f(x,y)dy]dx 。
要是积分区域是 Y 型区域，也就是可以写成c≤y≤d，ψ₁(y)≤x≤ψ₂(y)，那么二重积分就是∫∫f(x,y)dxdy = ∫ₑᵈ[∫₍ψ₁(y)₎ᵍ(ψ₂(y)) f(x,y)dx]dy 。
在极坐标系下，也有相应的二重积分公式。
如果积分区域是用极坐标表示的，比如α≤θ≤β，r₁(θ)≤r≤r₂(θ)，那么二重积分就可以写成∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ = ∫ₐᵦ[∫₍r₁(θ)₎ᵍ(r₂(θ)) f(rcosθ,rsinθ)rdr]dθ 。
这里要特别注意，在使用极坐标计算二重积分的时候，要把被积函数和面积元素都转化为极坐标的形式。
比如说，要计算一个圆形区域上的二重积分，用极坐标就会方便很多。
因为在直角坐标系下，这个积分区域的边界方程会比较复杂，但是在极坐标系下，圆形区域就可以很简单地表示出来。
二重积分的概念及几何意义
若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在区域$D$ 上均可积，则有 $iint_{D}[f(x,y)+g(x,y)]dsigma=iint_ {D}f(x,y)dsigma+iint_{D}g(x,y)dsig ma$。
积分区域的可加性
简单区域的叠加
若复杂区域$D$可以划分为有限个简单区域（如矩形、三角形等）的并集，且函数在每个简单区域上 均可积，则二重积分可以通过在这些简单区域上分别进行积分并求和得到。
复杂区域的分解
对于复杂的不规则区域，可以通过引入辅助线将其划分为几个较简单的子区域，然后在每个子区域上 分别进行积分，最后将结果相加。这种方法在处理具有复杂边界或包含多个不同部分的积分区域时特 别有用。
03
二重积分的计算
直角坐标系下的二重积分
积分区域为矩形区域
通过对矩形区域进行划分，将二重积分转化为累次积分进行计算。
对于环形区域，可以通过对内外圆的极径 进行划分，将环形区域划分为若干个小扇 形区域，然后对每个小扇形区域进行积分 ，最后将结果相加得到二重积分的值。
二重积分的换元法
直角坐标与极坐标的互化
通过直角坐标与极坐标之间的互化公式，可以将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标 系下的二重积分进行计算。
一般变换
对于一般的二重积分，可以通过变量代换的方法将其转化为更简单的形式进行计算。常 用的变量代换方法有极坐标代换、广义极坐标代换等。
积分的数乘性质
若函数$f(x,y)$在区域$D$上可积，则对于任意常数$k$，有 $iint_{D}kf(x,y)dsigma=kiint_{D}f(x,y)dsigma$。
可加性质
积分区域的可加性
若区域$D$可分成两个不相交的区域$D_1$和 $D_2$，且函数$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上均 可积，则有 $iint_{D}f(x,y)dsigma=iint_{D_1}f(x,y)dsigm a+iint_{D_2}f(x,y)dsigma$。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分
s 1 ds ds
D D
这个性质的几何意义是:高为1的平顶柱体的体积在数 值上就等于柱体的底面积．
9
性质5
如果在 D 上，f ( x , y ) ( x , y ) ，则有不等式
f ( x , y )ds ( x , y )ds
D D
特殊的，由于
f ( x, y)ds
D
b
a
b
2 ( x ) f ( x, y )dydx . 1 ( x )
dx
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y )ds
D
a
f ( x , y )dy
计算时，先把x看作常量,把 f(x,y) 只看作y的函数,并对y计 算从 1 ( x ) 到 2 ( x ) 的定积分,然后把算得的结果再对x计算在区 间[a,b]上的定积分.这种连续的积分计算称为：累次积分
y (x, 1) 1 y=x
1 1 2 (1 x y ) dx 3 1 x 3 1 1 ( x 1)dx 1 3 1 2 1 3 ( x 1)dx 3 0 1 2
3 2 2
1
O ( x, x) 1
1
x
25
解法(2) 画出区域D， 可把D看成是Y型区域：
16
d
d y
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dx
3. 计算公式及方法：
当 D 为X型区域时： y
y=2(x)
y=1(x)
y
y=2(x) y=1(x)
O a
b
x
O a
b
二重积分算法
二重积分算法二重积分算法1. 介绍二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域内的函数值之和。
它的计算方法有多种，本文将介绍其中的三种常用算法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法和面积元法。
2. 直角坐标系下的累次积分法直角坐标系下的累次积分法是最基本也是最常用的一种二重积分算法。
它将被积函数视为一个关于两个变量 x 和 y 的函数 f(x,y)，并通过两次单变量积分来计算其在指定区域内的值。
具体来说，设被积函数为 f(x,y)，要求在区域 D 内进行二重积分，则可以先固定 y 值，对 x 进行单变量积分得到一个关于 y 的函数 g(y)，再对 g(y) 在 D 内进行单变量积分即可得到 f(x,y) 在 D 内的值。
公式表示为：∬Df(x,y)dxdy = ∫a∫b f(x,y) dxdy = ∫a∫b g(y) dy其中 a 和 b 分别是 x 轴方向上 D 区域边界线段对应点的横坐标。
3. 极坐标系下的累次积分法极坐标系下的累次积分法适用于计算具有旋转对称性的函数在极坐标系下的积分值。
它将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，从而简化了计算过程。
具体来说，设被积函数为 f(x,y)，要求在区域 D 内进行二重积分，则可以通过变量替换将直角坐标系下的 x 和 y 转化为极径 r 和极角θ，再通过两次单变量积分来计算其在指定区域内的值。
公式表示为：∬Df(x,y)dxdy = ∫θ1∫θ2 f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ其中θ1 和θ2 分别是 D 区域边界线段对应点在极坐标系下的极角。
4. 面积元法面积元法是一种基于微小面元面积和被积函数在该面元上近似值之乘积来计算二重积分值的方法。
它适用于被积函数具有较强规律性且区域 D 的形状比较简单的情况。
具体来说，将区域D 划分为若干个微小面元，每个面元的面积为ΔS，其中心点为 (xi,yi)，则可以将被积函数在该面元上的近似值视为f(xi,yi)，从而得到二重积分的近似值：∬Df(x,y)dxdy ≈ ∑f(xi,yi)ΔS随着微小面元数量的增加，上式的近似值将越来越接近真实值。
二重积分概念
D
积分中值定理的几何意义: 在 D 上, 以 z f ( x , y)
( f ( x , y) 0) 为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底 的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高等于 f ( x , y)
在 D 中某点 ( , ) 处的函数值 f ( , ).
设 P 是一平面有界图形, 用平行于坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: y
(i) i 上的点都是 P 的内点;
P
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
i P ;
O
x
图 21 1
(iii) i 上含有 P 的边界点. 将所有属于第(i) 类小矩形 y
D
例如 ？ R2 x2 y2d
x2 y2 R2
n
D
f ( x, y)d lim 0 i1
f (i , i ) i
o xD
y
(i ,i )
i
z
o D x
(i ,i ) y
i
z f (x, y)
例如 ？ R2 x2 y2d x2 y2 R2
定义2 设 f ( x , y) 是定义在可求面积的有界闭域 D
上的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数 ,
总存在某个正数 , 使对于 D 的任何分割 T, 当它的
细度 || T || 时, 属于 T 的所有积分和都有
n
f (i , i ) i J ,
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示．
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二重积分二重积分也是由实际问题的需要而产生的。
在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域上的二元函数的形式，便可得到二重积分的概念。
一． 二重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是xoy 平面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面),(y x f z =，这里0),(≥y x f ，且在D 上连续（如图所示）。
这种立体称为曲顶柱体。
现在我们来讨论它的体积。
关于曲项柱体，当点),(y x 在区域D 上变动时，高),(y x f 是个变量，因此它的体积不能直接用体积公式来计算。
不难想到，用求曲边梯形面积的方法来解这个问题。
(1) 分割：我们用一曲线网把区域D 任意分成n 个小区域1σ∆，2σ∆，…，n σ∆小区域i σ∆的面积也记作i σ∆。
以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲项柱体分为n 个细条的小曲顶柱体。
它们的体积分别记作1V ∆，2V ∆，…，n V ∆(2) 近似代替：对于一个小区域i σ∆，当直径（i σ∆最长两点的距离）很小时，由于),(y x f 连续，),(y x f 在i σ∆中的变化很小，可以近似地看作常数。
即若任意取点∈),(i i ηξi σ∆，则当i y x σ∆∈),(时，有),(y x f ),(i i f ηξ≈，从而以i σ∆为底的细条曲顶柱体可近似地看作以),(i i f ηξ为高的平顶柱体（如图所示）于是≈∆i V ),(i i f ηξi σ∆ ),,3,2,1(n i =(3) 求和：把这些细条曲顶柱体体积的近似值),(i i f ηξi σ∆加起来，就得到所求的曲顶柱体体积V 的近似值，即∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V 11),(σηξ(4) 取极限：一般地，如果区域D 分得越细，则上述和式就越接近于曲顶柱体体积V ，当把区域D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径0→λ时，则和式的极限就是所求的曲顶柱体的体积V ，即0lim →=λV ∑=∆n i i ii f 1),(σηξ引例2 非均匀平面薄板的质量设薄片的形状为闭区域D(如图所示)，其面密度ρ是点),(y x 的函数，即),(y x ρρ=在D 上为正的连续函数．当质量分布是均匀时，即ρ为常数，则质量M 等于面密度乘以薄片的面积。
当质量分布不均匀时，ρ是随点),(y x 而变化，如何求质量呢我们采用与曲顶柱体的体积相类似的方法求薄片的质量。
(1) 分割：把区域D 任意分成n 个小区域1σ∆，2σ∆，…，n σ∆小区域i σ∆的面积也记作i σ∆。
该薄板就相应地分成n 个小块薄板。
(2) 近似代替：对于一个小区域i σ∆，当直径很小时，由于),(y x ρ连续，),(y x ρ在i σ∆中的变化很小，可以近似地看作常数。
即若任意取点∈),(i i ηξi σ∆，则当i y x σ∆∈),(时，有),(y x ρ),(i i ηξρ≈，从而i σ∆上薄板的质量可近似地看作以),(i i ηξρ为面密度的均匀薄板，于是≈∆i M ),(i i ηξρi σ∆ ),,3,2,1(n i =(3) 求和：把这些小薄板质量的近似值),(i i ηξρi σ∆加起来，就得到所求的整块薄板质量的近似值，即∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i M M 11),(σηξρ(4) 取极限：一般地，如果区域D 分得越细，则上述和式就越接近于非均匀平面薄板的质量M ，当把区域D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径0→λ时，则和式的极限就是所求的非均匀平面薄板的质量M ，即0lim →=λM ∑=∆n i i ii 1),(σηξρ上面两个例子的意义虽然不同，但解决问题的方法是一样的，都归结为求二元函数的某种和式的极限，我们抽去它们的几何或物理意义，研究它们的共性，便得二重积分的定义．定义 设函数),(y x f z =在闭区域D 上有定义，将D 任意分成n 个小区域1σ∆，2σ∆，…，n σ∆其中i σ∆表示第i 个小区域，也表示它的面积。
在每个小区域i σ∆上任取一点),(i i ηξ，作乘积),(i i f ηξi σ∆ ),,3,2,1(n i =，并作和式∑=∆n i i ii f 1),(σηξ，如果当各小区域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，且极限值与区域D 的分法无关，也与每个小区域i σ∆中点),(i i ηξ的取法无关．则称此极限值为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分，记作⎰⎰Dd y x f σ),(，即⎰⎰D d y x f σ),(0lim →=λ∑=∆n i i ii f 1),(σηξ其中⎰⎰叫做二重积分号，),(y x f 叫做被积函数，σd y x f ),(叫被积表达式，σd 叫做面积元素，x 与y 叫做积分变量，D 叫做积分区域。
注意 （1）二重积分是个极限值，因此是个数值，这个数值的大小仅与被积函数 ),(y x f 及积分区域D 有关，而与积分变量的记号无关，即有⎰⎰D d y x f σ),(=⎰⎰Dd v u f σ),(（2）只有当和式极限0lim →λ∑=∆n i i ii f 1),(σηξ存在时，),(y x f 在D 上的二重积分才存在，称),(y x f 在D 上可积。
（3）二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(与区域D 的分法无关，也与每个小区域i σ∆中的点),(i i ηξ的取法无关．二元函数),(y x f 在D 上满足什么条件时，函数),(y x f 才可积呢现在给出),(y x f 在D 上可积的充分条件。
二重积分存在定理 如果函数),(y x f 在闭区域D 上连续，则函数),(y x f 在闭区域D 上可积，即二重积分存在。
今后，如不作特别声明，我们总是假定函数),(y x f 在D 上连续，因而),(y x f 在D 上的二重积分总是存在的。
由二重积分的定义，可知曲顶柱体的体积V 是曲面),(y x f z =在底D上的二重积分，即⎰⎰=Dd y x f V σ),(非均匀平面薄板的质量M 是面密度),(y x ρρ=在薄片所占闭区域D 上的二重积分，即⎰⎰=Dd y x M σρ),(二重积分的几何意义 当函数0),(≥y x f 时，二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(表示以),(y x f z =为曲顶、D 为底面、母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。
若0),(≤y x f ，则⎰⎰Dd y x f σ),(的绝对值等于曲顶),(y x f 在xoy 平面下方的、底面为D 、母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积，但二重积分为负值。
当),(y x f 在D 上的符号可能为正，也可能为负时，如果能将D 分为有限个小区域i D ，在每个小区域i D 内),(y x f 符号不改变，则⎰⎰Dd y x f σ),(表示以),(y x f 为曲顶，以区域i D 为底的各小曲顶柱体体积的代数和。
二． 二重积分的性质比较一元函数的定积分与二重积分的定义可知，二重积分与定积分有完全类似的性质。
假设二元函数),(y x f ，),(y x g 在积分区域D 上都连续，因而它们在D 上的二重积分是存在的。
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即⎰⎰=D d y x kf σ),(⎰⎰Dd y x f k σ),(性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差），即=±⎰⎰D d y x g y x f σ)],(),([±⎰⎰D d y x f σ),(⎰⎰Dd y x g σ),( 性质3 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分和。
例如D 分为两个闭区域D 1与D 2，则=⎰⎰D d y x f σ),(+⎰⎰1),(D d y x f σ⎰⎰2),(D d y x f σ注意：前三个性质常用，要熟练掌握。
性质4 如果在D 上，1),(=y x f ，D 的面积为σ，则=⎰⎰D d y x f σ),(σσ=⎰⎰Dd 1性质5 若在区域D 上有),(),(y x g y x f ≤，则≤⎰⎰D d y x f σ),(⎰⎰Dd y x g σ),(特别有σσd y x f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰≤),(),(性质6 （二重积分估值定理）设M 、m 分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则σσσM d y x f m D≤≤⎰⎰),(性质7 （二重积分中值定理）设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ，使得下式成立σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰例1 根据二重积分的性质，比较⎰⎰+D d y x σ2)(与⎰⎰+Dd y x σ3)(的大小。
其中D 是由x 轴，y 轴和直线1=+y x 所围成的区域（如图所示）解 对于D 上的任意一点),(y x ，有 10≤+≤y x ，因此在D 上有23)()(y x y x +≤+由性质5可知⎰⎰+D d y x σ2)(⎰⎰+≥Dd y x σ3)( 例2 利用二重积分的性质，估计积分值 ⎰⎰++=Dd y x I ,)1(σ其中D 是矩形域：10≤≤x ，20≤≤y 。
解 因为在D 上有：411≤++≤y x ，而D 的面积为2，由性质6，可得8,)1(2≤++≤⎰⎰Dd y x σ练习 P 47 3（1）小结 1 二重积分的定义（熟记表达式）；2 二重积分的几何意义；3 二重积分的性质（熟练掌握前三个）。