三种求关键路径算法的比较_史玉敏

⑤计 算 Ｗ＝Ｕ Ｍｉ 且 只 保 留 发 点 到 终 点 的 最 长 路 径项得： Ｗ＝｛＜１２５，６＞｝和｛＜１４５，６＞｝
关键路径为： ｖ１ｖ２ｖ５ 和 ｖ１ｖ４ｖ５， 长度为 ６。 （ ３） 方法 ３： 用参考文献［３］上的方法求解步骤 ①初始化 Ｐ、Ｄ、Ｓ， 见表 ２。
表 ２ 初始表
变， 只修改 Ｄ， Ｓ 的值， 结果见表 ４。
表 １ ＡＯＥ－ 网中顶点和活动的时间
关键路径为 ｖ１ｖ２ｖ５ 和 ｖ１ｖ４ｖ５， 长度为 ６。
图 ２ 关键路径图
（ ２） 方法 ２： 用参考文献［２］的方法求解步骤
现
①构造 Ｍ１
代
计
!ψ ｛＜１２，１＞｝ ｛＜１３，２＞｝ ｛＜１４，４＞｝ ψ $
"ψ ψ ψ
ψ ｛＜２５，５＞｝%
Ｍ１＝""ψ
ψ
ψ
Ａｂｓ ｔｒａｃｔ： Ｆｉｒｓｔｌｙ， ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｆｏｒ ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇ ｅ－ ｂｕｓｉｎｅｓｓ ｂｙ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ Ｊ２ＥＥ ｗｉｔｈ Ｗｅｂ Ｓｅｒｖｉｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， ｔｈｅｎ ａ Ｅ＿Ａｕｔｏ＿Ｍａｒｋｅｔ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｊ２ＥＥ ａｎｄ Ｗｅｂ Ｓｅｒｖｉｃｅｓ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ， ｔｈｅ ｔａｒｇｅｔ ｏｆ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｏｄｕｌｅ ｉｎ ｓｙｓｔｅｍ ａｒｅ ｅｘｐｌａｉｎｅｄ， Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗｅｂ Ｓｅｒｖｉｃｅｓ ｉｎ Ｅ－ Ａｕｔｏ－ Ｍａｒｋｅｔ ｔａｋｅｓ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｉｎ ｄｙｎａｍｉｃ ｅ－ ｂｕｓｉｎｅｓｓ．
③删去 Ｍ１ 中除第一行之外的所有行和第一列得 到的新矩阵记为 Ｍ１：
Ｍ１＝（ ｛＜１２，１＞｝ ｛＜１３，２＞｝ ｛＜１４，４＞｝ Ψ）
④根据公式 Ｍｋ＝Ｍｋ－１＊ Ｍ， 构造秩为 ｋ 的基本 Ｐ 矩 阵 Ｍｋ（ｋ＝２，…，ｎ－ １）且 只 保 留 各 顶 点 之 间 的 最 长 路 径 项， 得：
实践与经验
三种求关键路径算法的比较
史玉敏 ， 赵庆祯
（ 山东师范大学管理学院， 济南 ２５００１４）
摘 要： 本文分别从算法复杂度、数据结构形式及实现的容易程度等几方面分析了三种求关键路径 算法的优劣。
关键词 ： 关键路径； 算法； ＡＯＥ—网
引言
现实中一项工程是一个完整的系统整体， 都可抽 象 成 一 个 环 环 相 扣 的 ＡＯＥ－ 网 ， 即 带 权 的 有 向 无 环 图 ， 顶 点 表 示 事 件 （ Ｅｖｅｎｔ） ， 弧 表 示 活 动（Ａｃｔｉｖｅ）， 权 表 示活动 持续的时间（Ｔｉｍｅ）， 整个工程中只有一个 开 始 点和一个完成点， 故在正常的情况（ 无环） 下， 网中只 有一个入度为零的点（ 称作源点） 和一个出度为零的 点（ 称作汇点） 。为了进行人力、物力的调度和分配， 以 缩短工期， 我们必须找出影响工期进度的关键活动， 若网中有几条关键路径， 那么， 单是提高一条关键路 径上的关键活动的速度还不能导致整个工程缩短工 期， 而必须提高同时在几条关键路径上的活动的速 度， 因此必须求出所有关键路径， 这就是关键路径的 求解问题。
）
!"# ＭＯ Ｄ Ｅ Ｒ Ｎ Ｃ ＯＭＰ Ｕ Ｔ Ｅ Ｒ ２００６．２
⑥根据上面得到的 Ｐ、Ｄ 和公式 Ｐｒｅ（ｕ）＝｛ｗ｜ｐ［ｗ］［ｕ］ ＝Ｄ［ｕ］且 ｕ≠ｗ｝， 求 出 每 个 顶 点 的 前 趋 结 点 组 成 的 集 合 ， 则 有 Ｐｒｅ （ｖ５）＝｛ｖ２，ｖ４｝； Ｐｒｅ （ｖ４）＝｛ｖ１｝； Ｐｒｅ （ｖ３）＝｛ｖ１｝； Ｐｒｅ（ｖ２）＝｛ｖ２， ｖ４｝； Ｐｒｅ（ｖ１）＝Φ。
Ｍ２＝（Ψ Ψ Ψ ｛＜１２５，６＞｝ ｛＜１４５，６＞｝ ） Ｍ３＝Ｍ４＝Ｍ５＝（Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ）
可以注意到 Ｍ１， Ｍ 都有四列， 而 Ｍ２， Ｍ３， Ｍ４， Ｍ５ 都 是由五列。这是因为在由 Ｍ１ 到 Ｍ２ 的计算过程中， 在 第四列同时出现了两个最长路经， 所以为其多开辟出 一列， 从而不会丢失任意一条关键路径。
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ： Ｅ＿Ａｕｔｏ＿Ｍａｒｋｅｔ； Ｗｅｂ Ｓｅｒｖｉｃｅｓ； Ｊ２ＥＥ
ＭＯ Ｄ Ｅ Ｒ Ｎ Ｃ ＯＭＰ Ｕ Ｔ Ｅ Ｒ ２００６．２
现 代 计 算 机 （总 第 二 二 九 期
!"# ）
表 ４ Ｄ［４］＝６
④Ｄ［２］＝２， 修改 Ｓ［２］＝１， 用 Ｄ［２］修正矩阵 Ｐ 第 ３ 行 得值， 并根据 Ｐ 第 ３ 行的值重新修正 Ｄ 的值， 结果见 表 ５。
表 ５ Ｄ［２］＝２
⑤Ｄ［１］＝ｍａｘ｛Ｄ［ｉ］｜Ｓ［ｉ］＝０｝＝１， 修改 Ｓ［１］＝１， 用 Ｄ［１］修 正矩阵 Ｐ 第 ２ 行得值， 并根据 Ｐ 第 ２ 行的值重新修正 Ｄ 的值， 结果见表 ６。
１ 三种算法之比较
通常我们所用的求解关键路径的方法是参考文 献［１］上 所 述 的 ， 在 这 里 我 们 再 引 入 文 献［２］［３］上 的 两 种 方 法 进 行 比 较 。我 们 借 助 一 个 简 单 的 例 题 看 一 下 三 种算法的优劣。
例：
图 １ 初始图
（ １） 方法： 用参考文献［１］的方法求解 这种方法大家都比较熟悉， 这里不再累述， 只给 出求解的最终结果， 见表 １。
Ａｂｓ ｔｒａｃｔ： Ｔｈｉｓ ｔｅｘｔ ｈａｓ ａｎａｌｙｓｅｄ ｔｈｒｅｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｐａｔｈｓ ｆｒｏｍ ｓｅｖｅｒａｌ ｒｅｓｐｅｃｔｓ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ， ｓｕｃｈ ａｓ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｔａ ａｎｄ ｅａｓｙ ｄｅｇｒｅｅ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ： Ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｐａｔｈｓ； Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ； ＡＯＥ－ Ｎｅｔｗｏｒｋ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（ 上接第 ７５ 页）
Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒｃｈ ａ ｎｄ Ｒｅ ａ ｌｉｚａ ｔｉｏｎ ｏｆ Ｅ－ Ａｕｔｏ－ Ｍａ ｒｋｅ ｔ Ｓ ｙｓ ｔｅ ｍ
Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒｃｈ ｏｆ Ｔｈｒｅ ｅ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ Ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ Ｃｒｉｔｉｃａ ｌ Ｐ ａ ｔｈｓ
ＳＨＩ Ｙｕ－ ｍｉｎ ， ＺＨＡＯ Ｑｉｎｇ－ ｚｈｅｎ
（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ， Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｊｉｎａｎ ２５００１４ Ｃｈｉｎａ）
表 ６ Ｄ［１］＝１
②Ｄ［３］＝ｍａｘ｛Ｄ［ｉ］｜Ｓ［ｉ］＝０｝＝４， 修改 Ｓ［３］＝１， 用 Ｄ［３］修
正矩阵 Ｐ 第 ４ 行得值， 并根据 Ｐ 第 ４ 行的值重新修正
Ｄ 的值， 结果见表 ３。
现
代
表 ３ Ｄ［３］＝４
计
算
机
（总
第
二
二
九
期
③Ｄ［４］＝６， 修 改 Ｓ［４］＝１， 因 为 Ｐ［ｋ］［ｉ］＝０， 所 以 Ｐ 不
ψ ｛＜３５，３＞｝%%
"ψ ψ
ψ
ψ ｛＜４５，２＞｝%
算 机 （总
#ψ ψ ψ
ψ
ψ&
第
二
②根据 Ｍ１ 构造 Ｍ， 由于这里求关键路径， 所以 Ｍ 二
的第一行和第一列可以删去， 将得到的矩阵记为 Ｍ： 九
期
ＭＯ Ｄ Ｅ Ｒ Ｎ Ｃ ＯＭＰ Ｕ Ｔ Ｅ Ｒ ２００６．２ !"# ）
实践与经验
!ψ ψ ψ ｛＜５，５＞｝$ "ψ ψ ψ ｛＜５，３＞｝% Ｍ＝""ψ ψ ψ ｛＜５，２＞｝%% #ψ ψ ψ ψ &
ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏｎ Ｊ ２ＥＥ ａ ｎｄ Ｗｅ ｂ Ｓ ｅ ｒｖｉｃｅ ｓ
ＷＥＩ Ｗｅｎ－ ｈｏｎｇ１ ， ＬＩ Ｑｉｎｇ－ ｘｉａ１ ， ＧＡＯ Ｄａ－ ｌｉ２
（ １． Ｎａｎｈａｉ Ｏｐｅｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｆｏｓｈａｎ ５２８２００ Ｃｈｉｎａ； ２． Ｑｕａｎｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｑｕａｎｚｈｏｕ ３６２０２１ Ｃｈｉｎａ）
从数据结构方面看， 方法 １ 是列出需衡量的指 标， 然后从图中分别找 Ｖｅ、Ｖｌ、ｅ、ｌ， 方法 ２ 只需用矩阵
实践与经验
连接运算， 书写项目少， 而且关键路径在步骤中已得 出， 一目了然， 不必像方法 ３ 那样还要多一步求前趋 结点， 而且方法 ３ 则既要随时改变矩阵 Ｐ， 又要改变 Ｄ［ｉ］Ｓ［ｉ］， 较麻烦。
于是源点 ｖ１ 到汇点 ｖ５ 的所有关键路径有两条： ｖ１ｖ２ｖ５， ｖ１ｖ４ｖ５，长度都为 ６。
２ 结语
经用 Ｃ 语言程序验证， 三种算法都是有效的、可
靠的， 且三种方法均能一次求出所有关键路径。三种 算法的时间复杂度分别为 Ｏ（ｎ＋ｅ）、Ｏ（ｎ２）、Ｏ（ｎ２）， 若用于 计算机实现， 方法 １ 更快一些， 但从手工执行过程看， 方 法 １ 需 要 ４ 步 （ 依 次 求 出 Ｖｅ、Ｖｌ、ｅ、ｌ） ， 方 法 ２ 需 要 ｎ 步， 方法 ３ 需要至少 ｎ＋１ 步（ 例如若原题中 ａ３＝６， 则 需要重新修改 Ｄ［４］的值， Ｓ［ｉ］再次变为零， 投入新的计 算） 。方法 ２ 若执行到 ｉ 步 Ｍｉ＝Φ， 则往下便不必计算， 而方法 ３ 则要执行完至少 ｎ 步后才能确保 Ｐ 矩阵不 再变化， 此方法的解题步骤与求最短路径的 Ｄｉｊｋｓｔｒａ 的求解思想类似。
参考文献 ［１］严蔚敏， 吴伟民． 数据结构（ Ｃ 语言版） ． 北京： 清华大学出
版社， ２００２：１８３￣１８６ ［２］徐凤生． 一种新的关键路径求解算法． 计算机应用与软