数学活动的核心是数学思维活动

数学活动的核心是数学思维活动

浙江绍兴文理学院上虞分院沈超

一

“数学活动”一词目前已成为小学数学新课程体系中使用频率最高的用语之一。《课程标准》明确提出，“数学教学是数学活动的教学”。《标准》同时将“数学活动经验”与“数学事实”并列为“数学知识”的组成部分。这些新的数学观和数学教育观打破了传统教学中过分注重事实性数学知识的传授和学生对数学结论的掌握、忽视学生在学习过程中数学活动经验积累的封闭教学模式，有利于从“学科体系为本”向“学生发展为本”的课程结构转变。应该看到，随着新课程体系的推进，“数学活动”的观念已逐渐为教师所接受，并开始在教学实践中体现。但也应该注意到，在为数不少的教师中，对“数学活动”的理解出现了偏差，片面强调了“活动”的物质化特性，片面地认为“数学活动”仅指个体的实践操作活动（如实验、制作、数据收集整理、学具操作、绘图等）或指群体显性的合作交流（包括小组合作、游戏、调查等）。错误的“活动”观导致一些教师产生相应的认识和教学行为：数学活动课可以活动，其他课难以活动；几何、计量单位、统计课可以活动，计算、应用题等课难以活动；低年级容易活动，高年级难以活动。纠正这些对“数学活动”的错误认识，使数学教学真正成为数学活动的教学，有利于推进数学课程改革的健康发展。

二

“数学教学是数学活动的教学”是前苏联著名数学教育家斯托利亚尔（A.A.C толяр）首先提出的。他指出：“所谓数学活动的教学，就是在数学领域内一定的思维活动、认识活动的教学”。

“数学知识的获得，主要不是靠实物的实验，而是通过思想上的实验，进行紧张的思维活动。”“数学活动的必要性在于引导学生将注意力集中到动态的思维过程上”（张奠宙：《数学教育学》）。

可以说，数学活动的主要形式是数学思维活动，判断数学活动有效性的主要标志是其数学思维含量的大小。

传统数学教学过分重视数学结论和解题规范，学生学好数学的标志是会解题，而解题过程又大多是回忆数学结论、搜索类型、套用模式的复制过程，其自主思维含量偏低。新课程强调让学生经历数学学习过程,在积累数学活动经验的过程中引起个体相应的数学思维方式的变化，这样的数学教学是引起学生数学思

考的数学思维活动的教学，这样的数学知识是数学思维的成果。

静态的数学观将数学看成是现成结论的严密系统，并且用形式化的语言、符号体系来表述。动态的数学观认为，任何数学对象都并非经验世界中的真实存在，而只是抽象思维（对活动过程的反省抽象）的产物，因为数学和其他知识一样都是人类创造活动的产物，数学活动是一种发现和创造的数学思维活动过程。

由于小学数学对象（作为抽象思维的产物）与客观现实非常接近，很容易在现实生活中找到原型，以至于一些人误认为小学数学仅仅是一种经验科学。“动手做（Hands on）”数学是目前国内外数学教学流行的提法，“数学活动”一词又常常被表述为“做数学”。当这些教学用语被不恰当地理解后，课堂上学生个体的动手操作和显性的交流活动这些物质活动或物质化活动被强化了，而个体内部的数学思维活动被作为封闭的传统学习模式有削弱的趋势。事实上，“动手做数学”并不是一种具体的教学模式，更不是一种具体的学习方法，而是一种教育思想和一种学习的方法论。它强调的是让儿童能用更科学的方法去学习知识，注重对儿童的思维能力、学习态度和学习方法等素养的培养。

“数学活动”片面强调“动手”的另一个误区在于——动手能开发大脑潜能、促进思维发展，这还常常被冠之以“脑科学研究成果”。这是“学习就是操作，操作就能掌握”的行为主义学习观的表现。

其实，“数学活动”的含义非常广泛，从目标上讲是促使学生“真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”（《课程标准》）；从内容上讲，不仅指物质化的操作活动，更重要的是个体内化的探索性的思维活动；从形式上讲，包括观察、猜想、验证、推理与交流、问题解决过程等等。但是，无论从哪个角度看，“数学是将思想材料概括为形式，只能用思辨的方式进行教学和研究。数学界的口号应是思考、思考、再思考。”（张奠宙：《数学教育研究导引》）

三

儿童对数学知识的理解依赖于知识的“现实背景”和儿童头脑中的“数学现实”，前者指抽象的数学对物质世界的依赖关系，后者指个体的数学认知结构和数学学习经验。离开现实背景，儿童往往难以找到抽象思维的支撑点，但现实背景不是数学。例如，儿童在数小棒、分小棒时，其外显的是大量物理现象——小棒的颜色、长短、软硬、材质，数的顺序、分的方法等等。我们更关注的是儿童怎样将操作中的物理经验抽象掉，只剩下空间关系、数量关系，留下来的就是数学事实，而抽象的过程就形成了数学活动经验。这一过程要经过几步的数学思维变化。这里，操作活动是将抽象的材料形象化，是思维赖以存在的土壤，而其中

的数学思维活动才是经历数学化的本质过程，是学会学习、掌握数学思想方法的实质性阶段。

操作活动对小学生而言有时是必须的，但是，数学更多的是思想材料的实验。

例如，教学23-5，教师提供“用23元钱买一本5元的书，找回多少？”的生活原型。我们不必真拿出23元钱让学生操作，而可以利用学生的生活经验和数学现实，在头脑中进行“思想实验”，然后再互相交换各自的想法，就能创造出多种从23元钱中拿出5元钱的各种方法。虽然，离开“买书”的背景学23-5太抽象，但在头脑中“实验”比实物操作更有利于下一步建立“两位数减一位数退位减法”的算法模型。

又例如，教学“平均数”概念的前提是掌握移多补少的方法，一位教师将15位学生分3人、8人、4人站成三列，进而指导学生“操作”：移动各列人数，最后使三列人数相等。台上台下学生乱哄哄一片，简直像在演一出闹剧。这种追求表面花哨的“活动”不仅效率低，学生易被次要情景吸引，数学思维含量明显偏低。要是改用抽象度稍高的叠起来的小木块操作，更易引发学生的思维，效果会更好。

上述两例说明，①“动手”“操作”“实验”这些物质性活动应该避免仅仅让学生听教师的指令或按严格指定的程序做“操作工”。其是否有效，关键在于能否把外显的感知内容转化为内在的思维对象，能否在思维深处不断激起“暗流”和“漩涡”，也就是学生是否用数学思维方式经历“再创造、再加工”的过程。

②在考虑学生的“数学现实”时应当依据学生的知识水平，但更重要的是把握学生的思维水平，如果操作活动引发的数学思维是“站在二楼，明明可以直接上三楼，教师非得学生先回到一楼再上三楼”，这种“活动”有害无益。

与上述操作类活动类似，学生的数学交流类活动的有效性依赖于学生思维的参与程度。

“合作交流”目前已成为小学数学教学中普遍使用的教学模式。当我们选择“合作”学习时，首先考虑的不应是这种活动形式本身，而应该关注合作时能否引发激烈的数学思维碰撞，能否引起更深层次、更广层面的数学思维活动。因此，应该选择能真正引起复杂的思维活动的内容组织合作交流，尤其要让学生在合作前先独立探索，让每个学生经过自己的操作、猜想、验证、推理等思维活动，形成自己解决问题的方法，进而在小组内通过展示自己的思维过程和思维成果，开展更深层次的启发、纠错、争辩、统一认识等思维活动。这样的交流活动才是有意义的。

四

根据“数学活动的主要形式是数学思维活动”的观点，每一节数学课、一节课的每一个环节都有让学生自主地开展“数学活动”的内容：①创设问题情境，即经验材料的数学组织化——借助于观察、试验、归纳、类比、概括积累事实材料；②建立模型，即数学材料的逻辑组织化——由积累的材料中抽象出概念、关系，并在此基础上推理地建立理论；③解释、应用与拓展，即数学逻辑结构的现实化还原——理论的直观解释与推演、过程反思、模型的应用。教师在提供活动机会的同时，更要关注学生在参与上述每一个学习环节的过程中思维活动的积极性、主动性和思维的效率。

需要指出的是，我们强调“数学教学是数学思维活动的教学”，并不是要回到传统封闭教学的老路，而是要避免走向另一个极端。因为强调数学思维活动不是教思维的过程，更不是教思维的结果，而是使数学家的成熟思维通过教师的教学法加工而转化为学生的积极主动的思维，让学生在对自身活动的反思、对经验的反思过程中参与数学思维，掌握数学思想方法，发展数学思维能力。

我们强调“思维活动是数学活动的主体”，并不是否定物质化活动，这不仅因为物质化活动引发数学思维——直观动作思维（与主体的感知和动作相联系的思维），而且，物质化活动有助于具体形象思维和抽象逻辑思维的发展。同时，从儿童思维发展的阶段性而言，与物质化动作相联系的直观动作思维占有重要地位。但是，我们不能忘了，物质化活动本身不是数学思维，不是数学教学的目的，物质化活动的目的是引起数学思维。学生在数学思维的过程中获得数学活动经验，数学思维的结果获得数学事实，这两方面就构成了“数学知识”，因而，我们应该理直气壮地说，“数学教学是数学思维活动的教学”。

(发表于小学教学研究05年第6期)