二阶系统分析

57

3.3 二阶系统的时间响应及动态性能

3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类

常见二阶系统结构图如图3-６所示其中K ，T 为环节参数。系统闭环传递函数为

K

s s T K

s ++=

Φ21)(

化成标准形式

2

2

22)(n

n n

s s s ωξωω++=Φ （首1型） （3-5） 1

21

)(22++=

Φs T s T s ξ （尾1型） （3-6）

式中，K

T T 1=

，11T K T n ==ω，1121KT =ξ。

ξ、n ω分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。

二阶系统闭环特征方程为

02)(2

2=++=n n s s s D ωξω

其特征特征根为

12

2,1-±-=ξωξωλn n

若系统阻尼比ξ取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。

58

数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是1λ，2λ，, n λ且无重根，则把函数t

e

1λ，t

e 2λ，, t

n e

λ称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。

如果特征根中有多重根λ，则模态是具有t

te λ， ,2

t e t λ形式的函数。

如果特征根中有共轭复根ωσλj ±=，则其共轭复模态t e )j (ωσ+与t

e )j (ωσ-可写成实函

数模态t e

t

ωσsin 与t e t ωσcos 。

每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。

3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算

设过阻尼二阶系统的极点为

()n T ωξξλ11211---=-

= ()

n T ωξξλ11

22

2-+-=-= )(21T T > 系统单位阶跃响应的拉氏变换

s

T s T s s R s s C n

1

)1)(1()()()(212++==ωΦ

进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 111)(2

1

122

1

-+

-+

=-

-

T T e

T T e t h T t T t

0≥t （3-7）

59

过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。根据式（3-7），令21T T 取不同值，可分别求解出相应的无量纲调节时间

1T t s ，如图3-7所示。图中ξ为参变量，由

)1)(1(22122T s T s s s n n ++=++ωξω

可解出

2

1212)(1T T T T +=

ξ

当21T （或ξ）很大时，特征根221T -=λ比111T -=λ远离虚轴，模态2

T t e -很快

衰减为零，系统调节时间主要由111-=λ对应的模态1

T t e

-决定。此时可将过阻尼二阶系

统近似看作由1λ确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图3-7曲线体现了这一规律性。

例3-3 某系统闭环传递函数16

1016

)(2++=

Φs s s ，计算系统的动态性能指标。

图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性

60

解 )

1)(1()8)(2(16

161016)(2122T s T s s s s s s n ++=

++=++=Φω 5.0211==

T 125.08

1

2==T 4125.05.021==T

125.12)(12

121>=+=

T T T T ξ

查图3-7可得

3.31

=T t s

，计算得 13.3 3.30.5 1.65s t T s

==?

= 图3-8 给出系统单位阶跃响应曲线。

例3-4 角速度随动系统结构图如图

3-9所示。图中，K 为开环增益，1.0=T s 为伺服电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间1≤s t s ，问K 应取多大？

解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短， 应取阻尼比1=ξ。由图3-9，令闭环特征方程 01

2)1(121

12212

=++=+=++

T s T s T s T K s T s 比较系数得 ?

??====?==5.22.01.02.01.0222

211T K T T 查图3-7，可得系统调节时间95.075.41==T t s s ，满足系统要求。

61

3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算

1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法

欠阻尼二阶系统的极点可以用如图3-10所示的两种形式表示。 （1）直角坐标表示

n n d j j ωξξωωσλ22,11-±-=±= （3-8）

（2）“极”坐标表示

??

?=∠=βλωλn

???-==2

1s i n

c o s

ξβξβ （3-9） 2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为

s s s s R s s C n n n 12)()()(2

2

2

ωξωωΦ++==222)1()(21

n

n n s s s ωξξωξω-+++-= 22222222)1()(11)1()(1n

n n n n n s s s s ωξξωωξξξ

ωξξωξω-++-?---+++-= 系统单位阶跃响应为

()

()

=---

--=--t e t e t h n t n t n n ωξξ

ξ

ωξξωξω22

21sin 11cos 1)(

()()[]=-+----

-t

t e n n t n ωξξωξξ

ξ

ξω222

2

1sin 1cos 111

1s i a r n t

n t ξω--+

?

（3-10）

系统单位脉冲响应为

[]???

?

????-?-++-=Φ='=--222221

1

1)1()(1)()()(ξωωξξωωξn n n n s L s L t h t k t e n t n

n ωξξωξω22

1sin 1--=

- （3-11）

典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图3-11

所示。响应曲线位于两条包络线

62

211ξξω-±-t

n

e 之间，如图3-12所示。包络线收敛速率取决于n ξω（特征根实部之模），

响应的阻尼振荡频率取决于n ωξ2

1-（特征根虚部）。响应的初始值0)0(=h ，初始斜率

0)0(='h ，终值1)(=∞h 。

63

．

3

欠阻尼二阶系统动态性能指标计算

（1）峰值时间p t ：令0)()(=='t k t h ，利用式（3-11）可得

01sin 2

=-t n ωξ

即有

,3,2,,012πππωξ=-t n

由图3-1，并根据峰值时间定义，可得

n

p t ωξπ

2

1-=

（3-12）

（2）超调量0

σ

：将式（3-12）代入式（3-10）整理后可得

2

11)(ξξπ

--+=e

t h p

σ％100)

()()(?∞∞-=

h h t h p ％2

1ξξπ

--=e

100?％ （3-13）

可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量0

0σ只与阻尼比ξ有关，两者的关系如图3-13所示。

64

图3-13 欠阻尼二阶系统%σ与ξ的 关系曲线

（3）调节时间s t ：用定义求解系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按阶跃响应的包络线进入5％误差带的时间计算调节时间。令

05.011112

2

=-=

--+

--ξ

ξ

ξωξωt

t

n

n

e e

可解得

n

n s t ξωξωξ5.3)

1ln(21

05.0ln 2≈

-+-=

（8.03.0<<ξ ） （3-14）

式（3-12）~（3-14）给出典型欠阻尼二阶系统

动态性能指标的计算公式。可见，典型欠阻尼二阶系统超调量0

0σ

只取决于阻尼比ξ，而调

节时间s t 则与阻尼比ξ和自然频率n ω均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间s t 偏于保守。n ξω一定时，调节时间s t 实际上随阻尼比ξ还有所变化。图3-14给出当n T ω1=时，调节时间s t 与阻尼比ξ之间的关系曲线。可看出，当707.0=ξ（?=45β）时，T t s 2≈，

实际调节时间最短，≈=000

032.4σ5％，超调量又不大，所以一般称707.0=ξ为“最佳

阻尼比”。

65

4．典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系

根据式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以进一步讨论系统动态性能、系统参数及闭环极点分布间的规律性。

当n ω固定，ξ增加（β减小）时，系统极点在s 平面按图3-15中圆弧轨迹（I ）移动，对应系统超调量σ％减小；同时由于极点远离虚轴，n ξω增加，调节时间s t 减小。图3-16(a)给出n ω=1，ξ改变时的系统单位阶跃响应过程。

当ξ固定，n ω增加时，系统极点在s 平面按图3-15中的射线轨迹（II ）移动，对应系统超调量σ％不变；由于极点远离虚轴，n ξω增加，调节时间s t 减小。图3-16(b)给出了

ξ=0.5(?=60β)，n ω变化时的系统单位阶跃响应过程。＆§

66

一般实际系统中，T 是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益K 是各环节总的

传递系数，可以调节。K 增大时，系统极点在s 平面按图3-15中的垂直线（III ）移动，阻尼ξ变小，超调量σ％会增加。图3-16(c)给出1=T ，K 变化时系统单位阶跃响应的过程。

67

综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系统的闭环极点位于?=45β线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量使其远离虚轴，以提高系统的快速性。

掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析设计系统是十分重要的。

图3-16 二阶系统单位阶跃响应

(a)n ω=1,ξ改变时的阶跃响应；(b) ξ=0.5，n ω改变时的阶跃响应；(c)T =1,K 改变时的阶跃响应

68

例3-5 控制系统结构图如图3-17所示。 （1）开环增益10=K 时，求系统的动态性能指标； （2）确定使系统阻尼比707.0=ξ的K 值。 解 （1）10=K 时，系统闭环传递函数 100

10100

)(1)()(2

++=+=

Φs s s G s G s

10100==n ω， 5.010

210

=?=

ξ

363.010

5.0112

2

=?-=

-=

π

ωξπ

n

p t

σ％

2

1ξξπ

--=e

3.162

5.01/

5.0==--πe ％

7.010

5.05

.35

.3=?=

=

n

s t ξω

(2) K

s s K

s 101010)(2

++=

Φ ??

?

??==K K n 1021010ξω

令707.0=ξ得 510

42

100=??=

K

例3-6 系统结构图如图3-19所示。求开环增益K 分别为10，0.5，0.09时系统的动态性能指标。

解当K=10，K＝0.5时，系统为欠阻尼状

应的公式计算系统的动态指标，列表计算，见表

3-4。

图3-20（a）,（b）分别给出了不同K值时

的系统的极点分布和相应的单位阶跃响应曲线。

可见，调整系统参数可以使系统动态性能有所改善，但改善的程度有限；而且，改善动态性能和改善稳态性能对K的要求相互矛盾，一般只能综合考虑，取折中方案。用后面介绍的

速度反馈或比例加微分控制可以进一步提高系统的动态性能。

K时系统极点的分布及单位阶跃响应

10

.0

,5.0

,

69

70

例3-7 二阶系统的结构图及单位阶跃响应分别如图3-21(a), (b)所示。试确定系统参数

a K K ,,21的值。

71

解 由系统结构图可得 2

2

2

1)(K as s K K s ++=

Φ ?

??==n n

a K ξωω222 （3-15）

由单位阶跃响应曲线有

12

2

2

10

lim

)()(lim 2)(K K as s K K s R s s h s s =++=Φ==∞→→ （3-16） ???

???

?

==-==-=--2

1/

00209.02218.275.01ξξπσωξπe t n p

联立求解得 ???==278.5608

.0n

ωξ （3-17）

将式（3-17）代入式（3-15）得

??

?=??===42

.6278.5608.0285

.27278.522a K 因此有42.6,85.27,

221===a K K 。

关于二阶系统的脉冲响应和斜坡响应的讨论，方法与一阶系统类似，在此不再赘述。表3-5中给出了不同阻尼比下二阶系统的典型输入响应公式及曲线，供查阅。

表3-5 二阶系统典型响应一览表

57

57

3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施

采用测速反馈和比例加微分控制方式，可以有效改善二阶系统的动态性能。

例3-8 在如图3-22(a)所示系统中，分别采用测速反馈和比例加微分控制，系统结构图分别如图3-22(b)和(c)所示。其中216.0=t K 。分别写出它们各自的开环传递函数、闭环传递函数，计算出动态性能指标（σ％，s t ）并进行对比分析。

解 图3-22（a ）、b ）中的系统是典型欠阻尼二阶系统，其动态性能指标（%σ，s t ）按式（3-13）、式（3-14）计算。而图3-22(c)表示的系统有一个闭环零点，不符合上述公式应用的条件。将各系统的性能指标的计算及比较列于表3-6中。图3-22所示的系统可以用表3-7中相应的公式（或用MATLAB ）计算其动态性能指标。可以看出，采用测速反馈和比例加微分控制后，系统动态性能得到了明显改善。

58

从物理本质上讲，图3-22(b)系统引入速度反馈，相当于增加了系统的阻尼，使系统的振荡性得到抑制，超调量减小；图3-22(c)所示系统采用了比例加微分控制，微分信号有超前性，相当于系统的调节作用提前，阻止了系统的过调。相对于原系统而言，两种方法均可以改善系统的动态性能。实际使用中，比例加微分装置一般串联在前向通道信号功率较弱的地方，需要放大器进行信号放大；而反馈则是从大功率的输出端反馈到前端信号较弱的地方，一般不需要信号放大。从效果上看，由于比例加微分环节是高通滤波器，会放大噪声，影响系统正常工作；而测速反馈不会有这样的问题。从经济角度考虑，比例加微分实现简单，费用低；测速反馈装置价格高。实际采用哪一种方法，应根据具体情况适当选择。

1．加开环零点对系统动态性能的影响

比较图3-22(a)和(b)所示两系统的开环传递函数可以看出，后者比前者多一个开环零点，因而影响了系统的闭环特征多项式，改变了闭环极点的位置（见图3-23）。显然，图3-22(b)所示系统闭环极点)(b λ较图3-22(a)所示系统闭环极点)(a λ远离虚轴（相应调节时间s t 小），且

角小（对应阻尼比较大，超调量％较小），因而动态性能优于图3-22(a)所示系统。

图23 例3-8中三个系统的闭环零极点分布及单位阶跃响应

59

附加开环零点是通过改变闭环极点（改变模态）来影响闭环系统动态性能的。

2．附加闭环零点对系统动态性能的影响

图3-22(b)，(c)两系统有相同的开环传递函数，只是闭环传递函数中后者较前者多一个闭环零点。附加闭环零点不会影响闭环极点，因而不会影响单位阶跃响应中的各模态。但它会改变单位阶跃响应中各模态的加权系数，由此影响系统的动态性能。

附加闭环零点是通过改变单位阶跃响应中各模态的加权系数影响闭环系统动态性能的。 将图3-22(c)系统闭环传递函数等效分解如图3-24所示。从信号的合成关系上可见，图3-22(c)所示系统的单位阶跃响应)()(t h c 是在图3-22(b)系统单位阶跃响应)()(t h b 基础上叠加了

一个)()(t k K b t '

/

而成的。即有 )()()(t h K t h t h b

t b c '+=

明显看出，附加闭环零点会使系统的峰值时间提前，超调量增加。附加的闭环零点靠虚轴越

近(t K 越大)，这种影响越强烈。

附加闭环极点的作用与附加闭环零点恰好相反。读者可以自行分析。 同时附加闭环零点极点时，距虚轴近的零点或极点对系统影响较大。 图3-25给出在1

1

)(2

++=

Φs s s 基础上分别附加闭环零点、极点和同时附加闭环零点极点后系统阶跃响应的变化趋势。

60

(a)附加闭环零点对系统阶跃响应的影响；(b)附加闭环极点对系统阶跃响应的影响；

图3-25 附加零、极点对系统的影响

(c)同时附加闭环零、极点时系统的阶跃响应