利用特征线法求解方程u +b·Du+cu=f(x,t)的初值问题
数学物理方程 6特征线法
(5)
注1：具有形式(4)的解通常称为传播波解或行波解，表示定解问 题的解由左传播波和右传播波叠加而成。 注2： (5)式称为达朗贝尔公式。
2 utt a u xx 例1 求解定解问题 u ( x, 0) sin x, ut ( x, 0) a cos x
解: 直接利用达朗贝尔公式
沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特 征线法的基本思想。
对定解问题（1）（2）
ut 3ux x t ,0 t , x 2 u( x,0) x , x
也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换
(1) (2)
x 3t , x 则 ut u t u t u (3) u 0 3u
t et 1t t (e e t ) t 2
t
0
[es (1 t ) (1 s)]es ds
第三步 解t
x(t ) e t 1 t e t ( x t 1)et 1
t
t
所以
1 1 t u ( x, t ) ( x t 1) e ( x t 1)e 2t 2 2
(8)式中便得(6)式-(7)式的解为
1 u ( x, t ) 1 x 2 e 2sin t
例3 求下列Cauchy问题的解
ut ( x t )u x u x, x R, t 0 u |t 0 x
解: 第一步 求特征线。 特征方程
dx xt dt x(0) t
解为 t s t p ( ) d t0 p ( ) d x(t ) x0 e q ( s )e t ds
偏微分方程求解cauchy方程
偏微分方程求解Cauchy方程一、Cauchy问题的概念在数学领域中，Cauchy问题是指给定了一个偏微分方程及其边界条件，并且在边界上指定了一些初值条件。
Cauchy问题是数学与物理学中非常重要的一个问题，它的解决涉及到了偏微分方程的求解和边界值问题的研究，对于物理学和工程学的发展有着非常重要的意义。
二、Cauchy问题的求解方法解决Cauchy问题，需要利用偏微分方程的解法，经典的方法包括了分离变量法、特征线法、变分法等等。
其中，特征线法是求解Cauchy 问题时常用的一种方法，下面我们将介绍特征线法的具体步骤。
1. 确定偏微分方程首先需要确定Cauchy问题对应的偏微分方程，通常是一个关于未知函数及其偏导数的方程，例如二维或三维的热传导方程、波动方程等等。
假设我们要解的是一个二维热传导方程，即∂u/∂t = a(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)其中u代表温度场，t表示时间，a表示热传导系数。
2. 列出Cauchy问题的初值条件在特征线法中，需要在边界上指定一些初值条件，以便于获得方程的特解。
这些初值条件包括了未知函数在边界上的取值及其时间导数的取值。
3. 确定特征线方程特征线法的核心是确定特征线方程，特征线方程可以帮助我们得到偏微分方程的特解。
对于一般的二阶偏微分方程，其特征线方程可以表示为dx/∂λ = P(x, y, u) dy/∂λ = Q(x, y, u) du/∂λ = R(x, y, u)其中P、Q、R分别是与x、y、u相关的函数。
4. 求解特征线方程解特征线方程，可以得到参数λ与x、y、u之间的关系，进而得到偏微分方程的特解。
5. 利用初值条件得到方程解利用初值条件来得到偏微分方程的解。
特征线法是求解Cauchy问题的一种有效方法，然而对于不同的偏微分方程，还可能需要采用其他的求解方法，因此在实际问题中需要具体分析具体情况。
三、示例分析下面我们以一个实际问题为例来演示特征线法的具体步骤。
第6章常微分方程初值问题的解法45页PPT
10
3、中心差商公式
y(x n 1 ) hy(x n 1 )y'(x n 1 ) h 2y''(n)
y n 1y n 1 h(x fn 1 ,y n 1 )
是多步，2阶格式，该格式不稳定
11
4、梯形公式
对微分方程 y'd yf(x,y) , x [a,b] dx
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 y iy (x i) (i 1 ,..,n .)
通常取节点间距 h i x i 1 x i (i 0 ,.,.n . 1 )为步长，通常采用等 距节点，即取 hi = h (常数)。它适合计算机求解,应用广泛,具 有应用价值。
y ( x i- 1 ) y ( x i- h ) y ( x i) h y ( x i) h 2 2 !y ( x i) ( - n h ! ) n y ( n + 1 ) ( x i)
7
6.1.2 Euler公式
利用等距分割，数值微分来代替导数项，建立差分格式。
y ( x i- 1 ) y ( x i-h ) y ( x i) h y ( x i) h 2 2 !y ( x i) ( - n h ! ) n y ( n ) ( x i)
y ( x i+ 1 ) y ( x i h ) y ( x i) h y ( x i) h 2 2 !y ( x i) h n n ! y ( n + 1 ) ( x i)
y (x n 1 )y (x n) h(x fn 1 ,y (x n 1 ) )h 2 2y ''(n)
波动方程的特征线法
作变换 1 ( x, y ), 2 ( x, y ),
在区域Ω上作此变换下,可化简方程(1),甚至可求得其解. 此变换称为特征变换.
例１ 一端固定的半无界弦的自由振动问题
2u 2u a2 0 ( t 0,0 x ), 2 2 x t u t 0 : u ( x ), ( x ) ( 0 x ), t 0 t t 0 x 0 : u 0.
举例
2u 2u a 2 2 , x R, t 0 t 2 x u ( x, 0) 1, xR 2 ut ( x, 0) x ,
例4：
例5：
2u 2u a2 2 , 2 x t u ( x,1) cos x, ut ( x,1) 0,
例2：
2u 2u 2 a2 2 0 t x u t 0 cos x, ut t 0 x
解：由达朗贝尔公式
( x at) ( x at) 1 x at u ( x, t ) ( )d 2 2a xat
cos(x at) cos(x at) 1 x at d 2 2a x at
此公式的意义在于把定解问 题的解表示为左、右行进波 相叠加，这种方法称为“行 波法”。
D’Alembert公式
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
注 : 当 ( x ) C 2 ( R ), ( x ) C 1 ( R )时, 初值问题( I )存在唯一的解 u( x , t ),由d ' Alembert 公式给出.
2波动方程03-弦振动方程初值问题的求解
1 F (0) − G (0) G ( x) = , ∫ψ (s)ds − 2a 0 2
x
于是得：
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) x − at x + at 1 1 =− ∫ ψ (s)ds + 2a ∫ ψ (s)ds 2a 0 0 0 x + at 1 1 = ∫atψ (s)ds + 2a ∫ ψ ( s)ds 2a x − 0
由课本第31页练习16的结论，方程 在变换
{
ξ = x − at , η = x + =utt − a 2u xx = 0
ξ +η
下化为 uξη = 0, 积分两次得：
2 η −ξ t= ; 2a
,
u = F (ξ ) + G (η ),
其中 F 和 G 为 C (R ) 上的任意函数。 于是，
我们只要利用初始条件来确定这两个函数，即可得出问题 (2)(3)(4)之解。
u ( x, t ) t =0 = [ F ( x − at ) + G ( x + at ) ] t =0 = F ( x) + G ( x) = 0, ut ( x, t ) t =0 = [ − aF ′( x − at ) + aG′( x + at ) ] t =0
=−
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 − 2a
x + at
x − at
∫ ψ ( s ) ds
t x + a ( t −τ ) ⎤ 1 ⎡ − ∫ ⎢ ∫ f ( s,τ )ds ⎥ dτ 2a 0 ⎢ x − a ( t −τ ) ⎥ ⎣ ⎦
一阶线性偏微分方程的特征线解法
该方程称为Poisson方程或位势方程
第18页
3. 定解条件： ＝初始条件＋边界条件
①. 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω, ut
注意：
t =0
= ψ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω,
弦振动方程定解问题需要上述两个初始条件； 热传导方程定解问题只要上述第一个初始条件； 位势方程定解问题不需要初始条件。
这 里 n 为 ∂Ω 的 单 位 外 法 向 ， g为 已 知 函 数 。
第20页
注意：
上述三类方程中，对物体 Ω 的边界 ∂Ω 上每一点都要 施加一个边界条件。 对于不同的问题，相应的边界条件有不同的实际意义。
第21页
叙述一个定解问题时，要标明方程和定解条件成立的范围。
例如：一维热传导方程的第一边值问题：
如果配合画图则更清楚。
T u = g1
ut − a 2u xx = f
u = g2
注意：t=T时不能施加条件！！
0
u ( x , 0) = ϕ ( x )
l
第22页
x
位势方程边值问题：
位势方程的第一边值(Dirchlet)问题：
－Δu ( x) = f ( x), x = ( x1 , L , xn ) ∈ Ω,
第14页
热传导方程的混合问题：
热传导方程的第一边值(Dirchlet)问题：
∂u − a 2 Δu ( x, y, z , t ) = f ( x, y, z , t ), ∂t ( x, y, z ) ∈ Ω, t > 0,
u ( x, y, z , 0) = ϕ ( x, y, z ),
计算方法-常微分方程初值问题数值解法-Euler公式-龙格-库塔法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课
这么就取得了P1点旳坐标： (x1, y1) 。将y1作为y(x1)旳 近似值(想象(x1, y1) 在积分曲线y=y(x)上)
过点P1(x1,y1)，作积分曲线y=y(x)旳切线交直线x=x2于
P2点。注意切线 P1P2 旳斜率(近似)为 y(x1 ) f(x1 , y1 )
第9章 常微分方程初值问题数值解法
§9.1 引言
➢ 包括自变量、未知函数及未知函数旳导数旳方程称 为微分方程。
➢ 自变量个数只有一种旳微分方程称为常微分方 程。
微分方程中出现旳未知函数最高阶导数旳阶数 称为微分方程旳阶数。
假如未知函数y及其各阶导数
y, y, … , y(n)
都是一次旳,则称其为线性旳,不然称为非线性旳。
xi1 xi1 f[xi , y(xi )]
代入上式,并用yi近似替代式中y(xi)即可得到 两步欧拉公式
yi1 yi1 2hf(xi , yi ) ( 9.7 )
【注】欧拉措施和梯形措施，都是单步法,其特点是 在计算yi+1时只用到前一步旳信息yi; 而两步欧拉公式 (9.7)中除了yi外,还用到更前一步旳 信息yi-1,即调用了前两步旳信息。
当 x xi1 时,得
yi1 yi f(xi , yi )(xi1 xi )
这么,从x0逐一算出 x1 , x2 , … xn
相应旳数值解
y1 , y 2 , … yn
就取得了一系列旳点: P1, P1,…,Pn。 从图形上看,就取得了一条近似于曲线y=y(x)
旳折线 P1P2P3 … Pn 。
xi x0 ih, i 1,2, … , n
数值解法需要把连续性旳问题加以离散化，从 而求出离散节点旳数值解。
特征线方法及其在求解偏微分方程中的应用
一
（ １ ｏ ）
的影响 区域 ， 将其记成 Ｄ， 为 了简单化 ， 建设 ａ （ ｔ ， ｘ ）＝ａ ０ 作 为
其常数 ， 因此通 过公式 （ ３ ） 和公式 （ ４ ） 可 以得 出， 过点 （ ０ ， ａ ）
的特 征 线 主要 是 为 直线 ， 为： Ｘ＝ａ ０ ｔ ＋ａ Ｕ（ ｔ ）＝ａ （ ｔ ， ａ ０ ｔ ＋ａ ） （ ５ ） （ ６ ）
（ ８ ）
从 而容易验证公式（ ７ ） 能够满 足方程 （ １ ） 以及 初始 条件 （ ２ ） ， 在上述求解 的过程 中所用 的方法便称 之为特征线方法 。 然而特别的 ， 在 ｂ ｆ －０的时候 ， 公式（ ７ ） 主要是 可 以 化作成为 ： Ｕ （ ｔ ， ｘ ）＝‘ ｐ （ ｘ—ａ ｏ ｔ ） ， 并且这也 直接 的表现 出沿 着 每一条的特征线 ， 在解 题 的过 程 中主要 是 为一 个常 数 ， 同 时 对于 ａ （ ｔ ， ｘ ） ， 具有 下面的结论 。 定理一 ： 函数 ａ ， ｂ ， ｆ ， ａ ， ｂ ， ｆ ｘ 是 自变量 （ ｔ ， Ｘ ）∈［ ０ ， ｏ 。）Ｘ Ｒ的连续 函数 ， 并且初值 ‘ ｐ （ ｘ ） Ｒ是 ｘ∈Ｒ的 ｃ 光滑 函数 ， 那么 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ问题 （ １ ） 和（ ２ ） 在其影 响的区域 Ｄ中存在 唯一的
（ ７ ）
、
关 于 特 征 线 的 方 法
在这之中 ：
主要方程为 ： ｕ ＋ａ （ ｔ ， ｘ ） ｕ ＋ｂ （ ｔ ， Ｘ ） Ｕ＝ｆ （ ｔ ， ｘ ） Ｕ Ｉ ｏ ＝‘ Ｐ （ ｘ ） （ １ ） （ ２ ）
Ｑ （ Ｔ ） ＝ ｅ ｘ ｐ ｛一 ｆ ： ｂ （ ｓ ， ａ ０ ｓ ＋ ｓ 一 ８ ｏ ｔ ） ｄ ｓ ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用特征线法求解方程u +b·Du+cu=f（x，t）的初值问题
作者：吴建成王平心
来源：《科技视界》2013年第24期
【摘要】本文研究具有初值条件u（x，0）=g（x）的方程u+b·Du+cu=f（x，t）的初值问题。
方程u+b·Du+cu=f（x，t）是具有常系数的一阶非齐次线性偏微分方程，这类方程在变分法、质点力学和几何学中都出现过，因此研究这类方程的目的是更好地应用于这些学科。
求解这类方程的最基本方法是特征线法。
它是把偏微分方程转化为常微分方程或常微分方程组，通过求解这些常微分方程得到所要求的解。
本文分别运用特征线法以及特征线法的特殊情况求解了该初值问题，两种方法所得到的解是一致的，都是u（x，t）=g（x-bt）（x+b（u-t），u）du。
因此，有了通过特征线法所求得的该初值问题的解的公式，我们可以更好地研究相关的一些实际问题。
【关键词】线性偏微分方程；初值问题；特征线法；常微分方程
0 引言
1）初值问题
其中，c∈R1，b=（b1，b2，…，bn）∈R都是常数。
x=（x1，x2，…，xn）是n维空间变量，t是时间变量（x，t）是已知函数。
2）分析
上述初值问题中的方程（1）是一阶非齐次线性偏微分方程，在大多数常微分方程和偏微分方程教程中，一阶偏微分方程通常受到简单的处理，原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程。
实际上，一阶偏微分方程在变分法、质点力学和几何光学中都出现过，在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用。
例如在种群分析中，个体（不必是生物体，如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合）根据统计样本随着时间的变化会变得不合格，因此研究一阶偏微分方程有着实际意义。
一阶偏微分方程的特点是：其通解可以通过解一个常微分方程组而得到，称这种求解方法为特征线法[1]。
而高阶偏微分方程和一阶偏微分方程组没有这个特点。
特征线法是一种重要又实用的方法，利用该方法证明了半有界弦振动的一维半线性波动方程的间断初边值问题的分片光滑解的全局存在性定理[2]；用该方法给出了一类仓库货物储存模型解的递推表达式，并证明其光滑性从而得到了经典解的唯一性[3]；通过运用特征线法，讨论了无粘性Burgers方程
柯西问题解的衰减估计，并给出了证明[4]；运用特征线法给出了Born-Infeld方程的显式表示[5]等等。
特征线法除了可以运用于理论证明，也可以用于数值计算和一些实际问题的解决。
在方程（1）中令c=0，该方程退化为非齐次传输方程，该初值问题变为非齐次传输方程的初值问题。
传输方程的初值问题已经得到解决，并且得到了古典解，受其启示，我们来研究初值问题（1）～（2），通过推导来寻找该初值问题的古典解。
方程（1）是一阶偏微分方程的其中一种情况，因此我们可以利用特征线法来研究初值问题（1）～（2）。
1 解题思路
1.1 利用特征线法来求解该初值问题
初值问题有解的理论保证为下面定理：
定理[6]设曲线γ：（x，y，z）=（f（s），g（s），h（s））光滑，且（s
之下，就能够由（5）前n个式子解出s1，s2，…，s，将它们代入（5）的第n+1个式子，就得到积分曲面z=u（x1，x2，…，xn），它就是初值问题的解。
因为线性偏微分方程可以看作是拟线性偏微分方程的特殊情况，因此由以上对方程（3）的初值问题的处理，我们来解决初值问题（1）～（2）。
设参数τ=0时的初始超曲面是
它就是我们所要求的初值问题的解。
1.2 利用特征线法的一种特殊情况求解，这是一种更直接、更直观的求解方法
设方程[7-9]
有光滑解u（x，t）。
由方程的形式可以看出，u（x，t）沿一个具体的方向的方向微商等于零。
事实上，固定一点（x，t）∈Rn+1，令
z（s）=u（x+bs，t+s），s∈R.
于是
最后一步等于零是因为u满足方程（10）。
因此，函数z（s）在过点（x，t）且具有方向（b，1）∈Rn+1的直线上取常数值。
所以，如果我们知道解u在这条直线上一点的值，则就得到它沿此直线上的值。
这就引出求解初值问题（1）～（2）的方法。
先取定（x，t）∈Rn+1，对s∈R，令z（s）=u（x+bs，t+s），s∈R.则
此即为我们所要求的初值问题的解。
因此，如果问题（1）～（2）有充分正则的解u，它一定是由（9）式给出。
反之，容易验证：如果g∈C1，f∈C1，那么由（9）式定义的u确实是（1）～（2）的解。
以上利用特征线法把偏微分方程转化为常微分方程求解了初值问题（1）～（2），这是一种基本又有效的方法，它不仅适用于我们本文所研究的初值问题的求解，也适用于波动方程以及其它形式的一阶偏微分方程的求解。
【参考文献】
[1]魏雪蕊.一阶偏微分方程的特征线法[J].绍兴文理学院学报，2010，30（7）：95-97.
[2]邵志强.半线性波动方程的分片光滑解[J].福州大学学报：自然科学版，2003，31（1）：6-8.
[3]孙萍，林文清.一类仓库货物储存模型经典解的存在唯一性[J].新疆师范大学学报：自然科学版， 2007，26（2）：11-14.
[4]阮立志.无粘性Burgers方程黎曼问题光滑近似解的高阶衰减估计[J].中南民族大学学报：自然科学版，2006，25（4）：97-100.
[5]阮立志. Born-Infeld方程解的表示[J].中南民族大学学报：自然科学版，2005，24（3）：91-92.
[6]陈祖墀.偏微分方程[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2003：32-51.
[7]陈才生，主编.数学物理方程[M].北京：科学出版社，2009：276-283.
[8]姜礼尚，孔德兴，陈志浩.应用偏微分方程讲义[M].北京：高等教育出版社， 2008.
[9]Lawrence C. Evans， Partial Differential Equations[M]. American Mathematical
Society， Graduate Studies in Mathematics， 1997：18-19.
[责任编辑：杨扬]。