分治法补充内容(递归方程的求解)
7
递归方程的求解7
（5）当 d (n ) = cn = Θ(n) ， a > b 时
k −1 j =0
T (n) ≤ cn
a log b
+ ∑ a j d (b k − j ) = cn
k
a logb
a k + cb ∑ j =0 b
k
a b
k −1
j
T (n) ≤ cn
a log b
n 因为 k = log b ，所以（2）式可以变为
k −1
k −1
（2）
T (n) = cn
a logb
+ ∑ a j d (b k / b j ) = cn
j =0
k −1
a logb
+ ∑ a j d (b k − j )
j =0
k −1
说明： a = a
k
n log b
，以下证明
ak = n
k k (n / b j )
3
递归方程的求解3
因为 n = b k ，所以 T (n / b k ) = T (1) = c ，所以上式可以表示为
T (n) = ca + ∑ a d (b / b ) = ca + ∑ a j d (b k − j )
k j k j k j =0 j =0
如果 d (n ) = c = Θ(1) （常数） （1） 若 a > 1 ，则 T (n) = O n
如果 d (n ) = cn = Θ(n) （线性函数） （1） 若 a < b ，则 T (n) = O(n ) （2） 若 a = b ，则 T ( n) = O (n log n ) （3） 若 a > b ，则 T (n) = O n
+ cb
k
( a b ) − 1 = cnlog ( a b) −1
k
a logb
+ cb
k
( a b) −1 (a b) −1
T (n) ≤ cn
a logb
+ c′′a = cn
)
+ c′′n
a logb
T ( n) ≤ O ( n
a logb
8
T (n) = a 2 T (n / b 2 ) + ad (n / b) + d (n)
=⋯
n T (n) = a T (n / b ) + ∑ a j d (n / b j ) ，注意，由 k = log b 得 i = k
i i j =0 i −1
即： T (n) = a T ( n / b ) +
T (n) ≤ cn
a logb
a k −1 − 1 a k −1 − 1 k +c = ca + c a −1 a −1
因为 a > 1 ， k 非负，所以
T ( n) ≤ ca + c′a
k
k −1
，即 T (n) = O (a ) = O n
k
( )
a logb
5
递归方程的求解5
（3）当 d (n ) = cn = Θ(n) ， a < b 时
分治法补充内容
1
递归方程的求解1
我们讨论一类常见的递归方程
c T (n ) = aT (n / b ) + d (n )
n =1 n >1
（1）
其中 a ≥ 1 ， b > 1 ， c ≥ 0 ， T (n) ， d (n) 为非负整函数，判断 T (n) 的阶。 上述递归方程分 5 种情况讨论。
k −1
j
j
a 因为 < 1 ，所以 c ∑ < c′ b j =0 b
从而
T (n) ≤ cn + b k c′ = cn + c′n
T ( n) = O ( n)
6
递归方程的求解6
（4）当 d (n ) = cn = Θ(n) ， a = b 时
T (n) ≤ cn
a log b
a logb
= a logb
（3） n
n 对于一般的 n ，取 k = log b （3）式可以表示为
两边同时取对数
a n log b log n = log b log a
T (n) ≤ cn
a logb
+ ∑ a j d (b k − j )
j =0
k −1
log a log n log n = log a 显然相等 log b log b 4
a log b < 1 ⇒ cn logb < cn
a
T ( n) ≤ cn
a
a log b
k −1 a k a j k− j k + ∑ a d (b ) = cn + c ∑ b = cn + cb ∑ j =0 j =0 b j =0 b k −1 j
k −1
( )
a log b
（2） 若 a = 1 ，则 T (n) = O (log n )
( )
a log b
2
递归方程的求解2
首先设 n = b （ k ）为非负整数，即 k = log b
k
n
T (n) = aT (n / b) + d (n)
T (n) = a[aT (n / b 2 ) + d (n / b)] + d (n)
递归方程的求解4
（1） 当 d (n ) = c = Θ(1) ， a = 1 时
n T (n) ≤ cn + ∑ d (b k − j ) = c + kc = c(log b + 1) 0 j =0 k −1
n T (n) = O(logb ) = O(log n)
（2） 当 d (n ) = c = Θ(1) ， a > 1 时
k −1 a k + ∑ a j d (b k − j ) = cn + c∑ b = cn + cb k ∑1 j =0 j =0 b j =0
k −1
k −1
j
n T ( n) ≤ cn + cb k k = cn + cn log b
n T (n) = O ( n log b ) = O ( n log n )
分治法解决问题的步骤
分治法解决问题的步骤一、基础概念类题目（1 - 5题）题目1：简述分治法解决问题的基本步骤。
解析：分治法解决问题主要有三个步骤：1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立且与原问题形式相同的子问题。
例如，对于排序问题，可将一个大的数组分成两个较小的子数组。
2. 求解（Conquer）：递归地求解这些子问题。
如果子问题规模足够小，则直接求解（通常是一些简单的基础情况）。
对于小到只有一个元素的子数组，它本身就是有序的。
3. 合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解。
在排序中，将两个已排序的子数组合并成一个大的有序数组。
题目2：在分治法中，分解原问题时需要遵循哪些原则？解析：1. 子问题规模更小：分解后的子问题规模要比原问题小，这样才能逐步简化问题。
例如在归并排序中，不断将数组对半分，子数组的长度不断减小。
2. 子问题相互独立：子问题之间应该尽量没有相互依赖关系。
以矩阵乘法的分治算法为例，划分后的子矩阵乘法之间相互独立进行计算。
3. 子问题与原问题形式相同：方便递归求解。
如二分查找中，每次查找的子区间仍然是一个有序区间，和原始的有序区间查找问题形式相同。
题目3：分治法中的“求解”步骤，如果子问题规模小到什么程度可以直接求解？解析：当子问题规模小到可以用简单的、直接的方法（如常量时间或线性时间复杂度的方法）解决时，就可以直接求解。
例如，在求数组中的最大最小值问题中，当子数组只有一个元素时，这个元素既是最大值也是最小值，可以直接得出结果。
题目4：分治法的“合并”步骤有什么重要性？解析：1. 构建完整解：它将各个子问题的解组合起来形成原问题的解。
例如在归并排序中，单独的两个子数组排序好后，只有通过合并操作才能得到整个数组的有序排列。
2. 保证算法正确性：如果合并步骤不正确，即使子问题求解正确，也无法得到原问题的正确答案。
例如在分治算法计算斐波那契数列时，合并不同子问题的结果来得到正确的斐波那契数是很关键的。
递归和分治法
递归和分治法摘要：1.递归和分治法的定义2.递归和分治法的区别3.递归和分治法的应用实例4.递归和分治法的优缺点正文：递归和分治法是计算机科学中常用的两种算法设计技巧。
它们在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但在具体实现上却有所不同。
下面，我们来详细了解一下递归和分治法。
1.递归和分治法的定义递归法是指在算法中调用自身来解决问题的方法。
递归函数在执行过程中，会将原问题分解成规模更小的相似子问题，然后通过调用自身的方式，解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法是指将一个大问题分解成若干个规模较小的相似子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法在解决问题时，通常需要设计一个主函数（master function）和一个子函数（subfunction）。
主函数负责将问题分解，子函数负责解决子问题。
2.递归和分治法的区别递归法和分治法在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但它们在实现上存在以下区别：（1）函数调用方式不同：递归法是通过调用自身来解决问题，而分治法是通过调用不同的子函数来解决问题。
（2）递归法必须有递归出口，即必须有一个基线条件，而分治法不一定需要。
3.递归和分治法的应用实例递归法应用广泛，例如斐波那契数列、汉诺塔问题、八皇后问题等。
分治法也有很多实际应用，例如快速排序、归并排序、大整数乘法等。
4.递归和分治法的优缺点递归法的优点是代码简单易懂，但缺点是容易产生大量的重复计算，导致时间复杂度较高。
分治法的优点是时间复杂度较低，但缺点是代码实现相对复杂，需要设计主函数和子函数。
总之，递归和分治法都是解决问题的有效方法，具体应用需要根据问题的特点来选择。
如何应用分治算法求解问题
如何应用分治算法求解问题分治算法，英文名为Divide and Conquer Algorithm，是一种高效的算法设计策略，在计算机科学中有着广泛的应用。
该算法将一个大问题分解成多个小问题，各自独立地解决，再将结果合并起来得到最终结果。
在本文中，我们将阐述如何应用分治算法求解问题，并通过几个实例来具体说明该算法的应用。
一、分治算法的原理分治算法的核心思想是将一个大问题分解成若干个小问题来解决，然后将这些小问题的解组合起来生成大问题的解。
其具体步骤如下：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小的子问题。
2. 解决：递归地解决每个子问题。
如果子问题足够小，则直接求解。
3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。
分治算法的主要优点在于它可以有效地缩小问题规模，从而缩短整个算法的执行时间。
另外，该算法天然适用于并行计算，因为每个子问题都是独立求解的。
二、分治算法的应用分治算法在各种领域都有广泛应用，包括数学、自然科学、计算机科学等。
以计算机科学领域为例，分治算法常常用于解决以下类型的问题：1. 排序问题2. 查找问题3. 字符串匹配问题4. 最大子序列和问题5. 矩阵乘法问题6. 图形问题下面我们将一一讲解这些问题的分治算法实现。
1. 排序问题排序问题是在一组数据中将其按指定规律进行排列的问题。
在计算机科学中，排序算法是十分重要的一类算法。
其中，分治算法由于其高效性和可并行性被广泛应用。
常用的分治排序算法包括归并排序和快速排序。
归并排序的基本思想是将待排序元素以中心点为界分成两个序列，对每个序列进行排序，然后将两个序列合并成一个有序序列；而快速排序则利用了分割的思想，通过每次选取一个元素作为“轴点”，将数组分成小于轴点和大于轴点的两部分，对这两部分分别进行快速排序。
2. 查找问题查找问题是在一组数据中寻找某个元素的问题。
分治算法在查找问题中的应用主要体现在二分查找中。
在二分查找中，我们首先将已排序的数组分成两半，在其中一半中查找目标值。
递归方程 的概念 将原问题 分解 的数学表达式
递归方程的概念将原问题分解的数学表达式
递归方程是一种描述递归关系的数学表达式。
递归关系通常出现在那些可以将原问题分解为更小、更简单的子问题的情境中。
递归方程的基本形式通常如下：
f(n) = g(n) + f(n-1)
其中，f(n) 是我们要找的函数，g(n) 是一个已知的函数，而f(n-1) 是函数 f 在n-1 处的值。
这个方程描述了如何将问题f(n) 分解为更小的问题f(n-1)。
递归方程的关键在于，它允许我们将一个复杂的问题分解为一系列更小、更简单的子问题，而这些子问题可以用相同的方程来描述。
通过这种方式，我们可以逐步解决这些子问题，直到我们找到原问题的解。
例如，考虑斐波那契数列，这是一个非常经典的递归问题。
斐波那契数列的定义是：F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
这个方程就是一个递归方程，它描述了如何将斐波那契数列的第n 项分解为第n-1 项和第n-2 项的和。
通过不断应用这个方程，我们可以计算出斐波那契数列的任何一项。
总的来说，递归方程是一种强大的工具，它允许我们以一种系统的方式解决那些可以分解为更小子问题的复杂问题。
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。
实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。
递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。
2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。
②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。
③当问题的规模足够小时，可以直接求解。
3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。
可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。
int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。
1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。
2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。
③递归地解决各子问题。
④将各子问题的解合并成原问题的解。
3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。
排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。
③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。
实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
分治法的步骤
分治法的步骤分治法是一种常见的算法设计策略，它将问题分解成更小的子问题，然后递归地解决每个子问题，最后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。
下面将详细介绍分治法的步骤。
一、分治法的定义和基本思想分治法是一种算法设计策略，它将一个大问题分解成若干个相互独立且结构相同的小问题，递归地求解这些小问题，并将它们的结果组合起来得到原问题的解。
在实际应用中，分治法通常用于处理那些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务。
二、分治法的步骤1. 分解：首先将原问题划分为若干个规模较小、结构相似且独立的子问题。
这个过程通常称为“分解”（divide）。
2. 解决：对每个子问题进行递归求解。
如果子问题足够小而可以直接求解，则直接求解。
这个过程通常称为“解决”（conquer）。
3. 合并：将所有子问题的结果合并成原问题的结果。
这个过程通常称为“合并”（combine）。
三、应用场景1. 排序算法：例如归并排序、快速排序等。
2. 查找算法：例如二分查找。
3. 图论算法：例如最大子数组、矩阵乘法、汉诺塔等。
四、分治法的优缺点1. 优点：分治法可以有效地解决一些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务，具有较高的效率和可扩展性。
2. 缺点：分治法需要额外的空间来存储子问题的结果，而且在递归过程中可能会出现栈溢出等问题，需要进行合理的优化。
同时，如果分解得不够合理或者子问题之间存在依赖关系，则可能会导致算法效率下降。
五、总结分治法是一种常见的算法设计策略，它将一个大问题划分为若干个规模较小、结构相似且独立的子问题，并递归地求解这些子问题。
在实际应用中，分治法通常用于处理那些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务。
虽然分治法具有较高的效率和可扩展性，但也存在额外空间开销和栈溢出等问题，需要进行合理优化。
使用递归与分治法求解3.strassen矩阵乘法
一、概述1.介绍矩阵乘法的概念和意义2.引出递归与分治法在矩阵乘法中的应用二、传统矩阵乘法算法1.介绍传统的矩阵乘法算法原理2.分析传统算法的时间复杂度和空间复杂度3.讨论传统算法在大规模矩阵计算中的局限性三、Strassen矩阵乘法算法原理1.介绍Strassen算法的基本思想和原理2.引出递归与分治法在Strassen算法中的运用3.分析Strassen算法的时间复杂度和空间复杂度四、递归与分治法在Strassen算法中的运用1.详细解释递归与分治法在Strassen算法中的具体应用过程2.分析递归与分治法对算法性能的影响3.讨论递归与分治法在其他算法中的推广应用五、实例分析1.通过具体实例演示Strassen算法和传统算法的计算过程2.对比分析两种算法的计算效率和精度3.总结实例分析结果，展示递归与分治法在Strassen算法中的优势六、改进和优化1.讨论现有Strassen算法的局限性和不足2.提出改进和优化的方案，探讨递归与分治法在算法优化中的作用3.展望递归与分治法在矩阵计算领域的未来发展方向七、结论1.总结文中讨论的内容，强调递归与分治法在Strassen算法中的重要性和价值2.展望递归与分治法在矩阵计算领域的广阔应用前景3.对读者提出建议，鼓励更多的研究者投身于这一领域的研究和探索。
六、改进和优化1. Strassen算法的局限性和不足尽管Strassen算法在理论上具有较低的时间复杂度，但实际应用中也存在一些局限性和不足。
Strassen算法中涉及到的矩阵分块操作会引入额外的运算开销和存储开销，使得在小规模矩阵计算中，并不能体现出明显的优势。
Strassen算法要求矩阵的维度必须为2的幂次方，而实际场景中的矩阵往往难以满足这一条件，限制了算法的适用范围。
另外，由于Strassen算法引入了额外的递归调用，对于小规模矩阵，递归调用会使得算法的性能反而不如传统的矩阵乘法算法。
2. 改进和优化的方案针对Strassen算法的局限性和不足，可以考虑一些改进和优化的方案。
算法设计与分析(霍红卫)-第2章-分治法
第2章 分 治 法
我们可以很容易解决这个问题。利用这样一个事实：渐近 表示法只要求对n≥n0，T(n)≤cn lb n成立，其中n0是一个可以选择 的常数。由于对于n>3，递归方程并不直接依赖T(1)，因此可设 n0=2，选择T(2)和T(3)作为归纳证明中的边界条件。由递归方程 可得T(2)=4和T(3)=5。此时只要选择c≥2，就会使得T(2)≤c·2·lb 2 和 T(3)≤c·3·lb 3 成 立 。 因 此 ， 只 要 选 择 n0=2 和 c≥2 ， 则 有 T(n)≤cn lb n成立。
3ic(n/4i)2=(3/16) icn2 i=0，1，…，log4n-1
深度为log4n的最后一层有3log4 n nlog4 3 个结点，每个结点的
开销为T(1)，该层总开销为 nlog4 3T (1) ，即 Θ(nlog4 3)。
第2章 分 治 法
将所有层的开销相加得到整棵树的开销：
T (n) cn2
T(n)=2T(n/2)+n ≤2(c［n/2］lb［n/2］)+n =cn lb n/2+n =cn lb n-cn lb 2+n =cn lb n-cn+n =cn lb n-(c-1)n
最后一步在c≥1时成立。≤cn lb n
第2章 分 治 法
下面证明猜测对于边界条件成立， 即证明对于选择的常 数c，T(n)≤cn lb n对于边界条件成立。 这个要求有时会产生 一些问题。 假设T(1)=1是递归方程的惟一边界条件，那么对 于n=1，T(1)≤c·1·lb 1=0与T(1)=1发生矛盾。因此，归纳法中 的归纳基础不成立。
3
cn2
3
2
cn2
3
递推-递归-分治-回溯
递推算法在程序编辑过程中，我们可能会遇到这样一类问题，出题者告诉你数列的前几个数，或通过计算机获取了数列的前几个数，要求编程者求出第N项数或所有的数列元素（如果可以枚举的话），或求前N项元素之和。
这种从已知数据入手，寻找规则，推导出后面的数的算法，称这递推算法。
典型的递推算法的例子有整数的阶乘，1，2，6，24，120…，a[n]=a[n-1]*n(a[1]=1)；前面学过的2n，a[n]=a[n-1]*2(a[1]=1)，菲波拉契数列：1，2，3，5，8，13…，a[n]=a[n-1]+a[n-2](a[1]=1,a[2]=2)等等。
在处理递推问题时，我们有时遇到的递推关系是十分明显的，简单地写出递推关系式，就可以逐项递推，即由第i项推出第i+1项，我们称其为显示递推关系。
但有的递推关系，要经过仔细观察，甚至要借助一些技巧，才能看出它们之间的关系，我们称其为隐式的递推关系。
下面我们来分析一些例题，掌握一些简单的递推关系。
例如阶梯问题：题目的意思是：有N级阶梯，人可以一步走上一级，也可以一步走两级，求人从阶梯底走到顶端可以有多少种不同的走法。
这是一个隐式的递推关系，如果编程者不能找出这个递推关系，可能就无法做出这题来。
我们来分析一下：走上第一级的方法只有一种，走上第二级的方法却有两种（两次走一级或一次走两级），走上第三级的走法，应该是走上第一级的方法和走上第二级的走法之和（因从第一级和第二级，都可以经一步走至第三级），推广到走上第i级，是走上第i-1级的走法与走上第i-2级的走法之和。
很明显，这是一个菲波拉契数列。
到这里，读者应能很熟练地写出这个程序。
在以后的程序习题中，我们可能还会遇到菲波拉契数列变形以后的结果：如f(i)=f(i-1)+2f(i-2)，或f(i)=f(i-1)+f(i-2)+f(i-3)等。
我们再来分析一下尼科梅彻斯定理。
定理内容是：任何一个整数的立方都可以写成一串连续的奇数和，如：43=13+15+17+19=64。