例谈等面积法在初数学解题中的应用
面积法在解中考数学试题中的运用--以山西省近三年中考试题为例
图 形 与 几 何 是 初 中数 学 课 程 内容 的 四大 领 域 之
一
《 义务 教 育 数学 课 程 标 准 （ ２ ０ １ １ 年版 ） 》 提 出在数 Ｂ Ｄ边 上 的高 ，由勾 股 定 理 得底 边 Ｂ Ｄ ＝１ ３ ． Ｂ Ｄ已知 后 学 教学 中应 当注 重 发展 学 生 的几 何 直 观 ，因此 几 何 问 要 求Ａ Ｅ， 自然联 想 到 ／ ５ Ｅ Ｂ Ｄ的面 积．当注意 指 ： ｌ
究》
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ｊ
例２ （ ２ ０ １ ５ 年 山 西卷 第 ｌ ５ 题 ）太 原公 共 自行 车 的
、
运用等面积法求线段的长度
建 设 速度 、单 １ ３租骑 量 等 四项 指标 稳 居 全 国首 位 ，公 共 自行 车车 桩 的截 面示 意 图如 图２ 所示 ．
在 中考 试 题 中直 接 求线 段 长 度 的 问题 ，等 面 积法
，
题 一直 是 数 学 中考 的 重点 ．利 用 面积 法 ，可 以 解很 多 后 发 现 ，对 于 △Ｅ Ｂ Ｄ， 以Ｅ Ｂ 为底 边 时 ，高Ａ Ｄ已知 ．故 类 型 的题 目．例 如 ，与线 段 相 关 的 ：求 线段 的 长 、求 写出 Ｓ 的两种 求解 办法 ， … ＝ ・ Ｂ Ｄ・ Ｅ＝ 线段 之 比 、证 明线段 相 等 与 不等 、证 明线 段 的 和 与差 等 ；由线段 进 一 步 繁衍 出与 角相 关 的 问题 ， 比如利 用 面 积 法证 明 两 线 段相 等后 ，再 利 用 相 关 定 理 与 推论 ： 等边 对 等 角 、角 平 分线 性 质定 理 的逆 定理 等 得 出两 角 相 等 ；此 外 ，还 可 求解 与 面积 有 关 的 题 目．下 面通 过 几道 利 用 面积 等 式 或等 积 变形 求 解 有关 线 段 长 度 或 图 形面积等 问题 ，展现 面积法是如 何起到 出奇制胜效果 的．
面积——等面积法
面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。
利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数〞的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。
运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明〞的效果。
有关面积的公式〔1〕矩形的面积公式：S=长⨯宽〔2〕三角形的面积公式：ah S 21=〔3〕平行四边形面积公式: S=底⨯高〔4〕梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高〔5〕对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半〔如正方形、菱形等〕 有关面积的公理和定理 1、面积公理〔1〕全等形的面积相等；〔2〕一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理〔1〕等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD〔2〕等底等高的平行四边形、梯形〔梯形等底应理解为两底的和相等〕的面积相等；〔3〕等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；〔4〕相似三角形的面积的比等于相似比的平方；〔5〕在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；〔6〕等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。
问：长方形的面积是__________平方厘米。
等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。
如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△92cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。
三角形等面积法在初中数学中的应用
三角形等面积法在初中数学中的应用作者：王斌杰来源：《试题与研究·教学论坛》2012年第13期三角形等面积法是指利用三角形面积自身相等的性质进行解题的一种方法。
此法是初中数学中常用的一种解题方法。
它具有解题便捷快速、简单易懂等特点。
现举例如下：．例1如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，求AB边上的高CD的长。
解析：因为AB2=AC2+BC2,所以AB=5。
又因为S△ABC=12AC·BC=6，S△ABC=12AB·CD=52CD，所以52CD=6，得CD=125。
例2在△ABC中，AB=12,BC=13,AC=5，点P是△ABC内切圆的圆心，求△ABC内切圆的半径。
解析：因为AB2+AC2=169，BC2=169，所以AB2+AC2=BC2。
所以△ABC为直角三角形。
连接AP，PC，BP。
设圆P的半径为r。
S△ABC=12AC·AB=30，S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=12AB·r+12AC·r+12BC·r=12r(AB+AC+BC)=15r，所以15r=30，解得r=2。
例3在等腰三角形ABC中，AB=AC。
点P为BC边上的一个动点，PE垂直AC,PF垂直AB，垂足分别为E，F，求证：PE+PF为定值。
解析：连接AP,过点B作BD垂直AC于点D。
因为S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB·PF+12AC·PE，又因为AB=AC，所以S△ABC=12AC(PE+PF)。
又因为S△ABC=12AC·BD，所以12AC(PE+PF)=12AC·BD。
所以PE+PF=BD（定值）。
小结：通过上述的例子可以看出，利用三角形等面积法的性质解题，可从不同的角度使用面积公式表示同一个三角形的面积，列出等式求出未知量。
2021年中考数学必考点培优系列 14 等面积法的应用(有答案)
等面积法的应用在解决几何问题时，通常可采用等积法来解决一些问题，即同一个图形采用不同的面积表示方法来建立等式.等积法也常在证明某些定理时被用到.【例题讲解】例题1 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，AD ⊥BC ，求AD 的长为 ．D CB A答案： AD ＝2.4.例题2、如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线上一点，且BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值为 .RQPEDCBA. 【解析】连接BP ，易知BEC S △＝BEP S △＋BCP S △，所以12·BE ·CM ＝12·BE ·PR ＋12·BC ·PQ ，由BC ＝BE ，等号两边同时约掉，剩下CM ＝PR ＋PQ ，所以CMBC. 连接BP ，过C 作CM ⊥BD ， ∵BEC S △＝BEP S △＋BCP S △ ＝BC ×PQ ×12＋BE ×PR ×12＝BC ×（PQ ＋PR ）×12＝BE ×CM ×12， BC ＝BE ， ∴PQ ＋PR ＝CM ，∵BE ＝BC ＝1，且正方形对角线BD又∵BC ＝CD ，CM ＝BD ，∴M 为BD 中点，又△BDC 为直角三角形， ∴CM ＝12BD，即PQ ＋PR． MR QPEDCBA【对于填空选择题，可用特殊值法！】例题3 如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B '、C '、D '，则B B '＋C C '＋D D '的最大值为 ，最小值为 ．PB'C 'D 'DCBA答案：2【解析】连接AC 、DP ， ABCD S 正方形＝1×1×1，由勾股定理得：AC∵AB ＝1， ∴1≤APDPC S ∆＝APC S ∆＝12AP ×C C '， 1＝ABCD S 正方形＝ABP S ∆＋ADP S ∆＋DPC S ∆＝12AP （B B '＋C C '＋D D '）， B B '＋C C '＋D D '＝2AP， ∵1≤APB B '＋C C '＋D D '≤2，PB'C'D'D CBA【巩固练习】1、如图，点P为等边△ABC内任意一点，AB＝2，则点P到△ABC三边的距离之和为 .2、如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF的长为.3、如图，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD＝BC＝AC＝1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE ⊥AB于点E，则PE＋PF的值是 .4.如图，已知直线y＝2x－2上有一动点Q，点P坐标为（－1，0），则PQ的最小值为 .【请用等积法】5.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是斜边上的中点，点P 在AB 上，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，若AB ＝6，BC ＝3.，则PE ＋PF ＝ .PFE D CBA6.将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a ²＋b ²＝c ².7．如图，在△ABC 中，∠ A ＝90°，D 是AC 上的一点，BD ＝DC ，P 是BC 上的任一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 为垂足．求证：PE ＋PF ＝AB ．PFE D CBA8．如图，平行四边形ABCD 中，AB : BC ＝3:2，∠DAB ＝60°，E 在AB 上，且AE : EB ＝1:2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，求证：DP CEDQ AFQP FEDCBA图4 图59.在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14．（1）如图1，AD ⊥BC 于点D ，且BD ＝5，则△ABC 的面积为 ；（2）在（1）的条件下，如图2，点H 是线段AC 上任意一点，分别过点A ，C 作直线BH 的垂线，垂足为E ，F ，设BH ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ，请用含x 的代数式表示m ＋n ，并求m ＋n 的最大值和最小值．CBA HFEDCB A10．【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．求证：PD ＋PE ＝CF ．FE PD CBA FGE PD CBAEFABC DP小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD ＋PE ＝CF ．小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，可以证得：PD ＝GF ，PE ＝CG ，则PD ＋PE ＝CF ．【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD －PE ＝CF ； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C 处，点P P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD ＝8，CF ＝3，求PG ＋PH 的值；C'PH GFEDCBA【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，ED ⊥AD ，EC ⊥CB ，垂足分别为D 、C ，且AD ·CE ＝DE ·BC ，AB ＝，AD ＝3dm ，BD ．M 、N 分别为AE 、BE 的中点，连接DM 、CN ，求△DEM 与△CEN 的周长之和．NM E DCBA参考答案1..2.答案：60 13.3.答案：2.【解析】如图所示，过C作CH AB⊥于H，D是Rt ABC∆斜边AB上一点，且1BD BC AC===，CH∴=∴111222BDCS BD CH∆==⨯=，又1111112222BCD BPC BPDS S S BD PE BC PF PE PF∆∆∆=+=+=⨯⨯+⨯⨯，PE PF∴+=．HPFDCBA4..【解析】如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，过点Q作QC＋QB，则∵y＝2x－2∴A（0，－2），B（1，0）∵△PQB∽△AOB∴BQOB＝PBAB∵AB，PB＝2，OB＝1∴1BQ∴BQ∴PQ.5.65如图作BM ⊥AC 于M ，连接PD ．MPFE D CBA∵∠ABC ＝90°，AD ＝DC ，AB ＝6，BC ＝3， ∴BD ＝AD ＝DC ，AC 22AB BC +35 ∵12·AB ·BC ＝12·AC ·BM ， ∴BM 65∴ABD S ∆＝ADP S ∆＋BDP S ∆， ∴12·AD ·BM ＝12·AD ·PF ＝12·BD ·PE ， ∴PE ＋PF ＝BM 65MPFE D CBA6.答案：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b －a ． ∵ADCB S 四边形＝ACD S ∆＋ABC S ∆＝12b ²＋12ab ． 又∵ADCB S 四边形＝ADB S ∆＋DCB S ∆＝12c ²＋12a （b －a ） ∴12b ²＋12ab ＝12c ²＋12a （b －a ） ∴a ²＋b ²＝c ².FDBFb EA请参照上述证法，利用图2证明：a ²＋b ²＝c ²．【解析】连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，可得BF ＝b －a ， ∵ACBED S 五边形＝ACB S ∆＋ABE S ∆＋ADE S ∆＝12ab ＋12b ²＋12ab ， 又ACBED S 五边形＝ACB S ∆＋ABD S ∆＋BDE S ∆＝12ab ＋12c ²＋12a （b －a ）， ∴12ab ＋12b ²＋12ab ＝12ab ＋12c ²＋12a （b －a ）， ∴a ²＋b ²＝c ².Fb A7.【解析】过P 作PG ⊥AB 于G ，交BD 于O ， ∵PF ⊥AC ，∠A ＝90°， ∴∠A ＝∠AGP ＝∠PF A ＝90°， ∴四边形AGPF 是矩形， ∴AG ＝PF ，PG ∥AC ， ∵BD ＝DC ，∴∠C ＝∠GPB ＝∠DBP ， ∴OB ＝OP ，∵PG ⊥AB ，PE ⊥BD ， ∴∠BGO ＝∠PEO ＝90°， 在△BGO 和△PEO 中 BGO PEO GOB EOP OB OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BGO ≌△PEO ， ∴PE ＝BG ， ∵AB ＝BG ＋AG ， ∴PE ＋PF ＝AB ．G O P FED CBA8.【解析】连接DE 、DF ，∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：12DEC DFA ABCD S S S ∆∆==平行四边形，即12AF ×DF ＝12CE ×DQ ，∴AF ×DP ＝CE ×DQ ， ∴DP CE DQ AF=. Q PFE DCB A9.【解析】（1）在Rt △ABD 中，AB ＝13，BD ＝5， ∴AD12.∵BC ＝14，∴ABC S △＝12BC ·AD ＝12×14×12＝84. 故答案为：84．（2）∵ABC S △＝ABH S △＋BHC S △， ∴12BH ·AE ＋12BH ·CF ＝84． ∴xm ＋xn ＝168.∴m ＋n ＝168x∵AD ＝12，DC ＝14－5＝9，∴AC＝15，∵m ＋n 与x 成反比，∴当BH ⊥AC 时，m ＋n 有最大值．∴（m ＋n ）BH ＝AC ·BH ．∴m ＋n ＝AC ＝15.∵m ＋n 与x 成反比，∴当BH 值最大时，m ＋n 有最小值．∴当点H 与点C 重合时m ＋n 有最小值．∴m ＋n ＝16814， ∴m ＋n 等于12.∴m ＋n 的最大值为15，最小值为12．10.【解析】【问题情境】证明：（小军的方法）连接AP ，如图②∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ⊥AB ，且ABC S △＝ABP S △＋ACP S △， ∴12AB ·CF ＝12AB ·PD ＋12AC ·PE . ∵AB ＝AC ，∴CF ＝PD ＋PE ．（小俊的方法）过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，如图②． ∵PD ⊥AB ，CF ⊥AB ，PG ⊥FC ，∴∠CFD ＝∠FDP ＝∠FGP ＝90°∴四边形PDFG 是矩形．∴DP ＝FG ，∠DPG ＝90°.∴∠CGP ＝90°∵PE ⊥AC ，∴∠CEP ＝90°，∴∠PGC ＝∠CEP .∵∠BDP ＝∠DPG ＝90°，∴PG ∥AB .∴∠GPC ＝∠B .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∴∠GPC ＝∠ECP .在△PGC 和△CEP 中，PGC CEP GPC ECP PC CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PGC ≌△CEP .∴CG ＝PE .CF ＝CG ＋FG＝PE ＋PDG E P FDC BA【变式探究】证明：连接AP ，如图③．∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ＝AB ，且ABC S △＝ABP S △－ACP S △， ∴12AB ·CF ＝12AB ·PD －12AC ·PE . ∵AB ＝AC ，∴CF ＝PD －PE .GE FABC DP【结论运用】过点E 作EQ ⊥BC ，垂足为Q ，如图④，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠C ＝∠ADC ＝90°.∵AD ＝8，CF ＝3，∴BF ＝BC －CF ＝AD －CF ＝5.由折叠可得：DF ＝BF ，∠BEF ＝∠DEF ．∴DF ＝5.∵∠C ＝90°，∴DC＝4.∵EQ ⊥BC ，∠C ＝∠ADC ＝90°，∴∠EQC ＝90°＝∠C ＝∠ADC .∴四边形EQCD 是矩形.∴EQ ＝DC ＝4.∵AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠EFB .∵∠BEF ＝∠DEF ，∴∠BEF ＝∠EFB .∴BE ＝BF .由问题情境中的结论可得：PG ＋PH ＝EQ ．∴PG ＋PH ＝4.∴PG ＋PH 的值为4.Q C 'P H G FEDCB A【迁移拓展】延长AD 、BC 交于点F ，作BH ⊥AF ，垂足为H ，如图⑤． ∵AD ·CE ＝DE ·BC ， ∴AD DE ＝BC EC . ∵ED ⊥AD ，EC ⊥CB ，∴∠ADE ＝∠BCE ＝90°.∴△ADE ∽△BCE .∴∠A ＝∠CBE .∴F A ＝FB .由问题情境中的结论可得：ED ＋EC ＝BH ．设DH ＝x dm ，则AH ＝AD ＋DH ＝（3＋x ）dm ．∵BH ⊥AF ，∴∠BHA ＝90°.∴BH ²＝BD ²－DH ²＝AB ²－AH ².∵AB＝AD ＝3，BDx²＝（）²－（3＋x ）².解得：x ＝1．∴BH ²＝BD ²－DH ²＝37－1＝36.∴BH ＝6dm.∴ED ＋EC ＝6.∵∠ADE ＝∠BCE ＝90°，且M 、N 分别为AE 、BE 的中点，∴DM ＝AM ＝EM ＝12AE ，CN ＝BN ＝EN ＝12BE . ∴△DEM 与△CEN 的周长之和＝DE ＋DM ＋EM ＋CN ＋EN ＋EC＝DE ＋AE ＋BE ＋EC＝DE ＋AB ＋EC＝DE ＋EC ＋AB＝6＋∴△DEM 与△CEN 的周长之和为（6＋dm . FHNM E DC BA。
关于初二数学等面积法
等面积法也叫等积法。
两个三角形等底等高，则面积相等。
由此可以推得：两个三角形高相等，边成倍数关系，面积也成同样的倍数关系。
它是几何中常用的一种方法。
特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系会变成数量之间的关系。
此外，用面积法还可以用来求线段长，证明线段相等（不等），角相等，比例式或等积式，求线段比等。
面积法的常用解题思路
1、分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2、作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3、利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4、还可以利用面积解决其它问题。
向左转|向右转
扩展资料
面积法的常用理论口诀：
1、三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2、同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3、平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4、同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5、三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
6、三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的1/4。
7、三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的1/4。
8、有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
等面积法例题初二数学
等面积法例题初二数学
等面积法例题初二数学指的是在初二数学中，使用等面积法解题的示例问题。
等面积法是一种常用的数学解题方法，主要基于面积的守恒原理，通过比较不同图形之间的面积关系来解决问题。
在初二数学中，等面积法常用于解决与面积有关的问题，如面积的证明、计算等。
以下是一些初二数学中应用等面积法的示例问题：
题目1：有一个矩形和一个三角形，它们的面积相等。
矩形的一条边长为6厘米，对应的另一条边长为8厘米。
三角形的底边长为12厘米，底边上的高为5厘米。
求矩形的另一条边长。
解法：我们设矩形的另一条边长为x厘米。
由于矩形的面积为长乘宽，所以矩形的面积为6×8=48平方厘米。
同理，三角形的面积为1/2×12×5=30平方厘米。
由于两者的面积相等，所以有：6x=30，解得x=5，所以，矩形的另一条边长是5厘米。
题目2：证明以下等式成立：a^2 + b^2 = c^2。
解法：我们可以将两个边长为a和b的正方形拼接成一个大的矩形，该矩形的长度为a+b，宽度为a。
矩形的面积为(a+b) × a = a^2 + ab。
由于大矩形的面积为两个小正方形的面积之和，所以有：a^2 + b^2 = c^2。
总的来说，“等面积法例题初二数学”就是初二数学中使用等面积法的例子及解析，通常用在解答关于几何形状的问题时帮助学生找到更快捷和直观的方法找到解题途径。
以上解答和解析仅供参考，如有疑问可以咨询数学老师或查阅教辅练习的解析。
中考数学专项复习题型突破专题六 等面积法的应用
A.
2
B. 4
)
C. 2
D.
√
2
2
第1题图
【解析】 解法1：在正方形 中， ⊥ ，
∠ = ∘ ， ∵ ⊥ ， ⊥ ， ∴ 四边形
为矩形， △ 是等腰直角三角形，
∴ = ， = ，
章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正
多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥
少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失
矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周
第4题图
率 π 的近似值为 3.141 6 .如图, ⊙ 的半径为1,运用“割圆术”,以圆内
cm .
的值为____
第5题图
【解析】 如解图，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连
接 ， ， ，由 △ 为等边三角形，得到 为
的中点， ∵ 等边三角形的边长为 ，
∴ = = = ， = ，在
∠ =
∘
∴ △ =
÷ =
∘
， ∴ =
⋅ = × × =
=
，
， ∴ 正十二边形的面积为
× = ， ∴ = × ， ∴ = ， ∴ 的近似值为3.
图①
第4题解图
解法2点拨：如解图②，则 四边形 =
= ， ∴ = =
= △ + △ =
第2题解图
，
浅谈初中数学面积法在解题中的应用
浅谈初中数学面积法在解题中的应用[论文摘要]随着新课程改革的不断深入，这几年我市初中数学教材也在不断更新与完善。
教材的变化带来的是中考题型的变化，但是这里解决数学问题的思想方法却是没有改变的。
笔者根据近几年的中考和日常的教学实际情况总结一下一种重要的数学方法—面积法。
一、直接运用公式法和割补法：对于三角形或者特殊四边形的面积，可以直接运用面积公式求解；对于不规则的几何图形的面积，可以运用割补法求解。
（一）规则图形面积有关的公式（二）不规则的图形可以通过割补法转化为规则图形二、运用转化法求解图形的面积：此法就是通过等积变换、平移、旋转等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
（一）等积变换：同底等高，等底同高（二）通过平移变换求解面积（三）通过旋转变换求解面积随着新课程改革的不断深入，这几年我市初中数学教材也在不断更新与完善。
教材的变化带来的是中考题型的变化，但是这里解决数学问题的思想方法却是没有改变的。
笔者根据近几年的中考和日常的教学实际情况总结一下一种重要的数学方法—面积法。
所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或成比例的方法。
它在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。
许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解。
下面列举几个例子说说面积法在解题中的应用。
一、直接运用公式法和割补法 ：对于三角形或者特殊四边形的 面积，可以直接运用面积公式求解；对于不规则的几何图形的面积，可以运用割补法求解。
（一）规则图形面积有关的公式1、三角形的面积公式：ah S 21=2、矩形的面积公式：S=长⨯宽3、平行四边形面积公式: S=底⨯高4、梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高 对于这些规则图形直接运用面积公式计算即可。
（二）不规则的图形可以通过割补法转化为规则图形1、 作对角线，化四边形为三角形例1. 如图1所示，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别是3、4、12和3，，求四边形ABCD 的面积。
面积法在初中数学解题中的应用
师生园地２０２２年４月下半月㊀㊀㊀面积法在初中数学解题中的应用◉辽宁省大连市第五十一中学㊀穆永强１引言面积法解题的基本思想是以 面积 当作思维起点,将题目中的已知量与未知量通过面积公式联系起来,这样显得更为简洁与直观,有助于学生快速理清思路,使其充分体会到面积法的妙用与价值．２应用面积法证明线段相等问题证明线段相等是一类较为常见的平面几何类问题,虽然运用常规方法能够证明,但有时,过程较为繁琐㊁步骤较多,有时学生容易陷入到思维障碍当中,影响他们的解题自信．对此,教师可以指导学生应用面积法证明线段相等的问题,使其转变解题思路,帮助他们找到正确的证明流程与方法．图１例１㊀如图１,已知在等腰三角形A B C 中,A B 和A C 相等,点D 在B C 边上,其中D B 的长度与D C 相等,D E 垂直于A B ,垂点是E ,D F 垂直于A C ,垂点为F ,请尝试证明D E 与D F 相等．分析:学生通过初步审题与观察图形,发现虽然题设中给出的条件较多,也极具条理性,不过他们一时间难以想到用何种方法来证明这两条线段相等,以至于陷入到困境当中．教师可提示学生应用面积法进行证明．具体证明方法如下:因为B D ＝C D ,所以әA B D 的面积同әA C D 的面积相等,得出１２A B D E ＝１２A C D E ,又因为AB ＝AC ,所以DE ＝DF ．虽然本题可以使用全等三角形的相关知识进行证明,不过采用面积法思路更为简洁,既可以培养学生一题多解的意识,还能够让他们感受到面积法的优势,扩充认知范围．３应用面积法准确求出线段长度求线段长度是数学解题训练中的惯设题目,贯穿于小学㊁初中㊁高中整个教学阶段,虽然这类题目大多数难度都不是特别大,不过部分题目中给出的隐藏条件难以发现,影响解题的正常进行．此时,教师在教学中,应指引学生尝试应用面积法来处理此类题目,使其通过面积的拆分准确求出线段长度,帮助他们建立解题自信．图２例２㊀如图２所示,在三角形A B C 中,B C ＝９０c m ,A D 为高,A D ＝６０c m ,正方形P Q MN 的顶点Q ,M 在BC 边上,顶点P ,N 分别在边A B ,A C 上,其中AD 垂直于B C ,垂点是D ,同正方形的边P N 相交于点E ,那么正方形P Q MN 的边长是多少?分析:学生读完题目后,发现题目中给出的具体数据仅限于三角形,似乎与正方形的关系不大,所以他们很难找准切入点,极易遇到解题障碍,所以教师可引导学生应用面积法,并结合方程相关知识求解．设正方形的边长是x c m ,因为１２ˑB C ˑA D ＝１２ˑP N ˑA E ＋１２ˑB Q ˑP Q ＋１２ˑC M ˑMN ＋P Q ２,代入相关数据可得,１２ˑ９０ˑ６０＝x ２ˑ(６０－x )＋１２ˑP Q (B Q ＋C M )＋P Q ２,由此得１２ˑ９０ˑ６０＝x２ˑ(６０－x )＋x ２ˑ(９０－x )＋x ２,将这个方程化简,解得的x 值即为正方形的边长．在本例中,常规解法是用相似三角形的相似比等于对应高线的比列出比例式求得结果,这里用面积的拆分求解有异曲同工之妙,可以有效活化学生的解题思路．４应用面积法求得线段长度的和不少平面几何类问题都与线段有一定的联系,除０９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２２年４月下半月㊀师生园地㊀㊀㊀㊀求一条线段的长度以外,还会求几条线段的总长,这类题目难度通常较大,学生处理起来颇费周折．为此,教师在教学中,可以引导学生尝试应用面积法求几条线段长度的和,使其通过拆分面积及面积公式顺利求得正确答案．图３例３㊀如图３所示,已知梯形A B C D 中,A D ʊB C ,A B ＝D C ,对角线A C 与B D 相交于点O ,E 为B C 上的一个动点(E 不与B ,C 两点重合),在点E 运动过程中,如果点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,而B C ＝８,B D ＝６,梯形的高DF 的长度是３,求E P ＋E Q 的和．分析:本题涉及的元素较多,线段较为复杂,还存在一个动点,结果要求两条线段之和,对学生来说难度相对较大,不易找到突破口．应用面积法的解答方法如下:因为四边形A B C D 是一个等腰梯形,对角线A C 与B D 相交于点O ,据此能证明әO B C 是一个等腰三角形,又因为点E 是梯形下底上的一个动点,点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,作辅助线延长B D 至H ,与C H 垂直,再根据等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高这一性质,得出E P ＋E Q ＝C H ．因为S әD B C ＝１２B C D F ＝１２B DC H ,由已知条件,求得C H ＝４,E P ＋E Q 的和是４．本案例,由于点E 是动点学生觉得无从下手,只要证明定理 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 ,再结合同一个三角形面积的不同表示问题就轻松解决．５应用面积法求证线段比例等式求证线段比例也是初中数学解题教学中的一类常见题型,由于涉及到比例难度相对较大,对学生的解题能力与思维水平要求较高,通常要用到代数方面的知识,他们很难轻松证明．教师可引领学生巧妙采用面积法证明线段的比例等式,主要通过构建面积这一载体 ,证明几何图形的线段比例等式关系,显得清晰又直观．例４㊀已知在әA B C 中,D 是B C 上的一点,设点E 是A D 的中点,连接B E ,并延长与A C 交于点F ,假设B D ʒC D ＝２ʒ１,求证A F ʒF C ＝２ʒ３．分析:首先,根据题意画出图形,如图４,把点C 与点E 连接起来．设әC E D 的面积是x ,因为A E ＝D E ,所以әA E C 的面积也是x ．又因为B D ʒC D ＝２ʒ１,图４可得әB E D 的面积是２x ,又因A E ＝D E ,可得әA E B 的面积也是２x ．设әE F C 的面积为y ,则A F F C ＝S әA B F S әB F C ＝３x －y３x ＋y①A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －yy②由式①㊁②式联立,可得x ＝５３y ．所以A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －y y ＝５３y －y y ＝２３yy＝２３,即A F ʒF C ＝２ʒ３成立．本题采用面积法证明线段的比例等式十分巧妙,借助面积这一纽带,清楚地证明几何图形中线段比例的等式关系,使学生的解题思路变得愈加开阔．６应用面积法有效解决函数问题在求解初中函数类试题时,除运用待定系数法之外,还经常用到数形结合法,而面积法就属于数形结合思想的一种．有时,借助面积法也可以有效解决函数问题．例５㊀如果一次函数y ＝４x ＋b 的图象与两个坐标轴之间围成一个面积为８的三角形,求该一次函数的解析式．图５分析:本题虽然是一道代数题,但其求解过程要利用三角形的面积．为此,利用函数式找出两直角边的长即可．如图５所示．列出算式１２ˑ|b |ˑ|b |４＝８,解之得b ＝８,或b ＝－８,所以该一次函数的解析式为y ＝４x ＋８,或y ＝４x －８．本例结合面积法处理代数中的一次函数类题目,其实是对数形结合思想的巧妙应用,以此增进数与形之间的关系,使其掌握更多解题方法,优化他们的解题思路．总的来说,在初中数学解题教学活动中,教师很有必要把面积法的思想融会贯通至解题实践中,引领学生学会转变解题思路,思维变得发散与开阔起来,使其通过面积法的有效应用,将一些比较抽象㊁难懂㊁复杂的数学试题变得直观㊁易懂与简单,这对培养学生的解题能力㊁数学思想等均有着相当积极的意义．Z １９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
面积法在初中数学解题中的应用-最新教育文档
面积法在初中数学解题中的应用数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。
其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。
学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。
平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。
面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。
文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解?}过程中的巧妙应用。
在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。
通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。
这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。
对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。
一、与面积相关内容的概述（一）中国古代数学的面积发展史面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。
与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。
早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。
在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。
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例谈等面积法在初中数学解题中的应用
贵州省榕江县三江中学 潘光联
等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。
它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。
在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。
下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用：
一．求三角形的高
例1.如图1所示，在△ABC 中，AB=10,BC=6,AC=8,求AB 边上的高CD 的长.
解：在△ABC 中，
.10010,10086222222===+=+AB AC BC
.222AB AC BC =+∴
∴△ABC 是直角三角形.
利用三角形面积计算公式得,
.2
121CD AB BC AC ⋅=⋅ 即8.410
68=⨯=⋅=AB BC AC CD 二．求图形的面积
例2. 如图2所示，⊙O 的半径为3，OA=6,AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积是多少？
分析：连接OB 、OC ，将图中不规则的阴影部分的面积转化为扇形0BC 的面积是解决此问题的切入点和关键.
解:连接OB 、OC ，
由BC ∥OA 知，△OCB 与△ACB 的边CB 上的高相等.
故由等积性质可知,CB ACB S S 0∆∆=
易知，∠BOC= 60. 所以ππ2
336036020=⨯==CB S S 扇形阴影. 三.求三角形内切圆半径
例3.如图3所示,已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C=
90，AC=4，BC=3. 求
⊙O 的半径.
解:设⊙O 的半径为r ，连接0A 、0B 、OC 、OE 、OF 、OG..
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴OG ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，且
OE=OF=OG=r.
在Rt △ABC 中，由勾股定理，得
.5432222=+=+=AC BC AB
于是由ACO BCO ABO ABC S S S S ∆∆∆∆++=，得
.2
1212121AC BC r AC r BC r AB ⋅=⋅+⋅+⋅ 即 .)(AC BC r AC BC AB ⋅=++ ∴.14
3543=++⨯=++⋅=AC BC AB AC BC r 四．求函数的解析式
例4．如图4所示，线段AB=8，直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，P 是直线m 上的一点,PB 交以AB 为直径的圆于C,连结AC.设PB=x,AC=y,求y 与x 的函数关系式.
分析：因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BP ，又因为把直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，所以DO ⊥AB,BP
和AC 看成三角形的底和高，于是很自然地连
接AP 、OD ，利用同一个三角形的面积相等
的性质，就可以得到x 与y 的关系.
解:连结AP ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴AC ⊥BP .
又∵直线m 与⊙o 相切于点
D,且m ∥AB ， ∴DO ⊥AB。