勤学早九年级数学上第章旋转专题一点通

12. 勤学早九年级数学（上）第23章《旋转》专题一点通
一、旋转与角度、长度计算
1（2014龙岩）如图，△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，求∠CAE的度数（50°）2（2014江宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，在同一平面内，将△ABC绕点C逆时针旋转70°与△EDC重合，恰好使点D在AB上，求∠E的度数（∠E=∠A=35°）3（2014高邮）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=2，DB=5，DE⊥AC于点E，若△ADE绕点D顺时针旋转90°后，点A、E的对应点A'、F恰好在BC边上，求△A'DB 的面积（5）
4（2013常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、
BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B（得到A，O的对应点分别为点A′，O′），并回答下列问题：∠ABC=_____，∠A'BC=_____，OA十OB+ OC=_____；
（30°；90）
二、作图与计算
5 .（2014宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B(-4，5)，
C( 5，2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A
1B
1
C
1
；
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A
2B
2
C
2
.
6（2014广东）在平面直角坐标系中有△ABC与△A
1B
1
C
1
，其位置如图所示.
（1）将△ABC绕C点按____（填“顺”或“逆”）时针方向旋转____度时与△A
1B
1
C
1
重合；
（2）若将△ABC向右平移2个单位后，只通过一次旋转变换能与△△A
1B
1
C
1
重舍吗？若能，请
直接写出旋转中心的坐标、方向及旋转角度；若不能，请说明理由.
解：(1) 逆；90°
（2）能，绕(0，-1)逆时针旋转90°即可
7. 如图，△A BC二点的坐标分别为A(1，1)，B(6，1)，C(2，3)
(1)△ABC关于x轴作轴对称变换得到△DEF，则点A的对应点的坐标为________；（1，-1）
(2)将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A'B'C′，若M为△ABC内的一点，其坐标为
(a，b)，则点M平移后的对应点M′的坐标为_______; （a-7，b）(3) △ABC绕原点逆时针旋转90°得到△MNT，直接写出点B的对应点N的坐标为____；
（-1，6）
(4) 在旋转过程中点B经过的路径长_______；（
2
）
(5) 在旋转过程中线段AB扫过的面积是_______. （35
4
π
）
三、图案设计
8. 下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，
又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们. 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另两个不同的图案. 画图要求：(1)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形都不重叠；(2)所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.
9. 如图，已知网格中每个正方形的边长都是l，图中的阴影部分图案是由三段以格点为圆心、分别
以小正方形的边长和对角线为半径的圆弧围成.
(1)填空：图中阴影部分的面积是_______；（1）
(2)在网格中以阴影图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的图案（要求至少
含有两种图形变换）
四、旋转与勾股定理
10. 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得
到线段BO′.
(1)求点O与O′的距离；（4）
(2)求∠AOB的度数；（150°）
(3)求△ABC面积- △AOC面积的值. （+6）
11. 如图l，在等边△ABC内有一点P，且PA =2，，PC=l，求∠BPC度数和等边△ABC
的边长.
【探究】解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图2所示，连接PP'.
(1)△P'PB是_____三角形，△PP'A是_____三角形，∠BPC=_____°：
【拓展应用】如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，PC=1.
(2). 求∠BPC度数的大小；
(3) . 求正方形ABCD的边长.
解：(1)等边，直角，150°；
(2)将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A，∴AP′=PC=1，
BP=BP′，连接PP'，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′，∠PBP′=90°，∴PP′=2，
∠BP′P=45°，在△A P′P 中，AP′=1，P′P=2，12+22=2，
即P′A 2+ P′P 2=AP2，∴△A P′P是直角三角形，即∠A P′P=90°，∴∠A P′B=135°，
∴∠BPC=∠A P′B=135°.
(3) 过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E，∴∠E P′B=45°，∴E P′=BE=1，∴AE=2．
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得ABCD
五、利用旋转化散为聚
12. 如图，∠CA E= 45°．AC=6，AE=3，∠DCE= 90°，CD=CE，求AD的长
解：将△DCA绕C点逆时针旋转90°得△ECB，连接BE，可证△ACD≌△BCE，AD=BE，∠BAE=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理可得BE=9，则AD=BE=9
13. 如图，在平面直角坐标系中，点P（3，3)，两坐标轴的正半轴上有M、N两点，且∠MPN=45°，
求△MON的周长
解: 过P 作PE ⊥y 轴于点E ，将△PEM 绕点 P 按逆时针方向旋转9 0°，得到△PFQ ，∵P(3，3)，
∴F 、Q 两点在x 轴上，△PFQ ≌△PEM ，∴∠EPM=∠FPQ ，EM= FQ ，PM=PQ ，
∵∠EPF=90°，∠MPN=45°，∴∠EPM+∠NPF=45°，∠FPQ+∠NPF=45°，∴∠NPQ=∠MPN ，又PM=PQ ，PN=PN ，∴△PMN ≌△PQN ，∴MN=NQ=NF+FQ=NF+EM ，
∴△MON 周长=OM+ON+MN=OM+ON+NF+EM=OM+EM+ON+NF=OE+OF=6
14. (2016武汉模拟)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC >AD ，∠A=90°，AB=BC=12， ∠DCF=45°，E 是AB 上一点．DE=10，求BE 的长
解：过C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点 F ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△FCG ，
连接CG ，则四边形ABCF 是正方形，∴BC=CF ，∴△BCE ≌△FCG ，∴CE=CG ，
∠BCE=∠FCG .，∵∠DCE=45°，∠BCE+∠DCF=90°-45°= 45°，∠DCG =∠DCF+ ∠FCC =45°=∠DCE ，在△DCG 和△DCE 中，CG=CE ，∠DCG =∠DCE ，CD= CD ，∴△DCG ≌△DCE ，∴DG=DE=10，设BE=x ，则AE=12-x ，DF=10-x ，∴AD=12-(10-x)=2+x ，在Rt △ADE 中，222AD AE DE +=，∴(2+x)2+（12-x ）2=l02，解得x=4或6，即BE 的长为4或6.
15.（2016武汉改编题）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，
且EG 与FH 的夹角为45°，若正方形ABCD 的边长为1，FH 的长为2
，求EG 的长
解：过A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，过A 作AN ∥EG 交CD 于点N ，∵AB = l ，AM=FH=
2，
∴12
，将△AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABP ，∵EG 与FH 的夹角为45°，∴∠MAN +∠DAN=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，从而△APM ≌△ANM ，∴PM=NM ， 设DN=x ，则NC=1-x ，MN=PM=
12+x ，在Rt △CMN 中，（12+x ）2=14+（1-x ）2，
解得：x=13
，∴3。