(整理)幂级数的部分练习题及答案
(完整版)幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，填在题后的括号内（每小题 5 分，共50 分）.B．幂函数的图象都经过（0 ，0）和（1，1 ）点C ．若幂函数y x 是奇函数，则y x 是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限1 6．函数y x3和y x3图象满足请把正确答案的代号1．下列函数中既是偶函数又是（ ,0）上是增函数的是4x32．函数3B．y x 221y x 2在区间[ ,2] 上的最大值是2C．D．1A．4 B．1C．D．3．下列所给出的函数中，是幂函数的是A．y x3 3B．y x C．2x3D．5．下列命题中正确的是A．当0 时函数y x的图象是一条直线yy14 4A．关于原点对称B．关于x 轴对称7． 函数 y x|x|,x R ，满足A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数28．函数 y x 2 2x 24 的单调递减区间是 ( )A ． ( , 6]B ．[ 6, )C ．( , 1]D ．[ 1, )9． 如图 1— 9所示，幂函数 y x 在第一象限的图象，比较x 1 x 2 f (x 1)f (x 2 )f(x 12x2)，f(x 1)2f(x 2)大小关系是( )奇偶性为 . 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 （共 76 分） .15 ．（ 12 分）比较下列各组中两个值大小6 6 5 5C ．关于 y 轴对称D ．关于直线 y x 对称0, 1, 2, 3 , 4 ,1的大小(A．1 34 21 B ． 012 3 41C．2 4 0 31 1D．3 24 11410 ． 对于幂函数 f (x) x ， 若 0 x 1 x 2 ，则A ． f(x 1x 2 2f (x 1) f (x 2)2 B ． f(x 1x2)f (x 1) f(x 2)2C ．x 1f( 1x 22f (x 1) f (x 2 )2D ． 无法确定、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6 分，共 24 分)k n( 1)k14 ．幂函数 yxm(m,n,kN*, m,n 互质 ) 图象在一、二象限，不过原点，则 k,m,n 的34（1 ）0.611与0.7 11；（2）（ 0.88）1与（ 0.89）3 .16．（12分）已知幂函数2f（x） x m 2m 3（m Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y 轴对称，试确f （x）的解析式.117 ．（12 分）求证：函数y x3在R上为奇函数且为增函数18 ．（12 分）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系3 1 21）y x2；（2）y x3；（3）y x3；14）y x 2；（5）y x 3；（6）y x 219．（14分）由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a成，这里a,b 均为正常数，且a<10 ，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x的值.20 ．（14 分）利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）x2 2x 22x2 2x 152）y （x 2）3 1．xx成（即上涨率为10），涨价A）（B）（C）（D ）（E）（F）参考答案、CCBADDCADA二、11 ．(0, )；12．f (x)4x3 (x 0)；13．5；14．m, k为奇数，n是偶数；三、15 ．解：( 1 ) 函数y6x11在(0, )上是增函数且0 0.6 0.76 0.61160.711(2 )5函数y x3在(0, ) 上增函数且0.88 0.895 0.88350.89350.88350.893 ,即5( 0.88)350.89) 3 .16 ．解：2 m 由m22m2mZ303是偶数得m 1,1,3.m 1和3时解析式为 f (x) 0 x ,m 1时解析式为f (x) x17 ．解：显然 f ( x) x)3 f (x) ，奇函数；令x1 x2 ，则 f (x1) f (x2 ) 3x13x2 (x1 2x2 )(x12x1x2 x2 ) ，其中，显然x1x2 0，2x1 x1x2 x2 1= (x1 2x2)3x2422，由于且不能同时为0 ，否则x1x2 0 ，故(x11(x1 x2 )1221 2 3 2x2 ) x222420，3x22420，0.从而f(x1) f (x2) 0. 所以该函数为增函数18 ．解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：3(1) y x2x3定义域[0，) ，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，) 是增函数；12）y x 3 3 x 定义域为 R ，是奇函数，在 [0, ）是增函数；23）y x 3 3 x 2 定义域为 R ，是偶函数，在 [0, ）是增函数； 21 4）y x 2 12 定义域 R UR 是偶函数，在 （0, ）是减函数；x 315）y x 3 13定义域 R UR 是奇函数，在 （0, ）是减函数；x16）y x 2 1定义域为 R 既不是奇函数也不是偶 函数，在 （0, ） x 上减函数 .通过上面分析，可以得出（ 1） （A ），（ 2） （F ），（ 3） （5 ） （D ），（ 6 ） （B ） .x19．解：设原定价 A 元，卖出 B 个，则现在定价为 A （1+ 1x 0），20 ．解：E ），（ 4） （ C ），现在卖出个数为 B （1 － bx ），现在售货金额为 A （1+ x ） B（110 10bx )=AB(1+10x1x 0)(1bx－10)，x应交税款为 AB(1+ )(110bx a－10 ) ·10 ，x剩余款为 y = AB(1+)(1 105(1 b) 时y 最大b所以 x－b 1x 0)(1 1a 0)= AB (1要使 y 最大， x 的值为a )( 10 100 5(1 b) xb 1b x 101)，向上平移 x 2 2x 2x 2 2x 11 x2 2x(x1 1)21把函数 ,y12的图象向左平移x 21 个单位，再1 个单位可以得到函数2x 2 x2x 2的图象 .2x 1 5（x 2） 31的图象可以由5x 3 图象向右平移 2 个单位，再向下平移。
高三数学幂函数试题答案及解析
高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．【答案】（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【解析】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，∴函数f(x)的不动点为－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，∴a的取值范围为(0,1)．(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，且A，B在直线y＝x上，∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．∴－＝＋⇒b＝－＝－，利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.3.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝4.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为() A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】当α=-1时函数定义域为{x|x≠0}.当α=时,定义域是[0,+∞),都不符合条件.当α=1,3时,幂函数定义域为R且为奇函数.故选A.5.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数6.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.7.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.8.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（）A．B．C．D．或【答案】【解析】是幂函数或 . 又上是增函数,所以.【考点】幂函数的概念及性质.9.函数由确定，则方程的实数解有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程的根.【考点】幂的运算，分式方程的求解.10.下列对函数的性质描述正确的是（）A．偶函数，先减后增B．偶函数，先增后减C．奇函数，减函数D．偶函数，减函数【答案】B【解析】是偶函数，图象关于y轴对称，而在（0，+∞）是减函数，所以，在（-∞.0）是增函数，故选B。
3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】 幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。
解析函数的幂级数展开的题及答案
解：可直接求出函数 1 z 在 z 0 的各阶导数值，
f (0) 1 f '(0) (1 z )
1z 0源自z 0f ''(0) ( 1)(1 z ) 2
( 1)
f ( n ) (0) ( 1) ( n 1)(1 z ) n
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的敛散性)； n 1 n n ( z 1) (2) (并讨论在 z 0, 2 点处的敛 n n 1
散性).
n 1 1， an lim 解:(1) 因为 lim 所以该级 3 n a n n n 1 数的收敛半径为 R 1 ；在收敛圆周上,幂级数变为: ein n3 , 易知该级数绝对收敛因而也收敛. n 1 2
3
n 1 1， an lim (2) 易得: lim 故该级数 n a n n n 1 的收敛半径为 R 1 . 因 z 0, 2 均位于收敛圆周上， 故需要进一步讨论起敛散性．对于 z 0, 原级数变为
(1) 交错级数 ， （由交错级数的 Lebniz 判别法） n n 1 易知其收敛但不绝对收敛．对于 z 2, 该幂级数变为
z
所以：
ez 1 2 1 1 3 1 2 z 1 1 z 1 1 z , z 1. 1 z 2! 2! 3!
10
例4.7：证明级数 z 在 z r (0 r 1)上一致收敛 .
n n 1
证： z r n，且级数 r n (0 r 1)收敛
例：用唯一性定理证明 2 z cos2 z 1. sin 解： f1 ( z ) sin 2 z cos2 z f 2 ( z) 1 f1 ( z )与f 2 ( z )在全平面上解析，而在 实轴上f1 ( x) f 2 ( x) 故在全平面上 1 ( z ) f 2 ( z ),即 f sin 2 z cos2 z＝ 1
高一幂函数的试题及答案
高一幂函数的试题及答案一、选择题1. 下列哪个函数是幂函数？- A. \( y = x^2 + 1 \)- B. \( y = \sqrt{x} \)- C. D. \( y = \frac{1}{x} \)2. 幂函数 \( y = x^3 \) 的图像通过哪个点？- A. (0, 1)- B. (1, 1)- C. (-1, 1)- D. (0, 0)3. 如果幂函数 \( y = x^n \) 的图像关于y轴对称，那么 \( n \) 的值是多少？- A. 1- B. 2- C. -1- D. 任意实数二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个_________。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而_________。
三、解答题6. 已知幂函数 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，请确定 \( n \) 的值。
7. 讨论幂函数 \( y = x^n \) 图像的变化趋势，并说明 \( n \) 的不同取值对图像的影响。
四、计算题8. 计算幂函数 \( y = x^{-2} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
9. 假设幂函数 \( y = x^n \) 的图像经过点 (2, 8)，求 \( n \)的值，并描述其图像的特点。
答案一、选择题1. 正确答案：B. \( y = \sqrt{x} \)（因为 \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)）2. 正确答案：C. (-1, 1)3. 正确答案：B. 2二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个抛物线。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而增加。
三、解答题6. 由于 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，我们有 \( 27 = 3^n \)。
（完整版）幂的运算练习及答案
（完整版）幂的运算练习及答案初一数学幂的运算练习姓名________ 学号____一.填空题1、-34πr 3的系数次数 2、多项式2a 2b-35是次项式。
各项的系数分别是3、在下列各式53b a +, 3x ，π1, a 2+b 2, 31-a 2bc, x 2+2x+x 1中单项式有多项式有 4、多项式a n b n+1+3a 3b+1是5次3项式，n= 。
5、减去3ab 得—2ab 的式子是＿＿＿6、化简)()(325x x x x --=7、若31123x x x x n n =+，则n=8、若2,5m n a a ==,则m n a +=________；若1216x +=,则x=________. 9、化简)2()2()2(43y x x y y x ---=10、若4x =5，4y =3,则4x+y =________若2,x a =则3x a = 。
11、–a 12=a 3( )9=(-a)5( )7=-a 4( )8二.选择题1、m x -与m x )(-的关系是（）A ：相等B ：相反C ：m 为奇数时相等，m 为偶数时相反D ：m 为奇数时相反，m 为偶数时相等2、下列计算正确的是（）A 、102×102=2×102B 、102×102=104C 、102+102=104D 、102+102=2×1043、计算19992000(2)(2)-+-等于( ) A.39992- B.-2 C.19992- D.199924、长方形一边长为2a+b 另一边比它小a-b ，这个长方形周长为（）A 、6aB 、10a+2bC 、2a-2bD 、6a+6b5、a=255 b=344 c=533 d=622 a,b,c,d 大小顺序为（）A 、a<b<c<d< p="">B 、a<b<d<c< p="">C 、b<a<c<d< p="">D 、a<d<b<c< p="">6、512×83=2m+1 m=( )A 、15B 、17C 、18D 、21三、计算题：（1）a 2·a 3+a ·a 5（2） (n-m)3·(m-n)2 -(m-n)5(3) 2323()()()()x y x y y x y x -?-?-?-(4) 2344()()2()()x x x x x x -?-+?---?四、.解答1、化简a-{b-2a+[3a-2(b+2a)+5b]}2、一个多项式与7532-+-x x 的和是12+-x 求这个多项式3、已知105,106a b ==,求(1)231010a b +的值;(2)2310a b +的值4.已知：A=12322--+x xy x ，B=12-+-xy x ，且3A+6B 的值与x 无关，求y 的值。
幂级数的部分练习题和答案
题目部分.(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] 函数项级数∑∞=1n nnx 的收敛域是(A) []1,1- (B) [)1,1- (C) ()1,1- (D) (]1,1-答( )(2分)[3] 设级数()n n n x b 20-∑∞=在2-=x 处收敛.则此级数在4=x 处(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( )(3分)[4]设级数()n n n x a 30+∑∞=在1-=x 处是收敛的.则此级数在1=x 处(A)发散； (B)绝对收敛；(C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[5]设级数()n n n x a 10-∑∞=的收敛半径是1.则级数在3=x 点(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[6]如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n nn x a(A)当2<x 时,收敛； (B) 当8<x 时,收敛； (C) 当81>x 时,发散； (D) 当21>x 时,发散； 答( ) (2分)[7]若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R,那么(A)R a a nn n =+∞→1lim,(B) R a a n nn =+∞→1lim,(C)R a n n =∞→lim , (D)nn n a a 1lim +∞→不一定存在 . 答( )(3分)[8] 若幂级数∑∞=0n n n x a 在2=x 处收敛.在3-=x 处发散.则 该级数(A)在3=x 处发散； (B)在2-=x 处收敛； (C)收敛区间为(]2,3- ;(D)当3>x 时发散。
答( )(2分)[9] 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导.那么幂级数()()()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000!n n n x x n x f 的和函数 (A) 必是()x f . (B)不一定是()x f . (C)不是()x f . (D)可能处处不存在。
高数幂级数详解和习题
二、幂级数及其收敛性
1.定义: 形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n 0
当x0 0时, an xn , 其中an为幂级数系数.
n0
2.收敛性:
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
收敛域(1,1); 发散域(,1] [1,);
n1
lim
an1
n an
lim
n
(n
1)n1 nn
lim n
1
1 n
n
(n
1)
R 0,
级数只在 处收敛, 收敛域为{0}.
(3) xn ;
n1 n! lim an1 lim 1 0, R ,
n an n n 1
收敛域为
.
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
定理 1 (Abel 定理)
如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
如果级数 an x n 在x x0 处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
几何说明 收敛区域
• • •• • • ••• • •
(2)
(1)n
n0
x2n
1 1 x2
;
(3)
ax 2n
n0
a 1 x2
;
(4) xn e x;
n0 n!
(5) (1)n1
x 2n1
sin x;
n1
(2n 1)!
(6) (1)n xn1 ln(1 x);
n0
n1
四、小结
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题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(10小题,共22.0分)(2分)[1](2分)[2] 函数项级数的收敛域是(A)(B)(C)(D)答( )(2分)[3] 设级数在处收敛，则此级数在处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
答：( )(3分)[4]设级数在处是收敛的，则此级数在处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[5]设级数的收敛半径是1，则级数在点(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。
答：( )(2分)[6]如果,则幂级数(A)当时,收敛；(B) 当时,收敛；(C) 当时,发散；(D) 当时,发散；答( )(2分)[7]若幂级数的收敛半径为R,那么(A),(B) ,(C),(D)不一定存在 .答( )(3分)[8] 若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A)在处发散；(B)在处收敛；(C)收敛区间为;(D)当时发散。
答( )(2分)[9] 如果在点的某个邻域内任意阶可导，那么幂级数的和函数(A) 必是，(B)不一定是，(C)不是，(D)可能处处不存在。
答( )。
(2分)[10]如果能展开成的幂级数，那么该幂级数(A) 是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；(C)不是的麦克劳林级数；(D) 是在点处的泰勒级数。
答( )。
二、填空(54小题,共166.0分)(2分)[1]函数项级数的收敛域是。
(2分)[2]讨论x值的取值范围，使当_____________时收敛当_____________时发散(3分)[3] 设级数的部分和函数，级数的通项。
(2分)[4] 级数的和是。
(2分)[5] 级数在上的和函数是。
(3分)[6]设不是负整数，对的值讨论级数的收敛性得当时，绝对收敛，当时，条件收敛。
(2分)[7] 幂级数的收敛域是。
(3分)[8]幂级数的收敛半径是，和函数是。
(1分)[9] 如果幂级数的收敛半径是1，则级数在开区间内收敛。
(2分)[10]如果，则幂级数在开区间内收敛。
(2分)[11] 设幂级数的收敛半径是，则幂级数的收敛半径是。
(2分)[12]如果幂级数在处收敛，在处发散，则它的收敛域是.(5分)[13] 幂级数的通项是，收敛域是。
(6分)[14] 幂级数的收敛域是。
(4分)[15] 幂级数的收敛区间是。
(4分)[16] 幂级数的收敛域是。
(4分)[17] 若幂级数和的收敛半径分别为、，则、具有关系。
(3分)[18] 设，则幂级数的收敛半径是。
(2分)[19] 幂级数的收敛域是，和函数是。
(3分)[20] 幂级数的和函数是。
(3分)[21] 幂级数的收敛域是，和函数是。
(2分)[22] 级数的收敛域是，和函数是。
(2分)[23] 若幂级数的收敛半径是，则其和函数在开区间上是连续的。
(2分)[24] 如果幂级数与的收敛半径分别是、，则级数的收敛半径是。
(3分)[25] 若幂级数的收敛半径是,则其和函数在开区间内是可微的，且有逐项求导公式。
(3分)[26] 设幂级数的收敛半径是,则其和函数在开区间上可积，且有逐项求积公式。
(4分)[27] 函数的麦克劳林展开成为，其收敛域是。
(3分)[28] 函数的麦克劳林展开式为，收敛区间是。
(3分)[29] 函数在点的泰勒展开式为，收敛区间是。
(3分)[30] 函数的麦克劳林展开式为，收敛域是。
(3分)[31] 函数的麦克劳林级数展开式为，收敛域是。
(5分)[32] 函数的麦克劳林展开式为，收敛域是。
(6分)[33] 函数关于的幂级数为，收敛域是。
(4分)[34] 函数的麦克劳林展开式为，收敛域是。
(4分)[35] 函数的麦克劳林展开式为，其收敛域是。
(3分)[36] 如果的麦克劳林展开式为，则。
(2分)[37] 函数在点的泰勒级数为，收敛区间为。
(2分)[38] 函数的麦克劳林级数为，收敛区间为。
(2分)[39] 函数的麦克劳林级数为，收敛域为。
(4分)[40] 函数的麦克劳林展开式是，。
(3分)[41] 函数的麦克劳林展开式为，。
(5分)[42] 函数关于x的幂级数是，。
(4分)[43] 函数的麦克劳林展开式为，= 。
(4分)[44] 函数的麦克劳林展开式为，。
(2分)[45] 函数关于的幂级数是，。
(6分)[46] 函数的麦克劳林级数为，。
(3分)[47] 将函数展开成形如的幂级数时，收敛域是。
(3分)[48] 若函数在点的某一邻域内任意阶可微，设，那么在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是。
(3分)[49] 函数在点的泰勒展开式是，其收敛域是。
(3分)[50] 函数的麦克劳林级数是，其收敛域是。
(3分)[51] 函数的麦克劳林级数是，其收敛域是。
(3分)[52] 根据的幂级数展开式将表示成一个数项级数，该数项级数的前三项(用分数表示)是。
(2分)[53] 级数发散时，的取值范围是。
(2分)[54] 利用的幂级数展开式将表示成一个数项级数，该数项级数的第六项(用分数表示)是。
三、计算(36小题,共161.0分)(3分)[1]设，求级数的和函数。
(3分)[2] 设试求级数的和函数。
(3分)[3] 求函数项级数的和函数s(x)。
(4分)[4] 求级数在(-1，1)内的和函数。
(4分)[5] 设为上的连续函数，级数，其中试确定的收敛域及和函数。
(4分)[6] 试求幂级数的和函数。
(5分)[7]试求幂级数的收敛域。
(4分)[8]试求级数的收敛域。
(3分)[9] 试求级数的收敛域。
(4分)[10] 试求幂级数的收敛半径及收敛域。
(4分)[11] 试求幂级数的收敛域。
(5分)[12]求幂级数的收敛域。
(4分)[13]已知幂级数的收敛半径，试求的收敛半径。
(5分)[14]试求幂级数的收敛半径及收敛域。
(5分)[15] 试求幂级数的收敛域。
(5分)[16]试求幂级数的收敛域。
(5分)[17] 试求幂级数的收敛域。
(5分)[18] 试求幂级数的收敛域。
(6分)[19] 试求幂级数的收敛域。
(5分)[20] 试求幂级数的收敛半径。
(6分)[21] 试求幂级数的收敛域。
(5分)[22]试求幂级数的收敛半径及收敛域。
(4分)[23] 试求幂级数在其收敛域上的和函数。
(5分)[24] 试求幂级数在收敛域上的和函数。
(2分)[25] 试求级数的收敛域。
(3分)[26]试求幂级数的收敛半径。
(2分)[27] 试求幂级数的收敛半径。
(6分)[28] 设，确定的连续区间，并求积分的值。
(6分)[29] 设，确定的连续区间并计算的值。
(6分)[30] 设，，试用幂级数表示。
(6分)[31] 设，试用幂级数表示。
(6分)[32] 设，试用幂级数表示。
(6分)[33] 设，试确定,使得在上可微，并计算的值。
(6分)[34] 设，确定,使得在上可微，并计算的值。
(3分)[35] 设，求关于h的麦克劳林级数。
(3分)[36] 试求函数关于x的幂级数.====================答案==================== 答案部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)一、选择(10小题,共22.0分)(2分)[1][答案]C(2分)[2][答案]B(2分)[3][答案]B(3分)[4][答案]D(2分)[5][答案]A(2分)[6][答案]A(2分)[7][答案]( D )(3分)[8][答案]( D )(2分)[9][答案](B)(2分)[10][答案](A)二、填空(54小题,共166.0分) (2分)[1][答案](2分)[2][答案](3分)[3][答案](2分)[4][答案]。
(2分)[5][答案](3分)[6][答案](2分)[7][答案](3分)[8][答案]……(1分)[9][答案](2分)[10][答案](2分)[11][答案](2分)[12][答案](5分)[13][答案](6分)[14][答案](4分)[15][答案](4分)[16][答案](4分)[17][答案]=(3分)[18][答案](2分)[19][答案] ，。
(3分)[20][答案](3分)[21][答案] (2分)[22][答案] (2分)[23][答案] (2分)[24][答案]或为(3分)[25][答案] (3分)[26][答案](4分)[27][答案] (3分)[28][答案] (3分)[29][答案] (3分)[30][答案] (3分)[31][答案] (5分)[32][答案] (6分)[33][答案] (4分)[34][答案](4分)[35][答案] (3分)[36][答案] (2分)[37][答案] (2分)[38][答案] (2分)[39][答案] (4分)[40][答案] (3分)[41][答案](5分)[42][答案] (4分)[43][答案](4分)[44][答案] (2分)[45][答案] (6分)[46][答案](3分)[47][答案] (3分)[48][答案]对于该邻域内的任意，有(3分)[49][答案](3分)[50][答案](3分)[51][答案](3分)[52][答案](注：填也得10分)(2分)[53][答案]；(2分)[54][答案](注：答案形式为也给分)三、计算(36小题,共161.0分) (3分)[1][答案](3分)[2][答案]于是，(3分)[3][答案]所给级数是以为公比的等比级数因此，当x>0, ,级数收敛且和函数又x=0时，，级数收敛且=0综上所述=(4分)[4][答案]解法一= ⋯== ⋯⋯⋯解法二(4分)[5][答案]设为的部分和，则…所求和函数… 所求收敛域为…(4分)[6][答案]幂级数的收敛域是，所以当时，有(5分)[7][答案]设因为所以当时，级数收敛；又当，级数发散，故收敛域为。
(4分)[8][答案]令,原级数化为,当且仅当时，级数收敛，所以原级数的收敛域是。
(3分)[9][答案]令,级数化为,当且仅当时, 收敛，所以当时,原级数收敛，收敛域为.(4分)[10][答案]令,级数的收敛半径是1,收敛域是,故原级数收敛半径是1,收敛域是. (4分)[11][答案]由于，所以，当时，级数发散；当时，级数收敛；故收敛域为.(5分)[12][答案]令,原级数化为,此级数的收敛半径是2, 收敛域是,故原级数的收敛域是.(4分)[13][答案]利用两级数之间的关系，可得:当, 即时,级数收敛，当时,级数发散, 所以收敛半径是.(5分)[14][答案]设因为,所以收敛半径，而且时,级数收敛。
故收敛域为。
(5分)[15][答案]设因为,所以,且时，级数发散，故收敛域是。
(5分)[16][答案]设因为所以当时，级数收敛，当时，级数发散，故收敛域为。