(23-34)2012年春 第三次_振动

23. 如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系以轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为 m 的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。

已知弹簧的倔强系数为k ，滑轮的半径为R ，转动惯量J 。

（1）证明物体作简谐振动；（2）求物体振动周期；（3）设t=0时，弹簧无伸长，物体无初速，写出物体的振动方程。

所示，分别列受力方程，有
00=-kx mg t
d x d m T mg 221=- βJ R T T =-)(21
)(02x x k T +=
βR t
d x d =22 联立上五式得
0/d d 222=++x R J m k t x 令22/R
J m k +=ω 所以：0d d 222=+x t
x ω 所以，系统振动的角频率为
)2//(21m m m k ++=ω
（2）则k
R J m T 2
22+==πωπ
（3）πϕ=0 k
mg A = 所以，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=πt R J m k k mg x 2cos 24. 一物体作简谐振动,其速度最大值V m =3cm/s,其振幅A=2cm.若t=0时,物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动。

求：（1）振动周期;（2）加速度的最大值;（3）振动方程的表达式。

解: (1) v m = ωA ∴ω = v m / A =1.5 s -1
∴
T = 2π/ω = 4.19 s
(2) a m = ω2A = v m ω = 4.5×10-2 m/s 2 (3) π2
1=φ x = 0.02)215.1cos(π+t (SI) 25. 一弹簧振子作简谐振动，振幅A=0.20m ，如弹簧的倔强系数k=2.0N/m ，所系物体的质量 m=0.50kg ，试求：（1）当动能和势能相等时，物体的位移；（2）设t=0时，物体在正最大位移
处，达到动能和势能相等时所需时间是多少？（在一个周期内）
解：
（1）
224
121kA kx = ∴1022±=±=A x （2）由题意的得：00=ϕ
πωπ
==2T
∴t x 2cos 2.0= 把10
2±
=x 代入 当102+=x 时，)8
7.(8ππ=t 当102-=x 时，)85.(86ππ=t 26. 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为
x 1=0.04cos2π(t +1/8) (SI) x 2=0.03cos2π(t +1/4) (SI)
求：合振动方程。

解：由题意 x 1 = 4×10-2cos )4
2(π+πt (SI) x 2 =3×10-2cos )2
2(π+πt (SI) 按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为
22210)4/2/cos(2434-⨯π-π++=A m
= 6.48×10-2 m
)2/cos(3)4/cos(4)2/sin(3)4/sin(4arctg
ππππ++=φ=1.12 rad 合振动方程为 x = 6.48×10-2 cos(2πt +1.12) (SI)
27. 一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ，P 处质点的振动规律如图所示。

（1）求P 处质点的振动方程；
（2）求此波的波动方程；
（3）若图中λ2
1=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程。

解：
28. 一振幅为10 cm ，波长为200 cm 的一维余弦波。

沿x 轴正方向传播，波速为100 cm/s ，在t = 0时原点处质点开始从平衡位置沿正位移方向运动。

求：（1）原点处质点的振动方程；（2）在x = 150 cm 处质点的振动方程。

解：(1) 振动方程： )cos(
0φω+=t A y A = 10 cm ， ω = 2πν = π s -
1，ν = u / λ = 0.5 Hz
初始条件： y (0, 0) = 0 0)0,0(y > 得 π-
=210φ 故得原点振动方程： )21cos(10.0π-
π=t y (SI) (2) x = 150 cm 处相位比原点落后π2
3， 所以 )2
321cos(10.0π-π-π=t y )2cos(10.0π-π=t (SI) 29. 一弹性波在介质中以速度u=103m/s 传播，振幅A=1.0⨯10-4m ，频率ν=103Hz ，若介质的密度为800kg/m 3。

求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S=4⨯10-4m 2的总能量。

解：
（1）24222210*6.1)2(2
121ππγρωρ===
u A u A I （2）242438660*10*4*10*6.1ππρ===-ISt 30. 如图所示，两列平面简谐相干横波，在两种不同的媒质中传播，在分界面上的P 点相遇. 频率γ= 100Hz ，振幅A 1 = A 2 = 1.00×10 –3m ，S 1 的位相比S 2的位相超前1/2π，在媒质1中波速u 1 = 400m/s ，在媒质2中的波速u 2 = 500m/s ，S 1P = r 1 = 4.00m , S 2P = r 2 =3.75m , 求：P 点的合振幅。

S 1
解：
ππγω2002==
0)400
00.450075.3(cos 2)(1122
12=--=---=∆ππγγωϕϕϕu u ∴3
2110*00.2-=+=A A A m
31. 一平面简谐波沿x 正向传播，如图所示。

振幅为A ，频率为ν，传播速度为u 。

（1）t=0时，在原点O 处的质元由平衡位置向x 轴正方向运动，试写出该波的波动方程；（2）若经界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求出在x 轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。

解：
（1）对O 点0)2cos(0=+=ϕπγt A y
0>ν ∴πϕ23
0=
∴)2
32cos(ππγ+=t A y )2232cos(x u
t A y πγππγ-+= （2）反射波动方程为
)2212cos()]43(2432232cos[x t A x u t A y λ
πππγλλππλπγππγ+-=----+=驻波方程为：
)2cos()212cos(2)2212cos()2232cos(21x t A x t A x u t A y y y λ
πππγλ
πππγπγππγ+=+-+-+=+= 波节0)2cos(=x λπ 2)12(2π
λπ
+=∴k x
4)12(λ
+=k x ， 2,1,0±±=k
32. 在绳上传播的入射波方程为 y 1 = A cos(ωt + 2πx/λ), 入射波在x = 0处绳端反射，反射端为固定端，设反射波不衰减，求：驻波方程。

解：
入射波在O 点的震动方程为)cos(πω+=t A y
∴ 反射波为)2cos(λππω-
+=t A y
驻波为： )2
2cos()21cos(2)2cos()2cos(21πλππωλππωλ
πω++=-+++=+=x t A x t A t A y y y
33.答案： (1)振动方程：02122=++x m k k dt
x d (2)周期：2
12k k m T +=π 34. 一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播．设波沿着x 轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0 cm ，振动频率为25 Hz ，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24 cm ．当t = 0时，在x = 0处质元的位移为零并向x 轴正向运动．试写出该波的表达式．
（答案：]21)6/(50cos[100.32π-
-π⨯=-x t y (SI)。