新型灰色关联分析模型的改进与拓展

新型灰色关联分析模型的改进与拓展杨文光;吴云洁;王建敏【摘要】为了解决灰色相似关联度与接近关联度存在失准的缺陷, 提出了基于面积的新型灰色关联分析的改进模型.对于具有相同量纲的不同序列数据, 首先利用分段二次Lagrange插值建立它们的逼近函数, 进而对逼近函数进行始点零化操作, 然后分别计算以逼近函数曲线或其始点零化像与t=1, t=n所围图形面积, 最后得到相应序列数据的灰色相似关联度与接近关联度, 并研究了它们的性质.在具体计算所围图形面积时,采用了微元法与梯形法.算例计算结果表明, 本文所提出模型与方法是有效的, 客观反映了序列数据之间的相关性大小, 避免了计算失效的可能.%In order to solve the incorrectness defects of the similitude degree of grey incidence and the close degree of grey incidence, the improvement model of grey relational analysis model was proposed based on the area.For different sequence data with the same dimension, the approximation function was set up by using the piecewise quadratic Lagrange interpolation, and the approximation function was operated by zero starting point operator.Then the area was calculated between t=1, t=n and the approximation function curve or the image of zero starting point of them.Finally, the similitude degree of grey incidence and the close degree of grey incidence were obtained, and their properties were studied.In the concrete calculation around the figure area infinitesimal method could trapezoidal method could be used.The calculation results showed that, the proposed model and method were effective, which objectively reflectedthe correlation between the sizes of sequence data and avoided computing the possibility of failure.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(049)002【总页数】6页(P24-29)【关键词】灰色关联分析;相似性;接近性;分段二次Lagrange插值;梯形求积【作者】杨文光;吴云洁;王建敏【作者单位】华北科技学院基础部河北三河 065201;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院北京 100191;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院北京 100191;中国科学院空间应用工程与技术中心北京 100094【正文语种】中文【中图分类】C931灰色关联分析理论以研究“小样本，贫信息”的数据系列相关性大小为主要内容，为不确定性系统的建模、评价与决策提供了有利工具. 传统灰色关联分析模型是依据比较序列与参考序列的曲线几何相似程度进行度量的. 事实上，关联度大小不仅与曲线相似程度密切相关，也与曲线之间的接近程度紧密联系. 目前，不同学者从几何、积分、分数阶导数、插值等不同角度定义了多种不同的改进型灰色关联分析模型[1-7]. 文献[1]构建了绝对灰色关联度, 该模型满足偶对称性, 且计算相对简便. 文献[2]基于数据序列相似性与相近性视角构建了新型灰色关联分析模型，但该模型对于走势不一致的两组数据会出现灰色关联度为1的情况. 文献[3]指出关联度取值随分辨系数变化而变化，从而造成关联度取值唯一性不满足或关联度不满足对称性等问题. 文献[4]利用光滑性与逼近效果较好的三次样条插值函数逼近序列数据改进了灰色绝对关联度, 提高了逼近精度.文献[5]利用梯形求积法建立了序列数据折线面积基础上的灰色预测模型. 文献[6]采用Caputo型分数阶导数的记忆性改进灰色预测模型. 文献[7]提出了基于改进灰色关联度模型的综合一致性检验方法. 这些工作都促进了灰色系统理论的发展.灰色相似关联度与接近关联度是建立在两组序列数据所围图形面积基础之上的[2, 8]，但当两组序列数据存在振荡情况时表现的并不准确，当一组序列数据在另一组序列数据之上与之下的面积相等时，关联度为1. 本文将利用分段二次Lagrange 插值完成对序列数据的逼近，通过引入绝对值表示所围面积的改进型灰色相似关联度与灰色接近关联度模型.结合微元法与梯形法的计算，客观地反映序列数据的相似性与接近性.1.1 基于面积的灰色相似关联度与接近关联度的定义与计算定义1[2] 设系统第i组与第j组序列数据为Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n)),Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(n))，它们的始点零化像分别为((1),(2),…,(n))，((1),(2),…,(n))，其中：i,j表示序列标号；(k)=xi(k)-xi(1),(k)=xj(k)-xj(1)，k=1,2,…,n，且n≥3.定义2 设fi(t)是第i组序列数据Xi的逼近函数, fj(t)是第j组序列数据Xj的逼近函数, t∈[1,n]， fi(t)与fj(t)的始点零化像分别为(t)与(t)，其中：(t)=fi(t)-fi(1)，(t)=fj(t)-fj(1)， fi(t)与fj(t)可以采用拟合或插值的方法对原始序列数据进行逼近. 当使用分段线性Lagrange插值逼近原始序列数据时会出现光滑性较差, 且精度不高的问题, 而三次样条插值又相对较复杂, 故为了简化计算, 提高计算精度, 下面采用分段二次Lagrange插值.定义3[9] 对于如定义1所给的第i组序列数据Xi，任取相邻节点k-1,k,k+1，以[k-1,k+1]作为插值区间构造分段二次Lagrange插值函数，其中：lk-1(t)；lk(t)=-(t-k+1)(t-k-1)；lk+1(t)，k=2,4,6,…，n,且n≥3.根据定义3整理出序列数据Xi,Xj的分段二次Lagrange插值函数的整体形式.当n≥3,且n=2g+1,g∈Z+时,当n≥4,且n=2g,g∈Z+时,其中为Xj在t∈[k-1,k+1]时的分段二次Lagrange插值函数, 插值基函数lk-1(t),lk(t),lk+1(t)定义同上, k=2,4,6,…，n,且n≥3.在得到分段二次Lagrange插值函数fi(t)与fj(t)的基础上,再按照定义2分别对fi(t)与fj(t)进行始点零化像操作后可以获得(t)与(t).定义4 设Δ，Δ，则称为序列数据Xi与Xj基于面积的灰色相似关联度,称为序列数据Xi与Xj基于面积的灰色接近关联度.注：Δsij表示(t)与(t)对应曲线与直线t=1,t=n所围图形的面积, ΔSij表示fi(t)与fj(t)对应曲线与直线t=1,t=n所围图形的面积.对于量纲相同的两组原始序列数据Xi与Xj，基于面积的灰色相似关联度αij可以表征Xi与Xj对应曲线的相似程度, Xi与Xj越相似, fi(t)与fj(t)也就越相似, 则(t)与(t)重合的可能性就越大, Δsij取值越接近于0, αij取值就越接近1.基于面积的灰色接近关联度βij可以表征Xi与Xj对应曲线的接近程度, Xi与Xj越接近, fi(t)与fj(t)也就越接近, 则ΔSij取值越接近于0, βij取值就越接近1.构建的基于面积的灰色相似关联度与接近关联度均充分考虑了原始序列数据在始点零化处理之前与之后各自在平面直角坐标系中所围封闭图形的面积大小的差异性. 对于定义4中的Δsij与ΔSij，用两种近似数值计算方法.1) 微元法其中Δt为采样步长.2) 梯形求积法(简称梯形法)Δ≈ΔΔt+ Δt，其中:Δt为采样步长, m=(n-1)/Δt.证明设Xi与Xj是如定义1所给出的两个不同序列数据, fi(t)与fj(t)是对应的分段二次Lagrange插值函数.a) 当始点零化像恒在的一侧时代入(9)即得公式(7).同理当fi(t)恒在fj(t)的一侧时, 使用梯形求积公式可证明公式(8).b) 当始点零化像与存在除(1,0)外的交点(1+k0Δt,x)时, 则存在某个k=k0，使得(1+k0Δt)=(1+k0Δt)=x，k=0,1,…,m，则其中:Δ为第k个小梯形的面积, k=0,1,…,m; k≠k0,k≠k0-1; m=(n-1)/Δt，Δt为采样步长; Δ,Δ为三角形面积.因为k≠k0,k≠k0-1时,又由=0，可知代入式(10)化简即得公式(7). 同理当fi(t)与fj(t)存在交点时, 使用梯形求积公式亦可证明公式(8).1.2 基于面积的灰色相似关联度与接近关联度的相关性质定理1 基于面积的灰色相似关联度为，与基于面积的灰色接近关联度，都满足邓氏灰色关联公理中的规范性、接近性与偶对称性.证明1) 规范性.显然Δsij≥0,ΔSij≥0，故0<αij≤1,0<βij≤1，当且仅当Δsij=0时，αij=1，ΔSij=0时，βij=1.2) 接近性.由1)可知，显然成立.3) 偶对称性.对于X={Xi,Xj}，显然有，Δsij=Δsji，，ΔSij=ΔSji，故αij=αji，βij=βji.定理2 在平面直角坐标系下, 当始点零化像恒在的一侧时, αij≈εij，当序列数据Xi恒在Xj的一侧时, βij≈ρij. 其中εij，ρij分别为文献[2]所定义的灰色相似关联度与灰色接近关联度,证明当始点零化像恒在的一侧时, 因((t)(t))(t)(t)≈Δsij，故αij≈εij.当序列数据Xi恒在Xj的一侧时, 因(xi(t)-xj(t))(t)-xj(t)≈ΔSij，故βij≈ρij.当始点零化像不恒在的一侧时, αij≠εij,当序列数据Xi不恒在Xj的一侧时, βij≠ρij. 当始点零化像恒在的一侧时, 实际计算中, 由于文献[2]采用了离散点计算, 步长为1, 产生较大误差. 对于存在交点的情况刘氏灰色相似关联度与接近关联度模型存在失准甚至错误.对于非1-时距序列可以采用相应变换转化为1-时距序列, 故假设下面讨论的均是1-时距序列[2], 并且要求序列数据的长度是一致的, 而当序列长度不一致时可以采用分层逐次均值填补空缺[2].例1 设序列数据X1=(x1(1),x1(2),…,x1(7))=(0.91,0.97,0.90,0.93,0.91,0.93,0.95)，X2=(x2(1),x2(2),…,x2(7))=(0.60,0.68,0.61,0.62,0.63,0.64,0.65)，X3=(x3(1),x3(2),…,x3(7))=(0.82,0.86,0.90,0.89,0.88,0.87,0.86)，X1,X2,X3均是1-时距序列, n=7，试求X2,X3与X1三者之间基于面积的灰色相似关联度α12,α13,α23与灰色接近关联度β12,β13,β23，要求给出与文献[2]方法、基于微元法的相似与接近关联度、基于梯形求积法的相似与接近关联度(简称梯形法)的对比结果.解 1) 由于n=7，故首先按照公式(1)，计算X1,X2,X3的分段二次Lagrange插值曲线得f1(t),f2(t),f3(t)，见图1.2) 计算f1(t),f2(t),f3(t)的始点零化像(t),(t),(t)，为了与其他方法进行对比, 也一并算出X1,X2,X3的始点零化像,,得,(t)=fi(t)-fi(1),i=1,2,3.((1),(2),…,(7))=(0,0.06,-0.01,0.02,0,0.02,0.04)，((1),(2),…,(7))=(0,0.08,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05)，((1),(2),…,(7))=(0,0.04,0.08,0.07,0.06,0.05,0.04)，其中(t),(t),(t)是f1(t),f2(t),f3(t)的始点零化像, 也是,,的分段二次Lagrange插值曲线,如图2所示.3) 根据微元法与梯形法给定的公式分别计算Δsij,ΔSij.采用微元法由公式(5)计算Δsij，采样步长Δt=0.01,由公式(6)计算ΔSij，得Δs12≈0.104 8，Δs13≈0.266 1，Δs23≈0.215 6，ΔS12≈2.061 6，ΔS13≈0.419 3，ΔS23≈1.642 3.采用梯形求积法由公式(7)计算Δsij，由公式(8)计算ΔSi j，得4) 最后代入公式(3)和(4)计算出基于面积的灰色相似关联度与灰色接近关联度, 结合文献[2]的方法给出对序列数据两两比较的3种结果, 见表1.使用微元法得灰色相似关联度与灰色接近关联度为：使用梯形求积法得灰色相似关联度与灰色接近关联度为α12=0.905 1，α13=0.789 9，α23=0.822 7，β12=0.327 0，β13=0.705 1，β23=0.378 8.上述两种方法的计算结果表明, X1,X2,X3中的X1,X2最相似, X2,X3的相似程度次之, 而X1,X3的相似程度最低; X1,X3最接近, X2,X3的接近程度次之, 而X1,X2的接近程度最低.对于本算例, 三种方法给出的序列数据的相似程度和接近程度的排序是一致的.例2 设序列数据试给出X1,X2基于分段二次Lagrange插值微元法、梯形法与刘氏法的灰色相似关联度与接近关联度.解本算例的计算与上例是一样的, 采用上例相同的4步操作可得X1,X2基于分段二次Lagrange插值微元法、梯形法的结果，见表2. 显然,微元法和梯形法的结果是合理的,而刘氏法的结果是不合理的,因为差异较大数据的关联度是不可能取1的. 原序列数据与分段二次Lagrange插值曲线见图3.建立不同序列数据的分段二次Lagrange插值, 尽可能以一种简单的方式逼近序列数据,基于序列数据被逼近曲线与t=1,t=n所围的图形面积，构建了微元法与梯形法两种计算灰色相似关联度与灰色接近关联度的改进算法, 使得灰色关联度的计算更能反映数据间的几何位置关系. 改进模型克服了原有灰色相似关联度与接近关联度不能客观反映振荡序列相似性与接近性的弊端, 是对原有模型的有效拓展. 通过算例证明了本文所提出的基于面积的两种方法是有效的.当数据较多, 信息包含较多时, 基于分段二次Lagrange插值建立的逼近曲线将具有较高的逼近精度, 随之建立的灰色相似关联度与接近关联度模型也将具有较高的评估精度.【相关文献】[1] LIU S, FANG Z, LIN Y. 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