初二奥数精讲——第5讲分式（一）
奥数-分式1师
分式1一、分式基本概念及性质分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下两点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷（0m≠）．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．【例 1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例 2】⑴x为何值时，分式1111x++有意义？⑵要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值．【解析】⑴1101x+≠+且10x+≠，则2x≠-且1x≠-⑵根据题意可得13102aa++=或20a=，所以15a=-或0a=【变式】 （中考网题库）求下列分式有意义的条件：⑴ 1x ⑵33x + ⑶2a b a b +-- ⑷21n m + ⑸22x y x y ++ ⑹2128x x -- ⑺293x x -+【例 3】 （中考网题库）当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴ 1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +-- ⑹2242x x x -+【解析】 ⑴ 101x x +=⇒=-，此时分母不为0，故当1x =-时，原式的值为0；⑵ 2101x x -=⇒=或者1x =-，但当1x =-时，分母为0，故1x =时，原式的值为0； ⑶ 由303x x -=⇒=±，又303x x -≠⇒≠，故3x =-；⑷ 由2330x +≥>可知，无论x 为何值，分式的值都不为0；⑸ 由22301x x x +-=⇒=或者3x =-，又101x x -≠⇒≠，故3x =-； ⑹ 由2402x x -=⇒=±，又2200x x x +≠⇒≠且2x ≠-，故2x =．【变式】 （中考网题库）当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴ 213x x -+ 根据题意可得：21030x x -=⎧⎨+≠⎩，则12x =⑵ 223(1)(2)x x x x --++ 根据题意可得：2230(1)(2)0x x x x ⎧--=⎨++≠⎩，则3112x x x x ==-⎧⎨≠-≠-⎩或且，所以3x =⑶2656x x x --- 根据题意可得：260560x x x ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，则6x =- ⑷ 221634x x x -+- 根据题意可得：22160340x x x ⎧-=⎪⎨+-≠⎪⎩，则4x =⑸ 288xx + 根据题意可得：28080x x =⎧⎨+≠⎩，则0x =⑹ 2225(5)x x -- 根据题意可得：22250(5)0x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，则5x =- ⑺ (8)(1)1x x x -+- 根据题意可得：(8)(1)010x x x -+=⎧⎪⎨-≠⎪⎩，则8x =【例 4】 （中考网题库）若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴ x y x y +- ⑵xyx y- ⑶22x y x y -+【解析】 ⑴ 333()333()x y x y x yx y x y x y +++==---，不发生变化 ⑵ 3393333()x y xy xy x y x y x y ⋅==⋅---，是原来的3倍 ⑶ 222222333()1(3)(3)9()3x y x y x y x y x y x y ---==⋅+++，是原来的13倍【例 5】 （中考网题库）约分：⑴23326a a a -- ⑵22222m mn n m n -+-通分：⑶1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+ ⑷2n m mn -，2m n mn -，221m n -【解析】 当分式的分子和分母都是单项式或乘积的形式时，可直接约分；当分式的分子或分母有多项式时，约分的主要步骤是：先把分式的分子和分母分别进行因式分解，然后再约去公因式．在约分的过程中，要注意符号的处理，一般的，可以根据分式的符号法则，把负号放到分式的最前面，再进行约分计算．⑴ 原式22312(3)2a a a a -==⋅-；⑵原式2()()()m n m nm n m n m n--==-++ ⑶ 先分解因式，而后找公分母为2(1)(1)x x x +-221(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ++-=-+-，222(1)1(1)(1)x x x x x x x -=-+-，2222(1)21(1)(1)x x x x x x x +=-++- ⑷ 先分解因式，而后找公分母为()()mn m n m n +-22()()()n n m n m mn mn m n m n +=-+-，22()()()m m m n n mn mn m n m n +=--+-，221()()mn m n mn m n m n =-+-【变式】 （中考网题库）约分：⑴ 232222221535320454a b c a b b c a b b c c b c c--⋅==-⋅ ⑵224(4)16(4)(4)4x x x x x x x x x --==-+-+ ⑶ 2(2)22x y y x y x -=--⑷22()()()mx my m x y m x y x y x y x y++==--+- ⑸ 2222249(23)(23)234129(23)23x y x y x y x y x xy y x y x y--+-==++++ ⑹22412(6)(2)6710(2)(5)5x x x x x x x x x x ---+-==+++++ ⑺ 22222222222()()()2()()()a b c bc a b c a b c a b c a b c c a b ab c a b c a b c a b c a b --+---++-+-===--+---++--+ ⑻1122342189m m m m x y y x y x+-+-=【变式】 （中考网题库）化简：232428416n nn n nx x x x x +++-++．【解析】 原式=23422(8)(8164)n n x x x x x x -++-2222(2)(24)(24)(24)n n x x x x x x x x x -++=++-+2(2)24n x x x x -=-+二、分式运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn n n a a aa a aa ab b bb b bb b⋅=⋅=⋅个个n 个＝（n 为正整数） 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=（m 、n 为整数） ⑵()m n mn a a =（m 、n 为整数） ⑶()n n n ab a b =（n 为整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为整数） 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=（0a ≠），即n a -（0a ≠）是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在．【例 6】 （中考网题库）计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a b a b a-⋅-÷-⑶32231(4)()2mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【解析】 ⑴ 22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---； ⑵ 2342()()()b a b a b a-⋅-÷-23423452642648()b a b b a a a a a a a b b b =⋅-÷=-⋅⋅=-⑶ 4932231(4)()2128m nmn m n ---÷-=-⑷ 32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++3232423(21)1(21)(1)(21)(1)1x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+-=-÷÷⎢⎥-+-++⎣⎦22(21)(23)11(21)(1)1x x x x x x x--+=⨯⨯-+23x =-．① 分子分母有些可以因式分解，先进行因式分解，再计算；②如果运算结果不是最简分式，一 定要进行约分，使运算结果化成最简分式；③有幂的运算时，先算乘方，后算乘除．【例 7】 （中考网题库）求2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++的值，其中3a = 【解析】 222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【例 8】 （中考网题库）先化简，再求值：224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =【解析】 原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯-- 分式的四则混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．【例 9】 （中考网题库）已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值． 【解析】 2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+---【变式】 （中考网题库）计算：2482112482111111nnx x x x x x++++++-+++++（n 为自然数） 【解析】 原式11224822222248222211111111n n n n nn n n x x x x x x x x++=+++++=+=-++++-+-【例 10】 （06年宁波市重点中学提前考试招生试题）已知2a x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b ．【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【例 11】 （中考网题库）若对于3±以外的一切数，28339m n xx x x -=+--均成立，求mn ． 【解析】 22()3()83399m n m n x m n xx x x x --+-==+--- 所以80m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得44m n =⎧⎨=-⎩，所以16mn =-【变式】 （中考网题库）若关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx Nx x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N ．【解析】 222(2)(2)2()Mx N c c x b ac x x x a x b x a b x ab +-+-=-=+-+++++，所以1222a b cab c M b ac N+==⎧⎪=-⎪⎨-=⎪⎪-=⎩，利用配方思想解得：12a b =-⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，∵a b >，∴21a b =⎧⎨=-⎩，∴4N =- 【变式】 （第10届华罗庚金杯决赛）下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B ．【解析】 2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-，故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =．三 分式方程1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.正确判别一个方程是否为分式方程，关键要看这个方程是否有分母，并且分母中是否有未知数. 目前所学的方程，主要有有理方程及无理方程两类。
北师大版数学八年级下册5.1认识分式课件(共24张PPT)
3
10
3÷4= 4 , 10 ÷ 3= 3 ,
2、在代数式中，整式的除法也可以类似地表示。
试用用类似分数的形式表示下列整式的除法：
90
⑴ 90÷x 可以用式子
x 60 来表示。
60÷(x-6)可以用式子 x 6 来表示。
(2) n公顷麦田共收小麦m吨,
m
平均每公顷产量可以用式子 n 吨来表示.
从环境保护说起
③分母不能为零。
分式无意义的条件 分母等于零
三个条件 分式有意义的条件 分母不等于零
分式的值为零的条件 分子等于零 且分母不等于零
强调： 中，B 中一定要有字母
作 所以当 x≠- 时，
这些式子与分数一样都是 (即A÷B)的形式 例2：把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一起，可以调制成一种混合饮料。 我们知道：除数不能为0，那么分式中的分母应满足什么条件呢？ 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
叫做分式（fraction），其中A是分式的分
子，B是分式的分母。
1)分母中含有字母是分式的一大特点！
2)分式比分数更具有一般性，如：分数 5 仅表示
x 5÷3的商，而分式 y
则可以表示任意3两个整式
相除的商（除式不等于零），其中包括 5÷3 .
例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1)1;(2)x;(3) 2xy;(4)2xy.
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱
200
形容器中,水面的高度为 33
cm;把体积为v
的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面的高度为
V
S
cm.
议一议 分式、有理式的定义
1、上面的问题出现了代数式:
分式的概念及基本性质分式的运算
分式的概念及基本性质分式的运算1. 知识精讲及例题分析（一）知识梳理1.分式的概念形如一（A、B是整式，且B中含有字母，B 0 ）的式子叫做分式。
其中A叫分式的分子，B叫分式的B分母。
注：（1）分式的分母中必须含有字母（2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义2. 有理式的分类单项式有理式整式多项式分式3. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
A A M A A M，（M为整式，且M 0）B B M B B M4. 分式的约分与通分（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
步骤：①分式的分子、分母都是单项式时②分子、分母是多项式时（2）通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。
通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幕的积。
求最简公分母的步骤：①各分母是单项式时②各分母是多项式时5. 分式的运算（1）乘除运算（2）分式的乘方（3）分式的加减运算（4）分式的混合运算【典型例题】例1.下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。
例2.下列分式何时有意义(1)1|x| 1 (3)4xx2 1x~2 ~x 2xab21 a a ，x，3x x 1 1 ,厂y，，;(x1y)，(ayb)，例3.下列分式何时值为零F列各式中x为何值时，分式的值为零?(1) 4x 33x(2)x22 |x|1)(x 2)1. 填空。
(1)x xy /(y0) x1( )(3) x y(2 2) (x y 0) x y x y2.3xy-2 ~x 2xa2ab(4)h( )x 2a b( ) 不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。
(1)0.3x y0.02x 0.5y11x—y（2）3412—x—y23例5.约分(1) 21a3b5c56a2b10d(2)3ab(a b)612a(b a)(3) x2 4x 4 2 2(3a 2a )(3 2a a )2 2(a a)(2a 5a 3)(1)3512 ，2 4a b6b2c2ac(2)x 2x32x x2x 2 2 8 4x例6.通分:1 1例7.分式运算 1. 计算:⑴羊（診a 2 43a 242. 3. 5. 6. (3)计算: x 2 2xy y 2(1)(计算:计算:计算:xy2xy y x 22xy(4) (abb 2)b 2a 8)(弓ab)7 aU )6 ；(2)x )2 (y 22~~2-x4.a 22a 3计算:1x 2 4x 4(x1)2 2x 3x 2 x 17.计算： 22x y2例8.能力提高题2 211.已知X 2 3x 1 0，求X 2牙的值。
第5讲 分数四则混合运算(知识梳理+例题精讲+易错专练)
第5讲分数四则混合运算（思维导图＋知识梳理＋例题精讲＋易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：分数四则混合运算的运算顺序1、运算顺序（1）分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。
（2）在一个算式里，如果只含有同级运算，要按照从左往右的顺序进行计算。
（3）在一个算式里，如果含有两级运算，要先算二级运算（乘法或除法），后算一级运算（加法或减法）。
（4）在一个算式里，如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
2、分数四则混合运算的简便运算。
（1）整数的运算律或运算性质对于分数同样适用。
①加法交换律：a＋b＝b＋a②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）③乘法交换律：a×b ＝b×a④乘法结合律：（a×b ）×c ＝a×（b×c ）⑤乘法分配律：（a ＋b ）×c ＝a×c ＋b×c（2）恰当地运用运算律或运算性质可以使计算简便。
在加减混合运算中，加括号或去括号时要注意括号前面的符号，如果是加号，括号里面不变号；如果是减号，括号里面加变减、减变加。
知识点二：用乘法和加、减法解决稍复杂的实际问题1.已知总量及一个部分量占总量的几分之几，求另一个部分量时，可以列形如a －a×bc或a×(1)b c -的算式解题（b≠0）。
2.已知一个量及另一个量比它多（或少）几分之几，求另一个量时，可以列形如a±a×bc或a×(1)b c ±的算式解题（b≠0）。
三、例题精讲考点一：分数四则混合运算的运算顺序1．计算下面各题，能简算的要简算。
215÷7×5989×25＋35÷98（1－23×35）×56（719＋2117）×17＋1417110÷[35×（45－710）]2．一个数的13是15，求它的13的13是多少，列式是（）。
【最新】北师大八年级数学下册第五章节《认识分式(1)》公开课课件.ppt
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
料需多少甲种饮料？
x
答案：
千克
x y
现学现用
二、分式的求值
例题3：（1）当 a=1，2时，分别求分式 a 1
解：（1）当 a=1时 a 1 11 1 2 a 2a 21
的值；
当
a=2时
a1 2a
21 22
3 4
(2)当a取何值时，分式 a 1 有意义? 2a
解：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以
(1)1;(2)x;(3)2xy;(4)2xy. x 2 xy 3
解:属于整式的有（2）、（4）
属于分式的有（1）、（3）
分母含有字母是分式， 分母不含字母是整式.
为什么（2)（4） 不是分式？判断
的关键是什么？
二个应用
一、列分式
现学现用
例2：把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一起，
可以调制成一种混合饮料。调制1千克这种混合饮
（D）1
1
x
课堂小结
一个概念 两个应用
总结 分式的概念
列分式 求分式的值
①分子分母都是整式 ②分母中含有字母 ③分母不能为零。
分式无意义的条件 分母等于零 三个条件 分式有意义的条件 分母不等于零
分式的值为零的条件 分子等于零 且分母不等于零
结束
人教版八年级数学上册串讲5分式3大考点串讲17种题型期末考点大串讲
2x－3＝2x－3·2x－3＝ 4x2－12x＋9 . 2x＋3 2x＋3·2x－3 2x＋32x－3 【方法归纳】确定最简公分母的方法是：(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母，则连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同
知识串讲 考点一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有
字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子， B叫做分式的分母.
2.分式有意义的条件： 对于分式 ：当__B_≠_0___时分式有意义； 当__B_=_0___时分式无意义.
知识串讲
3.分式值为零的条件： 当__A_=_0_且___B_≠_0_时，分式 的值为零.
【方法归纳】区分整式与分式的标准是看分母中是否含有字母，没有分母 或者分母中不含有字母的式子是整式，而分母中含有字母的式子是分式．要 特别注意两点：(1)π 是圆周率，是一个常数，不等同于其他字母；(2)判断 一个代数式是否为分式，只看表面形式而不能化简．
知识串讲 题型二：会确定分式有(或无)意义的条件．ຫໍສະໝຸດ 知识串讲约分的基本步骤
(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公 约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因 式，然后约去分子、分母所有的公因式．
知识串讲
6.分式的通分： 通分的定义 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化 成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的 通分. 最简公分母的定义 为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所 有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母 .
|x|－1 (2)当 x＋1＝0，即 x＝－1 时，分式 x＋1 无意义；
初二奥数题分式的运算
第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质： MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有： bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。
【例题精讲】【例1】（1）当=m ___________时，分式()()23312+---m m m m 的值为零；（2）要使分式xx-11有意义，则x 的取值范围是_______________________。
思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。
【巩固】1、若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为_____________； 2、若使分式aa a 231142++-没有意义，则a 的值为________________；【拓展】当x 取何值时，分式6522+--x x x 有意义？【例2】化简下列分式：（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x（3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。
北师大版八年级数学上册竞赛讲义-分式方程(组)及其应用
分式方程（组）及其应用竞赛热点１.分式方程的概念：分母中含有未知数的有理方程称为分式方程。
２.解分式方程的方法：解分式方程的基本思想是转化思想,即把分式方程转化为整式方程来解；转化的基本方法是；去分母,换元法等。
分式方程在转化过程中会产生增根或漏根,因此解分式方程必须验根。
３.分式方程应用题：列分式方程应用题与列整式方程应用题的思路相同,首先要注意审题,弄清未知数与已知数之间的关系,并把它们表示出来,从而转化成数学模型,要善于运用列表,画图等辅助手段帮助分析问题；但与解整式方程应用题不同的是：对所求的结果既要验根又要检验方程的根是否符合实际意义,二者缺一不可。
解题示范例１.解方程9182716x x x x x x x x -+-+=+----。
思考题１.解下列方程： ⑴13217219211211215217292x x x xx x x x ----+=+----；⑵1321121111x x x++=+++。
例２.解方程组1034331522x y x y x y x y -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪-=-⎪+⎩。
思考题２. .解方程组 ⑴4955210x y y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ； ⑵345xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩。
例３.一只虫子从Ａ处爬到Ｂ处,如果它的速度每分钟增加１米,可提前１０分钟到达；如果它的速度每分钟再增加２米,则可又提前１０分钟到达,求Ａ,Ｂ之间的路程。
思考题３.甲、乙两人做一项工程,合做４小时后,甲另有任务被调走,余下部分由乙单独做,又用了６小时才完成这项工程。
已知甲独做６小时的工作量,由乙单独做要７小时３０分钟,问甲、乙单独完成这项工程各需多少小时？例４.如图,在矩形ＡＢＣＤ中,甲、乙二人分别从Ａ、Ｂ两点同时出发,甲、乙速度分别为６５米/分,７４米/分,沿矩形Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｂ→……顺序前进,乙至少跑第几圈时才可能第一次追上甲？又乙至少在跑第几圈时一定又追上甲？请说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初二奥数精讲——第5讲分式（一）
本讲适用于初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。
抖音号“数学奥数思维拓展” 1059021292，持续更新的相关视频讲解。
一、知识点解析
分式是初中数学学习中一类重要知识类型，是贯穿初中、高中乃至大学学习的重要知识点。
因此，分式历来是“高考”和数学竞赛着重考察的热点问题。
分式在数学竞赛中，除了常规的基本方法，还需要掌握和运用一些特殊方法，让我们来开始学习吧。
1. 基本知识
分式是有理式，它的运算与分数的计算相似，不过在运算中要特别注意：对含有分式的等式而言，可对等式两边同时乘以各分式的分母的公倍式，以去掉分母。
但对若干分式的和而言，则“不能去分母”，只能利用分式的基本性质（分子、分母同时乘以或除以同一个代数式，其值不变），将各分式的分母化的相同。
符号法则：
分式的基本性质：将一个分式的分子和分母同时乘以一个不为零的代数式，分式的值不变。
部分分式：将一个真分式（分子的次数小于分母的次数）分解为若干个真分式的和，叫做将分式化为部分分式。
真分式：如果一个分式分子的次数低于分母的次数，则称之为真分式，否则称为假分式。
真分式具有如下一些性质：
（1）几个真分式的和或差仍为真分式，或为零。
（2）如果是真分式，且P(x)与Q(x)是互质的整式，则这个分式可表
示成分别以P(x)、Q(x)为分母的两个真分式的和，并且这样的表达式是唯一的（此结论可以推广到分母是多个整式的积的情形）。
（3）如果一个真分式的分母可分解为若干个互不相同的一次因式a i x+b i与若干个互不相同的二次因式的积，则原分式可分解为一些形如
的分式的代数和。
如果一真分式的分母含有一次因式的幂：(ax+b)r，则它的部分分式中含有这样一些分式
的代数和，按这种方式分解的部分分式都称为最简部分分式。
最简分式：如果P(x)是既约多项式，非零多项式A(x)的次数小于P(x)的次数，那么称为最简分式，因为最简分式的分母是既约多项式的乘幂，并且A(x)
不能被P(x)整除，A(x)与P(x)互质，所以最简分式必然是既约真分式。
值得注意的是，既约多项式是在一定的数域上定义的，所以一个既约真分式被认为是最简分式也是在一定的数域上来考虑的。
例如x2-3在有理数域上是既约多项式，在实数域上则是可约多项式，因此，在有理数域上是最简分式，而在实数域上则不是最简分式。
繁分式：如果一个分式的分子或分母仍是分式，则称之为繁分式，繁分式中的主分数线，除有一般分数线的作用外，还是确定繁分式的分子与分母的分界线。
化简繁分式的常用方法有两种：一是根据繁分式的意义，把繁分式转化为除法进行计算；二是利用分式的基本性质，逐步去掉分子或分母中的分母。
一般情况下，第二种方法比较简便。
当繁分式的分子或分母中又出现繁分式时，一般应从最短分数线开始计算。
2. 基本方法
前一讲介绍了分式的定义和基本知识，此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下的方法：
（1）约分法：尽可能解出分子、分母中的相同的因式，然后通过
约分化简分式。
（2）分部通分法：若干个分式相加减，可先将某两个分式通分后想加减，再将所得结果与后面的分式想加减。
（3）分组通分法：若干个分式相加减，可先将这些分式适当分为若干组，然后将同一组的分式通分后相加减。
（4）换元法：如果某个式子在研究的问题中多次出现，则可将这个式子用一个字母表示，以简化问题的表现形式。
（5）分离整数（式）法：如果一个分式的分子的次数不低于分母的次数（此时的分式称为“假分式”），则可用“长除法”将分子分离出一个分母的“倍数”，这样，分式可写成一个整式与一个“真分式”的和。
（6）取倒法：如果分式的分子是单项式，而分母是多项式，则可考察分式的倒数，而其倒数可分解为两部分之和。
当分式不便“取到数”时，则可将分子移到分母的下方，使分式化为繁分式处理。
（7）化分母为单项式法：利用题目中的条件，把各分式分母中的多项式转化为单项式，则可简化运算。
（8）差分法：如果一个分式的分母是两个因式的积的形式，则常常可将其分解为两个分式的差，简称“差分”，差分的实质是将分式化为最简部分分式。
常用的差分公式：
后一个式子可反过来思考：
两边同除以b即得。
3. 基本问题
分式的运算、化简与求值：此类问题，常利用分式的基本性质对有关分式进行化简、通分，然后计算。
比较分式的值的大小：常采用作差作商比较或先取倒数再比较。
求分式的最大最小值：常采用分离整数部分或取倒数，使出现变
量的位置尽可能少。
根据分式的值的特征求相应字母的值或范围：先将分式化简，再根据题意求其范围。
将分式化为部分分式：常采用待定系数法。
这部分主要考察学生的对分式基本概念和应用的了解及掌握，是贯穿初中、高中乃至大学学习的重要知识点。
这部分题型种类繁多，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，才能保证在分式的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题
例1
计算：
分析：直接通分运算很繁琐，但细心观察可发现，前两个式子的分子分母存在一定的相似性，并且都可以分解因式，从这方面突破。
解答：
例2
化简：
分析：直接通分显然不是一个好的选择，逐步通分可迅速解决问题。
解答：
例3
计算：
例4
化简：
例5
如果你能够在不看答案的情况下就很顺利解决这些问题，那么说明你分式的掌握已经很透彻，这样的话可以加微信号miaomiao-asd，有更多有意思有深度的题目和讲解可以提供，还可享受一对一线上咨询辅导。
关注抖音号“数学奥数思维拓展”-1059021292，观看更新的相关视频讲解。