第五课分式,比例的性质

第五课 分式，比例的性质学习目标：理解分式的基本性质，会用分式的基本性质进行简单恒等变形；理解比例的性质，会应用比例的性质化简。

一、基本概念1. 分式的基本性质分式的分子与分母都同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质．．．．．．．。

用式子表示是B A =())(∙∙B A ； B A =)()(÷÷B A （其中M 是不为零的整式）。

2．（1） 当分子、分母都含有负号时，分子、分母应同乘以-1,使分式的值不变，且分子分母都不含负号。

当分子或分母含有负号时，利用分式的基本性质及有关法则，把分子或分母的符号变为___________的符号。

3．合比性质的表达文字：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这称为比例中的合比定理，这种性质称为合比性质。

字母：已知，且有，如果，则有。

推导过程：4．分比性质的表达文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。

字母：已知，且有，如果，则有。

推导过程5. 合分比性质的表述文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。

字母：已知，且有，如果，则有。

推导过程令则6. 等比性质的表达文字：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等字母：已知，且有，如果，则有。

推导过程证法一令，则证法二由合比性质即推论已知，且有，如果，则有7. 更比性质的表达文字：把一个比例的一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例.字母：如果a/b=c/d那么a/c=b/d（b、d≠0）推导过程a/b=c/d 等号两边同乘bd 得 ad=cb 同除dc 得 a/c=b/d8. 外项的积等于内项的积文字：两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。

字母：如果（，，，都不等于零），那么＝．推导过程用去乘的两边，得·bd＝·，所以＝．二、典型例题例1．若a、x、y都是不为0的数，将x1的分子与分母都乘以y，得到xyy，则分式x1与xyy相等吗？( 相等)将分式axx2的分子与分母都除以x，得到a2，分式axx2与a2相等吗？( 相等) 例2：121,____,_____,____2a ab a b a bb b b b+-+====、若则223______AD AEAE ECDB ECABDB====、如图，已知，且则3125,,222a b a b a bb b b+-+==-=分析：例3．三、当堂检测1、下面各组中的分式相等吗？为什么？（1）a n m -与a n m 222- （2）ac ab a +与cb 1+ （3）b a -与ba - （4）b a -与b a -23,_____;____32x x x y y y x x y +===+-、已知则232,____;____230,230)a c e a c e a c e b d f b d f b d f b d f b d f ++++=====++++++≠++≠4、若则（其中25,4____30)a c e a c e b d f b d f b d f ===++=++=++≠、若且，则（其中21::1:2:3,______x y z x y z z x ++==-、已知则2,24,______235x y z x y z x y z ==+-=++=、已知且则3234,::______;____x z x y z x y z x y +====-、若则23533AB AD DB AE EC DB DB EC +++====分析：22235;32522231x x y y x x y ++====++--分析：222232;223a c e b c f a c e b d f b d f b d f ++++++===++++++分析：24,4636a c e a c e a c eb d f b d f b d f ++===++==∴++=++分析：且，则243431x y z x x x z x x x ++++==--分析：,24354,235223520x y z k x y z k k k k x y z k k k ===+-=+-=∴=++=++=分析：责则23412,::6:4:3;639642x y z k x y z x z k k x y k k ====++==--分析：则2、下面的式子正确吗？为什么？（1） 1+x x =122+x x （2）n m n m 128126++=nm n m 322++四、课堂小结与反思五、课后练习231______4x x ==、若，则23,2,4,1______x x x -+=、若成比例，则525,x y =、若则下列比例式成立的是（）)25x y A =)52x y B =2)5x C y =5)3x D y =50,,_______a b a c b c a b c k k c b a+++++≠====、若设则6,_______a b ck k b c a c a b ====+++、若则332,_____x x y y ==、若则23,____;____30,0)a m a m a mb n b n b n b n b n +-====+-+≠-≠、若那么（其中4,_____x mx ny y==、若则4_______a b c ABC a b c b c aABC ==、已知△的三边分别为、、，且满足则△的形状是第六课 因式分解学习目标：学会十字相乘法，公式法，分组分解等各种方法进行因式分解，熟记平方差，完全平方等常用的一些因式分解公式。

一、基本概念定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.二、因式分解三原则1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2．最后结果只有小括号3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：23(31)x x x x -+=-+） 三、基本方法（一） 提公因式法 ()ma mb mc m a b c ++=++如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式.（5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号. 口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.（二） 公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、立方和公式： 3322()()a b a ba ab b +=+-+ 4、立方差公式： 3322()()a b a ba ab b -=-++ 5、2222222()a bc ab bc ca a b c +++++=++6、完全立方公式：3223333()a a b ab b a b ±+±=±7、3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++--- （三）分组分解法能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三一分法.（四）十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中1. 二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解特点： （1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和2. 二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++3. 二次项系数为1的齐次多项式例、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++4. 二次项系数不为1的齐次多项式例、22672y xy x +- 例、2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy （五）换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.（六）拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.（七）配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、添项法的一种特殊情况。

也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.（八）主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.（九）特殊值法将2或10代入x ，求出数P ，将数P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x ，即得因式分解式.（十）待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.（十一）长除法不足的项要用0补，除的时候，一定要让第一项抵消二、典型例题 （一） 提公因式法例1．分解因式322x x x --解： 3222(21)x x x x x x --=-- （二） 公式法例2、 分解因式2244a ab b ++解： 22244(2)a ab b a b ++=+例3、已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ） A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D .等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒== （三）分组分解法例4、分解因式 am an bm bn +++.解： 原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例5、分解因式 bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。