2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(理科)
19. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均 每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼 的时间/分钟
[0，10）
[10，20） [20，30） [30，40）
[40，50） [50，60）
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均体育锻炼时间在 [40，60）的学生评价为“锻炼达标”． （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面 2×2 列联表；
（x）≤x 的解集为______． 16. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足，Sn=3an-2，数列{nan}的前 n 项和为 Tn，则满足 Tn
＞100 的最小的 n 值为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，△ABC 的面积为 S，且 S=bccosA
B. π
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知 cosα=- ，则 cos2α=______．
14. 在（1+x）（2+x）5 的展开式中，x3 的系数为______（用数字作答）．
15. 已知函数 f（x）是奇函数，且 0≤x1＜x2 时，有
＜1，f（-2）=1，则不等式 x-3≤f
，C= ．
（Ⅰ）求 cosB 的值； （Ⅱ）若 c= ，求 S 的值．
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18. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，∠BCD= ，PA⊥BD，
AB=2，PA=PD=CD=BC=1． （Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．
为 y=2x，则实数 a 的值为（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
9. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BC=CC1=1，∠AB1D= ，则直线 AB1 与 BC1 所成角的
余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数 f（x）= cosx-sinx 在（0，α）上是单调函数，且 f（α）≥-1，则 α 的取值 范围为（ ）
A. -2
B. -3
C. -4
D. -5
4. 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 e，抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点坐
标为（1，0），若 e=p，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
A. y= x
B. y=
x
C. y= x
D. y= x
5. 随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之 地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图 形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图 标共分为 3 部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩 形的长为 3、宽为 1；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3，小圆 半径为 2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一 点，此点取自图标第三部分的概率为（ ）
高考数学一模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.
=（ ）
A.
B.
C.
2. 设集合 A={-1，0，1}，B={x|2x＞2}，则 A∩B=（ ）
A. ∅
B. {-1}
C. {-1，0}
D. D. {0，1}
3. 若 x，y 满足不等式组
，则 z=2x-3y 的最小值为（ ）
A. （0， ]
B. （0， ]
C. （0， ]
D. （0， ]
11. 已知半圆 C：x2+y2=1（y≥0），A、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点 P 在直线 m 上，纵坐标为 t，若在半圆 C 上存在点 Q 使
∠BPQ= ，则 t 的取值范围是（ ）
A. [- ，0）
]
B. [- ，0）∪（0， ]
C. [- ，0）∪（0， ]
D. [- ，0）∪（0， ]
12. 在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BD=2 ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面
角 B-AC-D 的余弦值为 ，则所得三棱锥 A-BCD 的内切球的表面积为（ ）
A.
22. 已知曲线 C1 的参数方程为
A.
B.
C.
D.
6. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4=3S2，a7=15，则{an}的公差为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 运行如图程序，则输出的 S 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2018 D. 2017
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8. 已知函数 f（x）=ln（x+1）-ax，若曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程
参考公式：K2=
，其中 n=a+b+c+d
临界值表 P（K2≥k0） k0
0.10 2.706
பைடு நூலகம்
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
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20. 已知 O 为坐标原点，椭圆 C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1（-c，0
），F2（c，0），过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3，直线 y=- 与椭圆 C 相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线 l：y=k（x+c）与椭圆 C 相交于 E，D 两点，使得（
）
＜1？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明理由！
21. 已知函数 f（x）=ex-ax． （Ⅰ）若函数 f（x）在 x∈（ ，2）上有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．（注 e3＞ 19） （Ⅱ）设 g（x）=f（x）-ax2，若函数 g（x）恰有两个不同的极值点 x1，x2 证明： ．
锻炼不达标
锻炼达标
合计
男
女
20
110
合计
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标” 与性别有关？ （Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 10 人，进行体育锻 炼体会交流， （i）求这 10 人中，男生、女生各有多少人？ （ii）从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这 2 人中女生的人 数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A．B．CD．-【答案】A 【解析】 【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率 【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点(M(222p =⨯，2p =，()1,0F，MF k =故选：A 【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.2．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z=32x y ++的取值范围为（ ）A ．[2453，] B ．[25，3] C ．[43，2] D ．[25，2] 【答案】D 【解析】 【分析】由题意作出可行域，转化目标函数32x z y +=+为连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数，数形结合即可得解. 【详解】由题意作出可行域，如图， 目标函数32x z y +=+可表示连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数， 由图可知，直线DA 的斜率最小，直线DB 的斜率最大，由10x yx-=⎧⎨+=⎩可得()1,1A--，由210x yx+=⎧⎨+=⎩可得()1,3B-，所以121132DAk-+==-+，325132DBk+==-+，所以225z≤≤.故选：D.【点睛】本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.3．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．【详解】如图，设三棱柱为，且，高．所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为．设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以，即球的半径为，所以球的体积为．故选A ． 【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率．4．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 【答案】B【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值.【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+=⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.5．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z = D ．13122z i i =++ 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得12z i =-+，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】由题意知复数12z i =-+，则(12)2z i i i i ⋅=-+⋅=--，所以A 选项不正确；复数z 的共轭复数是12i --，所以B 选项不正确；||z ==C 选项不正确；12(12)(1)1311222z i i i i i i -+-+⋅-===+++，所以D 选项正确. 故选：D 【点睛】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想. 6．已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C．4D．2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =U （ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞【答案】C 【解析】∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<， ∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.8．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Ac os(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．9．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（ ）A ．B ．4C ．5D ．【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C ==.通过13sin 22ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值.【详解】解：4sin 3cos c A C =Q ，即4sin 3cos c A a C =4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.22sin cos 1C C +=Q ，则34sin ,cos 55C C ==. 1133sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.222242cos 15215185c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，c ∴=故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值.10．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.7D ．0.8【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果. 【详解】()1,4X N Q :，所以，()()020.3P X P X <=>=.故选：B. 【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题. 11．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进行化简，由于z 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z . 【详解】()()()()()221222111122ai i a i i a i a a z ii i i i +-+--+-+====+-++-因为z 为纯虚数，所以202a-=，得2a = 所以2z i =. 故选A 项 【点睛】本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.12．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而ty e =是增函数所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A 【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年黑龙江省高考理科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年黑龙江省高考理科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B ⋂=（ ） A. (2,3)B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)2. 若p ：x R ∀∈，c o s 1x ≤，则（ ） A. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x > B. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x > C. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x ≥ D. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x ≥3. 下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B. 命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤” C. 命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D. 已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件4. 设函数2,3,()(1),3x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则()2log 6f 值为（ ） A. 3B. 6C. 8D. 125. 函数21010()x xf x x--=的图像大致为（ ）A. B. C. D.6. 已知向量a ，b 满足1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A. 4B. 3C. 2D. 17. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）正视图 仰视图 俯视图A. B.C.D.8. 一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ） A. 若，则乙有必赢的策略 B. 若，则甲有必赢的策略 C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略9．若函数f （x ）＝a sin x +cos x （a 为常数，x ∈R）的图象关于直线x ＝6π对称，则函数g （x ）＝sin x +a cos x 的图象（ ） A ．关于直线x ＝－3π对称 B ．关于直线x ＝6π对称 C ．关于点（3π，0）对称 D ．关于点（56π，0）对称 10．三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥底面ABC ，若SA ＝AB ＝BC ＝AC ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．18πB ．212πC ．21πD ．42π11．直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最小值为( ) A 0 B. 2 C.12- D. 12+12．抛物线2y 2px =p>0（）的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且120AFB ∠=，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为1M ，则1MM AB的最大值为（ ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考数学第一次调研试卷含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82959093908580779968如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【详解】由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=.故选：D 【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 2．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i iSSλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1 B ．1C ．32-D．32【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果.【详解】 如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=u u u r u u u r r，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u u u r u u u r u u u r，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.3．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20 B ．50C ．40D ．60【答案】B 【解析】 【分析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可. 【详解】由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B. 【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.4．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =【答案】D 【解析】 【分析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线． 【详解】如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项， 故选：D ．【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．5．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，12201223PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即3c =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题. 6．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．20【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i =故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.7．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+ 在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C. 【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.8．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．1通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.9．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．10．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43依据无穷等比数列求和公式，先求出首项1a ，再求出2a ，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。
2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1，2，3}，B={x|2x2−9x+9≤0}，则A∩B=()A. {0,1}B. {1,2}C. {2,3}D. {0,1，2}2.在复平面内，复数z=1−2i对应的点的坐标为()A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−2)D. (2,−1)3.已知两个单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，c⃗=(1−t)a⃗+t b⃗ ，若b⃗ ⋅c⃗=−12，则实数t的取值是()A. 2B. −2C. 12D. −124.已知直线a，b，平面α，β，a⊂α，b⊂α，则a//β，b//β是α//β的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.设一组数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的方差是()A. 2.5B. 3C. 3.5D. 46.已知2x>1，那么x的取值范围是()．A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,1)7.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A. 16B. 2524C. 34D. 11128.某乡政府对甲、乙、丙三个村的扶贫对象进行抽样调查，其中甲村30人，乙村25人，丙村40人，用分层抽样的方法抽取19人，则从甲、丙两村共抽取的人数为()A. 8B. 11C. 13D. 149.在△ABC中，A∶B=1∶2，sin C=1，则a∶b∶c等于()A. 1∶2∶3B. 3∶2∶1C. 1∶√3∶2D. 2∶√3∶110.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的其中(a>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于点M(5π12,0)成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N(2π3,−3)，则对于下列判断：①直线x=π2是函数f(x)图象的一条对称轴；②点(−π12,0)是函数f(x)的一个对称中心③函数y=1与y=f(x)(−π12≤x≤35π12)的图象的所有交点的横坐标之和为7π其中正确的判断是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0)，设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，AF2、BF2的中点分别为M、N，已知以MN为直径的圆经过原点，且直线AB的斜率为3√77，则双曲线的离心率为()A. √3B. √5C. 2D. 2√212.使|x−4|+|x−3|<a有实数解的a的取值范围是()A. a>7B. 1<a<7C. a>1D. a≥1二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知sinα=−23，则cos2α=__________．14.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．三人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙三人的预测结果有且只有一个正确，则可判断获得第一名的是________．15.已知点A(m,1)是抛物线x2=2py(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，且|AF|=3，则p=________．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知正方体的表面积为24，则其外接球的表面积是(1)，体积是(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=√2，点E、F分别为AA1、A1D1的中点．(1)证明：AC1⊥平面BDE；(2)求二面角F−BE−D的余弦值．18.已知等差数列{a n}中，2a2+a3+a5=20，且前10项和S10=100．(I)求数列{a n}的通项公式；(II)求数列{a n⋅2a n}的前n项和．19.某班学生参加科普知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分布组依次为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，已知成绩低于90分的学生人数为10人．(1)求成绩不低于130分的学生人数n；(2)成绩不低于130分的这n名学生，继续选择甲、乙两组题目进行表演赛，约定：每人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去选择哪组题目，掷出点数位1或2的人选择甲组，掷出点大于2的人选择乙组题目．(Ⅰ)求这n名同学中恰有2人选择甲组题目的概率；(Ⅱ)用X，Y分别表示这n名同学中选择甲、乙组题目的人数，记ξ=|X−Y|，求随机变量的分布列与数学期望Eξ．20.已知函数f(x)=ln(1+x)−x+12kx2．(1)当k=2时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处切线方程；(2)求f(x)的单调区间．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(12,3√54)，且两个焦点F1，F2的坐标依次为(−1,0)和(1,0)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设E，F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为k1，直线OF的斜率为k2，若k1·k2=−1，证明：直线EF与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，两条曲线交于A，B两点．(1)求A，B两点的极坐标；(2)P为曲线C2：为参数)上的动点，求△PAB的面积的最小值．23.已知函数f(x)=|x−2|−|2x−2|(Ⅰ)求不等式f(x)+1>0的解集；(Ⅱ)当x∈R时，f(x)<−x+a恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B={x|32≤x≤3}；∴A∩B={2,3}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：复数z=1−2i对应的点的坐标为(1,−2)，故选：C．根据题意，即可得解．本题考查了复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．3.答案：B解析：解：两个单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，则有a⃗⋅b⃗ =1×1×cos60°=12，由c⃗=(1−t)a⃗+t b⃗ ，且b⃗ ⋅c⃗=−12，即有(1−t)a⃗⋅b⃗ +t b⃗ 2=−12，即12(1−t)+t=−12，解得t=−2．故选：B．运用向量的数量积的定义可得a⃗⋅b⃗ =12，再由向量的平方即为模的平方，解方程即可得到t．本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：∵直线a，b，平面α，β，a⊂α，b⊂α，由a//β，b//β，得α与β平行或相交，由α//β，得a//β，b//β，∴a//β，b//β是α//β的必要但不充分条件．故选：B．由a//β，b//β，得α与β平行或相交，由α//β，得a//β，b//β，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．5.答案：D(31+37+33+a+35)解析：解：这组数据31，37，33，a，35的平均数是34，则有34=15解得a=34(9+9+1+0+1)=4∴方差S2=15故选：D．先由数据的平均数公式求得x，再根据方差的公式计算．本题考查一组数据的平均数、方差公式，属于基础题．6.答案：A解析：本题考查解指数不等式，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用指数函数的性质即可求解．解：因为2x>1=20，所以x>0，即x的取值范围是(0,+∞)，故选A．7.答案：D解析：本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．模拟程序图框的运行过程，得出当n =8时，不再运行循环体，直接输出S 值．解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S =12+14+16=1112．故选：D ． 8.答案：D解析：本题考查分层抽样，考查学生数学应用能力，属于基础题．利用分层抽样的方法直接求解即可得到答案．解：因为三个村扶贫对象的总人数为30+25+40=95，用分层抽样的方法抽取19人，则抽样比为15，则从甲、丙两村共抽取15(30+40)=14人． 故选D ． 9.答案：C解析：本题考查了正弦定理，属于简单题．先得出A 、B 的大小，再由正弦定理即可得出结果．解：由sinC =1，∴C =π2，由A ∶B =1∶2，故A +B =3A =π2，得A =π6，B =π3，由正弦定理得，a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =12∶√32∶22=1∶√3∶2． 故选C ． 10.答案：C解析：本题考查命题的真假判断与应用，考查正弦型函数的解析式的求法，主要确定A ，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于中档题．首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)的图象关于点M(5π12,0)成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N(2π3,−3)，则：T4=2π3−5π12=π4，∴T=π，进一步解得：ω=2ππ=2，A=3．由于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)的图象关于点M(5π12,0)成中心对称，∴2⋅5π12+φ=kπ(k∈Z)，解得：φ=kπ−5π6，由于0<φ<π，∴当k=1时，φ=π6．∴f(x)=3sin(2x+π6 ).①当x=π2时，f(π2)=−3sinπ6=−32，故①不正确；②由2x+π6=kπ，解得：x=kπ2−π12，当k=0时，对称中心为：(−π12,0)，故②正确；③由于：−π12≤x≤35π12，则：0≤2x+π6≤6π，∴函数f(x)的图象与y=1有6个交点．根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6，根据函数的图象的所有交点的横坐标之和为7π.故③正确．∴正确的判断是②③．故选C．11.答案：C解析：解：根据题意，设A(x1,y1)，则B(−x1,−y1)，∵AF2的中点为M，BF2的中点为N，∴M(12(x1+2),12y1)，N(12(−x1+2),−12y1).∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM =90°，可得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(4−x12)−14y12=0.…① 又∵点A 在双曲线上，且直线AB 的斜率为3√77，∴{x 12a 2−y 12b 2=1y 1=3√77x 1，…②．由①②联解消去x 1、y 1，得1a 2−97b 2=47，…③又∵F 2(2,0)是双曲线的右焦点，可得b 2=c 2−a 2=4−a 2， ∴代入③，化简整理得a 4−8a 2+7=0，解之得a 2=1或7， 由于a 2<c 2=4，所以a 2=7不合题意，舍去． 故a 2=1，得a =1，离心率e =ca =2． 故选：C ．设A(x 1,y 1)，则B(−x 1,−y 1)，由中点坐标公式求出M 、N 坐标关于x 1、y 1的表达式．根据直径所对的圆周角为直角，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(4−x12)−14y12=0.再由点A 在双曲线上且直线AB 的斜率为3√77，得到关于x 1、y 1、a 、b 的方程组，联解消去x 1、y 1得到关于a 、b 的等式，结合b 2+a 2=c 2=4解出a =1，可得离心率e 的值．本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、参数a 、b 、c 的关系、中点坐标公式，是解决本题的关键．12.答案：C解析：解：∵|x −4|+|x −3|≥|x −4−x +3|=1， 令y =|x −4|+|x −3|，则函数y =|x −4|+|x −3|的值域为[1,+∞) 若不等式|x −4|+|x −3|<a 有解集 则a >1故实数a 的取值范围是(1,+∞) 故选C ．由已知中的不等式|x −4|+|x −3|<a ，我们可以构造绝对值函数，根据绝对值的三角不等式，我们易求出对应函数y =|x −4|+|x −3|的值域，进而得到实数a 的取值范围．本题考查的知识点是绝对值三角不等式、单调性的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．13.答案：19解析：本题考查二倍角公式，属基础题．，则．解：由已知sinα=−23．故答案为1914.答案：乙解析：本题考查合情推理，突出反证法在推理中的应用，考查推理分析能力，属于中档题．若甲正确，则乙、丙均错误，此时与甲说法正确矛盾，从而可得甲为第三名，且乙、丙中必有一人正确，一人错误，再假设丙错误(则乙正确)，可导出矛盾，从而可得丙为第二名，故得答案．解：若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说：我不是第三名“正确相矛盾，故甲错误，因此，甲为第三名；①于是乙、丙中必有一人正确，一人错误．若丙错误(则乙正确)，即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确”我是第三名“矛盾，故丙正确，即丙不是第一名，为第二名；②由①②得：获得第一名的是：乙．故答案为乙．15.答案：4解析：本题考查抛物线的定义，考查运算求解能力，属于基础题．=3，解之即可．直接由抛物线的性质可得|AF|=1+p2=3，解：因为|AF|=1+p2所以p =4． 故答案为4．16.答案：12π4√3π解析：利用正方体外接球直径为其体对角线长，容易求解． 此题考查了正方体的外接球，属容易题． 解：正方体的外接球直径即为其体对角线长， 由正方体表面积为24，可得棱长为2， ∴其体对角线长为2√3， ∴外接球半径为√3，∴球的表面积为12π，体积为4√3π， 故答案为：12π，4√3π．17.答案：(本小题满分12分)证明：(1)如图，以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则A(0,0，0)，B(1,0，0)，D(0,1，0)，E(0,0,√22)，C 1(1,1,√2) (2))∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√22).…………(3分)∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+1=0，∴AC 1⊥BD ；∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+1=0，∴AC 1⊥BE.……………(5分) ∵BD 与BE 是平面BDE 内两条相交直线， ∴AC 1⊥平面BDE.………………(6分)解：(2)由(Ⅰ)进一步得F(0,12,√2)，则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,√22)． 设平面BDE 的法向量为m⃗⃗⃗ ， 可取m ⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√2).…………………(7分) 设平面FBE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)．由{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，得{−x +√22z =012y +√22z =0.取x =1，得n ⃗ =(1,−2,√2).……………(9分) ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=2×√7=√714.……………………(11分)由于二面角F −BE −D 为锐二面角，故所求二面角的余弦值为√714.…………(12分)解析：(1)以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC 1⊥平面BDE ．(2)求出平面BDE 的法向量和平面FBE 的法向量，二面角F −BE −D 为锐二面角，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：(I)设公差为d ，由已知得{2a 2+a 3+a 5=4a 1+8d =2010a 1+10×92d =10a 1+45d =100，(2分)解得{a 1=1d =2，(4分)所以{a n }的通项公式为a n =5+2(n −3)=2n −1，(5分) ( II)由(I)可知a n ⋅b n =(2n −1)×22n−1，所以S n =1×21+3×23+5×25+⋯+(2n −3)×22n−3+(2n −1)×22n−1，①4S n =1×23+3×25+5×27+⋯+(2n −3)×22n−1+(2n −1)×22n+1，②(7分) ①−②得：−3S n =2+2×(23+25+⋯+22n−1)−(2n −1)×22n+1， ∴S n =2+2×(23+25+⋯+22n−1)−(2n−1)×22n+1−3(9分)=2+2×(8(1−4n−1)1−4)−(2n −1)×22n+1−3=−6+2×8(1−4n−1)+(6n−3)×22n+19(11分)=10+(6n−5)×22n+19(12分)解析：(I)设出等差数列的公差，利用已知条件，列出方程，即可求解数列{a n }的通项公式； (II)数列{a n ⋅2a n }的表达式，利用错位相减法求解数列的前n 项．本题考查等差数列的性质，错位相减法求解数列的和的方法，考查计算能力．19.答案：解：(1)成绩低于90分的学生的频率为(0.0075+0.005)×20=0.25，∵成绩低于90分的学生人数为10人， ∴参加科普知识竞赛共有100.25=40人，成绩不低于130分的频率为1−(0.02+0.0125+0.0075+0.005)×20=0.1， ∴成绩不低于130分的学生人数n =0.1×40=4人；(2)(Ⅰ)依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的人数的概率为23． 设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件A i (i =0,1，2，3，4)，∴这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A 2)=C 42(13)2(23)2=827． (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥， 故P(ξ=0)=P(A 2)=827， P(ξ=2)=P(A 1)+P(A 3)=4081， P(ξ=4)=P(A 0)+P(A 4)=1781， ∴ξ的分布列是数学期望Eξ=0×827+2×4081+4×1781=14881．解析：(1)求出绩低于90分的学生的频率，利用成绩低于90分的学生人数为10人，可得参加科普知识竞赛的人数，求出成绩不低于130分的频率，即可得出结论；(2)(Ⅰ)求出每个人去参加甲游戏的概率，去参加乙游戏的人数的概率．设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i =0,1，2，3，4)，故P(A 2)=C 42(13)2(23)2，由此能求出这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．本题考查概率知识的求解，考查频率分布直方图，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．20.答案：解：(1)k=2时，f(x)=ln(1+x)−x+x2，f′(x)=11+x−1+2x，由于f(1)=ln2，f′(1)=32，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−ln2=32(x−1)，即3x−2y+2ln2−3=0；(2)f′(x)=x(kx+k−1)1+x，x∈(−1,+∞)，当k<0时，由f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk∈(−∞,−1)舍去；因此，在区间(−1,0)上，f′(x)>0，在区间(0,+∞)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当k=0时，f′(x)=−x1+x，因此在区间(−1,0)上，f′(x)>0；在区间(0,+∞)上，f′(x)<0；所以f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当0<k<1时，f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk>0；因此，在区间(−1,0)和(1−kk ,+∞)上，f′(x)>0；在区间(0,1−kk)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(1−kk ,+∞)，单调递减区间为(0,1−kk)；当k=1时，f′(x)=x21+x，f(x)的递增区间为(−1,+∞)；当k>1时，由f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk∈(−1,0)；因此，在区间(−1,1−kk )和(0,+∞)上，f′(x)>0，在区间(1−kk,0)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,1−kk )和(0,+∞)，单调递减区间为(1−kk,0)；综上所述，当k<0时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当k=0时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当0<k<1时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(1−kk ,+∞)，单调递减区间为(0,1−kk)；当k=1时，f(x)的递增区间为(−1,+∞)；当k>1时，f(x)的单调递增区间为(−1,1−kk )和(0,+∞)，单调递减区间为(1−kk,0)．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力和分类讨论思想，属于较难题．(1)求导数，确定切线的斜率，可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)求导，分类讨论，利用导数的正负，可得f(x)的单调区间．21.答案：解：(1)由椭圆定义得2a =√(12+1)2+(3√54−0)2+√(12−1)2+(3√54−0)2=4，即a =2，又c =1，所以b 2=3，得椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1 ；(2)证明：设直线EF 的方程为y =kx +b ，E(x 1,y 1),F(x 2,y 2)，直线EF 的方程与椭圆方程联立，消去y 得(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12=0， 当判别式Δ=12(3+4k 2−b 2)>0时， 得x 1+x 2=−8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2，k 1⋅k 2=−1，即y 1y 2x1x 2=−1，因为点E ，F 在直线y =kx +b 上， 所以(kx 1+b)(kx 2+b)=−x 1x 2，整理得(k 2+1)x 1x 2+bk(x 1+x 2)+b 2=0， 即(k 2+1)(4b 2−123+4k 2)+bk(−8kb3+4k2)+b 2=0，化简得b 2=12k 2+127，原点O 到直线EF 的距离d =√1+k 2，d 2=b 21+k 2=12k 2+127k 2+7=127，所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为x 2+y 2=127．解析：(1)由椭圆定义得2a =(12(3√54(12(3√54=4，解得a =2，又c =1，所以b 2=3，可得椭圆C 的标准方程；(2)设直线EF 的方程为y =kx +b ，E(x 1,y 1),F(x 2,y 2)，直线EF 的方程与椭圆方程联立，设k 1⋅k 2=−1，点E,F 在直线y =kx +b 上，得(kx 1+b)(kx 2+b)=−x 1x 2，利用根与系数的关系化简得b 2=12k 2+127，原点O 到直线EF 的距离d =√1+k 2，则d 2=b 21+k 2=127，完成证明，最后写出椭圆方程即可．22.答案：解：(1)由曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ， 直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2， 即，转化为直角坐标方程为：x −y −4=0， 联立{x 2+y 2=4x x −y =4，解得：{x =2y =−2或{x =4y =0，直线l 与曲线C 1交点的为(2,−2)或(4,0)， 所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直角坐标为(2,−2)，(4,0)， |AB|=√(2−4)2+(−2)2=2√2，因此，△PAB 的面积取得最小时也就是P 到直线l 的距离最小的时候， 设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为： d =|2cosθ−sinθ−4|√2=|√5sin(θ−α)+4|√2， 当sin(θ−α)=−1时，d min =√5√2，所以S △PAB =12|AB|d min =12×2√2×√5√2=4−√5．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的恒等变换求出三角形的面积．23.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x −2|−|2x −2|，当x ≤1时，f(x)=−(x −2)+(2x −2)=x ， ∴不等式f(x)+1>0转化为x +1>0，解得−1<x ≤1；当1<x ≤2时，f(x)=−(x −2)−(2x −2)=−3x +4，∴不等式f(x)+1>0化为−3x +5>0，解得1<x <53；当x>2时，f(x)=(x−2)−(2x−2)=−x，不等式f(x)+1>0化为−x+1>0，解得x∈⌀；综上，不等式f(x)+1>0的解集为{x|−1<x<53}；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，函数f(x)={x,x≤1−3x+4,1<x≤2−x,x>2；画出f(x)的图象如图所示；由图象知，当x=1时，令f(x)<−x+a，即1<−1+a，解得a>2；∴实数a的取值范围是(2,+∞)．解析：(Ⅰ)利用分类讨论法去绝对值，求不等式f(x)+1>0的解集即可；(Ⅱ)利用分段函数画出f(x)的图象，结合图象求出不等式f(x)<−x+a恒成立时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，是中档题．。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={2,3,4,5,6,7}，集合A={4,5,7}，B={4,6}，则A∩(∁U B)=()A. {5}B. {2}C. {2,5}D. {5,7}2.已知复数z=2−i1+2i，则z=()A. 4+3iB. 4−3iC. −iD. i3.以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是()A. 35B. 45C. 710D. 9104.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30，则a等于()A. 13B. 12C. 1D. 25.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为()A. 9√3πB. 18πC. 6πD. 3√3π6.已知公差不为零的等差数列{a n}的首项a1=50，a7、a15、a17成等比数列，则使{a n}的前n项和S n取得最大值的n的值为()A. 16B. 17C. 18D. 197.下列说法正确的是()A. 若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题B. 命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0，”C. 命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”D. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件8.设双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，若双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12，则双曲线的离心率为()A. 54B. 53C. 43D. √529. 如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP =θ，则点P 的坐标是( )A. (cosθ,sinθ)B. (−cosθ,sinθ)C. (sinθ,cosθ)D. (−sinθ,cosθ) 10. 已知双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则该双曲线渐近线方程为( )A. y =±√3xB. y =±√33xC. y =±√153x D. y =±√155x 11. 设函数f(x)={2x ,x ≤0log 2x ,x >0，若关于x 的方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,+∞)D. (−∞,1)12. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则a 4=( )A. −7B. −9C. 7D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为−2，则a =______．14. 函数f(x)=sinx +cosx 的图象向左平移m(m >0)个单位后，与y =cosx −sinx 的图象重合，则实数m 的最小值为______ ．15. 如图，正方形中ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G.若四面体A −EFG 外接球的表面积为6π，则正方形ABCD 的边长为________．16.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点为F2，点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于两点.若△PF2Q的周长为4，则椭圆C的方程为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，点D在BC边上，且满足CD=√2AD=3√2，cos∠CAD=2√55．(1)求∠ADC；(2)若AB=√5，求BD．18.某校从高三年级学生中随机抽取40名学生，将他们的月考数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50),[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若该校高三年级共有学生640人，试估计该校高三年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90,100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．19.过点E(−1,0)的直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，F是C的焦点．(1)若线段AB中点的横坐标为3，求|AF|+|BF|的值；(2)求|AF|⋅|BF|的取值范围．20.如图所示，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，线段AC与BD交于点O，E为线段CC1的中点．(1)若点F在线段A1C上，且∠FOA1=90°，求证：OF⊥A1B；(2)若3AB=4AA1，∠ABC=120°，求直线EO与平面A1CD所成角的正弦值．+ax，x>1．21.已知函数f(x)=xlnx(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a=2，求函数f(x)的极小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,θ∈[0,2π)，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|⋅|OB|=8，点B的轨迹为C2．(1)求C1，C2的极坐标方程．)，求△ABC面积的最小值．(2)设点C的极坐标为(2,π223.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题．根据题意，求解即可．解：全集U={2,3,4,5,6,7}，B={4,6}，所以∁U B={2,3,5,7}，因为集合A={4,5,7}，所以A∩(∁U B)={5,7}；故选D．2.答案：C解析：解：z=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i，故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：解：由茎叶图知，甲的平均成绩为13×(78+82+83)=81；乙的平均成绩为13×(80+83+80+m)=81+m3，又∵81<81+m3，∴m>0，又m∈N，∴m的可能取值集合为{1,2，3，4，5，6，7，8，9}．∴乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是P=910．故选：D．由茎叶图中的数据，求出甲、乙二人的平均成绩，列不等式求出m的取值集合，再计算所求的概率值．本题考查了茎叶图与平均数的应用问题，也考查了概率的计算问题，是基础题．4.答案：D解析：解：(x+1x)10展开式的通项公式为：T r+1=C10r⋅x10−r⋅(1x)r=C10r⋅x10−2r；令10−2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为C103；令10−2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为C102；所以(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为：C103−aC102=30，解得a=2．故选：D．根据题意求出(x+1x )10展开式中含x4项、x6项的系数，得出(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值．本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题目．5.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r，圆锥的高为h，由题意得2πr=6π，解得r=3，进而可得ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果．解：设圆锥底面的半径为r，圆锥的高为h，由题意得2πr=6π，解得r=3，∴ℎ=√62−32=3√3，∴V圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π．故选A．6.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的性质，考查方程思想和函数思想，以及运算能力，属于中档题．运用等比数列的性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．解：公差d不为零的等差数列{a n}的首项a1=50，a7、a15、a17成等比数列，可得a152=a7a17，即(50+14d)2=(50+6d)(50+16d)，解得d=−3(d=0舍去)，则前n项和S n=50n+12n(n−1)⋅(−3)=−3n2+103n2=−32(n−1036)2+103224，由于n为整数，17<1036<18，且1036−17<18−1036，则当n=17时，前n项和S n取得最大值，故选：B．7.答案：B解析：本题考查考查命题真假的判断，考查复合命题、全称命题、特称命题、充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在A中，若命题都p，￢q是真命题，则命题“p∧q”为假命题；在B中，利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题；在C中，否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”；在D中，“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件．解：在A中，若命题p，￢q都是真命题，则p真q假，则命题“p∧q”为假命题，故A错误；在B中，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0，”利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题，故B正确；在C中，命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”，故C 错误；在D中，解x2−5x−6=0，得x=−1或x=6，故“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故D错误．故选：B．8.答案：A解析：解：双曲线的渐近线方程为ax±by=0，圆M：x2+y2−10x=0可化为(x−5)2+y2=25，圆心M(5,0)，半径为5．∵双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12，∴圆心到直线的距离为√25−9=4，∴√a2+b2=4，∴e=ca=54故选：A．确定双曲线的渐近线方程，圆心M(5,0)，半径为5，求出圆心到直线的距离，建立方程，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．9.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．直接利用任意角的三角函数的定义求得点P的坐标．解：设P(x,y)，由任意角的三角函数的定义得，sinθ=y ，cosθ=x ． ∴点P 的坐标为(cosθ,sinθ)． 故选A ．10.答案：D解析：本题考查双曲线的概念和性质，属于基础题．由条件可得(2−a )+(3−a )=4，求得a ，继而可得结果． 解：因为双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上，所以{2−a >0a −3<0，解得：a <2．因为焦距为4，所以(2−a )+(3−a )=4，解得：a =12． 所以双曲线方程为：y 232−x 252=1，其渐近线方程为：y =±√155x ．故选D ．11.答案：A解析：本题考查函数零点与方程根的关系，分段函数，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 画出函数f(x)的图象，数形结合求解是本题的关键． 解：函数f(x)={2x,x ≤0log 2x,x >0的图象如图，由方程[f(x)]2−af(x)=0，可得f(x)=0或f(x)=a ， 由图可知，f(x)=0只有一个解x =1，要使方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则f(x)=a有两个均不为1的解，结合图象可知a∈(0,1]．故选：A．12.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和S n=n2，则a4=S4−S3=42−32=7．故选：C．直接利用已知条件求解即可．本题考查数列的函数的特征，基本知识的考查．13.答案：−3解析：本题考查函数的导数的几何意义，属于基础题．求函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．解：曲线y=(ax+1)e x，可得y′=ae x+(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2，可得：a+1=−2，解得a=−3．故答案为−3．14.答案：π2解析：解：函数f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，y=cosx−sinx=√2sin(x+3π4)，所以函数至少向左平移π2个单位，即m的最小值为：π2．故答案为：π2，化简两个函数的表达式为正弦函数的形式，按照平移的方法平移，即可得到m的最小值．本题考查两角和的正弦函数以及三角函数图象的平移，考查计算能力．15.答案：2解析：本题考查平面图形的折叠、棱锥的外接球问题，属中档题．依题意折叠后的四面体如图1，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球，即可求半径．解：依题意折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，外接球半径为R，则AG=a，EG=FG=a2，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球．由4πR2=6π得4R2=6.而4R2=AG2+EG2+FG2=32a2，所以6=32a2，解得a=2．故答案为2．16.答案：x24+y23=1解析：本题考查了椭圆的性质及几何意义和圆锥曲线中的综合问题，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2−|OM|2求出|PQ|，利用△PF2Q的周长为4，可得结论．解：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，则a=2c，b=√3c，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴|PF2|2=(x1−c)2+y12=14(x1−4c)2，∴|PF 2|=2c −12x 1， 连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM|2=|OP|2−|OM|2=x 12+y 12−3c 2=14x 12，∴|PM|=12x 1，∴|PF 2|+|PM|=2c ， 同理可求|QF 2|+|QM|=2c ， ∴|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c ． ∵△PF 2Q 的周长为4， ∴c =1，∴a =2，b =√3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1．17.答案：解：(1)在△ACD 中，∠CAD ∈(0,π)，∵cos∠CAD =2√55，∴sin∠CAD =√55，∵CD =√2AD =3√2，∴CDAD =√2，∴sin∠CADsin∠DCA =√2，∴sin∠DCA =√1010， ∴cos∠DCA =3√1010(∵∠DCA <∠CAD)，∴cos∠ADC =−cos(∠ACD +∠CAD)=−√22，∴∠ADC =3π4．(2)由(1)得，∠ADB =π4，在△ABD 中，∴5=BD 2+9−2×3×BD ×√22，∴BD =2√2或√2．解析：(1)结合正弦定理，平方关系，两角和的余弦公式可得； (2)由余弦定理可得．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ) 由直方图及题意得(10b)2=0.05×0.20.∴b =0.010，(Ⅱ) 成绩不低于80分的人数估计为(Ⅲ) 样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2；成绩在[90,100] 内的人数为40×0.010×10=4，X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)═115；P(X =1)=815；P(X =2)=25；所以X 的分布列为： X 0 1 2 P11581525所以解析：本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量期望以及分布列的求法，考查计算能力． (Ⅰ)由直方图，直接求解b ，a 即可．(Ⅱ)利用频率转化求解成绩不低于80分的人数．(Ⅲ)样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2；成绩在[90,100]内的人数为40×0.010×10=4，X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．19.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1， ∴|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， (2)设直线l 的方程为x =my −1，由{x =my −1y 2=4x ，消y 可得可得y 2−4my +4=0 即y 1+y 2=4m ，y 1y 2=8， 则△=16m 2−16>0，可得m 2>1，由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1， 则|AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2>4， 故|AF|⋅|BF|的取值范围为(4,+∞)．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， (2)由抛物线的定义可知||AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2，再根据韦达定理和判别式即可求出．本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20.答案：(1)证明：因为ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥BD ． 又AC ∩A 1A =A ，AC ⊂平面A 1AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ， 所以BD ⊥平面A 1AC ．因为OF ⊂平面A 1AC ，故BD ⊥OF ； 又∠FOA 1=90°，即OF ⊥OA 1，又BD ∩OA 1=O ，BD ⊂平面A 1BD ，OA 1⊂平面A 1BD ， 故OF ⊥平面A 1BD ；而A 1B ⊂平面A 1BD ，故OF ⊥A 1B ；(2)以O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，过点O作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，设AB =4，AA 1=3， 则A 1(−2√3,0,3)，C(2√3,0,0)，D(0,−2,0)，E (2√3,0,32)， 则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√3,0,−3)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,32)， 设平面A 1CD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3x −3z =0,m⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +2y =0,令x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−3,4)为平面A 1CD 的一个法向量； 记直线EO 与平面A 1CD 所成角为θ，故sin θ=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=4√399133．解析：本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面的夹角，是中档题。
黑龙江省齐齐哈尔市(八中) 2020届高三一模考试数学(理)
黑龙江省齐齐哈尔市(八中) 2020届高三一模考试数学(理)
时间：120分钟
满分：164分
命卷人：*
审核人：guomeng2014
一、选择题（每小题5分,共60分）
1.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 , ,则.
2.已知复数 ,则在复平面内复数 对应的点位于( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设甲单位原来的人数为.因为用分层抽样在甲,乙两个单位抽取的人数之比为,所以根据抽样比相等,可得乙单位原来的人数为.丁单位的人数为,故有,得,甲、乙、丙、丁四个单位的总人数为.
9.在 中,角 、 、 所对边分别为 、 、 ,若 ,则角 的大小为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意,该组数据的极差为;中位数为;平均数为;方差为,观察可知,故选D.
6.若 , ,且 ,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由有,得,故选D.
7.执行如图所示程序框图,则输出的 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】.
8.为了了解民众对新能源汽车的认可程度情况,对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查.假设四个单位的人数有如下关系:乙的人数是甲、丁人数的等比中项,甲、乙人数之和比丙少 人.且丙单位有 人,用分层抽样在甲,乙两个单位抽取的人数之比为 ,则这四个单位的总人数 为( )
【答案】; ,
【解析】如图,连结交于点,设,,,重合于点,正方形的边长为,则,,.设该四棱锥的外接球的球心为,半径为,则,,,解得,外接球的表面积为.该四棱锥的表面积为.
2020年黑龙江省高考数学(理科)模拟试卷(4)(20201108223709)
C．（ 0， 1）
D．?
【解答】 解：∵集合 A＝ { x|（x﹣ 1）（ x+1）＜ 0} ＝（﹣ 1， 1} ， B＝ { y|y＝ 2x， x∈R} ＝ { y|y＞ 0} ＝（ 0，+∞），
∴ A∩ B＝（ 0， 1）．
故选： C．
2．（ 5 分）已知复数 z 满足 ??(1- ??)= |1 + √3??，| 则复数 z 的共轭复数为（
则充分性不成立．
故选： C．
4．（ 5 分）函数
y=
???????? ????20?1?9 |2 ??-2 -??|
在区间
[ ﹣ 3，
0）∪（
0， 3]上的图象为（
）
第 6页（共 19页）
A．
B．
C．
D．
【解答】 解：??(-??) =
??????(-??) ???2?0?1?9 |2 -??-2 ?|?
男
110
女
50
总计
（ 1）根据已知条件完成下面 2×2 列联表， 并据此判断是否有 99% 的把握认为是否为 “文 科方向”与性别有关？
（ 2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取
1 人，共抽取
第 4页（共 19页）
3 次，记被抽取的 3 人中“文科方向”的人数为 ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求
=
-
???????? ????20?1?9 |2 ??-2 -??|
=
-??(??)，故函数为奇函数，
由此排除 AD，
又 ??(3) =
??????3 ???2?0?1?9 |8- 18| =
????2??0??1??9?68?33＞0 ，排除
2020年黑龙江省高考数学(理科)模拟试卷(2)
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）已知集合 A＝ { x∈N |0＜ x＜log216} ，集合 B＝ { x|2x﹣ 2＞ 0} ，则集合 A∩ B 真子集
个数是（
）
A ．2
B．3
2．（ 5 分）若 ??=
3 ??，??≤ 1
a＜ b，（f a）＝（f b），则 a+3b 的取值范围是
．
15．（ 5 分）在矩形 ABCD 中， BC＝ 4， M 为 BC 的中点，将△ ABM 和△ DCM 分别沿 AM ，
DM 翻折，使点 B 与 C 重合于点 P．若∠ APD ＝ 150°，则三棱锥 M ﹣ PAD 的外接球的表
?? ??=
√21 3
．
故选： A．
??
5．（ 5 分）若
θ∈（0， π），且
2cosθ＋√3sinθ＝ 2，则
tan 2
=（
）
A ．- √3
√3 B．
6
√3 C．
2
??
??
【解答】 解：∵ θ∈（ 0，π），∴ ∈（ 0， ），
2
2
√3 D．
9
2????2????-2?????2???
由 2cosθ＋√3sinθ＝ 2，得
如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这
k 个人的血就只需检验一次（这时
1 认为每个人的血化验 次）；否则，若呈阳性，则需对这
?? 验．这样，该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次．
k 个人的血样再分别进行一次化
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为
2020年东北三省四市教研联合体高考(理科)数学一模试卷 含解析
2020年高考（理科）数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}2．已知复数，则z的虚部为（）A．﹣1B．.﹣i C．.1D．.i3．2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为径，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则x+y＝（）A．170B．10C．172D．124．（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．5B．10C．20D．305．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．6．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8＝（）A．56B．72C．88D．407．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件8．已知双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．39．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．10．从集合{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣2，﹣1，2，3，4}中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n]上的最大值为，且数列{a n}的前n项和为S n．若对于任意正整数n不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分.13．若曲线f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）在点（1，f（x））处的切线的斜率为1，则a＝．14．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下面的问题．组别分组频数频率频率/组距1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100]（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数19．已知函数C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P（1，t）（t＞0）作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．（1）证明：直线MN的斜率是﹣1；（2）若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．21．已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22/23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．[选修4-5不等式选将]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}【分析】进行补集和交集的运算即可．解：U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，∴∁U B＝{3，5，7}，∴A∩（∁U B）＝{3，5，7}．故选：B．2．已知复数，则z的虚部为（）A．﹣1B．.﹣i C．.1D．.i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴z的虚部为﹣1．故选：A．3．2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为径，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则x+y＝（）A．170B．10C．172D．12【分析】由茎叶图中的数据，求出甲队得分的中位数和乙队得分的平均数，再计算x+y 的值．解：由茎叶图知，若甲队得分的中位数是86，则x＝6；乙队得分的平均数是×（78+82+80+y+89+91+93+97）＝88，解得y＝6；所以x+y＝6+6＝12．故选：D．4．（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．5B．10C．20D．30【分析】写出二项式（1+x）5的通项，分别求出含x2的项与含x的项，再由多项式乘多项式求解．解：（1+x）5的展开式的通项为T r+1＝x r．取r＝2，得T3＝x2，取r＝1，得T2＝x．∴（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为+2＝20．故选：C．5．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．【分析】设圆锥底面圆的半径r，高h，写出底面周长L，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出π的近似值．解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L＝2πr，＝，∴π＝，即π＝．即π的近似值为．故选：C．6．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8＝（）A．56B．72C．88D．40【分析】设公差为d，且d不为0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32＝a1a9，即有（2+2d）2＝2（2+8d），解得d＝2（0舍去），则S8＝8a1+28d＝16+56＝72，故选：B．7．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件【分析】在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x ≤0，2x＞sin x”；在B中，α与β相交或平行；在C中，P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”．解：在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sin x”，故A错误；在B中，若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，如右图的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∥平面BCC1B1；平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1．故B错误；在C中，∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），∴正态曲线关于x＝1对称，∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，∴P（1＜ξ＜2）＝0.4，∴P（ξ＞2）＝0.5﹣0.4＝0.1，∴P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9，故C错误；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”，∴“x＜0”是“”的充分不必要条件，故D正确．故选：D．8．已知双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．3【分析】依题意可得c＝2，DF2＝＝．求得a，即可得则双曲线的离心率．解：∵双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，∴c＝2，∵圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则圆心（2，0）到渐近线距离DF2＝又DF2＝．∴b＝，a＝则双曲线的离心率为．故选：A．9．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．【分析】设A（cosθ，sinθ），则由任意角的三角函数的定义可得B（，），故2y A+y B＝2sinθ+，再利用两角和与差的三角函数公式及辅助角公式化简即可求得y A+y B的最大值．解：设A（cosθ，sinθ），则B（，），∴2y A+y B＝2sinθ+＝2sinθ+sinθcos+cosθsin＝＝＝，∴2y A+y B的最大值为，故选：C．10．从集合{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣2，﹣1，2，3，4}中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得方程表示双曲线共有N＝3×3+4×2＝17种情况．方程表示焦点在y轴上的双曲线共有N0＝3×3＝9种情况．利用条件概率公式即可求解．解：若方程表示双曲线，则mn＜0，共有N＝3×3+4×2＝17种情况．若方程表示焦点在y轴上的双曲线则m＜0．n＞0，共有N0＝3×3＝9种情况．则概率为p＝．故选：A．11．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]【分析】令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象如下，设g（t））＝t2﹣2at+3a的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需g（t）＝t2﹣2at+3a在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，故或，解得3＜a＜或a＝．即实数a的取值范围是：（3，]．故选：B．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n]上的最大值为，且数列{a n}的前n项和为S n．若对于任意正整数n不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．【分析】由函数的周期变化知，最大值也成周期变化，求出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，得到前n项和为S n的表达式，进而求解结论．解：当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，则f max（x）＝1．又∵设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，∴a1＝1，又∵f（x+2）＝2f（x），则f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为f（x）在[2n﹣4，2n﹣2）上的最大值的2；∴a n＝2a n﹣1，数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列；∴数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1；∴k（S n+1）≥2n﹣9恒成立⇒k≥＝恒成立；记{}为数列{b n}，∵﹣＝；当n≤5时，﹣＞0，即数列{b n}递增；当n＞5时，﹣＜0，即数列{b n}递减；且b5＝＝，b6＝＝＞；∴数列{b n}的最大值为：．故实数k的取值范围为：[，+∞）．故选：C．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分.13．若曲线f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）在点（1，f（x））处的切线的斜率为1，则a＝．【分析】根据斜率即为切点处的导数，先求出x＝1处的导数，令其等于1，即可解方程求出a的值．解：∴f′（1）＝ae﹣1＝1∴．故答案为：．14．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．【分析】先由辅助角公式化简函数f（x）得，再由图象变换法则可得，最后由给定区间结合三角函数的图象及性质求得最小值．解：，函数f（x）向左平移个单位得到函数，∵，∴，∴，即g（x）在区间上的最小值为．故答案为：．15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为8π．【分析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，由此能求出以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积．解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，如图，取CD中点E，连结AE，作OF⊥平面ABC，交AE于F，则F是△ACD的重心，由题意知AE＝＝2，AF＝＝，OF＝＝，设G为四面体的外接球的球心、球半径为R，则G在直线OF上，且OG＝AG＝R，∴由AG2＝AF2+GF2，得：R2＝（）2+（﹣R）2，解得R＝，∴以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为V＝πR3＝8π．故答案为：8π．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．【分析】设△ABF2内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝2，解可得|AF1|与|AF2|的值，计算可得△ABF2的周长与面积，由内切圆的性质计算可得内切圆半径，进一步求得圆心坐标，则答案可求．解：设△ABF2内切圆的半径为r，椭圆的方程为，其中a＝，b＝，c＝，则|F1F2|＝2c＝4，AB与x轴垂直，则有|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝，解得：|AF1|＝，|AF2|＝，△ABF2的周长l＝|AF2|+|BF2|+|AB|＝，其面积S＝×|AB|×|F1F2|＝，由内切圆的性质可知，有r×＝，解得r＝．∴圆心横坐标为﹣2+，即圆心坐标为（，0），则△ABF2的内切圆方程是，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．【分析】（1）由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，设α，β分别为已知角，所以B角用已知角表示，再由题意可得α，β的正弦值，余弦值，由两角差的正弦公式展开可得B的正弦值．（2）由向量的关系，可得线段MC，MB的关系，由（1）及由正弦定理可得AM的值，再由余弦定理可得MC的值．解：（1）由题意可得设∠BAM＝α，∠AMC＝β，由题意可得sinα＝sin45°＝，cosα＝，B＝β﹣α，cosβ＝，所以sinβ＝，所以sin B＝sin（β﹣α）＝sinβcosα﹣cosβsinα＝﹣＝；（2）因为＝，设MC＝x，BM＝2x，在△ABM中，由正弦定理可得＝，所以＝，所以AM＝x，因为AC2＝AM2+MC2﹣2AM•MC•cosβ，所以42＝x2+x2﹣2x，解得MC＝x＝4，所以MC的值为4．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下面的问题．组别分组频数频率频率/组距1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100]（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数【分析】（1）从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，利用古典概型能求出从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率．（2）（ⅰ）根据这20人的分数补全频率分布表，由频率分布表作出频率分布直方图，由此能估计所有员工的平均分数．（ⅱ）从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，则从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率：P（A）＝＝．（2）（ⅰ）根据这20人的分数补全频率分布表：组别分组频数频率频率/组距1[60，70）20.10.012[70，80）60.30.033[80，90）80.40.044[90，100]40.20.02由频率分布表作出频率分布直方图：估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）为：65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2＝82．（ⅱ）从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝（）3＝，∴X的分布列为：X0123P∵X～B（3，），∴数学期望E（X）＝3×＝．19．已知函数C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P（1，t）（t＞0）作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．（1）证明：直线MN的斜率是﹣1；（2）若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．【分析】（1）易求P（1，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知，k MP+k NP ＝0，利用斜率公式代入化简得y1+y2＝﹣4，所以＝＝﹣1；（2）由（1）可设直线l的方程为：y＝﹣x+m，所以，|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，由题意可知|MN|2＝8|MF||NF|，即，将直线l与抛物线C联立，利用韦达定理代入上式得：m2﹣2m+1＝0，故m＝1，从而得到直线l的方程．解：（1）∵点P在抛物线C：y2＝4x上，∴t＝2，∴P（1，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知，k MP+k NP＝0，∴，∴，∴，∴y1+y2＝﹣4，∴＝＝﹣1；（2）由（1）可设直线l的方程为：y＝﹣x+m，∴，|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，∵8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，∴|MN|2＝8|MF||NF|，∴，即①，将直线l与抛物线C联立，可得：x2﹣（2m+4）x+m2＝0，∴△＝（2m+4）2﹣4m2＝16m+16＞0，∴m＞﹣1，且x1+x2＝2m+4，，代入①式得：（2m+4）2﹣8m2﹣4（2m+4）﹣4＝0，化简得：m2﹣2m+1＝0，∴m＝1，满足m＞﹣1，∴直线l的方程为：y＝﹣x+1．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．【分析】（1）△OBM中，由余弦定理可得：OM．再利用勾股定理对逆定理可得：OM ⊥OB．由题意可知：OA⊥平面OBC，进而得出结论；（2）由（1）可得：OM⊥平面AOB．OD是斜线MD在平面OAB的射影．∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，OD⊥AB，垂足为D．可得点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．分别求出平面OCD的法向量为，平面CDB的法向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：△OBM中，由余弦定理可得：OM2＝22+﹣2×2××cos30°＝，解得OM＝．∴OM2+OB2＝MB2．∴OM⊥OB．由题意可知：OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC，∴OA⊥OM．又OB∩OA＝O，∴OM⊥平面AOB．（2）解：由（1）可得：OM⊥平面AOB．∴OD是斜线MD在平面OAB的射影．∴∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，OD⊥AB，垂足为D．∴点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，1，1），C（，﹣1，0），＝（，﹣1，0），＝（0，1，1），设平面OCD的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，∴x﹣y＝0，y+z＝0，取＝（1，，﹣），同理可得平面CDB的法向量＝（，1，1）．∴cos＜，＞＝＝．∴二面角B﹣CD﹣O的正弦值为．21．已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入后，先求出函数h（x）的解析式，然后对其求导，结合导数与单调性及极值的关系可证；（2）结合函数单调性与导数的关系及函数的性质，零点判定定理进行求解即可．解：（1）a＝1时，h（x）＝lnx﹣sin x，x＞0，，令g（x）＝，则，当x时，g′（x）单调递增，且g′（1）＜0，＞0，故g′（x）在（0，）上有唯一的零点，设为a，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）在（0，）上有唯一的极小值点即h′（x）在（0，）上有唯一的极小值点，（2）设k（x）＝x﹣sin x，x≥0，k′（x）＝1﹣cos x≥0，所以k（x）在（0，+∞）上单调递增，k（x）≥k（0）＝0，即x≥sin x，从而sin2x≤2x，因为在上单调递减，所以m（x）＝2ax﹣sin2x﹣≤0在上恒成立，令p（x）＝m′（x）＝2a﹣2cos2x﹣4x2，则p′（x）＝4sin2x﹣8x＝4sin2x﹣4×（2x）≤0，所以m′（x）在上单调递减，m′（x）max＝2a﹣2，当a≤1时，m′（x）≤0，m（x）在上单调递减，m（x）≤m（0）＝0，符合题意；当a＞1时，m′（x）在上单调递减，且m′（0）＝2a﹣2＞0，所以一定存在，当0≤x＜x0时，m′（x）＞0即m（x）在[0，x0）上单调递增，m（x0）＞m（0）＝0与题意不符合，舍去．故a的范围（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分，请考生在22/23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．【分析】（Ⅰ）推导出x2+y2＝1（x≠﹣1），，从而＝1，（m≠﹣2），由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，由此能求出．解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，∴x2+y2＝（）2+（）2＝1，∵∈（﹣1，1]，∴x≠﹣1，∴x2+y2＝1（x≠﹣1），∵点Q（m，n）满足．∴，∴＝1，（m≠﹣2），∴动点Q的轨迹C的极坐标方程为：3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝12．（﹣π＜θ＜π）．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，∴＝+＝+＝．[选修4-5不等式选将]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，可得函数的最大值，再分类讨论即可求出m 的取值范围，可得t的值；（2）要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，根据基本不等式即可证明．解：（1）f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|＝，∴当m≥3时，f（x）的最大值为4，关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解等价于f（x）max＝4≥|m﹣2|+m，当m≥2时，上述不等式转化为4≥m﹣2+m，解得2≤m≤3，当m＜2时，上述不等式转化为4≥﹣m+2+m，解得m＜2，综上所述m的取值范围为m≤3，故实数m的最大值t＝3；证明：（2）根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝3，要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，∵+++（a+b+c）＝（+a）+（+b）+（+c）≥2+2+2＝2（a+b+c），∴++≥3，那么a3b+b3c+c3a≥3abc．。
2020年黑龙江省高考数学(理科)模拟试卷(4)
积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为
展开图是半圆，则圆锥的母线长为（
）
3π，圆锥的侧面
√3 A．
3
B．1
C． √3
D． 2√3
【解答】 解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体积为
3π，
∴圆锥的体积为 3π，
∵圆锥的侧面展开图是半圆，
设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是 R， 即圆锥的母线长是 R，半圆的弧长是 πR，
?2?020 +3??，则 1+??
z 的虚部是（
）
A ．i
B ．2i
C．﹣ 1
【解答】
解： ??=
?2?012+0 ?+?3??=
11++3????=
(1+3??)(1-??) (1+??)(1-??)
=
2+
?，?
∴ z 的虚部是 1．
D．1
故选： D ．
3．（ 5 分）若 x5＝ a0+a1（x﹣ 2） +a2（x﹣ 2） 2+…+a5（ x﹣ 2） 5，则 a0＝（
速 v（单位： m/s）可以表示为
??=
1 2
?? ???3??1?00
，其中
Q 表示鱼的耗氧量的单位数．当一条
3
鲑鱼的游速为 m/s 时，则它的耗氧量的单位数为（
）
2
A ．900
B ．1600
C． 2700
D． 8100
6．（5 分）已知 { an} 是等差数列， 若 a1+1，a3+3，a5+5 成等比数列， 且公比为 q，则 q＝（ ）