第五章 异方差性67页
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第五章 异方差性
Qt
ALt
K
t
eut
• U为随机误差项，它包含了资本K和劳动力L
以外的因素对产出Q的影响，比如能源、环境、
政策等。由于不同的地区这些因素不同造ui 成了 对产出的影响出现差异，使得模型中的 具有
异方差，并且这种异方差的表现是随资本和劳 动力的增加而有规律变化的。
(二）样本数据的观测误差
• 一方面，样本数据的观测误差常随着时间的 推移而逐步积累，引起随机误差项的方差增 加。另一方面，随着时间的推移，样本观测 技术会随之提高，也可能使得样本的观测误 差减少，引起随机误差项的方差减小。因此， 随着时间的推移，样本数据的观测误差会发 生变化，从而引起随机误差项的变化。
Yt 1 2 X 2i 3 X 3i ui (1)
Y 1 2 X 2 3 X 3
(2)
Yt 1' 2 X 2i ui'
(3)
Y 1' 2 X 2
(4)
由(2)、(4)得:1' 1 3 X3 (5)
由(1)、(3)、(5)得:
Var(ui )
2 i
f
(X
ji )
i 1, 2, , n
则称随机误差项存在异方差.
( 即回归模型中随机误差项的方差不是常数 )
例2：使用截面数据研究储蓄函数
假设 储蓄函数模型Y i 0 1X i ui
式中：Y i第i个家庭的储蓄额，X i第i个家庭的可支配收入，ui 代表除可支配收入以外影响储蓄额的其它因素，如利率、家庭 人口、文化背景等等。这里，同方差假设显然与事实不符。
ui' 1 3 X 3i ui 1'
5异方差性
钱还很多，这些余钱可用于购买奢侈消费品，也可用于储蓄或投资，其消费支出的方差 将会很大。显然，这里存在异方差现象。
又例如，使用截面资料建立储蓄模型（可能存在异方差）
Yi 1 2 X i ui
Yi : 第i个家庭的储蓄额; X i : 第i个家庭的可支配收入 ui : 除可支配收入之外的其它因素(如 : 利息、家庭人口、文化背景等)
销售收入 利润总额
商店名称
X
Y
回归值
残差
1、百货大楼 2、城乡贸易中心
… 19．新街口百货商场 20．星座商厦
160.0
12.8
10.2
2.634705
151.8
8.9
9.6
-0.717881
…
…
…
…
22.2
1.0
1.0
0.033928
20.7
0.5
0.9
-0.365935
资料来源：《北京统计年鉴》1997年卷 利润总额对销售收入的线性回归, Kt增大），观测误差降低， 引起ui偏离均值的程度不同，会产生异方差。
又例如，边学边改学习模型（人们在学习过程中，其行为误差随时间而减少）。
在给定的一段时间内，打字出错个数与用于打字练习的小时数的关系。随着打字练 习时间的增加，平均打错个数及打错个数的方差都有所下降。
E(2
xi u i xi2
2)2
E(
xi u i xi2
)2
xi2
u
2 i
E(
2
i j
xi x juiu j
)
E（
xi2
u
2 i
）
(xi2 ) 2
(xi2 ) 2
xi2
第5章 异方差性
估计量不具有最佳性。 但OLS估计量不具有最佳性。 估计量不具有最佳性
5.2.3对模型参数估计值显著性检验的影响 对模型参数估计值显著性检验的影响
e′e 并非随机误差项 并非随机误差项 在异方差情况下， ˆ 在异方差情况下， σ = n − k −1 方差的无偏估计量。 方差的无偏估计量。
2
ˆ 导致在此基础上估计的 s ( b j ) 也出现偏误。
e t 来近似代表随机误差项
5.3.1图示检验法 图示检验法
的估计值） （1）用X（或Y的估计值）与残差平方的散点图进 ） （ 的估计值 行初步判断
~ ei 2 ~ ei 2
X 同方差 递增异方差
X
~ ei 2
~ ei 2
X 递减异方差 复杂型异方差
X
（2）用X-Y的散点图进行判断 ） 的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大 缩小 复杂型趋势 散点扩大、缩小 散点扩大 缩小或复杂型趋势 （即不在一个固定的带型域中）
. 0 . 0 . ... σ nn ...
5.1.2产生异方差的原因 产生异方差的原因
1、解释变量的遗漏。 2、来自不同抽样单元的因变量观察值的差异。 3、异常观测值的出现。 4、时间序列数据中，观测技术的改进引起的观测值的变化。
注意： （1）时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差，其 中截面样本中更为常见。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时 间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut
1、用普通最小二乘法估计模型，求出残差平方序 2 列：e t
2、以残差平方作为因变量，以原方程中所有解释变 解释变 解释变量的平方项和交叉积项 量以及解释变量的平方项 交叉积项 解释变量的平方项 交叉积项做辅助回归：
计量经济学第五章 异方差
第五章
异方差性
引子：更为接近真实的结论是什么？
根据四川省2000年21个地州市医疗机构数与人口数资料，分 析医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗机构数与人口数的 回归模型。模型估计的结果如下：
Yˆi 563.0548 5.3735Xi （291.5778） (0.644284)
t =(-1.931062) (8.340265)
二、加权最小二乘法
以一元线性回归模型为例：
Yi 1 2 Xi ui
(5.18)
经检验 u存i 在异方差，
var(ui )
2 i
2
f
(Xi)
（一）基本思路
区别对待不同的 。对2i 较小的 给予e较i2 大的权
数，对较大的 e给i2 予较小的权数，从而使 更e好i2 地
反映 对i2 残差平方和的影响程度。
Yi 1 2 Xi ui
其中: Y表i 示卫生医疗机构数，表示 人X口i 数。
四川省2000年各地区医疗机构数与人口数
地区
成都 自贡 攀枝
花 泸州 德阳 绵阳 广元 遂宁 内江 乐山 南充
人口数 （万人）X
10133 315 103
463.7 379.3 518.4 302.6 371 419.9 345.9 709.2
2、求使满足 min
wiei2 的
* i
根据最小二乘原理，若使得加权残差平方和最小，则：
ˆ1* Y * ˆ2* X *
ˆ2*
wi ( Xi X * )(Yi Y * ) wi ( X i X * )2
其中： X * wi Xi ,Y * wiYi
异方差性
引子：更为接近真实的结论是什么？
根据四川省2000年21个地州市医疗机构数与人口数资料，分 析医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗机构数与人口数的 回归模型。模型估计的结果如下：
Yˆi 563.0548 5.3735Xi （291.5778） (0.644284)
t =(-1.931062) (8.340265)
二、加权最小二乘法
以一元线性回归模型为例：
Yi 1 2 Xi ui
(5.18)
经检验 u存i 在异方差，
var(ui )
2 i
2
f
(Xi)
（一）基本思路
区别对待不同的 。对2i 较小的 给予e较i2 大的权
数，对较大的 e给i2 予较小的权数，从而使 更e好i2 地
反映 对i2 残差平方和的影响程度。
Yi 1 2 Xi ui
其中: Y表i 示卫生医疗机构数，表示 人X口i 数。
四川省2000年各地区医疗机构数与人口数
地区
成都 自贡 攀枝
花 泸州 德阳 绵阳 广元 遂宁 内江 乐山 南充
人口数 （万人）X
10133 315 103
463.7 379.3 518.4 302.6 371 419.9 345.9 709.2
2、求使满足 min
wiei2 的
* i
根据最小二乘原理，若使得加权残差平方和最小，则：
ˆ1* Y * ˆ2* X *
ˆ2*
wi ( Xi X * )(Yi Y * ) wi ( X i X * )2
其中： X * wi Xi ,Y * wiYi
计量经济学五异差性
计量经济学五异差性————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第五章 异方差性用OLS 法得到的估计模型通过统计检验后，还要检验摸型是否满足假定条件。
由第二章知，只有模型的5个假定条件都满足时，用OLS 法得到的估计量才具有最佳线性无偏特性。
当一个或多个假定条件不成立时，OLS 估计量将丧失上述特性。
本节讨论当假定条件不成立时，对参数估计带来的影响以及相应的补救措施。
以下讨论都是在某一个假定条件被违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。
分为5个步骤。
（1） 回顾假定条件。
（2） 假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。
（3） 定性分析假定条件是否成立。
（4） 假定条件是否成立的检验（定量判断）。
（5） 假定条件不成立时的补救措施。
5.1 异方差性的含义与产生的原因 5.1.1 同方差假定-224681012050100150200XY图5.1 同方差情形 图5.2 同方差情形模型的假定条件⑴ 给出Var(u ) 是一个对角矩阵，Var(u ) = E(u u ' ) = σ 2I = σ 210101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O (5.1) 且u 的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定），当这个假定不成立时，Var(u ) 不再是一个纯量对角矩阵。
Var(u ) = σ 2 Ω = σ 211220..00...0 00...TT σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦≠σ 2 I (5.2)当误差向量u 的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u 中的元素u t 取自不同的分布总体。
非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。
比如 Ω 中的 σi j 与σ 2的乘积 ,（i ≠ j ）表示与第i 组和第j 组观测值相对应的u i 与 u j 的协方差。
异方差性及后果
V (ui ) E(ui2) ui 2 常数
(5.1.2)
异方差性的数学表达式，可写成自变量 xi 的函数，
即
2 ui
f (xi )
(5.1.3)
§5.2 异方差性的后果 一、线性和无偏性
ˆ ki ui
ki
xi xi2
ˆ 是ui的线性函数显然成立
(5.2.1)
由(2.3.7)知α的OLS估计量为
对于多元线性回归模型
y 0 1 x1 k xk u
若异方差的结构不知道，可以证明有下列估计式
n
Vˆ (ˆ
j)
rˆi2j uˆi2
i1
ESS2j
(5.2.9)
其中 ESS j rˆi2j
式中 rˆij 为xj将对所有其它自变量作回归所得到的第i个
残差；ESSj则为这个回归的残差平方和。 (5.2.9)的算 术根称为 ˆ j 的异方差—稳健标准差(heteroskedasticity -robust standard error )。（参看武德263页）
(5.2.8)的结果是线性模型(5.2.5)具有异方差情况下，
参数β估计值的方差。用
ˆ
2 u
代替
u2便有估计值
Vˆ
(ˆ
)
ˆ
2 u
xi2
xi2
( xi2 )2
可以证明：u具有异方差时，参数的方差失去了最 佳性。（参看课本108页）
如果存在异方差性而仍然采用OLS估计参数β， 由于参数的估计值的方差并非最小，在对β进行显 著性检验时将低估t值可能导致错误的统计判断， 在对参数β进行区间估计时就会不必要地扩大置信 区间。 甚至统计量T失去t
ˆ
(1 n
x
第五章异方差性
∑
2
ˆ σ 2 = ∑ ei2 n − k 是有偏的，在此基础上的区间估 是有偏的，
计和假设检验都将不可靠。 计和假设检验都将不可靠。
第三节 异方差性的检验
一. 图形分析法
基本思想： 基本思想： 异方差性的表现是 u i 的方差随某个解释变量的变 化而变化， 的分散程度随X的变化而变化 化而变化 ， 或 Y的分散程度随 的变化而变化 。 因此可 的分散程度随 的变化而变化。 与某解释变量的散布图， 利用 u i 的代表 ei 与某解释变量的散布图，观察是否存 在异方差及其异方差的形式。 在异方差及其异方差的形式。 具体方法： 具体方法： ●假定不存在异方差，进行回归，并计算剩余平方 e 2,描绘 假定不存在异方差，进行回归， 假定不存在异方差
⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
Yi
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅
C个
Xi
●将前后两部分分别作回归，分别计算出各部 将前后两部分分别作回归， 分剩余 ei ， 2 ● 比较前后两个回归的剩余平方和 ∑ ei ： ei2 之比接近于 ，为同方差； 如果两个 ∑ 之比接近于1，为同方差； ei2 之比不同于 ，为异方差 如果两个 ∑ 之比不同于1， 前提条件： 前提条件： ●样本容量较大 服从正态分布， ● ui 服从正态分布，并除异方差外满足其他 基本假定
具体步骤： 具体步骤：
●排序 将观测值按解释变量 大小顺序排列 排序:将观测值按解释变量 排序 将观测值按解释变量X大小顺序排列 数据分组:去掉中间的 去掉中间的C个 ●数据分组 去掉中间的 个（约1/4）观测值，分别 ）观测值， 进行前后两部分 (n − c) 2 个观测值的回归 ●提出假设:分别进行前后两部分回归的基础上，提出 提出假设 分别进行前后两部分回归的基础上， 分别进行前后两部分回归的基础上 检验假设： 检验假设： o : ui H 即
5 异方差
异方差性的后果
(heteroskedasticity :Consequences)
计量经济学模型一旦出现异方差性(heteroskedasticity )，如 果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量仍然具有无偏性(unbiased) ) 2、参数估计量非有效(does not have minimum variance) 由于非有效， 3、由于非有效，因而变量的显著性检验失去意义 (t statistics are unreliable) )
1
ˆ 如果出现了异方差，se(β1) 出现偏误(偏大或偏小)， t检验失真。
三、异方差诊断
(heteroskedasticity detection)
? 用什么来表示随机误差项的方差 用什么来表示随机误差项的方差? (how to indicate the variance of stochasic?) • 在同方差假定下(homoskedasticity assumption)，随机误差项的方差用 σ 2 表示。 • 事实上，关于模型是否满足同方差假定，我们 在估计模型时并不知道，是需要通过异方差性 诊断(detecting heteroskedasticity)才能知道的。 • 要诊断模型是否存在异方差，首先需要找到一 个用以表示随机误差项方差的“量”。
第五章 异方差性 （Heteroskedasticity）
本章内容
• 异方差性的含义及异方差产生的原因(Nature and causes) • 异方差性对模型的影响(Practical consequences) • 检验异方差性方法(Detection) • 处理和消除异方差的办法(Remedies)
OLS估计结果
Dependent Variable: TX Method: Least Squares Date: 05/27/09 Time: 00:37 Sample: 1 30 Included observations: 30 Variable C SR R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 38.75161 0.041419 0.544467 0.528198 67.01587 125751.5 -167.6811 2.009705 Std. Error 39.64001 0.007160 t-Statistic 0.977588 5.785021 Prob. 0.3366 0.0000 256.8727 97.56583 11.31208 11.40549 33.46646 0.000003
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2020/6/22
6
二、产生异方差性的原因
1、模型中缺少了某些解释变量
1）由于一些客观原因，使得某些重要的解释变量无法包括在模型中； 2）由于一些主观原因，在变量的选择上遗漏了某些重要的解释变量（设定 偏误）。
例如，用截面上不同收入组的收入X和消费支出Y样本数据建模：
Y i 12Xi ui
由于各户的收入X不同，消费观念和习惯有差异，通常情况下，模型会 存在异方差性：
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13
纺锤型（cloudy graph） Y
e
2 i
X
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X
14
反纺锤型（哑铃型）
2020/6/22
15
漏斗型
2020/6/22
16
反漏斗型
2020/6/22
17
其它有规律可寻的图形
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18
通过Eviews作x- e2 散点图
1、键入 LS y c x 作回归（点击 resid ） 2、键入 genr e1=resid 调用残差 3、键入 genr e2=e1^2 生成残差平方 4、键入 Scat e2 X（或键入Scat e1 X）
2020/6/22
4
表明：不同规模的商店，其利润总额的方差是不相同的， 从而模型中随机误差的方差不是常数，这里存在着异方差现象。
4
2
RESID
0
-2
-4 0
2020/6/22
50
100
150
200
X
5
一、异方差性的定义
设线性回 Y i归 12X 模 2i 型 kXk为 i ui ： i1,2,,n
3
利润总额对销售收入的线性回归方程为：
Yˆ 0.515950.06676X （0.622） 4 （0.008） 5 R2 0.7759
将销售收入X作为横坐标, Y（或残差e）作为纵坐标，作散点图:
从残差图看出: 销售收入小的商店，其残差一般也较小； 销售收入大的商店，其残差一般也较大；残差有随着商店 规模增大而增大的倾向。
商店名称
1、百货大楼 2、城乡贸易中心
…
19．新街口百货商场 20．星座商厦
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销售收入
X 160.0 151.8
…
22.2 20.7
利润总额
Y 12.8 8.9 …
1.0 0.5
回归值
10.2 9.6 …
1.0 0.9
残差
2.634705 -0.717881
…
0.033928 -0.365935
2、参数估计量的方差非最小
记存在异方差 2的 情 O况 L估 S下 计ˆ为 2* 不存在异方差 2的 情 O况 L估 S下 计ˆ为 2 则有 : Va（ rˆ2*)Va（ rˆ2)
2020/6/22
10
二、解释变量显著性检验失效
存在异方差时，如果继续用经典假定下的方差公式求估计量的 方差，则低估了真实方差。
t
ˆ 2 Sˆe ( ˆ 2 )
从而导致了方差不正常的偏小，而t统计量不正常的偏大， 假设检验失效。
三、预测精度降低
由于异方差的存在，使得参数估计值的方差低估了其真实方差，
造成参数的区间估计失真，进一步影响Y的预测区间，使其预测精
度降低。
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11
第三节 异方差性的检验
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xi yi
x
2 i
xi ( 2 xi
x
2 i
ui )
2
x
2 i
xiui
x
2 i
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2
xiui
x
2 i
Yi Y(12Xi ui)Y
(12Xi ui)(12X)
2(Xi X)ui 即 yi 2xi ui
9
1、该估计量为无偏估计
E(ˆ2)2
E(ˆ2)
E(2
xiui xi2
)
2
E（ xxi2iui）2
第五章 异方差性
违反古典假定回归模型的研究方式
☻问题的概念 ☻问题的后果 ☻对问题的检验 ☻对问题的修正
本章讨论
☻异方差性的含义与产生背景 ☻异方差性对模型的影响 ☻异方差性的检验 ☻异方差性的补救措施
第一节异方差性的含义与产生背景
一个实例
例1：2019年北京市规模最大的20家百货零售商店 的商品销售收入X和利润总额Y资料如下表所示:
注：除上述原因外，模型的函数形式不正确、异常值的出现等都可能产生异方差性。
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8
第二节 异方差性对模型的影响
一、参数估计量不再具有最小方差特性
考虑一个简单的线性回归模型：
Yi 12Xiui
利用普通最小二乘法，可得回归系数的最小二乘估计
ˆ2 xxiiy2i 2 xxiu i2i
复习：
ˆ 2
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7
2、样本数据的观测误差
样本数据的观测误差常随时间的推移逐步积累； 或随着数据 采集技术的改进，随机干扰项的方差减小。
例如，以时间序列数据为样本建立生产函数模型
Q t f(L t,K t) u t A tK L te u t
(Q：产出； L:劳动力； K：资本)
由于不同时间 术的 、观 评测 价技 标准 时不 间同 的； 推随 移， 的投资环境、 、管 生理 产水 规L 平 t模 ,Kt增 （大 如），观测 ，误 引起 ui偏离均值的程 会度 产不 生同 异， 方差。
经典线性回归模型的一个重要假定是：总体回归函数中的随 机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差
V(a u i)r 2 i 1 ,2 , ,n
随机误i的 差方 项差随某个 Xj的 i 解变 释化 变而 ,即 量变化
V( u ia ) r i22 f(X ) i 1 ,2 , ,n
则称随机误差项存在异方差(方差非齐性).
12
一、图形分析法(补充）
图形分析法是利用残差序列绘制出各种图形，以供分析 检验使用，包括：
** 1、解释变量为X 轴，残差的平方e2（或因变量Y）为Y轴的散点图。 （另有：2、时间为X 轴，残差e 为Y 轴的残差序列图；
3、因变量估计值y 为X 轴, 残差e 为Y 的Y-e 散点图）
异方差的类型 分大 为致 递可 增以 异方 异差 方、 差递 、减 复杂 三种。 Y用 X作散点分布图 渐的 变区 宽域 、逐 变窄 变、 化不 ，规 存在异方差 ei2 ； X作 （散 用点分e布 2并图 不上 近似于某 则一 认常 存在异方差）。
对于低收入家庭来说，除去购买生活必需品后的余钱不多，其消费支出 的方差将不会很大；而对于高收入家庭来说，家庭购买行为差异性就很大。 除去购买生活必需品以后的余钱还很多，这些余钱可用于购买奢侈消费品， 也可用于储蓄或投资，其消费支出的方差将会很大。存在异方差现象。
注：有重要的解释变量没有（或无法）引入模型，可能产生异方差性。