《导数及其应用》基础的知识点

《导数及其应用》知识点总结

、导数的概念和几何意义 1.

函数的平均变化率：函数 f(x)在区间［x 1,

x 2］上的平均变化率为：

f(X2) —f(X1

)。

X 2 -X 1

2. 导数的定义：设函数 y =f(x)在区间(a,b)上有定义，(a, b)，若Cx 无限趋近于 o 时，比值 弓」

(Xo

f(Xo)

无限趋近于一个常数 A ，则称函数f(x)在x = x o 处可导, 并称该

常数A 为函数f(x)在X=X o 处的导数，记作f (X o )。函数f(x)在X=X o 处的导数的实 质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量.Vy =f(X o ? .Vx) - f (X o ) ；( 2)求平均变 化率：

f(Xo

：x) 一心)；(3)取极限，当,x 无限趋近与0时，

f(Xo

冈-

f(Xo)

无限趋

近与一个常数A ，则f 仏)=A.

4.导数的几何意义:

函数f(x)在x=X o 处的导数就是曲线 y =f(x)在点(X o ,f(X o ))处的切线的斜率。由此, 可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步:

(1) 求出y = f(x)在x o 处的导数，即为曲线 y = f(x)在点(x o , f(x o ))处的切线的斜率; (2 )在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为

当点P(x o ,y °)不在y =f(x)上时，求经过点 P 的y = f(x)的切线方程，可设切点坐标, 再将P 点的坐标代入确定切点。 特别地，如果曲线y = f(x)在点

S 是时间t 的函数S(t)，则V =S(t)表示瞬时速度，a=v(t)表 示瞬时加速度。

二、导数的运算

1.常见函数的导数:

(1) (kx b) = k (k, b 为常数)；

(2) C "』0(C 为常数)； (3) (x) =1 ； (4) (x 2

) =2x ； (5) (X ) =3x ；

(6) "一丄 (丿 __ 2 ；

x X

y —y ° =f (x °)(x —x o )。

由切点坐标得到切线方程,

(X o , f (X o ))处的切线平行与 y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为

X — X o 。

5.导数的物理意义： 质点做直线运动的位移

(8) (x “)： = ox"」(a 为常数)； (10) (log a X)Wlog a e=：x1a(a 0,a=1); (12) (lnx)：W ; (14) (cosx) = _sin x 。

2. 函数的和、差、积、商的导数：

(1) [f(x) _g(x)] =f (x)_g(x); (2) [Cf (x)K^Cf (x) (C 为常数)；

(3) [ f(x)g(x)f^f (x)g(x) f (x)g (x); (4) 単]」(x)

g(

x)2 f(x^ (g(x)=0)。

g (x)

g (x)

3. 简单复合函数的导数:

若 y = f (u), u 二ax b ，贝V y^y u U x ，即 y x =y u a 。 三、导数的应用

1. 求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 y 二f(x)在区间(a,b)内可导， (1) 如果恒f (x) ? 0 ,则函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数； (2) 如果恒f (x) ::: 0，则函数y 二f(x)在区间(a,b)上为减函数； (3) 如果恒f (x)=0，则函数y 二f(x)在区间(a,b)上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数 y = f (x)的定义域；②求导数 「(x)； ③解不等式f(x) .0，解集在定义域内的不间断区间为增区间； ④解不等式f(x)：：：0，解集

在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围) ：

设函数y = f (x)在区间(a,b)内可导，

(1) 如果函数y =f(x)在区间(a,b)上为增函数，则f(x)_0(其中使f (x^0的x 值不构 成区间)； (2) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为减函数，则f (x)乞0(其中使f(x)=0的x 值不构 成区间)；

(3) 如果函数y = f(x)在区间(a,b)上为常数函数，则f (x) =0恒成立。 2. 求函数的极值：

设函数y =f(x)在X 。及其附近有定义，如果对 X 。附近的所有的点都有

f(x) f(x 0)(或

f (x) ￡ f(X 0)),则称f(X 0)是函数f (x)的极小值(或极大值) 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是:

(7) (. x)y_1

_ ;

2仮

(9) (a x

)二a x

lna(a .0,a =1)； (11) (e x

)〉e x

；

(13) (sin x) =cosx ;

(1 )确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f (x) ; (3)求方程f(x)=o的全部实根,

X i ：：：X2 ：:：⑴:::X n，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：X变化时，f(X)和f (x)值的变化情况：

(4)检查f(X)的符号并由表格判断极值。

3.求函数的最大值与最小值：

如果函数f(X)在定义域I内存在X o，使得对任意的X?I，总有f(x)乞f(X o)，则称f(X o)

为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯

一的。

求函数f (x)在区间［a,b］上的最大值和最小值的步骤：

(1 )求f (x)在区间(a,b)上的极值；

(2)将第一步中求得的极值与f(a), f(b)比较，得到f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值。

4.解决不等式的有关问题：

(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

f (x)(x A)的值域是［a,b］时,

不等式f(x) <0恒成立的充要条件是 f (X)max ::: 0，即b 0 ；

不等式f(x) 0恒成立的充要条件是 f (x)min，0，即a 0。

f(x)(x A)的值域是(a,b)时，

不等式f (x) :：: 0恒成立的充要条件是b _ 0 ；

不等式f(x) 0恒成立的充要条件是a _ 0。

(2 )证明不等式f(X)：：：0可转化为证明f(X)max ：：：0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明 f(X)::： f(X0)_0 。

5.导数在实际生活中的应用：

实际生活求解最大(小)值问题，通常都可转化为函数的最值?在利用导数来求函数最

值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。

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型）

Along with the adva nee of the society more and more problems are

brought to our atte nti on, one of which is that....

随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是

As to whether it is a blessing or a curse, however, people take differe nt attitudes.

然而，对于此类问题，人们持不同的看法。（Hold different attitudes 持

不同的看；Come up with different attitudes 有不同的看法）

As society develops, people are attach ing much importa nee to....

随着社会的发展，人们开始关注..........

People are attach ing more and more importa nee to the in terview during job hunting

求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。

As to whether it is worthwhile ..…,there is a long-running con troversial debate. It is quite n atural that people from differe nt backgro unds may have diverge nt attitudes towards it.

关于是否值得 ____________ ■勺问题，一直以来争论不休。当然，

不同的人对此可能持不同的观点。

In the process of modern urban development, we often find ourselves in a dilemma.

在都市的发展中，我们往往会陷入困境。

Rece ntly the phe nomenon has aroused wide concern, some people are in alarm

that....

最近，这种现象引起了人们的广泛关注，有人开始担心

The human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems are brought to our atte nti on.

人类进入了一个历史的崭新的阶段，经济全球化、都市化的速度

不断加快，随之给我们带来了很多问题。

... p lays such an importa nt role that it undeni ably becomes the biggest concern of the present world, there comes a question, is it a bless ing or a curse?"

_______ 得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题，这是无可厚非的。不过，问题是："我们该如何抉择?"

Now we are entering a new era, full of opportunities and challenges,

现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。

People from differe nt backgro unds would put differe nt in terpretati ons on the same case.

不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。

The con troversial issue is ofte n brought into public focus. People from differe nt backgro unds hold differe nt attitudes towards the issue.

这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。不同的人对此问题

的看法也不尽相同

Whe n asked …，some people think..…while some prefer...

说到 ______ ,有人认为__________ ,而另一些人则认为___________ 。

Just as the say ing goes: "so many people, so many min ds". It is quite un dersta ndable that views on this issue vary from pers on to pers on.

俗话说，叫不同的人对此有不同的看法是可以理解的。

To this issue, different people come up with various attitudes.

对于这个问题，不同的人持不同的观点。

There is a good side and a bad side to everythi ng, it goes without say ing that...

万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑，_________________ 。

When it comes to ..., most people believe that ..., but other people

regard ...as ....

提到 _________ 问题，很多人认为___________ 不过，一些人则认

为______ 是____ .

When faced with...., quite a few people claim that ...., but other people thi nk as...

提到 _________ 问题，仅少数人认为_________ ，但另一些人则认

为__________ 。

There is a public con troversy no wadays over the issue of .... There who criticize ...argue that ...., they believe that ...,but people who favor .., on