解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++===

4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②化边为角：sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c C R

=；

③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===

A +

B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)

7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2

2

2

2cos a b c bc =+-A 等，变形： 222

cos 2b c a bc

+-A =等，

8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9、三角形面积公式：

111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2

)

(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---

10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

①若2

2

2

a b c +=，则90C =；②若2

2

2

a b c +>，则90C <；③若2

2

2

a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系

（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：α

α

ααααsin cos cot ,cos sin tan ==

三角函数诱导公式：“ （2

πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指

（2

k

πα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;

当k 为偶数时，函数名不变。然后符号与 ‘将α看成锐角时原三角函数值的正负号’一致。

三角函数的图像与性质：

有关函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=T ，频率是π

ω

2=

f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；

其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+=+π

πϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都

是该图象的对称中心。

函数y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象与函数y ＝sin x 的图象的关系:

由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的

ω

1

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。（先相位变换，再周期变换） 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移

ω

ϕ|

|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。（先周期变换，再相位变换）

对称轴与对称中心：

sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；

cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k π

π+；

y=tan x 图像的对称中心是（

2

k ，0），无对称轴。

★诱导公式★(以下k ∈Z)

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin （2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan （2kπ＋α）＝tanα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin （π/2＋α）＝cosα cos （π/2＋α）＝－sinα tan （π/2＋α）＝－cotα cot （π/2＋α）＝－tanα sin （π/2－α）＝cosα cos （π/2－α）＝sinα tan （π/2－α）＝cotα cot （π/2－α）＝tanα sin （3π/2＋α）＝－cosα cos （3π/2＋α）＝sinα tan （3π/2＋α）＝－cotα cot （3π/2＋α）＝－ta nα

sin （3π/2－α）＝－cosα cos （3π/2－α）＝－sinα tan （3π/2－α）＝cot α

cot （3π/2－α）＝tanα

同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式 商的关系：sinα/cosα＝tanα 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1

两角和差公式 两角和与差的三角函数公式

sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin （α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos （α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan （α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ) tan （α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)

二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

si n2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]