第2节n阶方阵的行列式
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线性代数第一章第二节
四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ，a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2
(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
线性代数第二章方阵的行列式
习题2.2(B) 第1(1)(3)题
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整 数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整 数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵
工程数学 1-2 n阶行列式的定义
a11a23a32
a11 a12 a13
列标排列的逆序数为
t (132) = 1 + 0 = 1,
∴ a21 a22 a31 a32
a23 = ∑ ( −1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a33
定义
由 n 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和 ( −1)t a1 p1 a 2 p2 L a npn . ∑ a11 记作 D= a 21 M a n1 a12 a 22 M L a1 n L a2 n M
逆序数为0),因此 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为 变化次数 而标准排列是偶排列 逆序数为 因此 知推论成立. 知推论成立.
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 33 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
排列32514 中， 例如 排列 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 逆序数 排列32514 中， 例如 排列
0
0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3 逆序数为
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 故此排列的逆序数为
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 奇排列; 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
a11 ∴
同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式教学文稿
同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式线性代数教学教案第二章方阵的行列式授课序号01121212()12(1)n n np p p p p np p p p a a a τ-∑L L L称为由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n =L 构成的n 阶行列式，记为111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =L LM M O M L，即：1212121112121222()1212(1)n n nn n p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑L L L LL M M O M L.其中12np p p ∑L 表示对所有的n 阶全排列12n p p p L 求和,数(),1,2,,ij a i j n =L 称为行列式的(),i j 元素，其中第一个下标i 称为元素ij a 的行标，第二个下标j 称为元素ij a 的列标. 方阵A 的行列式: 记矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L LM M O M L A ，则行列式通常也称为方阵A 的行列式，记为A . 有时为了表明行列式是由元素ij a 构成的，也简记为det()ij a =A 、ij n na ⨯或ij na .二阶行列式:1212121112()12112212212122(1)p p p p p p a a a a a a a a a a τ=-=-∑.三阶行列式: 123123123111213()212223123313233(1)p p p p p p p p p a a a A a a a a a a a a a τ==-∑112233132132122331132231122133112332=++---a a a a a a a a a a a a a a a a a a .二、三阶行列式也可借助于对角线法则来记忆：11122122a a a a授课序号02授课序号03授课序号04精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。
n阶行列式的定义
0 = (-1)t a1na2,n−1 "an1
其中t为n(n-1)……21的逆序数，因此由第一节的例2
可知t＝n(n－1)/2。
例2 证明下三角行列式
a11 0 "
D
=
a21 #
a22 #
" #
0
0 #
= a11a22 "ann
an1 an2 " ann
证： 由于当j > i时，aij = 0，因此行列式的求和
对行列式中元素 ，cij第一个下标i表示元素所在
的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列， 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点：
（1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积；
（2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符 号为负；
（3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以 及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。
d krk k +1 rk+1
0，因此
" r1,
dr2k,+"n rk+,nrk,，只有
在1, 2，…，k中选取时，该项才可能不为0。而根据
行列式的定义，当 r1, r2 ,", rk 在1, 2，…，k中选取时， rk+1, rk+2 ,", rk+n只能在k+1, k+2项可以记为
(−1)t d1r1 " dkrk d k +1 rk+1 " dk +n rk+n = (−1)t a1r1 " akrk b1 p1 "bnpn
第一章第二节n阶行列式-精品文档
2 3 5 1 1 2 2 ( 4 ) 3 2 3 2 1 ( 4 ) 5 2 1 3
30 2 24 12 6 20 10
第一章 行列式
9
于是，三阶行列式可以 写成
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a 12 a 22 an2
t
a1n a2n a nn
等于所有取自不同行不 同列的 n 个元素的乘
t ( 1 ) a a a a a a 并冠以符号 ( 1 ) 1 p 2 p np 1 p 2 p np 1 2 n 1 2 n
的代数和 .
这里 p p p 是 1 , 2 , ,n 的一个排 1 2 n
第一章 行列式
4
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a a a 11 22 12 21
a 11 a 12
1 2 3 5
a 12
a 22
例２ 解
求
1 2 1 5 ( 2 ) 3 11 3 5
第一章 行列式
5
定义
由 33 个数构成的式子
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
第一章 行列式
它可主对角线的联线， 三条虚线看作是平行于副对角线的联线，实线上三
元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号。
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
图1.1
a 13 a 23 a 33
a a a a a a a a a 12 23 31 11 22 33 13 21 32
第2节n阶方阵的行列式
-18-
推论 如果行列式有一行（列）为零，则行列式 等于零。 例如
000 0
0 0 0 0
-19-
性质５ 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之 和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列 式的和。
例如
103 100 204 100 3 100 204 199 200 395 200 1 200 395 301 300 600 300 1 300 600
a22
0
0
a11a22 ann
an1 an2 ann
证明： 1) 当n 2时,可得 A a11a22
2)假设n k时，以上结论成立(k 3) 即 A a11a22 akk
a22
0 0
当n k 1时，A a11(1)11
a32
a33
上两式相加求得(设分母不为零)
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
同理可求得
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
-3-
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
1 2 1 4 r2 r1 1 2 1 4 1 2 1 0 r3 r1 0 0 2 4 D
1 1 0 2 r4 2r1 0 1 1 2
2 1 10
0 5 3 8
-21-
1 2 1 4
1 2 1 4
0 0 2 4 r2 r3 0 1 1 2
1-2 n阶行列式
如
a13 a 21a 32 a11a 23 a 32
列标排列的逆序数为 偶排列 正号
二、n阶行列式的定义
定义
P6
t 312 1 1 2, t 132 1 0 1,
n2 个数排成n行n列，记作
a11 a12 a1n a a22 a2 n D 21 an1 an 2 ann
c
a b d
1 2
a 1 b 2
a
an1 bni ann
a b a b 1 2 1 2 c d 3 4 c d 3 4
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结束
4
例6 a11 a12 a13
a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11 3 , 求 a12 a13 a31 a32 a33
例如
1 2 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 0 1 2 3 3 6 9
2
4
k 0. ka i 1 ka i 2 ka in a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
例1 解
求排列32514的逆序数.
3 2 5 1 4 2 1 2 00
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
于是排列32514的逆序数为
2 1 7 9 8 6 3 5 4
t 2 1 2 0 0 5.
t
18
此排列为偶排列.
1
二阶行列式的特点
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a13 a11 a33 0 6 a21 a23 a31
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-5-
说明: 共3!=6项,正负项各占半,每项均为三个元素乘积
(不同行不同列) 例２求多项式
11 1 f ( x) 2 3 x 中x2的系数。
4 9 x2 解： f ( x ) 3 x 2 4 x 1 1 8 9 2 x 2 x 2
x25x6 x2的系数1为
-6-
例３a ( 2 , 1 问, 2 空) b 间 解( , 析4 , 3 中, 1 ) 的c 三 ( 个2 , , 向3 , 5 量) 是否共面？
a22
当 nk1时A， a1(11)11
a32
0
a33
0 0
a 1a 2ak1,3 ak1,k1
-12-
二、行列式的性质
为什么要研究行列式的性质? 性质1 行列式与它的转置行列式相等。DDT
a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 21
-2-
一、行列式的定义
引例: 用消元法求解
aa1211xx11aa1222xx22bb12
1 2
1a22: a 1 a 2 1 x 1 2 a 1 a 2 2 x 2 2 b 1 a 22
2 ( a 1)2 : a 1 a 2 x 2 1 1 a 1 a 2 x 2 2 2 a 1 b 2 2
M12
a31
a33
a3n
an2 an3 ann n1
an1 an3 ann n1
A 1 1(1)11M 11
A 12 (1)12M 12
-9-
定义2 设方阵 A(aij)nn
1) 当 n 1 时 A a 1 ， 1 a 11
n
n
2) 当 n 2 时 A ， a 1 k ( 1 )1 k M 1 ka 1 k A 1 k
a nn
注意！
d1 d1
n(n1)
(1) 2 d1d2 dn
dn dn
-14-
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。
例如
175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
17 5 71 5 6 6 2 6 6 2. 35 8 53 8
再如，证明
abc 0 abc
abc
abc
k 1
k 1
即方阵的行列式等于第一行元素与其对应的
代数余子式乘积的和．
例如求二阶，三阶行列式
12 561
35
123
4 1 212036156828
531
-10-
例１证明对角行列式（其中主对角线上的元素不全为零 而其他元素全为零的行列式）
1
D1
2
12n
n
证明： D 1 ( 1 )ta 1p 1a 2p 2 a nnp
a 1 a 2 1 2 a n n 1 2 n
-11-
例２ 证明下三角行列式
a11 0
A
a21
a22
0
0
a1a 12 2ann
an1 an2 ann
证明： 1 )当 n 2 时 ,可 A a 1 得 a 2 12
2)假设 nk时，以上结 (k论 3)即 成A 立 a 1a 1 2 2a kk
-8-
定义：在n阶行列式中， aij所 把在 元的 素 i行第 和第i列划去后，剩下的元素按原次序排成的
n1阶行列式称 ai的 j 为余 元子 素 记式 为M， ij
记 A ij(1)ijM ij,称Aij为元素 aij的代数余子式
例如： a22 a23 a2n
M11
a32
a33
a3n
a21 a23 a2n
上两式相加求得(设分母不为零)
x1ab111aa2222 aa1122ba221
同理可求得
x2aa111a1b222 ab11a2a2211
-3-
a11x1a12x2b1 a21x1a22x2b2
x1ab111aa2222 aa1122ba221
x2aa111a1b222 ab11a2a2211
如何工整简单便于记忆地表示这两个解?
按某种运算规则得到的一个数记为
a 11 a 21
a 12 a 22
a 13 a 23
a 1 a 2 a 1 3 2 a 3 1 a 2 a 2 3 3 a 1 2 a 3 a 1 1 2 3
a 31 a 32 a 33 a 1 a 2 a 3 3 2 a 1 2 a 3 a 3 1 2 a 1 1 a 2 a 2 3 1 3
D
a 21 a 22 a 2 n DT
a
12
a 22
a n 1 a n 2 a nn a 1 n a 2 n
a n1 a n2
a nn
说明 行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立， 反之亦然。
-13-
例1 计算下三角行列式
a 11
a 21 a 22
a11
a 22
a1a 12 2ann
a n1 a n 2 a nn
定义二阶行列式:
ab adbc
cd
则
b 1 a 12
a 11 b 1
x1
b2 a 11
a 22 a 12
x2
a 21 a 11
b2 a 12
a 21 a 22
a 21 a 22
-4-
三阶行列式
定义
设由9个数排成的3行3列的数表 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
第二章 矩阵理论基础
§2.1 矩阵的运算 §2.2 n阶(方阵的)行列式 §2.3 可逆矩阵 §2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形 §2.5 矩阵分块法 §2.6 线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则
-1-
§2.2 n阶(方阵的)行列式
主要内容: 一、行列式的定义 二、行列式的性质 三、行列式的展开定理
由高等数学,三个向量共面的充要条件是混合积为零。
[abc](ab)cabxx
ay by
az bz 0
cx cy cz
[a b c ] 2 2 41 3 31 5 223 31 5( 4 ) 1 35 2 21 31 2
2 4 4 1 1 0 0 0
所以它们不共面，即异面。
-7-
把二阶行列式与三阶行列式加以推广得n阶行列式： 应有 n!项且正负项各占半每，一项 n个 为不同行 不同列元素的乘积． 定义1 设有 n2个数, 排成 n行n列的数表 作出不同行不同列的 n个数的乘积并， 冠以符号 ( 1)t 即(1)ta1p1a2p2anpn的项之和， （t为排p1列 p2pn的逆序 称为数 n阶） 行列式。 其p1 中 p2 pn为自 1， 2， 然 ， n 数 的一个排