一元连续函数的一个性质及其应用
一元函数可微,偏导存在,连续,偏导连续的关系
一元函数可微,偏导存在,连续,偏导连续的关系一元函数可微、偏导存在、连续以及偏导数连续是数学中非常重要的概念。
在这篇文章中，我将详细介绍这几个概念之间的关系，并解释它们在数学中的意义和应用。
首先，让我们来了解一下这些概念的定义。
一元函数可微是指在某个点上，函数的导数存在。
如果函数的导数在某个点上存在，那么这个函数在该点是可导的。
可导性是函数在该点的某种平滑性的体现，它表示函数在该点的变化有一个明确的速率。
一个函数在某点可导，则表示函数在这个点的附近有良好的近似线性性质。
偏导数则是多元函数在某个方向上的导数。
对于一元函数来说，函数只有一个自变量，所以不存在如何"方向"的问题，与导数相同。
但是对于多元函数来说，函数有多个自变量，我们可以考虑在某个方向上的变化率。
如果函数在某个点的所有偏导数都存在，那么这个函数在该点是偏导存在的。
连续性是函数在某个区间上的性质，它表示函数在这个区间上没有突变、断裂的情况。
如果一个函数在某个点处连续，则函数在该点的极限和函数值相等，即函数在该点没有跳跃。
而偏导数连续是指多元函数的所有偏导数是连续的。
多元函数的偏导数连续是函数的光滑性的一种体现，它表示函数在某个点的偏导数不仅存在，而且在该点附近有良好的连续性。
偏导数连续的性质使得函数在该点的各个方向的局部变化率是光滑的。
那么，一元函数可微、偏导存在、连续和偏导连续之间有什么关系呢？首先，一元函数可微是偏导存在的一个特例。
因为在一元函数的情况下，只有一个自变量，不存在多个自变量的方向性概念，所以一元函数可微与偏导存在是等价的。
如果一个一元函数在某点可微，那么它在该点的导数存在，即偏导数存在。
其次，一元函数可微是连续的一个充分条件。
对于一元函数，如果它在某点可微，那么它在该点连续。
这是因为可导性是连续性的一个充分条件。
如果一个函数在某点可微，那么它在该点附近可以用一个线性函数来近似，而线性函数是连续的。
所以可微性保证了函数在该点的连续性。
一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质
一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质一元函数是数学中的基础概念之一，它在很多数学分支中都有广泛的应用。
了解一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质对于理解数学的发展和应用都具有重要的意义。
本文将介绍一元函数的极限以及连续性函数的局部与整体性质。
1. 一元函数的极限一元函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
在数学中，一般使用极限符号lim来表示。
一元函数的极限可以分为左极限和右极限。
当自变量趋近于特定值时，从左侧靠近时的极限为左极限，从右侧靠近时的极限为右极限。
2. 连续性函数的局部性质连续性是一元函数的重要性质之一。
函数在某一点处连续，意味着函数在该点附近的取值都非常接近。
根据连续性函数的局部性质，如果一个函数在某一点处连续，则在该点的一个小邻域范围内，函数的取值也会非常接近。
3. 连续性函数的整体性质连续性函数的整体性质是指在整个定义域范围内，函数的取值变化连贯、平滑。
如果一个函数在其定义域的每一个点处都连续，那么这个函数就是一个连续性函数。
在数学中，可以使用极限的概念来判断一个函数是否连续。
如果一个函数在其定义域的每一个点处的左极限和右极限存在且相等，那么这个函数就是一个连续性函数。
4. 极限与连续性函数的关系极限与连续性函数密切相关。
一元函数的连续性可以通过极限的存在与否来判断。
如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么该函数在该点处连续。
反之，如果一个函数在某一点的极限不存在或与该点的函数值不相等，那么该函数在该点处不连续。
总结起来，一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质是数学中重要的概念和性质。
通过研究一元函数的极限，我们可以了解到函数在自变量趋近于某个特定值时的取值情况。
而连续性函数的局部与整体性质则使我们能够判断函数在某一点处的连续性。
在实际应用中，我们可利用这些性质解决各种与数学相关的问题。
通过对一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质的学习与探究，我们可以深入了解数学的基本概念与性质，为今后的数学学习打下牢固的基础。
一元函数的连续性及其应用分析
一元函数的连续性及其应用分析连续函数是数学中一个重要的概念，在许多领域中都起到关键作用。
本文将详细讨论一元函数的连续性，并分析其应用。
一、连续函数的定义在数学中，一元函数的连续性是指函数在其定义域上的每一个点都满足极限的定义。
即对于任意给定的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当x的取值在(x0 –δ, x0 + δ)范围内时，函数值在(f(x0) –ε, f(x0) + ε)范围内。
二、连续函数的特性连续函数具有以下重要特性：1. 若函数f(x)和g(x)在点x0处连续，那么f(x) + g(x)、f(x) - g(x)、f(x) * g(x)、f(x) / g(x)也在x0处连续；2. 若函数f(x)在点x0处连续，而g(x)在f(x0)处连续，那么g(f(x))也在x0处连续；3. 若函数f(x)在[a, b]区间上连续，那么f(x)在[a, b]上一定有最大值和最小值；4. 至多可以有有限个点不连续的函数也被称为连续函数。
三、连续函数的应用连续函数的应用非常广泛，下面以几个具体的应用场景进行分析。
1. 解析几何中的应用：在解析几何中，连续函数广泛应用于曲线的研究。
通过分析函数曲线的连续性，可以推导出曲线的拐点、极值点、切线等重要信息，进而对曲线进行更深入的研究。
2. 经济学中的应用：在经济学中，连续函数被用于建立供需关系、成本与利润的函数模型。
通过研究这些连续函数的性质，可以解决市场供需均衡、最大利润等重要的经济问题。
3. 物理学中的应用：在物理学中，连续函数在描述物理量随时间或空间的变化规律时经常被使用。
例如，位移、速度和加速度之间的关系可以用连续函数来描述。
4. 优化问题的求解：连续函数在解决优化问题时起到关键作用。
通过研究连续函数的极值点，可以确定问题的最优解，如求解最大值和最小值等。
5. 数值分析中的应用：在数值分析领域中，通过对连续函数进行逼近，可以得到更简洁、有效的数值计算方法。
一元函数中的极限与连续性
一元函数中的极限与连续性在学习高中数学的时候，我们曾经学过一元函数的极限和连续性。
这两个概念对于后续的学习和应用有着至关重要的作用。
在这篇文章中，我们就来深入探讨一元函数中的极限与连续性。
一、极限的定义首先我们来了解一下什么是“极限”。
在数学中，极限是一个无限逼近的过程。
通过逼近，可以得到一个数或者一个函数的极限值。
当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也将趋近于一个特定的值。
这个特定的值就是“极限”。
二、极限的性质接下来我们来看一下一元函数的极限有哪些性质。
1. 极限的唯一性在一元函数中，一个函数只能有一个极限。
如果存在两个不同的极限，那么这个函数在这个点就不存在极限。
2. 极限的局部有界性如果函数在一个点存在极限，那么这个点的邻域内函数的取值是有界的。
3. 夹逼定理夹逼定理是一元函数的极限中比较重要的一个定理。
如果函数f(x)在点x0的左侧存在一个函数g(x)，在点x0的右侧存在一个函数h(x)，并且g(x) <= f(x) <= h(x)，那么当x趋近于x0时，g(x)和h(x)的极限值都是L，那么f(x)在x0处的极限也是L。
4. 无穷小与无穷大当x趋近于无穷大或者无穷小的时候，函数f(x)的值可能趋近于0或者正无穷或者负无穷。
这些数被称为无穷小或者无穷大。
如果一个函数在x趋近于某一点时的极限是一个无穷大或者无穷小，那么这个点就被称为函数的瑕点。
三、连续性的定义接下来我们来了解一下一元函数的连续性。
在数学中，函数在某个点处连续，就是指这个点的极限存在并且等于函数在这个点的取值。
四、连续性的性质现在我们来了解一下一元函数的连续性有哪些性质。
1. 极限的连续性如果一个函数在某个点处连续，那么这个点的极限也一定存在。
反之，如果一个点的极限存在，那么这个点不一定连续。
2. 介值定理介值定理是连续性中的一个重要定理。
如果f(x)在[a,b]上连续，且f(a)和f(b)的符号不同，那么在(a,b)上一定存在一点c，使得f(c)=0。
第7节一元函数的连续性与间断点
而点 x 0 可以是 , 内的任意一点，因此
y x 2 在 , 内连续。
10/31/2019 8:38 AM
第2章 极限与连续
例2 证明函数 ysinx在,内连续。
证 设 x 0 为 , 内任意一点，x 在 x 0
处有改变量 x ，函数的改变量
y y sin 1 x
o
x
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第2章 极限与连续
3. 连续函数的运算法则
【定理】若函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在点 x 0 处
连续，则
f(x)g(x), f(x) g(x),
f(x) g(x)
(当g(x0)
0)
在 x 0 处也连续。
证 只要证明极限值等于函数值即可（略）
例 因为 sinx,cosx 在区间 , 内连续，
所以 tan x sin x 在其定义域内连续。
cos x
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第2章 极限与连续
【定理】若函数 y f(x) 在区间 I x 上单调
增加（减少）且连续，则其反函数 x f 1(y)
也在对应的区间 Iy {yyf(x ),x Ix}上，单 调增加（减少）且连续。（证略）
如图所示
y yf(x)
M
c
m
f()c
解 lim x 3
x3
x3
x2 9
lim
x3
x2
9
1 6 66
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第2章 极限与连续
【定理】设函数 yf[g(x)]由函数y f(u)
与函数 ug(x) 复合而成，若函数 ug(x) 在
一元函数的连续性定义
一元函数的连续性定义一个一元函数通常被定义为f：D→R，其中D是定义域，R是实数范围。
函数的连续性定义了函数在定义域上的连续性。
数学定义中，给定一个函数f(x)和一个点a，如果存在一个数L，使得当x趋近于a时，当x从函数f(x)的定义域的一个方向逼近a时，函数f(x)的极限等于L，并且当x从函数f(x)的定义域的另一个方向逼近a 时，函数f(x)的极限也等于L，则函数f(x)在点a连续。
简而言之，函数在特定点连续是指函数在该点的两侧极限相等且与该点的函数值一致。
根据连续函数的定义，我们可以分为三类：左连续、右连续和间断点。
-左连续：函数f(x)在定义域的右侧有极限，函数f(x)的函数值与该点的极限相等。
-右连续：函数f(x)在定义域的左侧有极限，函数f(x)的函数值与该点的极限相等。
-间断点：如果函数f(x)在其中一点的左、右极限均存在，但两个极限不相等，则该点是一个间断点。
函数的连续性有一些重要的性质，其中最基本的是连续函数的四则运算仍然是连续函数。
具体而言，如果f(x)和g(x)是在定义域上的连续函数，那么f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)*g(x)、f(x)/g(x)（当g(x)不等于0时），以及复合函数g(f(x))仍然是定义域上的连续函数。
连续函数还有一个重要性质，即中间值定理。
中间值定理是指，对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，如果f(a)和f(b)异号，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(c)=0。
换句话说，如果一个函数在一条连续曲线的两端取不同的函数值，则在曲线上至少存在一点与x轴的交点。
连续函数的连续性还具有一些基础的应用。
连续函数可以用来表示一些物理现象，例如，使用连续函数可以描述运动的轨迹、声音的波动等。
在微积分中，连续函数可以用来计算曲线的斜率，求取曲线上的最值，以及求解微分方程等。
最后，函数的连续性可以通过函数的图像来直观地理解。
连续函数的图像是一条无间断的曲线，没有突变或跳跃。
第2章一元函数的连续性
第二章 一元函数的连续性一.基本内容1.函数)(x f 在点0x 处连续的定义：)1(极限形式：)()(lim 00x f x f x x =→)2(增量形式：0lim 0=∆→∆y x)3(“δε-”语言：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f )4(左右连续性：)()0()0(000x f x f x f =-=+2．函数)(x f 在区间I 上连续的定义 3．间断点及其类型间断点（不连续点）：第一类间断点（左右极限均存在）；第二类间断点（左右极限中至少有一个不存在）4．)(x f 在区间I 上一致连续：0>∀ε，0>∃δ，∀1x ,2x I ∈,当δ<-21x x 时， 总有ε<-)()(21x f x f ，则称)(x f 在I 上一致连续． 5．)(x f 在点0x 处连续的局部性质局部有界性，局部保号性，四则运算保持连续性和复合保持连续性． 6．闭区间上连续函数的整体性质)1(反函数的存在连续性：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数在以)(a f ,)(b f 为端 点的闭区间上也是严格单调并且连续．)2(有界性：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界．)3(取最值性若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上能取到最大，最小值．)4(根的存在性若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且0)()(<⋅b f a f ,则),(b a c ∈∃，使0)(=c f ．)5(界值性设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，μ介于)(a f 与)(b f 之间，则),(b a c ∈∃使得μ=)(c f ．)6(若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则在[]b a ,上一致连续．7．一切初等函数在其定义区间上连续 二．难点解析与重要结果1.函数)(x f 在点0x 处连续的归结原则任一趋于0x 的数列{n x }其对应的函数值组成的数列均收敛．【注】函数极限的归结原则中要求→n x 0x ，这是由于与函数极限中)(x f 有可能没定义，而在连续的定义中要求函数)(x f 于0x 的某邻域内有定义，在0x 处必有定义，特别地{0x }即为趋于0x 的一个数列． 2. 0x 为)(x f 的间断点的正面刻画∃00>ε，∀δ0>, ∃δx , 满足δδ<-0x x ,但有)()(0x f x f -δ≥0ε．特别地,取δ=n 1,则得数列{n x }⊂)(0x U ,使n x x n 10<-,但)()(0x f x f n -≥0ε.3. 函数)(x f 在区间I 上连续∀0x ∈I ，∀0>ε, ∃0>δ，当δ<-0x x 时， 有ε<-)()(0x f x f .函数)(x f 在区间I 上一致连续：∀0>ε, ∃0>δ, ∀0x I ∈, 当δ<-0x x 时, 有ε<-)()(0x f x f .这两者的区别在于，对同一个ε，前者对于不同的0x ，可找到不同的δ，δ既依赖于0x ，又依赖于ε.事实上，δ对0x 的依赖程度更高（为什么？），后者对同一个ε，总可找到一个δ，该δ对所有的0x 均适用. 4. 一致连续与一致收敛之间的区别与联系⇒)(x f n )(x f )(D x ∈，可看成是给定一批极限{∞→n lim )(x f n ︱D x ∈}.对每个数列极限而言，对给定的0>ε,由不同的数列可找到不一定相同的N ，当N n >时，有ε<-)()(x f x f n 是否一致收敛.就看是否有共用的N 的问题.)(x f 在I 上一致连续可看成是给了一批函数极限{)()(lim x f y f xy =→︱x ∈I}.对每一个函数的极限而言，对给定的0>ε，由不同的函数极限可找到不一定相同的δ.当δ<-x y 时，有ε<-)()(x f y f 是否一致连续，就看是否有共用的δ的问题.5.一致连续的判定与性质)1( 设)(x f 在有限开区间),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内一致连续的充分必要条件是)(lim x f ax +→与)(lim x f bx -→均存在且有限.)2( 设)(x f 在),[+∞a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.)3(设)(x f 在),[+∞a 上连续,)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，且0))()((lim =-+∞→x x f x ϕ,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续，此结论在)(x f 有斜渐近线时很有用.)4(若)(x f ，)(x g 均在有限开区间),(b a 上一致连续，则)(x f )(x g ±，⋅)(x f )(x g 均在),(b a 上一致连续,若),(b a 为无限开区间,则⋅)(x f )(x g 不一定一致连续.如=)(x f x x g =)(，在),(+∞-∞上.)5( 若)(x f 导数)(x f '在I 上有界，则)(x f 在I 上一致连续.)6(若)(x f 在],(b a 与),[c b 上均一致连续，则)(x f 在),(c a 上一致连续.)7(若)(u f y =在R 上一致连续，)(x g u =在I 上一致连续，则))((x g f y =在I 上一致连续.6. )(x f 在I 上非一致连续的肯定刻画I x x ∈'''∃>∀>∃δδδε,,0,00,且δδδ<''-'x x ，但有0)()(εδδ≥''-'x f x f ．特别地,取n1=δ,则设两点列I x x n n⊆'''}{},{,满足)(0∞→→''-'n x x n n ,但有0)()(ε≥''-'n nx f x f ． 三．基本题型与方法 1.证明连续性和一致连续性要证明一个函数在某点或某个范围内连续，绝大部分是通过连续性的定义直接证明．例1．按定义证明：)1(⎪⎩⎪⎨⎧=∈==+内的无理数和，互质)1,0(1,00),,,(,1)(x q p N q p q p x qx R 在所有的无理点处连续．在)1,0(中的有理点处不连续．)2(xx x x f 1sin 12)(⋅++=在),1[+∞上一致连续,在)1,0(上非一致连续． 证明：)1(]1,0[0∈∀x ,0>∀ε,ε≤-0)(x R . 显然当x 为)1,0(中的无理数时，不等式成立.当q p x =时,ε<=q x R 1)(,即ε1>q . 而ε1≤q 的正整数只有有限个，这些数为分母构成的]1,0[中的有理数也仅为有限个，设为n x x x ,,,21 ，取}}0{\},,min{{001x x x x n --= δ,则n x x x ,,,21 均落在),(00δx U 之外，即当δ<-<00x x 时.若x 为有理数，则将其表示成既约分数时的分母必大于ε1.此时ε>>qx R 1)(.若x 为无理数则ε<=0)(x R . 即当δ<-<00x x 时，总有ε<-0)(x R ,所以0)(lim 0=→x R x x .故)(x R 在)1,0(中的无理点处连续，有理点处不连续.)2(),1(,,0+∞∈'''∀>∀x x ε,由于 x x x x x x x f x f ''⋅+''+''-'⋅+'+'=''-'1sin 121sin 12)()(x x x x x x x x x x x x ''⋅+''+''-''⋅+'+'+''⋅+'+'-'⋅+'+'=1sin 121sin 121sin 121sin 12 12121sin 1sin 1sin 12+''+''-+'+'''+''-'+'+'≤x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ''-'≤+''+'''-'+'''''-'⋅'''''+'≤2)1)(1(2222,故可取=δ2ε，当x x ''',∈),1[+∞且δ<''-'x x 时,有ε<''-')()(x f x f ,所以)(x f 在),1[+∞上一致连续.取221ππ-='n x n,221ππ+='n x n, ,2,1=n , 显然nx 'n x '')1,0(∈,则 )(0441442222∞→→-=-=''-'n n n x x n nπππππ,但2122222)1(122222)()(>++++--+-+-=''-'ππππππππn n n n x f x f n n, 所以)(x f 在)1,0(上非一致连续.[注])1(Riemann 函数是一个重要的反例，其解法与一般的求解不等式ε<-A x f )(不同，它解的是其互补不等式ε≥-A x f )(.)2(第二小题的解法上，有一定的代表性，当遇到由两种不同的基本初等函 数一起构成的某一初等函数时，常用到此插项方法. )3(狄立克雷函数在构造反例中的作用. )4(第2小题中由于∞→A lim12++x x x1sin =0,且)(x f 在),1(+∞上连续，据前面的结论即证一致连续性.例2 设)(x f 为),(+∞-∞上的单调函数，令)(lim )(0y f x g x y +→=,证明：)(x g 在),(+∞-∞上右连续.证明：),(0+∞-∞∈∀x ，由于)0()(lim )(000+==+→x f y f x g x y ,故0>∀ε, 0>∃δ, 当δ+<<00x x x 时有ε<-)()(0x g y f .由于)(x f 在R 上单调，故在任一点处的左、右极限均存在， 所以，),(00δ+∈∀x x x ,令+→x y ,有ε≤-+→)()(lim 00x g y f x y ,即ε≤-)()(0x g x g ,所以，)()(lim 00x g x g x x =+→.故)(x g 在0x 右连续,由0x 的任意性,即)(x g 在),(+∞-∞上右连续.例3 设)(x f 在),a +∞⎡⎣上连续，lim ()x f x →+∞存在，则)(x f 在),a +∞⎡⎣上一致连续.证明：由于lim ()x f x →+∞存在，故ε∀0>，∃M ，当M x x >''',时，有ε<''-')()(x f x f . 又)(x f 在),a +∞⎡⎣上连续，所以在]1,[+M a 上连续，故)(x f 在]1,[+M a 上一致连续.所以对上述0>ε,01>∃δ,当]1,[,+∈'''M a x x 且1δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f .取11min ,2δδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当],[,+∞∈'''a x x 且1δ<''-'x x 时,()i 若21+≤'M x ,则21+≤+'<''M x x δ,即]1,[,+∈'''M a x x ,且δ<''-'x x 1δ≤,故有ε<''-')()(x f x f .()ii 若21+>'Mx ,则M M x x =-+≥-'>''2121δ，即M x x >''',,故有ε<''-')()(x f x f .即当δ<''-'x x 时，总有ε<''-')()(x f x f .所以)(x f 在),a +∞⎡⎣上一致连续. 【注】此题的方法具有很强的代表性，望注意体会掌握，特别是将区间叠起的一段的技巧.2．连续函数性质的证明一般地，连续函数性质的证明特别是闭区间上连续函数性质的证明，与实数的完备性理论是紧密联系的.例4 试分别用闭区间套定理、聚点定理、和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性定理.证明 设)(x f 在闭区间],[b a 上连续,证明)(x f 在闭区间],[b a 上有界. (1) 用闭区间套定理假设)(x f 在闭区间],[b a 上无界,中分],[b a 为两个子闭区间,则)(x f 至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为],[11b a ;中分],[11b a 为两个子闭区间,则)(x f 至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为],[22b a ;如此下去则得一闭区间列]},{[n n b a 满足：① ],[],[11++⊇n n n n b a b a , ,3,2,1=n ② )(,02∞→→-=-n ab a b nn n ③)(x f 在闭区间],[n n b a 上无界, ,2,1=n .由①, ②及闭区间套定理知 ,2,1],,[!=∈∃n b a n n ξ.又)(x f 在ξ连续,故)(x f 在ξ的某邻域),(δξU 内有界.由闭区间套定理的推论知,存在N ,当N n >时,有),(],[δξU b a n n ⊂,而)(x f 在],[n n b a 上无界,故)(x f 在),(δξU 上无界,矛盾.所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.(2)用聚点定理假设)(x f 在闭区间],[b a 上无界,则],[,0b a x M M ∈∃>∀,使得M x f M >)(. 取],,[,11b a x M ∈∃=使得1)(1>x f ；],,[,22b a x M ∈∃=使得2)(2>x f ；,],,[,b a x n M n ∈∃=使得n x f n >)(；如此下去则得数列}{n x ],[b a ⊆，使得 ,2,1,)(=>n n x f n .由于}{n x 有界,由致密性定理, }{n x 由收敛子列}{k n x ，设)(,0∞→→k x x k n ，由于)(x f 在0x 连续，所以)(),()(0∞→→k x f x f k n ，而由}{n x 的选取知)(,)(∞→∞→k x f k n ，矛盾. 所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.(3) 用有限覆盖定理由于)(x f 在闭区间],[b a 上连续,即],[0b a x ∈∀,)(x f 在0x 连续,故在0x 处局部有界,即0,0],,[000>∃>∃∈∀x x M b a x δ,使得当),(00x x U x δ∈时,0|)(|x M x f <. 显然,]},[|),({b a x x U x ∈δ覆盖],[b a ,由有限覆盖定理,必可从中选出有限个它们也能覆盖],[b a ,设为),(11δx U ,,),,(22 δx U ),(n n x U δ. 取},,,m ax {21n M M M M =,则],[b a x ∈∀,有M x f <|)(|. 所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.3．连续函数性质的应用)1(连续性在有界和最值性方面的应用例5 设函数)(x f 在有有限或无穷区间(),a b 内连续，且lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==, (A 为有限数，+∞或-∞).证明)(x f 在(),a b 内能取到最大或最小值. 证明：若A 为有限数，且(),x a b ∀∈均有A x f =)(.则结论显然成立.若0x ∃(),a b ∈,使0()f x A ≠，若0()f x A >，由于lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==，由极限的保号性，故δ∃0>,当δ+<<a x a 或b x b <<-δ时，有)()(0x f x f <，又)(x f 在[],a b δδ+-上连续，所以)(x f 在[],a b δδ+-上有最大值M 存在,且≥M 0()f x ，此时最大值M 显然也是)(x f 在(),a b 上的最大值.若0()f x A <，则有最小值存在.若+∞=A ，任取0x (),a b ∈，由于lim ()lim ()x ax bf x f x +-→→==+∞，故∃δ0>,当δ+<<a x a 或b x b <<-δ时有)()(0x f x f >，又)(x f 在[],a b δδ+-上连续，故有最小值m 存在，且)(0x f m ≤，显然m 为)(x f 在(),a b 上的最小值.当-∞=A 时有最大值存在.当(),a b 为无穷区间，类似地可证.例6 设)(x f 在],[b a 上连续，且有唯一的最值点],[0b a x ∈.若数列],[}{b a x n ⊆且)()(lim 0x f x f n n =∞→,证明：0lim x x n n =∞→.证明：假设0lim x x n n ≠∞→．则N ∀，N n N >∃使00ε≥-x x n ．取11=N 则11>∃n 使001ε≥-x x n .取12n N =，则12n n >，使002ε≥-x x n .如此下去，则设}{n x 的子列}{i n x 使得ε≥-0x x i n .由],[}{b a x i n ⊆，由致密性定理,}{i n x ∃的收敛子列}{ki n x ,设)(∞→→k c x ki n ,则0x c ≠．又由f 的连续性，知)()(lim c f x f ki n k =∞→．而由子列的性质知，)()(lim )(lim 0x f x f x f n n n k k i ==∞→∞→.所以)()(0x f c f =为f 的最值点矛盾．)2(连续性介值方面的应用例7 设)(x f 在],[b a 上连续，且有反函数存在．证明)(x f 在],[b a 上严格单调． 证明：假设)(x f 在],[b a 上非严格单调,则321x x x <<,使得)()()(321x f x f x f ≥≤或)()(21x f x f ≥且)()(32x f x f ≤.由于)(x f 有反函数存在,故上不等式中的等号不能成立．即有)()()(321x f x f x f ><.取M 介于)(2x f 与)}(),(m ax {31x f x f 之间,由)(x f 在],[21x x 上连续,),(21x x ∈∃ξ 使M f =)(ξ.又)(x f 在],[32x x 上连续, ),(32x x ∈∃η使M f =)(η.且ηξ≠,这与)(x f 有反函数矛盾）． 【注】有反函数存在．则对应必为一对一的，反过来一对一再加上介值性，必可推出严格单调和连续性.例8 设函数],[],[:)(b a b a x f →是连续函数．证明：],[b a ∈∃ξ,使ξξ=)(f . 证明：若a a f =)(或b b f =)(,则结论成立．否则有a a f >)(，b b f <)(． 令x x f x F -=)()(,则)(x F 在],[b a 上连续,且0)(,0)(<>b F a F ,由介值性定理即得.【注】此题即为不动点定理．例9 设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)1()0(==f f ,证明：+∈∀Z n ，]1,0[∈∃ξ，有)()1(ξξf nf =+．证明： 当1=n 时，取0=ξ，则结论成立.否则令)()1()(x f nx f x F -+=,则有)1()1()0(nn F n F F -+++)1()1()1()2()0()1(nn f f n f n f f n f --++-+-=0)0()1(=-=f f .若上式中的每一项均为0，则结论成立.若不全为0，则必既有正项，又有负项出现，由介值性定理,在正负项之间0)(=ξF ,即)()1(ξξf nf =+.【注】上面的两例给出了用介值性定理或根的存在定理的一般方法.引入辅助函数，将待证的等式转化为考察辅助函数的根的存在性问题，最后，只要找到辅助函数的两个点处的函数值异号.)3(一致连续的性质的应用例10设函数)(x f 在),(+∞a 上一致连续,且无穷积分⎰∞+adx x f )(收敛.证明：0)(lim =∞→x f x .证明：假设0)(lim ≠∞→x f x ，即00>∃ε,M ∀，M x M >∃,但有0)(ε≥x f .又)(x f 在[)0,+∞上一致连续，故对上述0ε0>,∃δ0>,当12x x -≤δ时,有12()()f x f x -<2ε. 故对0ε,δ0>，M ∀，∃A '=M x ，A ''=M x +δM >,但有δεδδ0)()(≥=⎰⎰++M MM Mx x x x dx x f dx x f .由Cauchy 收敛准则知⎰∞→AaA dx x f )(lim 不存在,矛盾. 四.综合举例例11 设函数)(x f 在[],a b 上连续，],[b a x ∈∀,记)(sup )(],[t f x M x a t ∈=,证明：)(x M 在[],a b 上连续.证明：由于)(x f 在[],a b 上连续，则在[],a b 上一致连续,即0ε∀>,0δ∃>, 当1x ,2x ∈[],a b ,且12x x -≤δ时有12()()f x f x -<ε.所以0x ∀∈[],a b ,当δ<∆<x 0, 0x x ∆+∈[],a b 时，有)0[][]0000,,()()sup ()sup ()t a x x t a x M x x M x f t f t ∈∆+∈≤∆+-=-))()((sup )()(sup0],[0],[00x f t f x f t f x a t x x a t ---=∈+∆∈))()((sup )))()((sup )),()((sup m ax (0],[0],[0],[000x f t f x f t f x f t f x a t x x a t x a t ----=∈+∆∈∈ε<.同理，当0<∆<-x δ时，有ε-00()()M x x M x ≤∆+-,故)(x M 在[],a b 上连续. 例12 设函数)(x f 在),(b a 内每一点的左，右极限都存在，且),(,b a y x ∈∀,都有2)()()2(y f x f y x f +≤+.证明)(x f 在),(b a 内连续. 证明：),(0b a x ∈∀,则),(b a y ∈∀,有2)()()2(00y f x f y x f +≤+, 令i x y +→0,)0(21)(21)0(000++≤+x f x f x f ,即有)()0(00x f x f ≤+. 令0x y →,有))0(21)((21)0(000-+≤-x f x f x f ,即有)()0(00x f x f ≤-.在2)()()2(y f x f y x f +≤+中 令h x x +=0,h y y -=0,且令i h +→0, ))0()0((21)(000-++≤x f x f x f ,所以有))0()0(()(000--+≤x f x f x f ,即)(x f 连续.由0x 的任意性即有)(x f 在),(b a 内连续.【注】要证明函数的连续性，绝大部分情况下均直接从连续的定义出发. 例13 证明：非常值的连续周期函数必有最小正周期.证明：设}{的正周期为f t t S =.下证S 的下确界S T inf =属于S ，即证：T 仍为f 的周期，且0>T ，显然0T ≥.由于S T inf =,故由定义,S t n ⊆∃}{,使得T t n n =∞→lim .又由)(x f 的连续性，有R x ∈∀,)()(lim )(x f t x f T x f n n =+=+∞→,即T 为一个周期.假设S T ∉=0,则存在严格递减数列S T ∉=0,且)(0∞→→n t n .则R x ∈∀，N n ∈∀,Z k n ∈∃使n t k x n n +=0,其中n n t k <≤0,故)(0∞→→n k n .所以,))(0()()()(∞→→=+=n f n f n t k f x f n n ,即)0()(f x f =.这与)(x f 非常数矛盾.所以0≠T ,即0>T ，故S S T ∈=inf . 例14 设)(x f 对R 上一切x 均有)()(2x f x f =，且)(x f 在0=x 处连续.证明：)(x f 在R 上为常数.证明：由于)()())(()(22x f x f x f x f ==-=-,即)(x f 为偶函数，故可仅考察0≥x 这一侧.当0>x 时，由已知，有：=====)()()()(214121nx f x f x f x f ,由于)(121∞→→n xn及f 在1=x 处的连续性,故有()=x f ()1lim 21f x f nn =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→, 又()+→=0lim 0x f ()()1f x f =.即当0≥x 时,有()()1f x f =.所以,R x ∈∀,有()f x f ≡()1.例15 设)(x f 在),0[+∞上连续且有界，又设R l ∈∀方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，证明)(lim x f x ∞→存在.证明 由于)(x f 在),0[+∞上有界，设M x f M <<-)(,对0=l ,由于方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，设其最大解为1M ,则当1M x >时, )(x f 全落在],0[M 或]0,[M -中,记其为],[b a ；对2ba l +=，由于方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，设其最大解为2M ,则当2M x >时, )(x f 全落在]2,[b a a +或],2[b ba +中,记其为],[11b a ； , 如此下去，则得一闭区间列]},{[n n b a 满足： ① ],[],[11++⊇n n n n b a b a , ,3,2,1=n ② )(,02∞→→-=-n ab a b nn n③ 0,>∃∀n M n ，当n M x >时，有 ,2,1],,[)(11=∈--n b a x f n n由①, ②及闭区间套定理知 ,2,1],,[!=∈∃n b a n n ξ.由闭区间套定理的推论知，,,0N ∃>∀ε当N n >时，),(],[εξU b a n n ⊆.故可取1+=N M G ,当G x >时,有),(],[)(11εξU b a x f N N ⊆∈++.所以ξ=∞→)(lim x f x .例16 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,],[}{b a x n ⊆,满足 ,2,1),()(1==+n x f x g n n 证明 存在],[0b a x ∈,使得)()(00x g x f =. 证明 令)()()(x g x f x h -=,则)(x h 在],[b a 上连续.若)}({n x h 中有零项或异号的项，由根的存在性定理,0x 的存在性显然. 若若)}({n x h 中所有项均为正项或负项,不妨设0)(>n x h ,于是,,,2,1,0)()()()()(1 =>=-=-+n x h x g x f x f x f n n n n n即数列)}({n x f 为单调递减有界数列,故收敛,设)(,)(∞→→n x f n ξ,又,2,1),()(1==+n x f x g n n ,故)(,)(∞→→n x g n ξ.注意到}{n x 有界,由致密性定理}{n x 有收敛子列}{k n x ,设)(,0∞→→k x x k n ,由)(),(x g x f 在0x 的连续性知,)(),()(0∞→→k x f x f k n ,)(),()(0∞→→k x g x g k n ,而)(,)(∞→→k x f k n ξ,,由极限的唯一性有ξ==)()(00x g x f .例14 设定义在R 上的函数()x f 满足：)1(()x f 在0=x 处连续.)2(R y x ∈∀.,有()()()y f x f y x f +=+.证明：()ax x f =.证明：由f ()()()()()0000000=⇒+==+f f f f .又()x f 在0=x 处连续, 故有()()00lim 0==→f x f x .所以,R x ∈∀,有()()()()()x f x f x f x x f x x =∆+=∆+→∆→∆0lim lim ,即()x f 在R 上连续.由已知,有()()()21112⋅=+=f f f , ()()()n f f n f ⋅=+++=1111 , 又()()()0=+=+-n n f n f n f ,故有()()()n f f n f -⋅=-1. 即对一切整数x 有()()x f x f ⋅=1.又由 ()()2112121212121⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+f f f f f ,()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+n f n f n nf 1111, ()n f n f 111⋅=⎪⎭⎫⎝⎛,故有, ()n m f n mf n m f ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛11 , N m n ∈..所以, ()⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m f n m f n m f 1,即对一切有理数x ,有()()x f x f ⋅=1.R x ∈∀,{Q r n ⊆∃}使得()∞→→n x r n .由f 在R 上的连续性,有()()()()x f r f r f x f n n n n ⋅=⋅==∞→∞→11lim lim .例15 设()x f 在[)b a ,上连续且无上界,()[)b a d c ,,⊂∀,()x f 在()d c ,上不取最小值，证明()x f 在[)b a ,上严格递增（陕师大）.证明：由()x f 在[)b a ,上连续，且无上界，知()x f 只能在b 的左邻域内无上界. 假设[)b a x x ,,21∈∃,且<1x 2x ,但有()()21x f x f ≥.由于()x f 在b 的左邻域内无上界.故b x x x <<∃323,.使()()23x f x f >.由于()x f 在[]31,x x 上连续,故有最小值()0x f 存在.又()312,x x x ∈且()()()()3212,x f x f x f x f <≤,故最小值点()310,x x x ∈.即()x f 在()[)b a x x ,,31⊂内取到最小值()0x f .矛盾.例16 设()x f 在[]1,0上非负连续,且()()010==f f ，则[]1,0∈∀l ,[]1,00∈∃x ,使得()()l x f x f +=00.（上海交大）证明：[]1,0∈∀l 作辅助函数()()()x f l x f x F -+=.则()x F 在[]l -1,0上连续,且()()()000≥-=f l f F ,()()().0111≤--=-l f f l F由F 的连续性，知[]l x -∈∃1,00,使得()00=x F ,即()()00x f l x f =+. 例17 设() 3,2,2=+++=n x x x x f n n ,证明：)1(方程()1=x f n 在[)+∞,0上有唯一实根n x ,)2(数列{}n x 有极限存在，并求n n x ∞→lim .（北师大）证明：)1(2≥∀n ,令()()[)+∞∈-+++=-=-,0,111x x x x x f x F n n n ,则(),10-=F 当1≥x 时,有()0>x F .从而在[]1,0上至少有一个实根,又()()1121++-+='-- n n x n nx x F ,当0≥x 时,有()0>'x F ,即()x F 在[)+∞,0上严格递增.所以()x F 在[)+∞,0上有且仅有一个实根n x .即()1=x f n 在[)+∞,0上有唯一实根n x .)2(2≥∀n .由于n x 与1+n x 分别满足：n n n n x x x ++2=1, 1111211=+++++++++n n n n n n x x x x .若01>>+n n x x ,则1=1111+++++++n n nn n x x x >1111112>+=++++++++n n n n n n n n x x x x x ,矛盾，所以1+≤n n x x .即数列{}n x 单调递减且有下界0，所以数列{}n x 收敛，设()∞→→n l x n ,由()111=--=++nnn nnnn x x x x x ,在上式中令∞→n ,得()1101=--ee . 即,21-1=⇒=e e e . 例18 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,在()∞+，0内可导,且()A x f x ='+∞→lim .证明：当 且仅当+∞<A 时，()x f 在()∞+，0上一致连续. 证明：)1(若()0lim ,>∃='+∞<+∞→M A x f A x ，故则由，当M x >时，有()M x f ≤'，所以当M x x >2,时，有()()()121212x x M x x f x f x f -≤-'=-ξ.即()x f 在[)+∞,M 上满足李普斯基条件，故)(x f 在[)∞+，M 上一致连续,又f 在[]M ，0上连续,故()x f 在上[]M ,0一致连续,所以()x f 在[)+∞,0上一致连续.)2(设()x f 在[)+∞,0上一致连续，假设+∞=A .则对0,0>∀>δε，由()+∞=='∞→A x f x lim ,知0>∃M ，当M x >时，有()δ1>'x f ,取21,121δ++=+=M x M x ，则δδ<=-221x x ,但有()()()21211212=⋅>-⋅'=-δδξx x f x f x f .这与)(x f 在[)+∞,0上一致连续矛盾.例19：设)(x f 在),[+∞a 上连续，)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，且0))()((lim =-∞→x x f x ϕ,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.证明：由于)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，故0>∀ε，01>∃δ，当x x ''',∈),[+∞a ，且1δ<''-'x x 时，有εϕϕ<''-')()(x x .又0))()((lim=-+∞→x x f x ϕ,故0>∃M ,当M x >时,有εϕ<-)()(x x f .所以,当M x x >''',,且1δ<''-'x x 时，有εϕϕϕϕ3)()()()()()()()(<''-''+''-'+'-'<''-'x f x x x x x f x f x f .又)(x f 在]1,[+M a 上连续，故一致连续.对上述0>ε,02>∃δ，当]1,[,+∈'''M a x x 且2δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f .取}21,,min{21δδδ=,则当],[,b a x x ∈'''且δ<''-'x x 时，总有ε<''-')()(x f x f .例20设函数()[)+∞,0在x f 上一致连续，且0>∀x 有()0lim =++∞→n x f n ,证明：()0lim =+∞→x f x .证明：由于()[)+∞,0在x f 上一致连续，故0,0>∃>∀δε,[)+∞∈∀,,21a x x ,当δ<-21x x 时,有()()ε<-21x f x f .取δ1>k ,将[]k 10，等分,记分点为k i kix i ...2,1,==,则每个小区间的长度均小于δ,对每个i x ,由于()0lim =++∞→n x f i n ,故i N ∃,i N n >时,有()k i n x f i ...2,1,=<+ε.取{}K N N N N ,...,m ax 21=，则当N n >时，有()k i n x f i ...2,1,=<+ε.取1+=N M ，当M x >时，则[]N N x n >+≥=1，[)1,0∈-n x .故{}k i ,...2,1∈∃，使得 ()()δ<+-=--i i x n x x n x ，故有, ()()ε<+-n x f x f i .从而有, ()()()()εεε2=+<+++-≤n x f n x f x f x f i i ， 所以()0lim =+∞→x f x .例21设函数()()+∞∞-,在x f 上一致连续，则存在正数B A ,,使得x ∀有()B x A x f +≤.证明：由于()x f 在R 上一致连续，故0,0>∃>∀δε，R x x ∈'''∀,且δ≤-'''x x 时，有 ()()ε<''-'x f x f .固定δε,，则Z n R x ∈∃∈∀,，0x n x +=δ，其中()δδ,0-∈x ，由于()(]δδ,-在x f 上连续，故有界，即0>∃M ，当()δδ,-∈x 时，有()M x f ≤. 又()()()()()()()()()0000211x n f x n f x n f x n f x f +--+-++--+=δδδδ()()()000...x f x f x f +-+++δ.故有, ()()()()()M n x f x k f x k f x f nk +⋅≤++--+≤∑=εδδ01001⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+-=00x M x M x x δεδεδε ()εδε++≤M x . 取εδε+==M B A ,,则有()B x A x f R x +≤∈∀,. 练习题1． 用“δε-”定义证明()2sin x x f =在R 上连续，但不一致连续.2． 证明：xx y 1sin ⋅=在()+∞,0内一致连续.3． 设()y x f ,在[]b a ,上连续，定义()()[]{}b a y y x f x g ,|,m ax ∈=,证明()x g 在[]b a , 上连续.4.设函数()x f 在[]b a ,上单调，且值域充满区间()()[]b f a f ,或()()[]a f b f ,，则()x f 在[]b a ,上连续.5.设函数()x f 在[)+∞,a 上连续，且有斜渐近线b ax y +=，则()x f 在[)+∞,a 上一致连续.6.设()x f 在(]b a ,可导，且()x f ax '+→lim 存在，证明)1(()x f ax +→lim 存在.)2(()x f 在(]b a ,上一致连续.7.证明：设()x f 在R 上一致连续，()t g 在区间I 上一致连续，则复合函数()()t g f 在区间I 上一致连续.8.设函数()x f 在[)+∞,1上可导，且()+∞=+∞→x f x lim ，证明()x f 在[)+∞,1上非一致连续.9.设()x f 在()+∞∞-,内连续，且()+∞∞-∈∀,,y x ，都有()()22y f x f y x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()R x x f ∈+=βαβα,,.10.设()x f 在()+∞∞-,上非负连续，()+∞∞-∈∀,,y x ,都有()()()y f x f y x f ⋅=+， 求()x f .11.设()x f 在()b a ,内连续，()x f 2在()b a ,内一致连续，证明()x f 在()b a ,内一致连续.12.设()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续，()0lim 0=⋅+→δωδf iff ,其中()()()x f x f x x fx x f ''-'=<''-'∈'''',sup χδω称为f 的连续模.13.设函数()x f 在()1,0上有定义，且函数()x f e x 和()x f e -在()1,0都单调不减，证明()x f 在()1,0连续.14.设()x f 为R 上的周期函数，其周期小于任意小的正数，证明若()x f 在R 上连续，则()x f 为常值函数.15.设I 为有限区间，()x f 在其上有定义，证明()x f 在I 上一致连续的充要条件是函数()x f 把柯西列映成柯西列. 16.若函数()x f 在[)+∞,1上一致连续，求证()xx f 在[)+∞,1上有界. 17.证明()x f 在R 上连续的充要条件是任何开集的原像是开集.21 18.设函数()x f 在R 上连续，且()()x f f =x ，证明：在R 内至少存在一点0x 使()00x x f =.19.设()x f 在R 上连续，()x g 在R 一致连续且有界，证明()()x g f 在R 上一致连续.20.设()x f 在R 上连续，且()()∞=∞→x f f x lim ，证明()∞=∞→x f x lim . 21.设函数()x f ，()x g 均在[]b a ,上连续，{}[]b a x n ,⊆且对N n ∈∀有()()1+=n n x f x g ，证明至少存在一点[]b a x ,0∈，使()()00x g x f =.22.设()x f 在[)+∞,0上具有二阶连续导数，且()()()0,00,00<''<'>x f f f ，[)()+∞∈,0x ,则()()⎥⎦⎤ ⎝⎛'-∈∃00,0f f ξ,使得()0=ξf .。
一元函数的连续性及其在实际问题中的应用
一元函数的连续性及其在实际问题中的应用连续性是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在本文中，我们将探讨一元函数的连续性以及它在实际问题中的应用。
一元函数的连续性是指函数在其定义域内的任意一点上都满足极限的性质。
换句话说，当自变量趋近于某一特定值时，函数值也趋近于相应的值。
数学上，函数f在点x=a处连续，当且仅当以下三个条件同时满足：1. 函数在x=a处有定义：即f(a)存在。
2. 函数在x=a处有极限：即lim(x→a)f(x)存在。
3. 函数的极限与函数值相等：即lim(x→a)f(x) = f(a)。
一元函数的连续性在实际问题中有广泛的应用。
下面我们将介绍两个具体的应用案例。
首先，连续性在物理学中的应用非常明显。
物理学中许多问题都可以使用数学函数来描述。
例如，当我们研究一段时间内物体的运动状态时，我们可以使用位置-时间函数来描述物体的位置随时间的变化。
连续性的概念可以确保我们在分析这种运动过程时的可靠性。
假设我们希望计算物体在某个特定时间点上的位置，如果该函数是连续的，我们可以很容易地通过直接代入该时间点来计算出位置。
这种应用案例可以在物理学的各个领域中找到，包括力学、电磁学和热力学等。
其次，连续性在经济学中也有重要应用。
经济学家常常使用数学模型来描述经济现象，而这些模型往往涉及到一元函数的连续性。
例如，在需求和供给的理论中，我们常常使用价格-数量函数来描述市场上商品的价格和数量之间的关系。
连续性的概念可以确保我们在分析这种关系时的准确性。
考虑到经济现象往往由多个变量相互作用而产生，连续性的应用也可以扩展到多元函数的情况。
除了在物理学和经济学中的应用，连续性在许多其他实际问题中也发挥着重要的作用。
例如，在工程学中，连续性可以用于设计和分析工程结构的稳定性。
在生物学中，连续性可以帮助我们理解生物体在不同环境下的适应性。
在计算机科学中，连续性可以用于优化算法的设计和分析。
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一元连续函数的一个性质及其应用叶留青 杨秀芹焦作师范高等专科学校数学系 河南焦作 454001树立函数观点，突出函数思想，培养函数思维模式，运用函数方法，是初等数学教育教学的重要内容之一。
幂平均不等式实质上是幂函数的一个性质，它是否还可以改进，一般一元连续函数是否也具有类似的性质？我们对此问题进行探讨表明，利用所给出的定理证明不等式时，思路通畅，作题规范，步骤简便，使有些证明难度较大的不等式问题变得比较简单，也加深了学生对函数思想和函数方法的运用和理解，为发现不等式，解决不等式问题开辟了一条新途径。
1.关于一元连续函数的一个性质定理设()mf x x =，则幂平均不等式可表示为（1）()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑其中0i x >()1,2,,i n =，1m ≥ （2）()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑其中0i x >()1,2,,i n =，01m <≤1.1引理 设()f x 是区间Q 上的连续函数，,(1,2,,1)i x Q i n ∈=+，且1231n x x x x +≤≤≤≤。
用()n M表示点()1111,n n i i i i x f x n n ==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑（下同），则点()1n M +在以点()n M 和点()()11,n n A x f x ++为端点的线段()n M A 上。
证明 因为()()()11111111111111111nni i i i n n i i i i n n x f x n n x f x n n x f x ==++==++++∑∑∑∑＝()()()()111111111111nni ii i n n i ii i n n x f x n x f x n n n x f x ==++==++++∑∑∑∑ ＝()()()()111111111nniii i nniii i n n x f x n x f x n n n x f x ====+++∑∑∑∑＝0基金项目:全国教育科学十五规划课题(FIB030837)子课题,河南省教育厅课程教学改革项目（C2803） 作者简介：叶留青（1965-），男，河南汝南人， 硕士，焦作师专数学系教授，从事数学课程与教学论研究。
所以点()n M，()1n M+，A 共线。
由1231n x x x x +≤≤≤≤易知1111111n n i i n i i x x x n n ++==≤≤+∑∑，故点 ()1n M +在线段()n MA 上。
1.2 定理 函数()f x 在区间Q 上，（1）若()f x '是增函数，则对于,(1,2,)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑（2）若()f x '是减函数，则对于,(1,2,)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑（3）若()f x '是常函数，则对于,(1,2,)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑证明（1）不妨设123n x x x x <<<<，曲线()f x 上横坐标为(1,2,)i x i n =的点为I A ,弦1nA A 与弧1n A A 围成的区域（包括边界）为P （如图）下面先证明：对于任意自然数(1)N N n ≤≤点()N M 在P 上。
当1N =时，(1)1MA =,所以点(1)M 在P 上。
假设点N k =时()11k n ≤≤-，点()k M在P ,已知点1k A +在弧1n A A 上，所以线段()1k k M A +的两端点都在P 上。
因为()f x ¢在Q 上是增函数，所以曲线()f x 在Q 上呈下凸形状，于是知线段()1kk M A +所有点都在P 上。
因为121k x x x +<<<，所以由引理知点()1k M +在线段()1k k M A +上，从而知点()1k M+也在P 上。
所以对于任意自然数(1)N Nn ＃点()NM 都在P 上。
点()()1111,n n n ii i i Mx f x n n ==骣÷ç=÷ç÷ç桫邋在P 上，而点1111,n n i i i i A x f x n n ==骣骣÷琪ç÷÷çç÷÷çç÷ç桫桫邋在弧1n A A 上，注意到()n A M x x =,于是()n A M y y ³，即()1111n n i i i i f x f x n n ==骣÷ç³÷ç÷ç桫邋.同理可证明（2）. （3）因()f x ¢是常函数，故可设()f x kx b=+，于是()11111111()n nn n i i i i i i i i f x kx b k x b f x n n n n ====骣骣鼢珑=+=+=鼢珑鼢珑桫桫邋邋1A2.定理应用一元连续函数的图像或凸或凹或直总是普遍存在的，而高中数学新编教材增加导数内容后，为判断一元连续函数的凸凹性提供了有力工具，这就为运用定理证明不等式，发现不等式，解决不等式问题开辟了新途径。
2.1改进幂平均不等式长期以来，在应用幂平均不等式时，只考虑幂指数1m ³或01m <?，缺失了0m <的情况，如文〔1〕和文〔2〕。
事实上，当0m <时，幂函数()mf x x =的导数()1m f x mx-¢=在()0,¥上是增函数，由定理知，对于()()0,,1,2,,i x i n 违=，有1111mn n mi i i i x x n n ==骣÷ç³÷ç÷ç桫邋 ()0m <许多与幂平均不等式有关的命题也应改进。
例如文〔2〕给出的经多次推广而得到的一个不等式：若：,,,n x y z R +Î,且2,1m xy z ?+=则23(1)(1)(1)31m m m n m n n nn x y z y y z z x x -+++?----中n 和m 的取值范围应改进为n R +Î或1n <-；2m ³或0m <。
顺便说明一下，该不等式还可以推广为若：()1,2,,i x Ri N +?，n R +Î或1n <-；2m ³或0m <，1ni i x P ==å，则1212223311(1)(1)(1)mm mm n m N n nn n nx x x p N x x x x x x N P --++++?----，因证明思路与文〔2〕中对原不等式的证明类同，故从略。
2.2导出几个重要不等式由于一元连续函数的导数的单调性与函数图像的凸凹性是等价的，因而根据几个常见函数图像的凹凸性，即可得出下面几个重要不等式1. 弦平均不等式若[]2,(21),(1,2,,),i x k ki n k z p p ?=?，则有1111sin sin n n i i i i x x n n ==骣÷ç³÷ç÷ç桫邋若[](21),2,(1,2,,),i x kk i n k z p p ?=?，则有1111sin sin n n i i i i x x n n ==骣÷ç£÷ç÷ç桫邋2 .切平均不等式若1,(),(1,2,,),2i x k k i n k z p p 骣÷ç?=?÷ç÷ç桫，则有1111tan tan n n i i i i x x n n ==骣÷ç³÷ç÷ç桫邋 若1(),,(1,2,,),2i x k k i n k z p p 骣÷ç?=?÷ç÷ç桫，则有1111tan tan n n i i i i x x n n ==骣÷ç£÷ç÷ç桫邋3. 对数平均不等式若,1,(1,2,,),i x R ai n +?=则1111log log n n a ii i i x x n n ==骣÷ç£÷çç÷桫邋 Û1211()nn n i i x x x x n =£å若,1,(1,2,,),01i x R ai n a +?=<<，则1111log log n n a i a i i i x x n n ==骣÷ç³÷ç÷ç桫邋 Û1211()nn n i i x x x x n =³å4 指数平均不等式 若,1,(1,2,,),0i x R ai n a +?=>且1a ¹，则1111ni ii nx nx i a a n ==å³å2.3简证一类不等式许多不等式问题，一旦与一元连续函数起来以后，利用所给定理去解决，顺畅，简便，得心应手。
例1 设正数12,,,n a a a 之和为S ，求证：1(2)1ni i i a nn s a n ==?--å（1976年英国数学竞赛题）证明：设()xf x s x=-，则()2()s f x s x ¢=-，当0x s <<时，()f x ¢是增函数，由定理知，当()(0,),1,2,,i a s in ?，且12n a a a s +++=时，11111111nini i n i iii sa a n ns n s a n s s a nn ===?=----ååå，于是得11ni i i a n s a n =³--å，故原不等式成立。