一元连续函数的一个性质及其应用

一元连续函数的一个性质及其应用

叶留青 杨秀芹

焦作师范高等专科学校数学系 河南焦作 454001

树立函数观点，突出函数思想，培养函数思维模式，运用函数方法，是初等数学教育教学的重要内容之一。幂平均不等式实质上是幂函数的一个性质，它是否还可以改进，一般一元连续函数是否也具有类似的性质？我们对此问题进行探讨表明，利用所给出的定理证明不等式时，思路通畅，作题规范，步骤简便，使有些证明难度较大的不等式问题变得比较简单，也加深了学生对函数思想和函数方法的运用和理解，为发现不等式，解决不等式问题开辟了一条新途径。

1.关于一元连续函数的一个性质定理

设()m

f x x =，则幂平均不等式可表示为

（1）()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫

≥ ⎪⎝⎭∑∑其中0i x >()1,2,

,i n =，1m ≥ （2）()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

∑∑其中0i x >()1,2,

,i n =，01m <≤

1.1引理 设()f x 是区间Q 上的连续函数，,(1,2,,1)i x Q i n ∈=+，且1231n x x x x +≤≤≤

≤。

用()

n M

表示点()1111,n n i i i i x f x n n ==⎛⎫ ⎪⎝⎭

∑∑（下同），则点()1n M +在以点()n M 和点()()11,n n A x f x ++为端

点的线段()

n M A 上。

证明 因为

()()()1

11

11

111111111111n

n

i i i i n n i i i i n n x f x n n x f x n n x f x ==++==++++∑∑∑∑＝()()

()

()

1

1

1

1

1

1

1

11

111

n

n

i i

i i n n i i

i i n n x f x n x f x n n n x f x ==++==++++∑∑∑∑ ＝

()

()

()

()

111

1

1

11

11

n

n

i

i

i i n

n

i

i

i i n n x f x n x f x n n n x f x ====+++∑∑∑∑＝0

基金项目:全国教育科学十五规划课题(FIB030837)子课题,河南省教育厅课程教学改革项目（C2803） 作者简介：叶留青（1965-），男，河南汝南人， 硕士，焦作师专数学系教授，从事数学课程与教学论研究。

所以点()

n M

，()

1n M

+，A 共线。由1231n x x x x +≤≤≤

≤易知1

111

111n n i i n i i x x x n n ++==≤≤+∑∑，故点 (

)

1n M +在线段()

n M

A 上。

1.2 定理 函数()f x 在区间Q 上，

（1）若()f x '是增函数，则对于,(1,2,)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑

（2）若()f x '是减函数，则对于,(1,2,

)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑

（3）若()f x '是常函数，则对于,(1,2,)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑∑

证明（1）不妨设123n x x x x <<<

<，曲线()f x 上横坐标为(1,2,

)i x i n =的点为I A ,弦1n

A A 与弧1n A A 围成的区域（包括边界）为P （如图）

下面先证明：对于任意自然数(1)N N n ≤≤点()

N M 在P 上。当1N =时，(1)

1M

A =,所以点(1)

M 在P 上。假设点N k =时()11k n ≤≤-，点()

k M

在P ,已知点1k A +在弧1n A A 上，所以线段()

1

k k M A +的两端点都在P 上。因为()f x ¢在Q 上是增函数，所以曲线()f x 在Q 上呈下凸形状，于是知线段

()1k

k M A +所有点都在P 上。因为121k x x x +<<

<，所以由引理知点()1k M +在线段()1k k M A +上，

从而知点()

1k M

+也在P 上。所以对于任意自然数(1)N N

n ＃点()N

M 都在P 上。

点()

()11

11,n n n i

i i i M

x f x n n ==骣÷ç=÷ç÷ç桫

邋在P 上，而点1

1

11

,n n i i i i A x f x n n ==骣骣÷琪ç÷÷çç÷÷çç÷

ç桫

桫邋在弧1n A A 上，注意到()n A M x x =,于是()

n A M y y ³，即()11

11

n n i i i i f x f x n n ==骣÷ç³÷ç÷ç桫

邋.

同理可证明（2）. （

3

）

因

()f x ¢是常函数，故可设

()f x kx b

=+，于是

()11

11

11

11

()n n

n n i i i i i i i i f x kx b k x b f x n n n n ====

骣骣

鼢珑=+=+=鼢珑鼢珑桫桫

邋邋1A

2.定理应用

一元连续函数的图像或凸或凹或直总是普遍存在的，而高中数学新编教材增加导数内容后，为判断一元连续函数的凸凹性提供了有力工具，这就为运用定理证明不等式，发现不等式，解决不等式问题开辟了新途径。 2.1改进幂平均不等式

长期以来，在应用幂平均不等式时，只考虑幂指数1m ³或01m

f x x =的导数()1

m f x mx

-¢=在()

0,¥上是增函数，由定理知，对于()()0,

,1,2,

,i x i n 违=，有1

1

11m

n n m

i i i i x x n n ==骣÷ç³

÷ç÷ç桫

邋 ()0m <

许多与幂平均不等式有关的命题也应改进。例如文〔2〕给出的经多次推广而得到的一个不等式：若：,,,n x y z R +

Î,且2,1m x

y z ?+=则2

3(1)(1)(1)31

m m m n m n n n

n x y z y y z z x x -+++?----中n 和m 的取值范围应改进为n R +Î或1n <-；2m ³或0m <。顺便说明一下，该不等式还可以

推广为

若：()1,2,,i x R

i N +

?，n R +

Î或1n <-；2m ³或0m <，

1

n

i i x P ==å

，则

12

12

223311(1)(1)(1)m

m m

m n m N n n

n n n

x x x p N x x x x x x N P --++++?

----，因证明思路与文〔2〕中对原不等式的证明类同，故从略。

2.2导出几个重要不等式

由于一元连续函数的导数的单调性与函数图像的凸凹性是等价的，因而根据几个常见函数图像的凹凸性，即可得出下面几个重要不等式

1. 弦平均不等式

若[]2,(21),(1,2,

,),i x k k

i n k z p p ?=?，则有11

11

sin sin n n i i i i x x n n ==骣÷ç³÷ç÷ç桫

邋