高中数学抽样方法(3)
高中数学3概率统计常考题型：分层抽样
分层抽样【知识梳理】1．分层抽样的概念在抽样时,将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.2．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．【常考题型】题型一、分层抽样的概念【例1】（1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人,用下列哪种方法最合适（)A．系统抽样法B．简单随机抽样法C．分层抽样法D．随机数法（2）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样,必须进行( ）A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样D．所有层抽个体数量相同[解析］（1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样．(2）保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点,分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．[答案] (1）C （2)C【类题通法】1．使用分层抽样的前提分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．2．使用分层抽样应遵循的原则（1）将相似的个体归入一类,即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则；(2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．【对点训练】下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（）A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个,低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C．从1 000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间D．从生产流水线上,抽取样本检查产品质量。
高中数学知识点：抽样方法
高中数学知识点：抽样方法一、简单随机抽样设一个总体的个体数为N，假如通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时，各个体被抽到的概率相等，就称如此的抽样为简单随机抽样。
一样地假如用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本那么每个个体被抽到的概率等于n/N.常用的简单随机抽样方法有：抽签法、随机数法。
1.抽签法一样地，抽签法确实是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌平均后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n的样本。
2.随机数法随机抽样中，另一个经常被采纳的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或运算机产生的随机数进行抽样。
二、活用随机抽样系统抽样的最差不多特点是“等距性”，每组内所抽取的号码需要依据第一组抽取的号码和组距是唯独确定，每组抽取样本的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m为首项，组距d为公差的等差数列{an},第k组抽取样本的号码，ak=m+(k-1)d，如本题中依照第一组的样本号码和组距，可得第k组抽取号码应该为9+30*（k-1）三、系统抽样要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言进展的障碍。
许多幼儿当众说话时显得可怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。
总之，说话时外部表现不自然。
我抓住练胆那个关键，面向全体，偏向差生。
一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。
每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，排除幼儿恐惧心理，让他能主动的、自由自在地和我交谈。
二是注重培养幼儿敢于当众说话的适应。
或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的爱好，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地关心和鼓舞他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。
三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清晰，声音响亮，学会用眼神。
高中数学必修3概率统计常考题型：简单随机抽样
【知识梳理】1．简单随机抽样的定义设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．抽签法把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．3．随机数法随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．【常考题型】题型一、简单随机抽样的概念【例1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区参加救灾工作；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．[解](1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．(3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．【类题通法】简单随机抽样的判断策略判断一个抽样能否用简单随机抽样，关键是看它是否满足四个特点：①总体的个体数目有限；②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样．同时还要注意以下几点：①总体的个体性质相似，无明显的层次；②总体的个体数目较少，尤其是样本容量较小；③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定的距离．【对点训练】下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是()A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡农田有：山地800公顷，丘陵1 200公顷，平地2 400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量解析：选B A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便；C由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D总体容量大，且各类田地的差别很大，也不宜采用简单随机抽样法.题型二、抽签法及其应用【例2】(1)下列抽样实验中，适合用抽签法的有()A．从某厂生产3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验[解析]A，D两项总体容量较大，不适合用抽签法；对C项甲、乙两厂生产的产品质量可能差异明显．[答案] B(2)某大学为了选拔世博会志愿者，现从报告的18名同学中选取6人组成志愿小组，请用抽签法写出抽样过程．[解]第一步，将18名同学编号，号码是01,02， (18)第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步，所得号码对应的同学就是志愿小组的成员．【类题通法】1．抽签法的适用条件一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时适宜用抽签法．2．应用抽签法的关注点(1)对个体编号时，也可以利用已有的编号．例如，从某班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等．(2)在制作号签时，所使用的工具(纸条、卡片或小球等)应形状、大小都相同，以保证每个号签被抽到的概率相等．(3)用抽签法抽样的关键是将号签搅拌均匀．只有将号签搅拌均匀，才能保证每个个体有相等的机会被抽中，从而才能保证样本具有代表性．(4)要逐一不放回抽取．【对点训练】现有30本《三维设计》，要从中随机抽取5本进行印刷质量检验，请用抽签法进行抽样，并写出抽样过程．解：总体和样本数目较小，可采用抽签法进行：①先将30本书进行编号，从1编到30；②把号码写在形状、大小均相同的号签上；③将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，然后依次从箱子中取出5个号签，按这5个号签上的号码取出样品，即得样本.题型三、随机数表法的应用【例3】(1)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号____________________．(下面抽取了随机数表第1行至第5行．)03 47 43 73 8636 96 47 36 6146 98 63 71 6233 26 16 80 4560 11 14 10 9597 74 24 67 6242 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5124 51 79 89 7316 76 62 27 6656 50 26 71 0732 90 79 78 5313 55 38 58 5988 97 54 14 1012 56 85 99 2696 96 68 27 3105 03 72 93 1557 12 10 14 2188 26 49 81 7655 59 56 35 6438 54 82 46 2231 62 43 09 9006 18 44 32 5323 83 01 30 30[解析]从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字665，第三个数字650，第四个数字267，符合题意．[答案]227,665,650,267(2)现有一批零件，其编号为600,601,602，…，999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查，若用随机数表法，怎样设计方案？[解]第一步，在随机数表中任选一数字作为开始数字，任选一方向作为读数方向．比如：选第7行第6个数“7”，向右读．第二步，从“7”开始向右每次读取三位，凡在600～999中的数保留，否则跳过去不读，依次得753,724,688,770,721,763,676,630,785,916.第三步，以上号码对应的10个零件就是要抽取的对象．(答案不唯一)【类题通法】利用随机数表法抽样时应注意的问题(1)编号要求位数相同，若不相同？需先调整到一致两再进行抽样，如当总体中有100个个体时，为了操作简便可以选择从00开始编号，那么所有个体的号码都用两位数字表示即可，从00～99号．如果选择从1开始编号那么所有个体的号码都必须用三位数字表示，从001～100.很明显每次读两个数字要比读三个数字节省读取随机数的时间．(2)第一个数字的抽取是随机的．(3)当随机数选定，开始读数时，读数的方向可左，可右，可上，可下，但应是事先定好的．【对点训练】现有一批编号为10,11，…，98,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验，如何用随机数表法设计抽样方案？解：第一步，将元件的编号调整为010,011,012，...，099,100， (600)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7个数9.第三步，从数9开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263.第四步，以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象．【练习反馈】1．为了了解一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量解析：选C200个零件的长度是从总体中抽出的个体所组成的集合，所以是总体的一个样本．故选C.2．抽签法中确保样本具有代表性的关键是()A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回解析：选B在数理统计里，为了使样本具有较好的代表性，设计抽样方法时，最重要的是将总体“搅拌均匀”，使每个个体有同样的机会被抽到，而抽签法是简单随机抽样，因此在给总体标号后，一定要搅拌均匀．3．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________．解析：因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每一个个体被抽到的可能性都为20100＝0.2.答案：0.24．一个总体的60个个体编号为00,01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是________．95 33 95 22 0018 74 72 00 1838 79 58 69 3281 76 80 26 9282 80 84 25 3990 84 60 79 8024 36 59 87 3882 07 53 89 3596 35 23 79 1805 98 90 07 3546 40 62 98 8054 97 20 56 9515 74 80 08 3216 46 70 50 8067 72 16 42 7920 31 89 03 4338 46 82 68 7232 14 82 99 7080 60 47 18 9763 49 30 21 3071 59 73 05 5008 22 23 71 7791 01 93 20 4982 96 59 26 9466 39 67 98 60解析：所取的号码要在00～59之间且重复出现的号码仅取一次．答案：18,00,38,58,32,26,25,395．某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人抽查学习负担情况．用抽签法设计一个抽样方案．解：第一步：编号，把43名运动员编号为1～43；第二步：制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数；第三步：搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌；第四步：抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次，从而得到容量为5的入选样本．。
高中数学课件1.3 抽样方法
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1.3 抽样方法
学习要求：会用简单随机抽样、系统抽 样、分 层抽样等常用的下列问题 ： （1）什么是简单随机抽样？
（2）今用简单随机抽样从含有6个个体 的总体中抽 取一个容量为2的样本。问： ①总体中的某一个体a在第一次抽取时被 抽到的概率是多少？ ②个体a在第一次未被抽到，而第二次被 抽到的概率是多少？ ③在整个抽样过程中，个体a被抽到的概 率是多少？
各自特点 从总体中逐个 抽取 将总体均分成 几部分，按事 先确定的 规则 在各部分抽取
互相联系
适用范围 总体个数 较少
在起始部分 总体个数 抽样时采取 较多 简单随机抽 样
分层 抽样
将总体分成几 层，分层进行 抽取
各层抽样时 总体由明 采用简单随 显的几部 机抽样或系 分组成 统抽样
抽签法 抽 简单随机抽样 随机数表法 样 系 统 抽 样 方 分 层 抽 样 法
阅读第20～21页内容，回答下列问题 ： （1）什么是系统抽样？ （2）系统抽样的步骤可概括为哪几个 步骤? （1）当总体中的个体数较多时,可将总 体分成均衡的几个部分,然后按预先定出 的规则,从每一个部分抽取一个个体,得到 所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样.
（2）系统抽样的步骤可概括为:
采用随机的方式将总体中的个体编 号;为将整个的编号进行分段(即分成几 N 个部分)要确定分段的间隔k,当 n (N为总 N 体的个体数,n为样本容量)是整数时, k N n 当 不是整数时,通过从总体中剔除一些 n 个体使剩下的总体中个体数N1能被n整 N1 除,这时 k ;在第1段用简单随机抽样 n 确定起始的个体编号l；按照事先确定的 规则抽取样本(…..)。
一般地，设一个总体的个数为N.如 果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样 本,且每次抽取时各个个体被抽到的概 率相等,称这样的抽样为简单随机抽样. (3)简单随机抽样有哪些特点?
2.1.3 分层抽样
高中数学备课组
例3 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查 产品的销售情况，需从这600个销售点中抽取一个 容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中 有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售 收入和售后服务等情况，记这项调查为②，完成 这两项调查宜分别采用什么方法？
高中数学备课组
例1 某公司共有1000名员工，下设若干部门，现 用分层抽样法，从全体员工中抽取一个容量为80 的样本，已知策划部被抽取4个员工，求策划部的 员工人数是多少？ 50人.
高中数学备课组
例2 某中学有180名教职员工，其中教学人员144 人，管理人员12人，后勤服务人员24人，设计一 个抽样方案，从中选取15人去参观旅游. 用分层抽样，抽取教学人员12人，管理人员 1人，后勤服务人员2人.
高中数学备课组
方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7 人按1～7编号，在第一组采用抽签法抽出k号，则其 余各组k号也被抽到，20个人被选出．
方法3：按20：140＝1：7的比例，从教师中抽取 13人，从教辅行政人员中抽取4人，从总务后勤人 员中抽取3人．从各类人员中抽取所需人员时，均 采用随机数表法，可抽到20个人． A．方法2，方法1，方法3 答案：C B．方法2，方法3，方法1 C．方法1，方法2，方学备课组
2. 分层抽样的实施步骤：
(1) 根据已有信息,将总体分成互不相交的层. （2）根据总体中的个体数N与样本容量n确定抽样 n 比:k= N
（ 3）确定各层应该抽取的个体数 . 各层的抽取数 之和应等于样本容量. 对于不能取整的数，求其近 似值.
（ 4 ）按 (3) 中确定的数目在各层中随机抽取个体 , 合在一起得到容量为n的样本.
高中数学统计抽样方法精选题目(附答案)
高中数学统计抽样方法精选题目（附答案）一、抽样方法1．简单随机抽样(1)特征：①一个一个不放回的抽取；②每个个体被抽到可能性相等．(2)常用方法：①抽签法；②随机数表法．2．系统抽样(1)适用环境：当总体中个数较多时，可用系统抽样．(2)操作步骤：将总体平均分成几个部分，再按照一定方法从每个部分抽取一个个体作为样本．3．分层抽样(1)适用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时可用分层抽样．(2)操作步骤：将总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样．1.(1)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．9C．10 D．15(2)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．[解析](1)从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为a n＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得23615≤n≤25710，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人．(2)小学中抽取30×150150＋75＋25＝18所学校；从中学中抽取30×75150＋75＋25＝9所学校．[答案](1)C(2)189注：1．系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体． (2)各个个体被抽到的机会均等．(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样． (4)如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝Nn . 2．与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数． 2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法解析：选C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法． 3．某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为________．解析：高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x 人，由分层抽样可得32180＝x90，解得x ＝16. 答案：164．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本容量为________．解析：因为分层抽样的抽样比应相等，所以420960＝14样本容量，样本容量＝960×14420＝32.答案：32二、用样本的频率分布估计总体的频率分布1．频率分布直方图2．茎叶图5.(1)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5，23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．(2)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．①求图中a的值；②根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；③若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y 1∶12∶13∶44∶5 [为50×0.18＝9.答案：9(2)解：①由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1.所以a＝0.005.②该100名学生的语文成绩的平均分约为x＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.③由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x 5403020x∶y 1∶12∶13∶44∶5y 5204025100－(5＋20＋40＋25)＝10.注：与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．6.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()A．0.2 B．0.4C．0.5 D．0.6解析：选B由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4，故选B.7．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为()A ．300B ．360C ．420D ．450解析：选B 样本中体重大于70.5公斤的频率为： (0.04＋0.034＋0.016)×2＝0.090×2＝0.18.故可估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为：2 000×0.18＝360(人)． 8．某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．解析：总销售额为2.50.1＝25(万元)，故11时至12时的销售额为0.4×25＝10(万元)．答案：10三、用样本的数字特征估计总体的数字特征有关数据的数字特征9.(1)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53(2)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差(3)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)[解析] (1)从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即45＋472＝46，众数为45，极差为68－12＝56，故选择A.(2)由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．故选C.(3)假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4， 又s ＝ 14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2]＝1， ∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.[答案] (1)A (2)C (3)1,1,3,3 注：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．10．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选B 法一：∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙，又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.11．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如图所示，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是__________，气温波动较大的城市是__________.解析：根据题中所给的茎叶图可知，甲城市上半年的平均温度为9＋13＋17×2＋18＋226＝16，乙城市上半年的平均温度为12＋14＋17＋20＋24＋276＝19，故两城市中平均温度较高的是乙城市，观察茎叶图可知，甲城市的温度更加集中在峰值附近，故乙城市的温度波动较大．答案：乙 乙12．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)：甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求． 解：(1)x 甲＝99＋100＋98＋100＋100＋1036＝100(mm)，x 乙＝99＋100＋102＋99＋100＋1006＝100(mm)，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73(mm 2)， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1(mm 2)．(2)因为s 2甲＞s 2乙，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求.四、线性回归1．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关：①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b x .13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解] (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 注：(1)线性回归分析就是研究两组变量间线性相关关系的一种方法，通过对统计数据的分析，可以预测可能的结果，这就是线性回归方程的基本应用，因此利用最小二乘法求线性回归方程是关键，必须熟练掌握线性回归方程中两个重要估计量的计算．(2)回归直线方程恒过点(x ，y )．14.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？解：(1)将6组数据按月份顺序编号为1,2,3,4,5,6，从中任取两组数据，基本事件构成的集合为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}共15个基本事件，设抽到相邻两个月的事件为A ，则A ＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}共5个基本事件，∴P (A )＝515＝13.(2)由表中数据求得x ＝11，y ＝24，∑i ＝14x i y i ＝1 092，∑i ＝14x 2i ＝498.代入公式可得b ^＝187.再由a ^＝y －b ^x ，求得a ^＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为 y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22＝47＜2； 同样，当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪787－12＝67＜2. 所以该小组所得线性回归方程是理想的．。
三种抽样方法(全)
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【例题解析】 例1、某校高中三年级的295名学生已经编 号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情 况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽 样的方法进行抽取，并写出过程。 解:样本容量为295÷5=59.
确定分段间隔k=5,将编号分段 1~5,6~10,…,291~295; 采用简单随机抽样的方法，从第一组5名 学生中抽出一名学生，如确定编号为3的学生, 依次取出的学生编号为3,8,13,…,288,293 , 这样就得到一个样本容量为59的样本.
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※(2004年福建省高考卷)一个总体中有 100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序 平均分成10个小组,组号分别为1,2,3,…,10.现 用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规 定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k 组抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同. 若m=6,则在第7组中抽取的号码是______. 解析:依编号顺序平均分成的10个小组分 别为0~9, 10~19, 20~29, 30~39, 40~49,50~59,60~69,70~79,80~89,90~99.因第 7组抽取的号码个位数字应是3,所以抽取的号码 是63.这个样本的号码依次是 6,18,29,30,41,52,63,74,85,96这10个号. 25
二、分层抽样的步骤： （1）按某种特征将总体分成互不相交的层 （2）按比例k=n/N确定每层抽取个体的个数 (n/N)*Ni个。 （3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 （4）综合每层抽样，组成样本。 练习：分层抽样又称类型抽样，即将相似的个 体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构 成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能 入样，必须进行 （c ） A、每层等可能抽样 B、每层不等可能抽样 16 C、所有层按同一抽样比等可能抽样
简单随机抽样-高中数学知识点讲解
简单随机抽样1．简单随机抽样【知识点的认识】1．定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．特点：（1）有限性：总体个体数有限；（2）逐个性：每次只抽取一个个体；（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，则每个个体푛被抽取的概率等于푁）3．适用范围：总体中个数较少．4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素．【常用方法】1．抽签法（抓阄法）一般地，从个体总数为N 的总体中抽取一个容量为k 的样本，步骤为：（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为 1﹣N）；（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）；（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌；（4）抽签：每次从箱中取出 1 个号签，连续抽取k 次；（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体．2．随机数表法．○随机数表：由 0﹣9 十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表．实现步骤：（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体．【命题方向】以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力．（1）考查简单随机抽样的特点例：用简单随机抽样的方法从含有 100 个个体的总体中依次抽取一个容量为 5 的样本，则个体m 被抽到的概率为（）1111A.100B.20C.99D.50分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为 5，可以看成是抽 5 次，从而可求得概率．1解答：一个总体含有 100 个个体，某个个体被抽到的概率为，100∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本，1则指定的某个个体被抽到的概率为100× 5 =1．20故选：B．点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分．例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）A．在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为 2709 的2/ 4B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验．分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次，C 不是简单随机抽样，D 是简单随机抽样．解答：A、B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D 是简单随机抽样．故选D．点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意发现各种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作例：利用随机数表法对一个容量为 500 编号为 000，001，002，…，499 的产品进行抽样检验，抽取一个容量为 10 的样本，若选定从第 12 行第 5 列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第 11 行至第 15 行），根据下图，读出的第 3 个数是（）A.841B.114C.014D.146分析：从随机数表 12 行第 5 列数开始向右读，最先读到的 1 个的编号是 389，再向右三位数一读，将符合条件的选出，不符合的舍去，继续向右读取即可．解答：最先读到的 1 个的编号是 389，向右读下一个数是 775，775 它大于 499，故舍去，再下一个数是 841，舍去，再下一个数是 607，舍去，再下一个数是 449，再下一个数是 983．舍去，再下一个数是 114．读出的第 3 个数是 114．故选B．点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．。
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抽样方法（3）
教学目的：掌握分层抽样方法，并对简单随机抽样、系统抽样及分层抽样方法进行比较，揭示其相互关系。
教学重点：分层抽样的概念的理解，及三种抽样方法的比较。
教学方法：启发式。
教学过程
一复习导引
提出问题：为什么一个单位老职工多，其投医疗保险的积极性就高，而老年职工少的单位其投医疗保险的积极性低？
一个单位的职工500人，其中不到35岁的有125人，35到49岁的有280人，50岁以上的有95人。
为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本。
由于职工年龄与这项指标有关，试问：应用什么方法抽取？能在500人中任意取100个吗？能将100个份额均分到这三部分中吗？
解：（1）确定样本容量与总体的个体数之比100：500=1：5。
（2）利用抽样比确定各年龄段应抽取的个体数，依次为125
5，280
5
，95
5
，
即25，56，19。
（3）利用简单随机抽样或系统抽样的方法，从各年龄段分别抽取25，56。
19人，然后合在一起，就是所抽取的样本。
——小结
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几个部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽
样叫做“分层抽样”，其中所分成的各部分叫做“层”。
——强调
（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的。
用分层抽样从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相。
等，都等于n
N
（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此它获取的样本更具代表性，在实用中更为广泛。
二课堂练习
三种抽样方法的比较
三、补充练习：
1、某学校现有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后
勤人员21人。
为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，试用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样分别叙述抽取的方法。
2、一个工厂有若干个车间，今采用分层抽样的方法从全厂某天的2048件新产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查。
若一车间这一天生产256产品，则从该车间抽取的产品数是多少？
方法1：
四作业、练习：
1．某校共有60个班级，为了调查班级中男女学生所占比例的情况，试抽取8个班级组成一个样本。
2．某学校的高一年级有200名学生，为了调查这些学生的某项身体素质达标状况，请使用随机数表法从总体中抽取一个容量为15的样本。
3．为了了解某市800个企业的管理情况，拟取40个企业作为样本。
这800个企业中有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其它性质企业80家。
如何抽取？
4.一个电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示
电视台为了了解观众的具体想法的意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查。
为此，要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各就抽选多少人。