无穷级数练习题
无穷级数习题
一、填空题
1、设幂级数0
n
n n a x ∞
=∑的收敛半径为3，则幂级数11
(1)n n n na x ∞
+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数0(21)n n n x ∞
=+∑的收敛域为 。
3、幂级数21
1(3)2
n n
n
n n
x
∞
-=-+∑
的收敛半径R = 。
4
、幂级数0n
n ∞
=∑
的收敛域是 。
5、级数21(2)4n
n
n x n ∞
=-∑
的收敛域为 。
6、级数0
(ln 3)2
n
n
n ∞
=∑
的和为 。
7、1
1
1(
)2
n n n ∞
-==∑ 。
8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01
(cos sin )2
n
n n a a
nx b nx ∞
=+
+∑，则其系数3b 的值为 。
9、设函数2
1,
()1,
f x x -?=?+? 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。
10、级数1
1
(1)(2)
n n n n ∞
=++∑
的和 。
11、级数21
(2)4
n
n
n x n ∞
=-?∑
的收敛域为 。
参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3
、R = 4、[1,1)- 5、(0,4)
6、
22ln 3
- 7、4 8、23
π 9、2
12
π 10、
14
11、(0,4)
二、选择题
1、设常数0λ>，而级数21
n
n a ∞
=∑
收敛，则级数1
(1)n
n ∞
=-∑是（ ）。
（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2
n n
n a a p +=
，2
n n
n a a q -=
， 1.2n = ，则下列命题中正确的是（ ）。
（A ）若1
n n a ∞
=∑条件收敛，则1
n n p ∞
=∑与1
n n q ∞
=∑都收敛。
（B ）若1
n n a ∞
=∑绝对收敛，则1
n n p ∞
=∑与1
n n q ∞
=∑都收敛。
（C ）若1
n n a ∞
=∑条件收敛，则1
n n p ∞
=∑与1
n n q ∞
=∑的敛散性都不一定。
（D ）若1
n n a ∞
=∑绝对收敛，则1
n n p ∞
=∑与1
n n q ∞
=∑的敛散性都不定。
3、设0
,1,2n a n >= ，若1
n n a ∞
=∑发散，1
1
(1)n n n a ∞
-=-∑收敛，
则下列结论正确的是（ ）。 （A ）211
n N a ∞-=∑收敛，21
n n a ∞=∑发散. （B ）21
n n a ∞=∑收敛，211
n n a ∞
-=∑发散.
（C ）2121
()n n n a a ∞
-=+∑收敛. （D ）2121
()n n n a a ∞
-=-∑收敛.
4、设α
为常数，则级数2
1
sin()(
)n n n
α∞
=-
∑是（ ）
（A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关.
5、级数1
(1)(1cos
)n n n
α
∞
=--∑（常数0α ）是（ ）
（A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6
、设(1)ln(1)n
n u =-+
，则级数
（A ）1
n n u ∞
=∑与21
n
n u ∞
=∑都收敛. （B ）1
n n u ∞=∑与2
1
n n u ∞
=∑都发散.
（C ）1
n n u ∞=∑收敛而2
n
n u ∞
=∑发散. （D ）1
n n u ∞=∑发散而2
1
n n u ∞
=∑收敛.
7、已知级数1
211
1
(1)
2,5n n n n n a a ∞∞
--==-==∑∑，则级数1
n n a ∞
=∑等于（ ）
。 （A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 8、设函数2()(01)f x x x =≤≤，而
1
()s i n n
n S x b n x π∞
==
∑
， x -∞<<∞
其中1
2()sin n b f x n xdx π=?，1,2,3n = ，则1()2
S -
等于（ ）
。 （A ）12
-
. （B ）14
-
. （C ）
14
. （D ）12
.
9、设,()22,x f x x ?=?-?
1
02
112
x x ≤≤
<< 01
()c o s 2n
n a S x a n x π∞
==+
∑
，x -∞<<+∞ 其中1
2()cos n a f x n xdx π=? (0,1,2,n = 则5()2
S -
等于（ ）。
（A ）12
. （B ）12
-
. （C ）
34
. （D ）34
-
.
10、设级数1
n n μ∞
=∑收敛，则必收敛的级数为
（A ）1
(1)
n
n n u n
∞
=-∑. （B ）n ∞=
∑
2
1
n
n u
∞=∑. （C ）2121
()n n n u u ∞
-=-∑. （D ）11
()n n n u u ∞
+=+∑.
11、已知级数1
1
(1)
2n n n a ∞
-=-=∑，
215
1
n n a
∞
-==∑，则级数1
n n a ∞
=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9.
12、若级数1
n n a ∞
=∑收敛，则级数（ ）
（A ）1
n n a ∞
=∑收敛. （B ）1
(1)n
n n a ∞
=-∑收敛. （C ）11
n n n a a ∞
+=∑收敛.（D ）1
1
2
n n n a a ∞
=++∑
收敛.
13、若0
(1)n n n a x ∞
=-∑在1x =处收敛，则此级数在2x =处（ ）。
（A ）条件收敛. （B ）绝对收敛. （C ）发散. （D ）敛散性不能确定.
14、设幂级数0
n
n n a x ∞
=∑与1
n
n n b x ∞
=∑
的收敛半径分别为
3
与
13
，则幂级数2
2
1
n
n n n
a x
b ∞
=∑
的收敛半
径为（ ） （A ）5. （B
3
（C ）
1.3
（D ）
1.5
参考答案：
三、解答题
1、设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数，且0
()lim
0x f x x
→=，证明级数
1
1(
)n f n
∞
=∑
绝对收敛。
【分析一】0
()lim
0x f x x
→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小，若能进一步确定
()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小，1p >，从而1(
)f n
也是
1n
的p 阶或高于p 阶的
无穷小，这就证明了1
1(
)n f n
∞
=∑绝对收敛。
【证明一】由0
()lim
0x f x x
→=及()f x 的连续性?(0)0,(0)0f f '==。再由()f x 在
0x =邻域有二阶连续导数及洛必达法则
2
000()()()1
lim lim lim (0)222
x x x f x f x f x f x x →→→'''''?=== ? 2
()l i m
(0).
2
x f x f x
→''=
由函数极限与数列极限的关系? 2
1
(
)1lim
(0)1
2
x f n
f n
→+∞
''=
因2
1
1n n
∞
=∑
收敛1
1(
)n f n
∞
=?
∑
收敛，即1
1(
)n f n
∞
=∑绝对收敛。
2、设正项数列n a 单调减小，且1
(1)n
n n a ∞
=-∑发散，试问级数1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑是否收敛？
【分析与求解】因{}n a 单调下降有下界0??极限lim 0n x a a →+∞
=≥。若0a =，由莱布
尼兹法则，并错级数1
(1)n n n a ∞
=-∑收敛，与假设矛盾，于是0a >。
现在对正项级数1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑可用根值判别法：因为
11l i l i m 1
11n n n
a a →+∞
→+∞=
=<++， 所以原级数收敛。
3、求幂级数1
13(2)
n
n
n
n x
n
∞
=+-∑
收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式，先求
111
l i l i .
3
3
n n →+∞
→+∞
==
于是收敛半径3R =，收敛区间为(3,3).-
当3x =时是正项级数：1
3
1.3(2)
n
n
n
n n
∞
=?
+-∑
3
11()3(2)
n
n
n
n n
n
?
→+∞+-
，而1
1n n
∞
=∑
发散，
?
1
3
1
3
(2)n
n n
n n
∞
=+-∑
发散，即3x =时原幂级数发散。
当3x =-时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。
3
1
(1)(3(2)(2)
13(2)3(2)
n
n n n n
n
n
n n
n
n
-+---=
?
+-+-
(1)2
13(2)n
n
n n
n
n
-=-
?+- 因 1
2
1
3
123(2)lim
lim
0,(
)23(2)
3
3
n
n
n
n
n
n n
n
n n n n
n
n
∞
→+∞
→+∞
=+-=?
=+-∑收敛，
1
2
13
(2)
n
n
n
n n
∞
=?
?
+-∑收敛，又1
(1)n n n
∞
=-∑
收敛1
3
1
3
(2)n
n
n
n n
∞
=?
+-∑收敛，即3x =-时
原幂级数收敛。
4、（1）验证函数3
6
9
3()1()3!
6!
9
(3)!
n
x
x
x
x
y x x n =+
+
+
++
+-∞<<+∞ 满足微分方程
x
y y y e '''++=；
（2）利用（1）的结果求幂级数30
(3)!
n
n x
n ∞
=∑
的和函数。
【分析与求解】
（1）首先验证该幂级数的收敛区间是(,).-∞+∞这是缺项幂级数，令3t x =，则
原级数30
(3)!(3)!n n
n n x
t
n n ∞
∞
===
=∑∑
由 1
1(3(1))!
l i m
l i m 0
1
(33)(32)(3
1)
(3)!
n n n n n n n →+∞
→+∞+
==
++
+ (,)t ?∈-∞+∞，从而(,)x ∈-∞+∞时原级数收敛。
其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：
311
()(31)!n n x
y x n -∞
='=
-∑，
32
1
()(32)!n n x
y x n -∞
=''=
-∑，
(,).x ∈-∞+∞
于是 ()()
()
y x y x y x '''++ 32
313
11
(
32)!(3
1)!(3)!
n n n n n n x
x
x
n n n --∞
∞
∞
====
++--∑∑∑
级数的线性性质 32
31
31
1()(32)!(31)!(3)!n n n
n x
x
x
n n n --∞
=+
++--∑
2
3
4
5
6
1()()2!3!4!5!6!
!
n
n x x x x x
x
x n ∞==+++++++=∑ x
e = ().
x
-∞<<∞（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）
（2）因为幂级数30
(3)!
n
n x
n ∞
=∑
的和函数()y x 满足微分方程
.x y y y e '''++= ① 又知 (0)1,
(0)y y '=
= ②
所以为求()y x 只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②
该方程相应的齐次方程的特征方程为 210.λλ++=
特征根为1,212
2
i λ=-
± ? 相应齐次方程的通解为
1212
(cos
sin
).2
2
x
y e
c x c
x -=+
设非齐次方程的一个特解为x y Ae *=，代入方程①得
3.x
x
y y y Ae e '''*+*+*==
? 1.3
A =
? 非齐次方程①的通解为
2
121(cos
sin
).2
2
3
x x
y e
c x c x e -=++
令0x =，由初始条件② ?
112
1(0)1,311(0)0.
223y c y c ?
=+=??
?
?'=-++=??
? 122,0.3c c == 因此 320
2
1
()c o s (
3)!
3
2
3
x
n
x
n x
y x e x e n ∞
-
===
+
∑ ()x -∞<<+∞
5、求幂级数121
1(1)(1)(21)
n n
n x
n n ∞
-=-+
-∑的收敛区间与和函数().f x
【分析与求解】 这是缺项幂级数，令2
,t x =考察1
n n n a t ∞
=∑，其中
1
1(1)
(1
).
(21)
n n a n n -=-+-
由
1≤
?
l i 1.
n →+=
1
n
n
n a
t ∞
=?
∑的收敛半径为1?原幂级数收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-。
下面求和函数：
21
22
1
2(1)
2
212
11
()(1)
(1)
(1)
,1n n
n n n
n
n n n x
f x x
x
x
x
x
x
∞
∞
∞
---====
-=-=-=
+∑∑∑
1
221
1()(1)
(21)
n n
n f x x
n n ∞
-==
--∑，
? 21
1
21()2(1)
,21
n n n x
f x n -∞
-='=--∑
1
2(1)
22
1
2()2(1)1n n n f x x
x
∞
--
=''=-
=
+∑ (1)x <
注意22(0)0,(0)0f f '==，积分两次得
222
001()()22a r cta n 1x
x
f x f t dt dt x t
'''=
==+??
,
222
()()2a r cta n 2a r cta n 21x
x
x
t f x f t dt tdt x x dt t
'=
==-+?
??
2
2a r c t a n 1(1)x x n x =-
+ (1).
x < 因此，22
122
()()()2a r cta n 1(1).1x
f x f x f x x x n x x
=+=
+-++
6、求级数2
1(1)(1)2
n
n
n n n ∞
=--+∑的和。
【分析与求解】先将级数分解：
2
111(1
)
(1)(
1)(1)().
2
22n
n
n n
n n n n A n n n n ∞
∞
∞
====
--+
=--+-∑∑∑ 第二个级数是几何级数，它的和已知
112().
12
3
1()
2n
n ∞
=-
=
=
--
∑ 求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察
1(1)1n n
n x x
∞
=-=
+∑ (1)x <
? 2
3
012()(1)
(1)(1)()1(1)n
n n n n n S x n n x
x x x ∞
∞-==''??
''=
--=-==??++??∑∑ ?
2
3
111
12
4
(1)
(1)
().
12
2
2
427
(1)
2n
n
n n n S ∞
=--===+
∑ 因此原级数的和 4222.27
3
27
A =
+
=
7、求级数2
2
12(1)
n
n n ∞
=-∑
的和。
【分析与求解】 先用分解法将原级数分解。
1
1
1
2
2
2
1
111
1
()2
1
1
2
(1)
2
(1)
n n n n n n A n n n n ∞
∞
∞
+++
===
=
-
=
--+-+∑∑∑
记 12.A A -
要熟记五个简单函数的幂级数展开式，与此级数和有关的是1(1)n x +，即
1
1
(1)
1(1)
n n
n n x x n
-∞
=-+=∑
(11)
.x -<≤ 于是 11
2
2
1
1
1
2
(1)
2
n n n n A n n
∞
∞
++===
=
-∑∑
1
1
1(1)111
1(
)1(1
)
124
2
4
2
4
n n
n n n n
-∞
=--=-
=-
-=∑
， 21
2
3
1
1
2
(1)
2
n n
n n A n n
∞
∞
+===
=
+∑∑
1
1
2
3
1
(1)
1(1)
1111()()()2
2
2
2
2
n n n
n
n n n
n
--∞
∞
==--=--
=--
-
-
-
∑
∑
1115
1(1)12,2
288n n =----=- 因此 12531 2.8
4
A A A n =-=-
8、将函数1()a r cta n
1x f x x
+=-展为x 的幂级数。
【分析与求解】()f x '容易展开。 2
2
2
2
1(1)(1)(1)
2
()1(1)
(1)(1)
1(
)
1x x f x x x x x x
--+?-'=
=
+--+++-
2
11x
=
+，
由
2
11(1)(
1)1n n
n n
n t t
t
t t
∞
==-+-+-+
=
-+∑ (1)
t <，得 22
1()(1)
(1).
1n n
n f x x x x
∞
='=
=
-<
+∑
① 在幂级数的收敛区间内可逐项积分得
20
()(1),x
x
n
n
n f t dt t dt ∞
='=
-∑?
?
21
210
(1)
(1)
()(0)(21
4
21n
n
n n n n f x f x
x
n n π∞
∞
++
==--=+
=
+
++∑
∑ ②
且收敛区间不变，当1x =±时，②式右端级数均收敛，而左端1()a r cta n 1x f x x
+=-在1
x =-连续，在1x =无定义，因此 [21
1(1)
a r cta n ,1,1)14
21
n
n n x x
x x
n π∞
+=+-=
+
∈--+∑
9、将函数111()1a r cta n 412
x f x n x x x +=
+-- 展开成x 的幂级数。
【分析与求解】111()1(1)1(1)a r cta n 44
2
f x n x n x x x =+--+-，先求()f x '的展开式
2
1
1
1
1
11
()1414121f x x x
x
'=
+
+-+-+
442
2
4
1
11
11
111121211n
n
n n x
x
x
x
x
∞
∞
===
+
-=
-=
-=
-+-∑∑ (1)x <
积分得 41
40
1
1
()(0)()(
1).41n x
x
n
n n x
f x f f x dx t dt x n +∞
∞
=='=+=
=
<+∑∑?
?
10、设2
1a r c t a n ,0()21,0x x x f x x ?+≠?
=??=?
试将()f x 展开成x 的幂级数，并求级数
2
1
(1)
14n n n
∞
=--∑的和。
【分析与求解】 关键是将a r cta n x 展成幂级数，然后约去因子x ，再乘上2
1x +并化简即
可。直接将a r cta n x 展开办不到，且(a rcta n )x '易展开，即
22
1(a r cta n )(1)
,1,1n
n
n x x
x x
∞
='==
-<+∑ ①
积分得
221
(1)
a r cta n (a r cta n )(1)
21
x
n
x
n
n
n n n x t dt t dt x
n ∞
∞
+==-?'=
=
-=
+∑∑
?
[]1,1.x ∈- ②
因为右端级数在1x =±时均收敛，又a r cta n x 在1x =±连续，所以展开式在收敛区间端点1x =±成立。
现将②式两边同乘
2
1x x
+得
2
22
2
220
00
1(1)
(1)
(1)a r cta n (1)21
2121
n n
n n n
n
n n n x x
x x x
x
x
n n n +∞
∞
∞
===+---=+=
+
+++∑
∑∑
1
220
1
(1)
(1)
21
21
n
n n
n
n n x x
n n -∞
∞
==--=
+
+-∑
∑
21
11
1(1)[
]21
21
n n
n x
n n ∞
==+--
+-∑
22
1
(1)21,[1,1],0.
14n
n
n x x x n ∞=-=+∈-≠-∑ 上式右端当0x =时取值为1，于是
22
1(1)2()1,[1,1].
14n
n
n f x x x n
∞
=-=+∈--∑ 上式中令2
1
(1)
1111[(1)1][21].142
2
4
4
2
n n x f n
ππ∞
=-=?=
-=
?
-=
-
-∑
11、将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数1
12
n
n ∞
=∑
的和。
【分析与求解】 按傅氏系数公式，先求()f x 的傅氏系数n a 与n b 。 因()f x 为偶函数0(1,2,3).n b n == 1
1
2()cos
2(2)cos l
l n n a f x xdx
x n dx l
l
ππ==+?
?
10
1
1
12
2
2224cos sin sin cos n xdx xd n x n xdx n x
n n n πππππ
π
π
=+
=-
=
??
?
22
2
2
4,
21,2(21)[(1)1](1,2,)2.
0,n
n k k n n n k
π
π
-?=-?-=
--==?=??
1
00
2(2)5.
a x d x =+=? 注意到()f x 在[1,1]-分段单调，连续且(1)(1)f f -=，于是有傅氏展开式
[]2
2
1
541()2c o s (21),1,1.
2
(21)
n f x x n x x n ππ
∞
==+=
--∈--∑
为了求2
1
1n n
∞
=∑
的值，上式中令0x =得
2
2
154
1
2,2
(21)
n n π
∞
==
-
-∑即
2
2
1
1.(
21)
8
n n π
∞
==
-∑
现由
2
2
2
221
11
111111
1
,(21)(2)
(2
1)4n n n n n
n n n n
∞
∞
∞
∞
====??=+=+??--??∑
∑∑
∑ ?
22
2
2
1
1
31
1
,
.4
8
6
n n n
n
π
π∞
∞
===
=
∑∑
12、将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数。
【分析与求解】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期4的周期延拓，于是得()f x 的傅氏系数：
0(1,2,3).n b n == 2
2
2()cos
(1)cos 2l
l n n x n a f x dx
x xdx l
l
ππ==
-?
?
2
2
2
2(1)sin
sin
2
2
n n x d x xdx n n πππ
π
=
-=-
?
?
2
2
2
2
2
44cos ((1)1)2
n
n x
n n ππ
π
=
=
-- =2
2
8,
21,(21)1,2,32,
0,n k k k n k π
-?
=-?-=?=??
2
2
2
2
00
2
1()(1)(1)
0.2
2
a f x dx x dx x =
=
-=
-=??
由于（延拓后）()f x 在[]2,2-分段单调、连续且(1)(1).f f -=于是()f x 有展开式
[]2
2
1
8
1
(21)()cos
,0,2.(21)
2
n n f x x x n π
π
∞
=-=-∈-∑
13、求幂级数1
1
3(2)n
n n n x n
∞
=??+-??∑
的收敛区间，并讨论该区间端关处的收敛性。
解：设1
0,
1,2,,3(2)n n n
a n n =
>=??+-??
11
1
1
2
1()3(2)113lim
lim
lim
23
3
3(1)
(1)1()
3
n
n n
n n n x x x n n
n
a a n +++→∞
→∞
→∞
++-??+-??===
??+-+?
?
+-
3R ∴= ?收敛区间(3,3).-
当3x =时，3
111223(2)1()
3n
n n n n
a n
n
n =
=
?
>
??+-??
+-
而1
12n n
∞
=∑
发散?原级数在3x =处发散。
当3x =-时，(3)
(1)2
13(2)
3(2)n n
n
n n
n
n
n
a n
n
n --=
=
-
?
+-??+-??
记1
0,1,2,,3(2)n n n V n n
=
>=??+-??
1
11
1
1
2
1()23(2)
23
,23
(2)
2
3
1
1()
3
n
n n n
n n n n
n N
V n n V n ++++++-+-=
?
=
?
+-++-
213
n →∞
???→< 1
2
13
(2)
n
n
n
n n
∞
=?
?
+-∑收敛，又1
(1)n
n n
∞
=-∑
收敛。
故原级数在3x =-处收敛?收敛域内[3,3).-
14、将函数2
()2x f x x x
=
+-展开成x 的幂级数。
分析 先将()f x 分解成部分分式，再利用等比级数间接展开。 解：2
1
1
1
111()(
),(2)(1)
32313112n
f x x x x x x
x
=
=-=-
-+-++-
11,22,2
12
n
n
n x x x ∞
==
-<<-
∑
1(1)
,1 1.1n
n
n x x x
∞
==
--<<+∑
000
111
1()(1)(1),1 1.323
2n
n
n
n n
n n n n n f x x x x x ∞∞∞
===????∴=-
-=---<
??∑∑∑
15、将函数12()a r cta n
12x f x x
-=+展开成x 的幂级数，并求级数0
(1)
21
n
n n ∞
=-+∑
的和。
分析 直接展开较困难，先将()f x '展开，再递项积分得出()f x 的展开式 解 2
2
2
12(12)2(12)
2()12(12)
141(
)
12x x f x x x x
x
-+---'=
?
=
-++++
2
20
112(1)(4)2(1)4,2
2
n
n
n
n
n
n n x x
x ∞
∞
===--=---
<<
∑∑
20
()(0)()2(1)4
4
x
x
n
n
n
n f x f f t dt t dt π
∞
='=+
=
--∑?
?
21
(1)
244
21
n
n n n x
n π∞
+=-=
-?+∑
当12
x =
时，21
(1)
11
(1)
421
2
2
21n
n
n
n n n n n ∞
∞
+==--??
=
++∑
∑收敛 （莱布尼兹判别法）
当12
n =-
时，21
21
(1)
(1)1(1)
4212
2
21
n
n n
n
n n n n n +∞
∞
+==---??
=-
++∑
∑
收敛
21
(1)
11()24,,4
21
22n
n n n f x x
x n π∞
+=-??
∴=
-??∈-??+??
∑
又0
1(1)
(
)a r cta n 002
4
21
n
n f n π∞
==
-==+∑
(1)
.21
4
n
n n π∞
=-∴=
+∑
16、求幂级数1
21
1
(1)
(21)
n n n x
n n -+∞
=--∑
的收敛域及和函数().s x
解：求收敛域，由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之，设
1
21
(1)
(),1,2(21)
n n n x
u x n n n -+-=
=-
23
2
121
()(21)lim
lim
()
(1)(21)
n n n x x n x
u x n n x u x n n x
++-→∞
→∞
-==++
当21x <，即1x <时，原级数绝对收敛； 当2
1,x >即1x >时，原级数发散。
所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是(1,1).-
当1x =时，1
1
(1)
(21)
n n n n -∞
=--∑
绝对收敛2
11()(21)
n n n
<
-
同理，当1x =-时，1
(1)
(21)
n
n n n ∞
=--∑
绝对收敛，
因此，该级数的收敛域为[]1,1-
[]1
21
1
(1)
(),
1,1(21)
n n n x
S x x n n -+∞
=-=
∈--∑
17、求幂级数121
1(1)(1)(21)
n n
n x
n n ∞
-=-+
-∑(1)的收敛区间与和函数()f x 。
解：此级数(1)是缺项的幂级数
令1
1
21(21)1()(1)
(1),1,2,(21)
(21)
n n n
n n n u x x
x
n n n n n ---+=-+
=--
22
1()(1)(21)1(21)lim
lim
()
(1)(21)
(21)1
n n n n u x n n n n x x u x n n n n +→∞
→∞
+++-=?
=++-+
当21x <，即1x <时，级数(1)绝对收敛； 当21x >，即1x >时，级数(1)发散。
∴级数(1)的收敛区间为(1,1)-
1
1
21
221
1
1
1(1)
(1)
(1)(1)
(21)
2(21)
n n n
n n
n
n n n x
x
x
n n n n -∞
∞∞
--===--+
=
-+
--∑∑∑
记21
22
1
()(1)
,(1,1)1n n
n x
g x x x x
∞
-==
-=
∈-+∑
1
(7)
22
1
(1)
1()(1)2(21)
2
n n n S x x
xarctam x lin x n n -∞
=-=
-
+-∑
例
22
2
()()2()2a r cta n (1),(1,1)1x
f x
g x S x x lin x x x
∴=+=
+-+∈-+
18、（1）讨论级数1
1
(1)!n n n n
∞
+=+∑
的敛散性，（2）已知级数2
n
a ∞
∑n=1
和21
n n b ∞
=∑都收敛，试证明级数
1
n
n n a
b ∞
=∑绝对敛。
（1）解 1
12
2
(2)!(2)111()1(1)
(1)!
(1)
(1)
n n n n
n
u n n
n n n u n n n e
n +++++=
?
=
→
<→∞++++
1
1(1)!n n n n
∞
+=+∴∑
收敛
（2）证
2
1n
n a
∞
=∑与21
n
n b ∞
=∑都收敛?
1
2
n n n a b ∞
=∑收敛1
n n n a b ∞
=?
∑
收敛
即 1
n
n x
α
∞
=∑绝对收敛。
19、设有方程10n
x nx +-=，其中n 为正整数，证明此方程存在唯一的正实根n x ，并证明
当1α>时，级数2
1
n n xn ∞
=∑收敛。
分析 （1）存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可调性
（2）用比较判别法证明1
n n x α
∞
=∑收敛。
证 （1）取()10n n f x x nx =+-=，则()n f x 在[]0,1上连续，且
(0)10,(1)0(0,1)n n f f n n =-<=>??∈，使()0n f x =，
又[]1
()0,0,()n n n f x nx n x f x -'=+>∈+∞?在[]0,+∞上严格递增?方程
10n
x nx +-=存在唯一正实根(0,1).n x ∈
由 10n
n
n x nx +-=且(0,1)n x ∈，有 11100(1)n
n
n
n n x x x n
n
n
α
α-<=
<
?<<
>
又 1
1n n
α
∞
=∑
收敛1
n
n n
α
∞
=?
∑收敛。
20、设4
ta n .n
n a xdx π
=
?
（1）试证：21
1()n n n a a n
∞
+=+∑
（2）试证：对任意常数0λ>，级数1
n n a n
λ
∞
=∑
收敛。
（1）解 直接求2n n a a ++的表达式
2
2
44
4
20
ta n
ta n (1ta n )n
n n n n o
a a tan xdx xdx x x dx π
π
π
+++=+
=
?+??
?
2
44
ta n sec ta n (ta n )n
n
x xdx xd x π
π
=?=
?
?
4
1
11ta n 1
10
n x n n π
+=
=
++
21
1
1
1
()(1)n n n n a a n
n n ∞
∞
+==∴
+=
+∑∑
1
1
111(
)(1)
1
n n n S k k k k ∞
∞
===
=
-
++∑
∑
1
11()
1
n n =-
→→∞+ 11
1()1
n n n a a n
∞
+=∴+=∑
（2）证 4
0t a n n n a x d x π
<=?
令ta n ,a rcta n n
t n t ==
1
1
2
11.11
n
n
t
dt t dt t
n n
=<=
<
++?
?
于是 11
0n a n
n
λ
λ
+<
<
由于 1
1
11,
1n λλ
∞
=+>+∑收敛
因此
1
n n a n
λ
∞
=∑
收敛。
21、求级数2
1
(3)n
n x n
∞
=-∑
的收敛域。
【解】因系数2
1(1,2),n a n n
=
= 故 2
12
l i m
l i m 1.
(1)
n x x n
a n
a n +→∞
→+∞
=
=+ 因此当131x -<-<，即24x <<时级数绝对收敛。
当2x =时，得交错级数1
1(1)
2
n
n
n ∞
=-∑；当4x =时，得正项级数2
1
1n n
∞
=∑
，二者都收敛，
于是原级数的收敛域为[]2,4.
22、已知函数, 1.
()2,x x f x x ≤≤?=?
-<≤?若0若1x 2.
试计算下列各题：
2
00
(1)();x
s f x e dx -=?
412
(2)(2);x
s f x e dx -=-?
2202(3)(2)(2,3)n x
n
s f x n e dx
n +-=
-=?
； 0
(4)n
n s s
∞
==
∑
【解】用分段积分法，分部积分法和换元积分法，分别可得 1
2
1
2
2
00
1
1
1
(1)(2)2x
x
x
x
x
s xe dx x e dx xe dx xe dx e dx -----=
+
-=
-+?
?
?
??
1
20
1
1
2
2
2
2
2
1
12111(1)(1)x
x
x
x
xe e dx xe e
dx e e
e e
e
----=-+++
=
-
+=-=
-??
；
2
2
22
2
0102
(2)2()()t t
s s x t f t e
dt e
f t e dt s e
e
------====
??
；
2
2
2220020
(3)2()()t n
n
t n
n n
s s x n t f t e
dt e
f t e dt s e
e
------====
??
；
(4)利用以上结果，有2
2
0002
2
2
2
1(1)1(
)11
1
1
1n
n n n S e s e e s s s e
e e e e
∞
∞
==--=
==
=
==
--+-
∑
∑
23、设有两条抛物线21y nx n
=+和21(1)1
y n x n =++
+，记它们交点的横坐标的绝对值
为n a 。
（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n s ；
（2）求级数1
n n n
s a ∞
=∑
的和。
【解】（1）用n L 与n 1L +分别表示两条抛物线
2
1y nx n
=+
与2
1(1),1
n y n x L n =++
+与1n L +
有两个交点(,)n n a y -与(,)n n a y ，如图5.2.
令 2
2
11(1)1
nx n x n
n +
=++
+
，容易求得n a =
，利用定积分还可求得两
抛物线围成的平面图形的面积。
22
011(1)1n n
a a s nx n x dx n n -??=
+-+-??+??
?
2
2(1)
n n
a n a a x dx n n -=
-
=
+?
（2） 因为 4
1
411
()(1,2)3(1)
31
n n
s n a n n n n =
=
-=++ ，
于是
14111
1
114
1
()()()(1).3122
3
131
n
k k k s a n n n =??=
-+-++-=-??++??∑
故
1
1
414lim lim(1).3
1
3n
n k n n n k n
k
s s a a n ∞
→∞
→∞
====
-
=
+∑
∑
24、设4
sin cos ,0,1,2,n
n I x xdx n π
=
=?
，求0
.n n I ∞
=∑
【解】由
40
1
1
4
11sin (sin )(sin )
(
1
1
2
n
n n n I xd x x n n π
π
++=
=
=
++?
，有
1
1(
)
1
2
n n n n I n ∞
∞
+===
+∑
∑
令1
1
()1n n s x x
n ∞
+==
+∑，因其收敛半径1R =，且(0)0s =，故在(1,1)-内有
1()1n
n s x x x
∞
='=
=
-∑
于是 0
1()(0)1(1),11.
1x
s x s d t n x x t
=+
=----?
令(1,1)2x =
∈-，
即得
1
1(
)(
)1(1
)12).
2
1
2
2
n n s n n n ∞
+==
=--=+∑
从而
4
sin cos (
)1(22
n
n n n I x xdx s n π
∞∞
===
==+∑
∑?
25、已知()n f x 满足1()()n x
n n f x f x x e -'=+（n 为正整数），且(1)n e f n
=
，求函数项级数
1
()n n f x ∞
=∑
之和。
【解】由已知条件可知()n f x 满足一阶线性微分方程
1
()(),n x
n n f x f x x e -'-=
?其通解为 ()().
n
x
n x
f x e c n
=+
由条件(1)n e f n
=
，得0c =，故().n x
n x e f x n
=
从而
1
1
1
().
n x
n
x
n n n n x e x f x e n
n
∞
∞
∞
====
=∑
∑
∑
(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
微积分习题之无穷级数共21页文档
[填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为
22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3
无穷级数单元测试题答案知识分享
无穷级数单元测试题 答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、收敛 3、5 4、π 33--，π π12 48+ -， ???????±±=--±±==,...3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件，
故该交错级数条件收敛。 （2）∑∞ =?? ? ??+11n n n n 解：lim lim( )[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a 解：另设级数1 () n v n a b =+ 111111 1(1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4) ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++ （补充条件1x <，或求出R ）
无穷级数练习题word版
无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4)
二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散.
无穷级数单元测试题
第十二章 无穷级数单元测试题 一、判断题 1、。收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u （ ） 2、若正项级数∑∞=1 n n u 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。 （ ） 3、若正项级数∑∞=1n n u 发散，则。1lim 1>=+∞→r u u n n n （ ） 4、若∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则n n n v u ∑∞ =1绝对收敛。 （ ） 5、若幂级数n n n x a )23(1 -∑∞ =在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。（ ） 6、已知n n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。 （ ） 7、n n n x a ∑∞=1和n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞ =+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。 （ ） 8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数 ...! 2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。 （ ） 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。 （ ） 10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件，
n a （n=0,1,2,...）, n b （n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则 必有)sin cos (2)(1 0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。 （ ） 二、选择题 1、下列级数中不收敛的是（ ） A ∑∞ =+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n 2、下列级数中，收敛的是（ ） A ∑∞ =--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ． 3、判断∑∞=+11 11n n n 的收敛性，下列说法正确的是（ ） A 因为 01 1>+n ，所以此级数收敛 B 因为01lim 11=+∞ →n n n ，所以此级数收敛 C 因为 n n n 111 1>+，所以此级数发散。 D 以上说法均不对。 4、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A ∑∞=-1)1(n n n ； B ∑∞=++12123n n n ； C ∑∞=-??? ??-1132)1(n n n ； D ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． 5、若级数∑∞ =--112)2(n n n a x 的收敛域为[3,4),则常数a=（ ）
无穷级数习题
第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<，
无穷级数 测试题
1. 填空3分一道（1）若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则()1 .n n n u v ∞ =+∑必 （2）若常数项级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim .n n u →∞ = 2.14分 下列级数中条件收敛的是（ ）绝对收敛的是（） (A)()11112n n n ∞ =-+∑ (B)( )11n ∞=-∑ (C)()111n n n ∞=-∑ (D)()2111n n n ∞=-∑ (E)( )11n n ∞=-∑ （F ）() 111n n ∞-=-∑ 下列题10分一道 3.判定级数112n n n ∞=?∑的敛散性（收敛或者发散） 4.判定级数13!n n n n n ∞=?∑的敛散性 5.判定级数()111001n n n ∞ =+∑的敛散性 6.判定级数211ln 1n n ∞=??+ ???∑的敛散性 7.求幂级数()131n n n n x n ∞=-∑的收敛半径及收敛区间（开） 8. 求幂级数11!n n x n ∞ =∑的收敛区间 9.求幂级数112n n nx ∞-=∑的收敛区间及和函数 10.将13 x +展开成()1x -的幂级数，并求其收敛区间。 知识点归纳： 一、正项级数：1.调和级数11n n ∞ =∑发散。 2.11p n n ∞=∑：当p>1时，收敛，p ≤1时发散（包括一系列等价无穷小） 3.比值审敛法（针对通项里出现了,!n a n ）：1lim n n n u u +→∞ 的值<1,收敛；>1则发散；等于1，方法用错了，该用第2条。 二.交错级数：()11n n n u ∞=-∑，判定lim 0n n u →∞≠则该级数发散；lim 0n n u →∞ =， 1n n u u +≤，则该级数收敛，此时该级数分条件收敛和绝对收敛，就是将该级数加绝对值()111n n n n n u u ∞∞ ==-=∑∑，去掉麻烦的()1n -， 此时判别法回到正项级数判别法：1）如果还收敛的话，则为绝对收敛，如果发散则为条件收敛。
第十二章无穷级数练习题含答案
第十二章 无穷级数练习 1.判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11!21sin ;ln(1); ;( ) 32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++ -∑ ∑ ∑ ∑ 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 21 1 (1) []3n n n n ∞ -=-+∑； 2 1 c o s 3 n n n n ∞ =∑ ； 1 1 (1) n n ∞ -=-∑ 。 3. 求幂级数0 n n ∞ =∑ 的收敛区间。 4.证明级数1 !n n n n x n ∞ =∑ 当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n n n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞ →lim 。 5.在区间(1,1)-内求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数。 6.求级数∑ ∞ =-2 2 2 )1(1n n n 的和。 。
7.设11112,()2n n n a a a a +== + （1,2,n = ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40tan n n a xdx π = ? ， 1） 求21 1()n n n a a n ∞ +=+∑ 的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ ∞ =∑ 收敛。 9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =??? ? ??+111n n n a 是否收敛？并说明理 由。 10.已知2 22111358π+++= [参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x +-???。 。
无穷级数练习题
无穷级数练习题 无穷级数习题 一、填空题 ,,nn1，1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。axnax(1),,,nnn0,n1, ,n2、幂级数的收敛域为。 (21)nx，,0n, ,n21n,R,3、幂级数的收敛半径。 x,nn(3)2,，n1, n,x4、幂级数的收敛域是。 ,，1n0n, 2n,(2)x,5、级数的收敛域为。 ,nn4n,1 n,(ln3)6、级数的和为。 ,n20n, ,1n1,7、。 n,(),2n1, 28、设函数fxxx(),，, 的傅里叶级数展开式为 (),,,,,x ,a0，，(cossin)，则其系数b的值为。 anxbnx,nn321n, ,,,,x0,,1,,2,9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的fx(),x,,,20,,,x1,，x,, 敛于。 ,110、级数的和。 ,nnn，，(1)(2)n1, 2n,(2)x,11、级数的收敛域为。 ,nn,4n,1 ,1,1)R,3参考答案:1、 2、 3、 4、 5、 (2,4),(1,1),(0,4), 21212,,46、 7、 8、 9、 10、 11、 (0,4)422ln3,3 二、选择题 1
,,an2n1、设常数，而级数收敛，则级数是( )。 ,,0a(1),,,n21n1n,,,，n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛与,有关 aa，aa,nnnn，，n,1.2，则下列命题中正确的是( )。 2、设q,p,nn22 ,,, (A)若条件收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (B)若绝对收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (C)若条件收敛，则与的敛散性都不一定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (D)若绝对收敛，则与的敛散性都不定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,n1,an,,0,1,23、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( )。 a(1),a,,nnnn1,n1, ,,,,(A)收敛，发散. (B)收敛，发散. aaaa,,,,21n2n2n21n,,N1,n1n1n1,,, ,, (C)收敛. (D)收敛. ()aa，()aa,,,212nn212nn,,n1n1,, ,sin()1n,4、设为常数，则级数,是( ) (),,2nnn1, (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与取值有关. , ,,n,05、级数(1)(1cos),,(常数)是( ) ,n1n, (A)发散. (B)条件收敛. (C) 绝对收敛. (D)收敛性与有关. , 1n6、设，则级数 u,,，(1)ln(1)nn
无穷级数单元测试题答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、 收敛 3、5 4、π33--，ππ1248+-，???????±±=--±±==,... 3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。
（2）∑∞ =??? ? ?+11n n n n 解：lim lim()[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a Λ 解：另设级数1 () n v n a b =+ 1111111 (1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ L L 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4)ΛΛ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） Λ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++L （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得2462 1 ()11f x x x x x '=++++=-L （这是公比21q x =<的几何级数）
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第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1 ． n 2n 1 ； ． 1 ；3． 1 1 。 2 n 1 2n 2n2 n 1 3 n 5 n n 1 判断下列正项级数的敛散性 ． n! ；5． n e ； 6． n 1 ；7． 2n 3 ；8． n 4 ； 4 n 1 e n 1 2n n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n n n n 1 n 9． ；10． 3n n 1 2n 。 n 1 1 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 ． 1 n 1 n 1 ； 12． 1 n 1 ； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001； 11 2 n ln n n 1 n 2 14． 1 22 2 3 1 4 1 ； 2 1 3 2 4 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 ． 3n x n ；16． 1 n x n ； 17． n! x n ； ． 1 n ； 15 n n 18 n 1 2n n 1 n 1 n n 1 n 1 19． 1 2n 1 ； 20． n 2 n ； 1 2 n 1 x n 1 3 n x n 求下列级数的和函数 21． n 1 nx n 1 ； 22． n 1 2 1 n 1 x 2n 1 ； 将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数 23． shx e x e x ， x 0 0 ；24． cos 2 x ， x 0 0 ； 2 25． 1 x ln 1 x ， x 0 0 ； 26． 1 ， x 0 3 ； x 将下列函数在区间 , 上展开为付里叶级数 27． A x cos x ， x 。28． f x 2t ， x 2
数项级数经典例题大全 (1)
第十二章 数项级数 1 讨论几何级数 ∑∞ =0n n q 的敛散性. 解 当1|| 4、 讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、 证明2-p 级数 ∑∞ =121 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21 n u n = , 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、 判断级数∑∞ =1 1 s i n n n n 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要 条件) 7、 证明调和级数∑ ∞ =11n n 发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、 考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解 有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、 判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n 10级级数练习题答案 1 写出下列级数的通项： （1）1111248- +-+ 解：11 1 (1)2 n n n u --=-，(1,2)n = （2）1 234251017 + ++ + 解：2 1 n n u n =+ (1,2 ) n = （3） 2 3 114 47 710 1013 x x x + + + +???? 解：1 (32)(31) n n x u n n -= -+ (1,2 ) n = （4）2 3 4 2 2 2 22! 3! 4! - + - + 解：1 2 (1) !n n n u n -=- (1,2 ) n = 2设级数1 n n u ∞ =∑的第n 次部分和31 n n S n = +，试写出此级数，并求其和。 解：13(2),(1) n n n u S S n n n -=-= ≥+而113311 12 u S == = +?，1 1 3 (1)n n n u n n ∞ ∞ ==∴= +∑∑ 又3lim lim 31 n n n n S n →∞ →∞ ==+ ，所以级数1 n n u ∞ =∑收敛，且1 3 n n u ∞ ==∑ 3判断下列级数的敛散性。若级数收敛，求其和。 （1 ）0.001+++ 解：1 1lim lim ( )101000 n n n n u →∞ →∞ ==≠ ，所以原级数发散。 （2）2341 2 3 4 44444(1) 5 5 5 5 5 n n n -- + - ++-+ 解：公比4 4, 15 5 q q =-= <，所以级数收敛，和为 4 45419 15 a q = = -+ （3）1 3572 4 6 8 + ++ +??? 解：1 1357212 4 6 8 2n n n ∞ =-+ + + +???= ∑ 21lim lim 102n n n n u n →∞ →∞ -==≠ ，所以原级数发散。 （4）12342 3 4 5 + + ++??? 解：1 12342 3 4 5 1n n n ∞ =+ + ++???= +∑ lim lim 10 1 n n n n u n →∞ →∞ ==≠+ ，所以原级数发散。 （5）???+?? ? ??++??? ??++??? ??+ 271819141312 1 解： 对于1 1()2 n n ∞ =∑，公比112 q = <，所以级数收敛，和为 1 211112 a q = =-- 对于1 1()3 n n ∞ =∑，公比113 q = <，所以级数收敛，和为 1 13112 13 a q = = -- 所以???+?? ? ??++??? ??++??? ??+ 271819141312 1收敛，和为13122+= 4用比较判别法判定下列级数的敛散性 （1）1111357+ +++ 解：121 n u n = - 1 1 21lim lim lim (0,)11212n n n n u n n n →∞ →∞→∞-===∈+∞- 无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21(2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、2 12 π 10、14 11、(0,4) 二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散. （C ） 1 n n u ∞ =∑收敛而 20 n n u ∞ =∑发散. （D ） 1 n n u ∞ =∑发散而 21 n n u ∞ =∑收敛. 10级级数练习题答案 1 写出下列级数的通项： （1）111 1248-+- + 解：111 (1)2 n n n u --=-，(1,2)n = （2）1234251017+++ + 解：21n n u n =+ (1,2)n = （3） 23 114477101013 x x x ++++??? ? 解：1 (32)(31)n n x u n n -=-+ (1,2)n = （4）234 22222!3!4! -+- + 解：1 2(1) !n n n u n -=- (1,2)n = 2设级数1 n n u ∞ =∑的第n 次部分和31 n n S n = +，试写出此级数，并求其和。 解：13(2),(1)n n n u S S n n n -=-=≥+而1133 1112u S === +?，113(1)n n n u n n ∞∞ ==∴=+∑∑ 又3lim lim 31n n n n S n →∞→∞==+，所以级数1n n u ∞=∑收敛，且13 n n u ∞==∑ 3判断下列级数的敛散性。若级数收敛，求其和。 （1 ）0.0010.001n +++ 解：1 1lim lim( )101000 n n n n u →∞→∞==≠，所以原级数发散。 （2）234 1 23444444(1) 5555 5n n n --+-+ +-+ 解：公比4 4, 15 5q q =-=<，所以级数收敛，和为4 45419 15 a q ==-+ （3）1357 2468 ++++??? 解：1 135********n n n ∞ =-++++???=∑ 21 lim lim 102n n n n u n →∞→∞-==≠，所以原级数发散。 （4）1234 2345++++??? 解：1 123423451n n n ∞ =++++???=+∑ lim lim 101 n n n n u n →∞ →∞==≠+，所以原级数发散。 （5）???+?? ? ??++??? ??++??? ??+2718191413121 解： 对于11()2 n n ∞ =∑，公比112q =<，所以级数收敛，和为1 211112 a q ==-- 对于11()3 n n ∞ =∑，公比113q =<，所以级数收敛，和为1 1 311213 a q ==-- 所以???+?? ? ??++??? ??++??? ??+2718191413121收敛，和为13122+= 4用比较判别法判定下列级数的敛散性 （1）111 1357 ++++ 解：1 21 n u n = - 第十一章 无穷级数 § 级数的概念、性质 一、单项选择题 1. 若级数1n n a q ∞ =∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C) 1q <； (D)1q >． 答(D)． 2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim 0n n u →∞=，则1 n n u ∞ =∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1 n n u ∞ =∑收敛； (C)若1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =；(D)若1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠. 答(C)． 3. 若级数1 n n u ∞=∑与1 n n v ∞ =∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )． (A)121()n n n u v S S ∞ =±=±∑； (B) 11n n ku kS ∞ ==∑； (C) 21 n n kv kS ∞==∑； (D) 1 12 n n n u S v S ∞ ==∑． 答(D). 4. 若级数1 n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )． (A)1()n n u S ∞ =-∑收敛； (B) 11 n n u ∞ =∑收敛； (C) 1 1 n n u ∞ +=∑收敛； (D) n ∞ =收敛. 答(C). 5. 若级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于( )． (A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B). 6. 若级数 ∑∞ =1n n a 发散， ∑∞ =1 n n b 收敛则 ( )． (A) ∑∞ =+1)(n n n b a 发散； (B) ∑∞ =+1)(n n n b a 可能发散，也可能收敛； (C) ∑∞ =1 n n n b a 发散； (D) ∑∞ =+1 22)(n n n b a 发散. 答(A). 题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] 函数项级数的收敛域是 (A) (B) (C) (D) 答( ) (2分)[3] 设级数在处收敛，则此级数在处 (A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。 答：( ) (3分)[4]设级数在处是收敛的，则此级数在处 (A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。 答：( ) (2分)[5]设级数的收敛半径是1，则级数在点 (A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。 答：( ) (2分)[6]如果,则幂级数 (A)当时,收敛； (B) 当时,收敛； (C) 当时,发散； (D) 当时,发散； 答( ) (2分)[7]若幂级数的收敛半径为R,那么 (A), (B) , (C), (D)不一定存在 . 答( ) (3分)[8] 若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数 (A)在处发散； (B)在处收敛； (C)收敛区间为; (D)当时发散。 答( ) (2分)[9] 如果在点的某个邻域内任意阶可导，那么 幂级数的和函数 (A) 必是，(B)不一定是， (C)不是，(D)可能处处不存在。 答( )。 (2分)[10]如果能展开成的幂级数，那么该幂级数 (A) 是的麦克劳林级数； (B)不一定是的麦克劳林级数； (C)不是的麦克劳林级数； (D) 是在点处的泰勒级数。 答( )。 二、填空(54小题,共166.0分) (2分)[1]函数项级数的收敛域是。 (2分)[2]讨论x值的取值范围，使当_____________时收敛当_____________时发散 (3分)[3] 设级数的部分和函数， 级数的通项。q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0 n n q 当且仅当 1||
级数练习题答案(10)
无穷级数练习题
级数练习题答案(10)
第十一章无穷级数(习题及解答)
(整理)幂级数的部分练习题及答案