无穷级数(习题及解答)
第十一章 无穷级数 § 级数的概念、性质 一、单项选择题 1. 若级数1nnaq收敛(a为常数)，则q满足条件是( )．
(A)1q； (B)1q； (C)1q； (D)1q． 答(D)．
2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim0nnu，则1nnu收敛；(B)若1lim()0nnnuu，则1nnu收敛；
(C)若1nnu收敛，则lim0nnu；(D)若1nnu发散，则lim0nnu. 答(C)．
3. 若级数1nnu与1nnv分别收敛于12,SS，则下述结论中不成立的是( )． (A)121()nnnuvSS； (B)11nnkukS
；
(C)21nnkvkS； (D)112nnnuSvS． 答(D).
4. 若级数1nnu收敛，其和0S，则下述结论成立的是( )． (A)1()nnuS收敛； (B)11nnu收敛；
(C)11nnu收敛； (D)1nnu收敛. 答(C).
5. 若级数1nna收敛，其和0S，则级数121()nnnnaaa收敛于( )． (A)1Sa； (B)2Sa； (C)12Saa； (D)21Saa．答(B).
6. 若级数1nna发散，1nnb收敛则 ( )．
(A) 1)(nnnba发散； (B) 1)(nnnba可能发散，也可能收敛；
(C) 1nnnba发散； (D) 122)(nnnba发散. 答(A). 二、填空题 1. 设1a，则0().nna 答：11a.
2. 级数0(ln3)2nnn的和为． 答： 21ln3. 3. 级数0(221)nnnn，其和是 ． 答： 12. 4.数项级数1)12)(12(1nnn的和为.答： 12. 5*. 级数0212nnn的和为. 答： 3. 三、简答题 1． 判定下列级数的敛散性
(1)23238888(1)9999nn 答： 收敛. 解：
(2) 11113693n 答： 发散. 解：
(3)311113333n 答： 发散. 解：
(4) 232333332222nn 答： 发散. 解： (5) 22331111111123232323nn 答： 收敛. 解：
§ 正项级数收敛判别法、P — 级数 一、单项选择题 1. 级数1nnu与1nnv满足0,(1,2,)nnuvn，则( )．
(A)若1nnv发散,则1nnu发散；(B)若1nnu收敛,则1nnv收敛；
(C)若1nnu收敛,则1nnv发散；(D)若1nnu发散，则1nnv发散. 答(D).
2. 若10,(1,2,)nann，则下列级数中肯定收敛的是( )． (A)1nna； (B)11()nnnaa
；
(C)21nna； (D)1nna． 答(C).
3. 设级数 (1) 12!nnnnn与 (2) 13!nnnnn，则( )． (A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；
(C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D) 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答(C).
4. 设级数(1) 11nnn与 (2) 110!nnn, 则( ). (A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；
(C)级数(1)收敛,级数(2)发散； (D) 级数(1)发散,级数(2)收敛． 答(D).
5. 下列级数中收敛的是( )．
(A)11(2)nnnn； (B)11sinnn；
(C)1(1)31nnnn； (D)1121nn． 答(A). 6*. 若级数22116nn，则级数211(21)nn( ). (A)24; (B)28; (C)212; (D)216. 答(B).
7. 设1nnu与1nnv均为正项级数,若1limnnnvu，则下列结论成立的是( ). (A)1nnu收敛, 1nnv发散； (B) 1nnu发散, 1nnv收敛；
(C)1nnu与1nnv都收敛,或1nnu与1nnv都发散. (D)不能判别. 答(C).
8. 设正项级数1nnu收敛，则( ). (A)极限1limnnnuu1； (B) 极限1limnnnuu1；
(C)极限lim1nnnu； (D)无法判定. 答(A) 9. 用比值法或根值法判定级数1nnu发散，则1nnu( ). (A)可能发散； (B)一定发散；
(C)可能收敛； (D)不能判定. 答(B) 二、填空题 1. 正项级数1nnu收敛的充分必要条件是部分和nS.答：有上界.
2. 设级数121nnn收敛，则的范围是. 答：32． 3. 级数1nnu的部分和21nnSn，则nu. 答：2(1)nn. 4. 级数0212nnn是收敛还是发散. 答：收敛. 5. 若级数11sinpnnn收敛，则p的范围是. 答：0p. 6. 级数13!nnnnn是收敛还是发散 . 答：发散. 三、简答题 1. 用比较法判定下列级数的敛散性：
(1) 2111nnn； 答：发散. (2) 11(1)(2)nnn； 答： 收敛.
(3) 1sin2nn； 答：收敛. (4) 11(0)1nnaa.答1a收敛;1a发散. 2. 用比值法判定下列级数的敛散性： (1) 132nnnn； 答：发散. (2) 213nnn； 答： 收敛. 解：
(3) 12!nnnnn； 答： 收敛. (4) 11tan2nnn． 答： 收敛. 解：
3. 用根值法判定下列级数的敛散性： (1) 121nnnn； 答： 收敛. (2) 11[ln(1)]nnn； 答：收敛. 解： 解：
(3) 21131nnnn； 答：收敛. 解： (4) 1nnnba其中,()naan，,,naba均为正数． 答：当ba时收敛，当ba时发散，当ba时不能判断．
§ 一般项级数收敛判别法 一、单项选择题 1. 级数1nnu与1nnv满足,(1,2,)nnuvn,则( )．
(A) 若1nnv收敛,则1nnu发散；(B) 若1nnu发散,则1nnv发散；
(C) 若1nnu收敛,则1nnv发散；(D) 若1nnv收敛,则1nnu未必收敛．答(D).
2. 下列结论正确的是( )． (A) 1nnu收敛，必条件收敛； (B) 1nnu收敛，必绝对收敛；
(C) 1nnu发散，则1nnu必条件收敛；
(D) 1nnu收敛，则1nnu收敛． 答(D) .
2. 下列级数中，绝对收敛的是( )． (A) 1(1)31nnnn; (B) 1211(1)nnn
；
(C) 111(1)ln(1)nnn； (D) 111(1)nnn． 答(B) .
3. 下列级数中，条件收敛的是( )． (A) 131(1)21nnnn； (B) 112(1)3nnn
； (C) 1211(1)nnn； (D) 111(1)2nnnn． 答(A) .
4. 设为常数，则级数21sin1nnnn( ). (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；
(C) 发散； (D)敛散性与的取值有关． 答(C).
5. 设),3,2,1()11ln(cosnnnan，则级数( ).
(A)1nna与12nna都收敛. (B)1nna与12nna都发散.
(C) 1nna收敛，12nna发散. (D)1nna发散，12nna收敛. 答(C).
6.设),3,2,1(10nnan,则下列级数中肯定收敛的是( ). (A)1nna. (B)1)1(nnna. (C) 2lnnnna. (D)22lnnnna. 答(D).
7.下列命题中正确的是( ). (A) 若12nnu与12nnv都收敛,则21)(nnnvu收敛.
(B)若1nnnvu收敛,则12nnu与12nnv都收敛.
(C) 若正项级数1nnu发散,则nun1.
(D)若),3,2,1(nvunn,且1nnu发散,则1nnv发散. 答(A).
二、填空题 1. 级数11(1)nnn绝对收敛，则的取值范围是 ． 答： 1.
无穷级数习题答案
无穷级数习题答案无穷级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
无穷级数的求和问题一直是学生们在学习过程中面临的难题。
在这篇文章中，我将给出一些常见无穷级数习题的答案，并尝试解释其中的一些思路和技巧。
首先，让我们来看一个经典的无穷级数：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 这个级数被称为几何级数，它的通项为1/2的n次方。
我们的目标是求出这个级数的和。
要解决这个问题，我们可以使用一个重要的公式，即几何级数的求和公式。
根据这个公式，当公比小于1时，几何级数的和等于首项除以（1减公比）。
在这个例子中，首项是1，公比是1/2，因此这个级数的和等于1除以（1减1/2），即2。
所以，这个级数的和是2。
接下来，让我们考虑另一个无穷级数：1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... 这个级数的通项是1除以（2n-1）。
我们的目标是求出这个级数的和。
这个级数是一个调和级数的变形。
调和级数是指形如1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...的级数。
调和级数是发散的，也就是说它的和是无穷大。
但是，当我们去掉其中的偶数项时，级数的和会发生变化。
要解决这个问题，我们可以使用一个技巧，即将级数中的每一项乘以一个适当的因子。
在这个例子中，我们将每一项乘以2，得到2/1 + 2/3 + 2/5 + 2/7 + ... 这个级数的和等于2乘以（1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...）。
这个级数是一个调和级数，它的和是无穷大。
因此，原始级数的和也是无穷大。
除了几何级数和调和级数，还有许多其他类型的无穷级数。
其中一个常见的类型是幂级数，形如a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...的级数。
幂级数在微积分中有广泛的应用。
让我们考虑一个幂级数的例子：1 + x + x^2 + x^3 + ... 这个级数的通项是x的n次方。
我们的目标是找到这个级数的和。
无穷级数习题课(1)
故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。
5
解法2：由比值审敛法
6n1
lim an1 a n
n
lim
n
7n1 5n1 6n
6(7n 5n )
lim
n
7n1
5n1
7n 5n
lim
n
6(1 ( 5)n ) 7
1 ( 5)n1
6 7
1
7
故由比值审敛法知原级数收敛。
6
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
e e x x
x x
e0
1
n
x
x
lim
n
an
1
0
由级数收敛的必要条件，原级数发散。
4
【例3】判别级数
n1
6n 7n 5n
的收敛性。
解法1：此级数为正项级数，
an
6n 7n 5n
6n
lim 7n 5n lim 1 1
n ( 6 )n
n 1 ( 5)n
7
7
而级数 ( 6 )n 为等比级数收敛， n1 7
n1
2
三、典型例题
【例1】判别级数 n1
2n 3n
1
的收敛性，并求级数的和。
解：
由于
an
2n 3n
1
3n 3n
n1 3n
n 3n1
n1 3n
，由定义
2 23 3 4
Sn
(1
) 3
( 3
32
)
( 32
33
)
n ( 3n1
n1 3n )
高等数学习题详解-第9章-无穷级数
习题9-11. 判定下列级数的收敛性：(1) 1n ∞=∑; (2) 113n n ∞=+∑; (3)1ln 1n n n ∞=+∑; (4) 1(1)2nn ∞=-∑;(5) 11n n n ∞=+∑; (6) 0(1)21n n nn ∞=-⋅+∑． 解：（1）11n n k S ===∑，则lim lim(11)n nnS n =+-=+?，级数发散。
（2）由于14113n n n nゥ===+邋，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。
（3）11ln[ln ln(1)]ln1ln(1)ln(1)1n nn k k n S n n n n n ====-+=-+=-++邋，则lim lim[ln(1)]n nnS n =-+=-?，级数发散。
（4） 2 , 21, 1,2,3,; 0 , 2n n k S k n k ì-=-ïï==íï=ïîL 因而lim n n S 不存在，级数发散。
（5）级数通项为1n n u n =+，由于1lim 10n n n+=?，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。
（6）级数通项为(1)21n n nu n -=+，而lim n n S 不存在，级数发散。
2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2)11(1)(2)n n n n ∞=++∑; (3) 1πsin 2n n n ∞=⋅∑; (4) 0πcos 2n n ∞=∑．解：（1）因为111111111131111(1).23232232223nn nn k k k k n nn n k k k S ===骣÷ç=+=+=-+-=--?÷ç÷ç桫邋? 所以该级数的和为31113lim lim(),22232n n n n n S S ==--? 即1113.232n n k ¥=骣÷ç+=÷ç÷ç桫å（2）由于1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++，则111111111[][](1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)nnn k k S k k k k k k k n n ====-=-+++++++邋所以该级数的和为 1111lim lim [],22(1)(2)4n n n S S n n ==-=++即111.(1)(2)4n n n n ¥==++å（3）级数的通项为sin 2n u n n p =，由于sin2lim sin lim()02222n n n n n npp ppp =??，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。
九 无穷级数节习题及答案
九 无穷级数（一）常数项级数的概念及性质1. 判定下列级数的收敛性：(1) 1n ∞=∑; (2) 113n n ∞=+∑; (3)1ln 1n n n ∞=+∑; (4) 1(1)2nn ∞=-∑;(5) 11n n n ∞=+∑; (6) 0(1)21nn nn ∞=-⋅+∑．解：（1）11n n k S ===∑，则li m l i m(11)n nnS n =+-=+?，级数发散。
（2）由于14113n n n nゥ===+邋，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。
（3）11ln[ln ln(1)]ln1ln(1)ln(1)1nnn k k n S n n n n n ====-+=-+=-++邋，则l i m l i m [l n (n nnS n =-+=-?，级数发散。
（4） 2 , 21, 1,2,3,; 0 , 2n n k S k n k ì-=-ïï==íï=ïîL 因而lim n n S 不存在，级数发散。
（5）级数通项为1n nu n =+，由于1lim10n n n+=?，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。
（6）级数通项为(1)21n n nu n -=+，而lim n n u 不存在，级数发散。
2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) 11123n nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑; (3) 1πsin 2n n n ∞=⋅∑; (4)πcos 2n n ∞=∑．解：（1）因为111111111131111(1).23232232223nn nn k k k k n nn n k k k S ===骣÷ç=+=+=-+-=--?÷ç÷ç桫邋?所以该级数的和为31113lim lim(),22232n n n n n S S ==--? 即1113.232n n k ¥=骣÷ç+=÷ç÷ç桫å （2）由于1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++，则111111111[][](1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)nnn k k S k k k k k k k n n ====-=-+++++++邋所以该级数的和为 1111lim lim [],22(1)(2)4n n n S S n n ==-=++即111.(1)(2)4n n n n ¥==++å（3）级数的通项为sin 2n u n n p =，由于sin2lim sin lim()02222n n n n n np p ppp =??，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。
无穷级数习题课有答案
第十二章 无穷级数习题课一、本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。
幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。
二、本章重点用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。
三、例题选讲例1：判别级数()21ln 1ln ln 1n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑的敛散性。
（用定义）解：原式=()()22ln 1ln 11()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞∞==+-=-++∑∑级数的部分和111111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 2ln(1)ln 2n =-→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于1ln 2。
例2：判别下列级数的敛散性（1）111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ， （2）211ln n n n ∞=-∑ ， （3）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ （4）()11!2!!2!n n n ∞=+++∑ ，（5）()()()21111n nn x x x x ∞=+++∑，（0x ≥）（6）ln 113nn ∞=∑ 解：（1）因为ln(1)ln n n +<，所以1111ln ln(1)0n n n n n+-=-+>， 而 111lnln ln 1111n n n n n n +⎛⎫-==-<- ⎪+++⎝⎭，有2111111ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 由比较审敛法知，级数111ln n n nn ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。
(完整版)无穷级数练习题
无穷级数习题一、填空题1、设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域为 。
3、幂级数211(3)2n n nn nx ∞-=-+∑的收敛半径R = 。
4、幂级数0nn ∞=的收敛域是 。
5、级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。
6、级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为 。
7、111()2n n n ∞-==∑ 。
8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数3b 的值为 .9、设函数21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。
10、级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和 。
11、级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3、R =、[1,1)- 5、(0,4) 6、22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1411、(0,4)二、选择题1、设常数0λ>,而级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑是( ）.（A ）发散 (B ）条件收敛 （C)绝对收敛 （D)收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2n nn a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是( ）。
（A ）若1n n a ∞=∑条件收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。
（B ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。
（C ）若1n n a ∞=∑条件收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不一定.（D ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不定。
无穷级数 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1nnn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()nn n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n nnC ．∑∞=-1321)1(n n nD ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）+++++321161814121（C ） +++3001.0001.0001.0（D ）()()()+-+-5353535343217．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ）（A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n nnB ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n nn19．幂级数∑∞=++11)21(n nnx 的收敛区间是（ C ）A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n nn n(B)()n n n111∑-∞=(C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23(B) 35(C) 52(D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=n a [D]A. 1)1(2+-n nB.nn)1(2- C.1)1(1+-n nD. 023. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=nb [A]A. 0B.nn)1(4- C.1)1(2+-n nD. 1)1(4+-n n二、填空题1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x 的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。
高等数学第10章 无穷级数习题详解
1 ，故该级数收敛，且 3
1
(3n 2) (3n 1) 3 .
n 1
1
5．若级数
un 与 vn 都发散时，级数 (un vn ) 的收敛性如何？若其中一个收敛，一
n 1 n 1 n 1
个发散，那么，级数
(u
n 1
n
vn ) 收敛性又如何？
当 n 时， S n 1 ，故级数收敛 .
2 3 n sin sin sin 6 6 6 6 1 2 3 n (2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin ) 12 6 12 6 12 6 12 6 2 sin 12 1 3 3 5 2n 1 2n 1 [(cos cos ) (cos cos ) (cos cos )] 12 12 12 12 12 12 2 sin 12 1 (2n 1) [cos cos ] 12 12 2 sin 12 2n 1 不存在，所以 lim S n 不存在，因而级数发散 . 由于 lim cos n n 12
sin
（ 5）由于 lim
n
sin n n 2 lim 2 ， n 1 2n 2n
而
1 收敛，故 sin n 也收敛. n 2 n 1 2 n 1
而级数
n
n 1
1
2
收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛 .
(sin 2n) 2 1 1 1 （4 ） u n ，而 为公比 q 1 的等比级数，该级数收敛，由比 n n n 6 6 6 n 1 6
无穷级数习题课(2)
常数项级数
1
一、定义及性质
1．常数项级数 2．敛散性定义
an
n1
n
设Sn
k 1
an，如果
lim
n
Sn
s
存在，
3．性质
则级数收敛，否则级数发散。
必要性:
级数
an 收敛
n1
lim
n
an
0.
线性运算性质: 设级数 un s, vn , , 为常数
n1
n1
n1
No
Yes
| an 收| 敛
n1
lim an1 a n
n
lim
n
n
an
No
1
No
找正项收敛
级数 bn n1
找正项发散
级数 cn n1
an (1)n un No
Yes
an为交错级数
n1
用其它方 法证明
1
Yes 1
an发散
n1
an收敛
n1
an bn
an收敛
n1
an cn
解：
由于
an
2n 1 3n
3n 3n
n1 3n
n 3n1
n1 3n
，由定义
Sn
(1
2) 3
(2 3
3 32
)
3 ( 32
4 33
)
(
n 3n1
n1 3n )
1
n1 3n
S
lim
n
Sn
lim(1
n
n1 3n )
1
所以原级数收敛，且和为1。
6
【例2】判别级数
无穷级数习题解答共11页文档
无穷级数一、判断下列级数的敛散性，若收敛，求出其和1、1n∞=∑解：因为111nnknkS===⎡⎤=-⎣⎦=-=+-∑∑所以lim1nnS→∞=故11n∞==-∑2、1n∞=解：因为10n==≠，所以1n∞=发散。
3、13(1)nnnnn∞=+∑解：因为313lim3lim01(1)(1)nnn n nnn en→∞→∞==≠++，所以13(1)nnnnn∞=+∑发散。
4、11123n nn∞=⎛⎫+⎪⎝⎭∑解：111111111332.11232321123n n n n n n n ∞∞∞===⎛⎫+=+=+= ⎪--⎝⎭∑∑∑注：常用极限及公式：11, (0), 1, lim 1.nn n n a e n →∞⎛⎫=>=+= ⎪⎝⎭[]1(1)()(1)(1)n n k S f k f k f n f ==+-=+-∑，11||1, .1n n a q aq q∞-=<=-∑ 二、 用比较判别法判断下列正项级数的敛散性1、11cos n nπ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑解： 因为 2221cos2sin22n u nnn πππ=-=≤而级数 222211122n n n n ππ∞∞===∑∑收敛，故11cos n n π∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。
2、11235(21)n n n -∞=⋅⋅-∑L解：因为 112235(21)3n n n u n --⎛⎫=≤ ⎪⋅⋅-⎝⎭L而级数1123n n -∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，故11235(21)n n n -∞=⋅⋅-∑L 收敛。
3、125n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑解：因为 1252nnn n u n ⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭而级数112n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故125nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛。
4、12(21)3nnn n ∞=-⋅∑解：因为 22(21)33nn n nu n ⎛⎫=≤ ⎪-⋅⎝⎭而级数123nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，故12(21)3n nn n ∞=-⋅∑收敛。