对称性与守恒律

对称性与守恒律

前面介绍的能量、动量和角动量守恒定律，都是在牛顿定律的基础上推导出来的。但这些守恒定律比牛顿定律有更广泛的适用范围，这说明这些守恒定律有着更普遍更深刻的基础。现代物理学已经确认这些守恒定律是客观物质世界对称性的反映。

对称性的概念最初来源于生活。在大自然中对称性随处可见，植物的叶子几乎都是左右对称的，六角形的雪花也是对称的，几乎所有动物的形体、人体也都是对称的。在艺术、建筑等领域中，也存在广泛的对称性。

在科学中对称性的概念是逐步发展的，至今它已具有十分广泛的含义。下面简单介绍一下对称性的普遍定义。

我们把所讨论的对象，称为系统。同一系统可以处于不同的状态，这不同的状态可能是等价的，也可能是不等价的。例如，设想有一个圆球，这是几何学中理想的球，如果把球绕通过球心的任意轴转动一下，那么这个球就处于不同的状态，这些状态看上去没有任何区别，我们说这些状态都是等价的。如果在球面上打一个点作为记号，再转动这个球，球上的点在空间的方位不同，这些状态就不同，因此对于包括这个记号的系统而言，不同的状态是不等价的。

把系统从一个状态变到另一个状态的过程称作变换，或者称给系统一个“操作”。德国数学家魏尔在1951年提出了关于对称性的普遍定义：如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说该系统对这一操作是对称的，而这个操作就称为该系统的一个对称操作。由于变换或操作方式的不同，可以有各种不同的对称性。例如平移、转动、镜像反射、时空坐标的改变、尺度的放大缩小等都可视为操作。

将对称性概念应用于物理学中，研究对象不仅有图形，还有物理量和物理定律等。例如质点的加速度是一个物理量，伽利略变换可看作一个对称操作，因为经伽利略变换后加速度保持不变，所以质点的加速度对伽利略变换的不变性也可称作加速度对伽利略变换具有对称性。容易证明，牛顿第二定律经伽利略变换后保持不变，因而牛顿第二定律作为一条规律对伽利略变换具有对称性。

在长期的对物理现象的研究中，人们发现物理守恒定律与客观世界具有的对称性之间存在着密切的联系。存在一种对称性就存在一个相应的守恒定律。下面我们以简明但不很严格的方式，讨论时空对称性与能量、动量、角动量三个守恒定律的关系。

1. 时间平移对称性与能量守恒定律

在物理学中，我们始终承认和应用着一个假定，即时间具有均匀性。时间均匀性也叫时间平移对称性，它意味着当应用物理定律时，任意时刻都可被选作时间坐标轴的原点，即在时间平移变换t t t →+∆下，物理定律保持不变。与时间平移对称性对应的是能量守恒定律。 设一个孤立系统在t 时刻的能量为E (t )，对时间进行微小平移变换d t t t '=+，由时间平移对称性，系统在t’时刻的能量是E (t’)=E (t +d t )。将E (t +d t )展开成泰勒级数，得

2221(d )()d (d )2E E E t t E t t t t t

∂∂+=+++∂∂ 因d t 微小，展开式中d t 二次项以后各项均可略去，上式可写成

(d )()d E E t t E t t t

∂+=+∂

因能量公式不显含t ，故有0E t ∂=∂，即 (d )()E t t E t +=

上式表明，孤立系统总能量保持不变。如果时间平移不是微小量d t ，而是一个较大量t ∆，将t ∆看成是若干个微小量d t 之和，用上述方法进行若干次变换，可得到同样的结果。这样就从时间均匀性导出了能量守恒定律。

2. 空间平移对称性与动量守恒定律

在物理学中，在平直空间的条件下，我们始终承认和应

用着一个假定，即空间的均匀性。空间的均匀性意味着，应

用物理规律时，移动坐标原点，物理规律的形式不会改变。

空间均匀性也称作空间平移对称性。也就是说，物理规

律对于空间平移变换具有对称性。与空间平移对称性对

应的是动量守恒定律。

设有如图3-17所示的两个质点m 1、m 2组成的系统，

它们之间的相互作用势能为P E 。m 2对m 1的作用力用F 1

表示，m 1对m 2的作用力用F 2表示。现将m 1沿任意方

向移动，位移为d l （如图a 所示），这位移造成系统势 能的改变为1d d P E =-⋅F l （抵抗m 2对m 1的力所作的功），若m 1不动，将m 2沿反方向移动相等的距离，位移为d -l （如图b 所示），则这位移造成系统势能的改变量为22d (d )d P E '=-⋅-⋅F l =F l （抵抗m 1对m 2的力所作的功）。上述两种情况终态的区别仅在于由两质点组成的系统整体在空间有个平移，它们的相对位置不变。空间平移对称性意味着，两质点之间的相互作用势能仅与它们的相对位置有关，与它们整体在空间的平移无关。因而两种情况终态的势能相等，即

d d P P P P

E E E E '+=+，故有 d d P P E E '=，12d d -⋅⋅

F l =F l ，因为d l 是任意的， 所以 12120=-=或F F F +F

这证明了牛顿第三定律。

设质点m 1的动量为p 1，质点m 2的动量为p 2，根据力的定义，力是动量对时间的变化率，有

121212d d d 0d d d t t t

+=

+==（）p p F F p +p 即

12=常矢量p +p

故两质点系统总动量守恒，对于n 个质点组成的系统也同样可得到这个结果。这样就从空间均匀性导出了动量守恒定律。 图3-17 空间平移对称 性与动量守恒 图3-17空间平移对称性 与动量守恒

3. 空间旋转对称性与角动量守恒定律

空间各向同性可理解为在平直空间中任何方向发生的物

理现象都服从相同的物理规律，即物理规律不随空间的方向

不同而改变。空间各向同性也叫做空间旋转对称性。与空间

旋转对称性相对应的守恒定律是角动量守恒定律。

设有如图3-18所示的两质点系统，其中一个质点固定于

坐标原点O ，另一质量为m 的质点受固定质点的作用力为F ，

其切向分量记为t F 。将质点m 沿着以O 为圆心的圆弧移动了

无穷小圆弧d s ，设在这过程中，两质点的相互作用势能的改 变为d P E 。对无穷小位移应满足d d P t E F s =-，由于空间旋转对称性，两质点之间的相互作用势能应只与它们之间的距离有关，而与两质点所在的具体位置无关，也与两质点连线的方向无关。由于在质点m 移动的过程中，两质点之间的距离不变，所以两质点的相互作用势能也不变，因而d 0P E =。由于d s 是任意的，必然有0t F =。也就是说，F 只沿它们连线的方向，即力线通过原点O 。因此m 所受对O 点的力矩0=M 。根据力的定义，力d d t

=p F ，相对原点O ，力矩=⨯M r F ，质点m 的角动量=⨯L r p ，有 d d d ()0d d d t t t

⨯=⨯=⨯==p L M =r F r r p 即

=恒矢量L

故质点m 对原点O 角动量守恒。这样就从空间各向同性导出了质点的角动量守恒定律。

4. 对称性是基本规律之上更高层次的法则

物理学中的各种定律是有层次的。如力学中的胡克定律、电学中的欧姆定律等，都是经验性的，仅对某些物质在一定的范围内适用，这些都是较低层次的规律。统帅整个经典力学的牛顿定律，统帅整个电磁学的麦克斯韦方程组（将在第五篇中学到）等，它们是适用于物理学的某个领域的基本规律，这些规律的层次要高得多。对称性原理是跨越物理学各个领域的普遍法则，是各领域的基本规律之上更高层次的法则。当代理论物理学家（特别是粒子物理学家）正充分自觉地运用对称性原理，来寻求未知世界的基本规律。

图3-18空间旋转对称性

与角动量守恒