对称性与守恒律
对称性与守恒律
前面介绍的能量、动量和角动量守恒定律，都是在牛顿定律的基础上推导出来的。
但这些守恒定律比牛顿定律有更广泛的适用范围，这说明这些守恒定律有着更普遍更深刻的基础。
现代物理学已经确认这些守恒定律是客观物质世界对称性的反映。
对称性的概念最初来源于生活。
在大自然中对称性随处可见，植物的叶子几乎都是左右对称的，六角形的雪花也是对称的，几乎所有动物的形体、人体也都是对称的。
在艺术、建筑等领域中，也存在广泛的对称性。
在科学中对称性的概念是逐步发展的，至今它已具有十分广泛的含义。
下面简单介绍一下对称性的普遍定义。
我们把所讨论的对象，称为系统。
同一系统可以处于不同的状态，这不同的状态可能是等价的，也可能是不等价的。
例如，设想有一个圆球，这是几何学中理想的球，如果把球绕通过球心的任意轴转动一下，那么这个球就处于不同的状态，这些状态看上去没有任何区别，我们说这些状态都是等价的。
如果在球面上打一个点作为记号，再转动这个球，球上的点在空间的方位不同，这些状态就不同，因此对于包括这个记号的系统而言，不同的状态是不等价的。
把系统从一个状态变到另一个状态的过程称作变换，或者称给系统一个“操作”。
德国数学家魏尔在1951年提出了关于对称性的普遍定义：如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说该系统对这一操作是对称的，而这个操作就称为该系统的一个对称操作。
由于变换或操作方式的不同，可以有各种不同的对称性。
例如平移、转动、镜像反射、时空坐标的改变、尺度的放大缩小等都可视为操作。
将对称性概念应用于物理学中，研究对象不仅有图形，还有物理量和物理定律等。
例如质点的加速度是一个物理量，伽利略变换可看作一个对称操作，因为经伽利略变换后加速度保持不变，所以质点的加速度对伽利略变换的不变性也可称作加速度对伽利略变换具有对称性。
容易证明，牛顿第二定律经伽利略变换后保持不变，因而牛顿第二定律作为一条规律对伽利略变换具有对称性。
在长期的对物理现象的研究中，人们发现物理守恒定律与客观世界具有的对称性之间存在着密切的联系。
存在一种对称性就存在一个相应的守恒定律。
下面我们以简明但不很严格的方式，讨论时空对称性与能量、动量、角动量三个守恒定律的关系。
1. 时间平移对称性与能量守恒定律
在物理学中，我们始终承认和应用着一个假定，即时间具有均匀性。
时间均匀性也叫时间平移对称性，它意味着当应用物理定律时，任意时刻都可被选作时间坐标轴的原点，即在时间平移变换t t t →+∆下，物理定律保持不变。
与时间平移对称性对应的是能量守恒定律。
设一个孤立系统在t 时刻的能量为E (t )，对时间进行微小平移变换d t t t '=+，由时间平移对称性，系统在t’时刻的能量是E (t’)=E (t +d t )。
将E (t +d t )展开成泰勒级数，得
2221(d )()d (d )2E E E t t E t t t t t
∂∂+=+++∂∂ 因d t 微小，展开式中d t 二次项以后各项均可略去，上式可写成
(d )()d E E t t E t t t
∂+=+∂
因能量公式不显含t ，故有0E t ∂=∂，即 (d )()E t t E t +=
上式表明，孤立系统总能量保持不变。
如果时间平移不是微小量d t ，而是一个较大量t ∆，将t ∆看成是若干个微小量d t 之和，用上述方法进行若干次变换，可得到同样的结果。
这样就从时间均匀性导出了能量守恒定律。
2. 空间平移对称性与动量守恒定律
在物理学中，在平直空间的条件下，我们始终承认和应
用着一个假定，即空间的均匀性。
空间的均匀性意味着，应
用物理规律时，移动坐标原点，物理规律的形式不会改变。
空间均匀性也称作空间平移对称性。
也就是说，物理规
律对于空间平移变换具有对称性。
与空间平移对称性对
应的是动量守恒定律。
设有如图3-17所示的两个质点m 1、m 2组成的系统，
它们之间的相互作用势能为P E 。
m 2对m 1的作用力用F 1
表示，m 1对m 2的作用力用F 2表示。
现将m 1沿任意方
向移动，位移为d l （如图a 所示），这位移造成系统势 能的改变为1d d P E =-⋅F l （抵抗m 2对m 1的力所作的功），若m 1不动，将m 2沿反方向移动相等的距离，位移为d -l （如图b 所示），则这位移造成系统势能的改变量为22d (d )d P E '=-⋅-⋅F l =F l （抵抗m 1对m 2的力所作的功）。
上述两种情况终态的区别仅在于由两质点组成的系统整体在空间有个平移，它们的相对位置不变。
空间平移对称性意味着，两质点之间的相互作用势能仅与它们的相对位置有关，与它们整体在空间的平移无关。
因而两种情况终态的势能相等，即
d d P P P P
E E E E '+=+，故有 d d P P E E '=，12d d -⋅⋅
F l =F l ，因为d l 是任意的， 所以 12120=-=或F F F +F
这证明了牛顿第三定律。
设质点m 1的动量为p 1，质点m 2的动量为p 2，根据力的定义，力是动量对时间的变化率，有
121212d d d 0d d d t t t
+=
+==（）p p F F p +p 即
12=常矢量p +p
故两质点系统总动量守恒，对于n 个质点组成的系统也同样可得到这个结果。
这样就从空间均匀性导出了动量守恒定律。
图3-17 空间平移对称 性与动量守恒 图3-17空间平移对称性 与动量守恒
3. 空间旋转对称性与角动量守恒定律
空间各向同性可理解为在平直空间中任何方向发生的物
理现象都服从相同的物理规律，即物理规律不随空间的方向
不同而改变。
空间各向同性也叫做空间旋转对称性。
与空间
旋转对称性相对应的守恒定律是角动量守恒定律。
设有如图3-18所示的两质点系统，其中一个质点固定于
坐标原点O ，另一质量为m 的质点受固定质点的作用力为F ，
其切向分量记为t F 。
将质点m 沿着以O 为圆心的圆弧移动了
无穷小圆弧d s ，设在这过程中，两质点的相互作用势能的改 变为d P E 。
对无穷小位移应满足d d P t E F s =-，由于空间旋转对称性，两质点之间的相互作用势能应只与它们之间的距离有关，而与两质点所在的具体位置无关，也与两质点连线的方向无关。
由于在质点m 移动的过程中，两质点之间的距离不变，所以两质点的相互作用势能也不变，因而d 0P E =。
由于d s 是任意的，必然有0t F =。
也就是说，F 只沿它们连线的方向，即力线通过原点O 。
因此m 所受对O 点的力矩0=M 。
根据力的定义，力d d t
=p F ，相对原点O ，力矩=⨯M r F ，质点m 的角动量=⨯L r p ，有 d d d ()0d d d t t t
⨯=⨯=⨯==p L M =r F r r p 即
=恒矢量L
故质点m 对原点O 角动量守恒。
这样就从空间各向同性导出了质点的角动量守恒定律。
4. 对称性是基本规律之上更高层次的法则
物理学中的各种定律是有层次的。
如力学中的胡克定律、电学中的欧姆定律等，都是经验性的，仅对某些物质在一定的范围内适用，这些都是较低层次的规律。
统帅整个经典力学的牛顿定律，统帅整个电磁学的麦克斯韦方程组（将在第五篇中学到）等，它们是适用于物理学的某个领域的基本规律，这些规律的层次要高得多。
对称性原理是跨越物理学各个领域的普遍法则，是各领域的基本规律之上更高层次的法则。
当代理论物理学家（特别是粒子物理学家）正充分自觉地运用对称性原理，来寻求未知世界的基本规律。
图3-18空间旋转对称性
与角动量守恒。
量子力学对称与守恒定律讲义
“为什么对称是重要的?“ --- 毛主席1974年5月向李政道请教的
第一个问题
对称与不对称(破缺)
在艺术(对联,画),数学(海螺,浪花), 自然(山峰,窗))均有精彩表现 完全对称的东西极少见!
不是静态的概念(适用一切自然现象） 物理学中对称性:现象或系统在某变换下不变 宏观->直观; 微观世界-> 不直观,但极重要
SU(2)是u,d夸克对称，破坏2--3% SU(3)SU(4)SU(5)SU(6) 同位旋破坏主要来自多重态不同分量质 量差印起的运动学效应
奇异数(Strangeness)和重 子数
1947年宇宙线实验(after pion)，1954年
加速器实验发现一批奇异粒子(photos)
特性一：协同产生，独立衰变
即 H 0, H H
厄米算符p
i
与H对易，
是守恒量
2
分立变换下：
U 1HU H i.e.,UH HU ,all _ states
U与H对易，U是守恒量 时空对称性：场与粒子时空性质变换 内部对称性：与时空无关
Some symmtries and the associated conservation laws
群论与对称性
对称性变换必须满足群的性质 （Closure,Identity,Inverse,Associativity) 如空间转动群，SO(3)，3 axis, 3 生成元 （与守恒荷一一对应） 重要的李群/李代数， O(N),SO(N),U(N),SU(N) 复合对称性 --》 复合守恒量， e.g., CP parity,G parity etc.
Translation in time Energy Translation in space Momentum
对称守恒原理
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量子力学中的对称性与守恒定律
量子力学中的对称性与守恒定律量子力学是现代物理学的一大支柱，它描述了微观世界的行为规律。
在量子力学中，对称性与守恒定律是两个非常重要的概念。
本文将深入探讨量子力学中的对称性与守恒定律，并分析它们在物理学中的应用。
首先，让我们来了解一下对称性在量子力学中的意义。
对称性是指某个系统在某种变换下保持不变的性质。
在量子力学中，对称性扮演着非常重要的角色，它不仅能够帮助我们理解物理现象，还能够简化问题的求解过程。
量子力学中常见的对称性包括平移对称性、旋转对称性和时间平移对称性等。
平移对称性是指系统在空间中的平移下保持不变。
在量子力学中，平移对称性导致了动量的守恒定律。
根据量子力学的基本原理，一个粒子的动量是与其波函数的相位相关的。
如果系统具有平移对称性，那么它的波函数在空间平移下不发生变化，从而导致动量守恒。
这一定律在许多物理现象中都得到了验证，如粒子在势场中的运动以及粒子的碰撞等。
旋转对称性是指系统在空间中的旋转下保持不变。
在量子力学中，旋转对称性导致了角动量的守恒定律。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与系统的对称性密切相关。
如果系统具有旋转对称性，那么它的波函数在空间旋转下不发生变化，从而导致角动量守恒。
这一定律在原子物理学中得到了广泛应用，如电子在原子轨道中的运动以及原子核的自旋等。
时间平移对称性是指系统在时间平移下保持不变。
在量子力学中，时间平移对称性导致了能量的守恒定律。
能量是系统的重要属性，它与系统的稳定性和演化规律密切相关。
如果系统具有时间平移对称性，那么它的波函数在时间平移下不发生变化，从而导致能量守恒。
这一定律在许多物理过程中得到了验证，如粒子的衰变过程以及能量传递等。
除了上述常见的对称性与守恒定律外，量子力学中还存在一些特殊的对称性与守恒定律。
例如，粒子统计对称性与粒子数守恒定律是量子力学中的重要概念之一。
根据粒子的统计性质，量子力学将粒子分为玻色子和费米子两类。
玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子遵循费米-狄拉克统计。
量子力学中的对称性与守恒律
量子力学中的对称性与守恒律量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在20世纪初由一系列科学家共同发展而成。
在量子力学中，对称性与守恒律是两个重要的概念，它们在理论和实验研究中起着重要的作用。
对称性在物理学中具有重要的地位。
在量子力学中，对称性可以分为空间对称性、时间对称性和内禀对称性。
空间对称性指的是物理系统在空间变换下保持不变，例如物理系统的哈密顿量在空间变换下保持不变。
时间对称性指的是物理系统在时间变换下保持不变，例如物理系统的演化算符在时间反演下保持不变。
内禀对称性指的是物理系统在内部变换下保持不变，例如粒子的自旋。
对称性在量子力学中的应用非常广泛。
首先，对称性可以帮助我们简化物理系统的描述。
通过对称性分析，我们可以找到系统的守恒量，从而简化哈密顿量的形式。
例如，如果一个物理系统具有空间平移对称性，我们可以得到动量守恒定律。
如果一个物理系统具有时间平移对称性，我们可以得到能量守恒定律。
其次，对称性还可以帮助我们预测新的物理现象。
例如，根据内禀对称性的理论，科学家预测了反应堆中的中微子振荡现象，并通过实验证实了这一理论。
此外，对称性还可以帮助我们理解量子态的性质。
例如，根据电荷守恒的对称性，我们可以推导出电荷守恒定律，并解释为什么电子和正电子总是以对的方式产生和湮灭。
守恒律是量子力学中的另一个重要概念。
守恒律指的是物理系统在演化过程中某个物理量的守恒。
在量子力学中，守恒律可以通过对称性来推导。
例如，如果一个物理系统具有空间平移对称性，那么动量就是守恒量。
如果一个物理系统具有时间平移对称性，那么能量就是守恒量。
守恒律在量子力学中具有广泛的应用。
例如，电荷守恒定律、能量守恒定律和动量守恒定律都是守恒律的具体表现。
这些守恒定律在物理学中起着重要的作用，它们帮助我们理解物理现象的本质，并且可以用于解释实验结果。
除了对称性和守恒律外，量子力学中还有一些其他重要的概念。
例如，量子态、测量和量子纠缠等。
量子态用于描述量子系统的状态，它可以是一个波函数或一个密度矩阵。
3 动能定理 功能原理 机械能守恒定理
注意 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 .
动能 能量守恒定律
质点系统动能定理
每一个质点都满足动能定理，则有
A1 12 m 1v12 12m1v120
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
以上各式左右分别相加
对称性与守恒定律
F1
m2
都有这一特点
A
B
C
保守力作的功，是位置的单值函数；
D
那么，我们就可以引入仅是位置的单
B
值函数的能量，叫作保守力的势能，
也叫作位能。
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
五 势能
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
A (mgzB mgzA )
引力功
A
(G
械能的改变。
动能 能量守恒定律
九 机械能守恒定律 功能原理
对称性与守恒定律
A外 A非 保 内 E
当 A外 A非 保内 0 时，有 E1 E2
机械能守恒定律： 只有保守内力作功的情况下，质 点系的机械能保持不变 .
注意： 1、机械能守恒是有条件的。从初态到末态的每一个微元 过程中，外力和非保守内力所做的元功的代数和均为零， 则机械能守恒。
9/4
4dy 9.125J
1
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
例：质量为 m 的物体放在水平桌面上，物体和桌面的摩 擦系数为 ，物体在外力作用下沿半径为R圆由a运动 到b，移动了半个圆周，求在这一过程中摩擦力的功。
这是力的大小不变，物 体沿曲线运动的例子
理论物理中对称性与守恒定律的关系
理论物理中对称性与守恒定律的关系在理论物理中，对称性与守恒定律是两个核心概念。
对称性描述了系统在某些变换下保持不变的性质，而守恒定律则说明了系统在各种变化中某些物理量的不变性。
这两个概念之间存在着密切的关系，对称性的存在导致了守恒定律的存在，反之亦然。
本文将深入探讨对称性与守恒定律的关系。
首先，让我们来了解对称性的概念。
对称性可以简单地理解为某种变换下系统保持不变的性质。
在物理学中，常见的对称性有平移对称性、旋转对称性、时间平移对称性和粒子对称性等。
平移对称性指的是系统在空间中的平移下保持不变，旋转对称性指的是系统在空间中的旋转下保持不变，时间平移对称性指的是系统在时间上的平移下保持不变，而粒子对称性指的是系统在粒子交换下保持不变。
对称性在物理学中起着非常重要的作用。
与对称性相关联的是守恒定律。
守恒定律描述了系统在各种变化中某些物理量守恒的性质。
守恒定律可以用数学表达式表示为：某一物理量的变化率等于该物理量进入与离开系统的流量之差。
根据对称性的不同，我们可以得到不同的守恒定律。
首先，根据时间平移对称性，我们可以得到能量守恒定律。
能量守恒定律指的是系统的能量在时间上保持不变。
这是因为系统的物理规律在时间上的不变性导致的。
无论系统中发生了怎样的能量转化，总能量的变化率始终为零，能量守恒得到维持。
其次，根据空间平移对称性，我们可以得到动量守恒定律。
动量守恒定律指的是系统的动量在空间上保持不变。
这是因为系统的物理规律在空间上的不变性导致的。
无论系统中的物体如何运动，总动量的变化率始终为零，动量守恒得到维持。
此外，根据空间旋转对称性，我们可以得到角动量守恒定律。
角动量守恒定律指的是系统的角动量在空间上保持不变。
这是因为空间旋转对称性导致的。
无论系统中的物体如何旋转，总角动量的变化率始终为零，角动量守恒得到维持。
最后，根据粒子对称性，我们可以得到电荷守恒定律。
电荷守恒定律指的是系统中的总电荷量在粒子交换下保持不变。
力学分析中的对称性和守恒律阅读笔记
《力学分析中的对称性和守恒律》阅读笔记目录一、力学分析中的对称性 (2)1. 对称性的概念及重要性 (3)2. 空间对称性与平移对称性 (3)3. 时间对称性与旋转对称性 (4)4. 对称性原理在力学问题中的应用 (6)二、守恒定律 (7)1. 动量守恒定律 (8)1.1 定义与表达式 (10)1.2 应用案例 (10)2. 机械能守恒定律 (12)2.1 定义与表达式 (13)2.2 应用案例 (14)3. 能量守恒定律 (15)3.1 定义与表达式 (17)3.2 应用案例 (17)4. 热力学第一定律与第二定律 (18)4.1 定义与表达式 (20)4.2 应用案例 (21)三、对称性与守恒律在力学问题求解中的应用 (22)1. 利用对称性简化问题 (24)2. 利用守恒定律解决问题 (24)3. 对称性与守恒律的综合应用 (26)四、总结与展望 (27)1. 对称性与守恒律在力学分析中的重要性 (28)2. 未来研究方向与应用前景 (29)一、力学分析中的对称性在力学领域，常见的对称性包括空间对称性、时间对称性以及物理量的对称性。
空间对称性主要是指物理系统在空间变换下的不变性，如平移和旋转。
时间对称性则涉及到物理系统在时间反演下的不变性，物理定律在时间上的对称性，即物理过程在时间的正向和逆向演化中保持一致。
而物理量的对称性则涉及到物理量的守恒定律，如动量守恒、能量守恒等。
在力学分析中，对称性的应用十分广泛。
在处理复杂的机械系统时，我们可以通过分析其对称性质来简化问题。
通过识别并应用对称性，我们可以将复杂的物理问题简化为更容易解决的形式，从而更有效地找出系统的运动规律和解决策略。
对称性也可以帮助我们理解物理系统的稳定性和动态行为，在某些对称性的条件下，我们可以预测系统的稳定状态，并理解其运动轨迹。
对称性是力学分析中的一个重要工具，它不仅可以帮助我们理解和解决复杂的物理问题，还可以揭示物理系统的本质和潜在规律。
理论物理学中的对称性和规范场
理论物理学中的对称性和规范场理论物理学是研究自然界基本规律的学科，而在理论物理学的发展中，对称性和规范场是两个非常重要的概念。
对称性是自然界中一种重要的性质，而规范场则是描述基本相互作用的场。
首先，让我们来探讨对称性在理论物理学中的重要性。
对称性是指在某种变换下，系统的物理性质不发生变化。
这种变换可以是空间上的平移、旋转，也可以是时间上的平移，甚至可以是某个物理量的变换。
对称性是理论物理学中非常重要的一个概念，因为它能够揭示自然界中的基本规律。
在物理学的发展中，有很多著名的对称性被提出。
例如，牛顿力学中的时间平移对称性，即系统的物理规律在时间上是不变的；电磁学中的电荷守恒对称性，即总电荷在物理过程中守恒；量子力学中的粒子-反粒子对称性，即每个粒子都有一个对应的反粒子等等。
这些对称性的存在，使得我们能够建立起相应的物理理论，从而揭示自然界中的规律。
在对称性的基础上，我们引入规范场的概念来描述基本相互作用。
规范场是一种场，它负责传递相互作用力。
最著名的例子就是电磁场，即光子传递电磁力。
而除了电磁场之外，还有弱相互作用和强相互作用等规范场。
这些规范场在物理学中起到非常重要的作用，它们能够揭示基本相互作用的本质。
规范场的性质与对称性密切相关。
事实上，规范场的存在是对称性破缺的结果。
简单来说，规范场的对称性破缺使得该场能够携带能量和动量，从而传递相互作用力。
对称性的破缺是自然界中普遍存在的现象，正是由于对称性的破缺，才使得自然界中有了多样的物质和相互作用。
除了对称性和规范场之外，理论物理学中还有一个重要的概念就是守恒律。
守恒律是指某个物理量在物理过程中保持不变，例如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等等。
守恒律与对称性是密切相关的，它们彼此之间存在着深刻的联系。
事实上，守恒律是对称性的一种体现，对称性决定了守恒律的存在。
总之，理论物理学中的对称性和规范场是非常重要的概念。
对称性揭示了自然界中的基本规律，规范场描述了基本相互作用的本质。
5-4 对称性 对称性与守恒律
对称性
•
对称性ห้องสมุดไป่ตู้守恒律
一、关于对称性
在远古不同的文化里都有对称的观念，以后又渗透到各种不 同的人类活动之中，包括绘画、雕塑、音乐、文学、建筑等等。 对称的观念是如何进入到科学里面来的呢？可以讲得很清 楚的希腊，希腊人觉得对称是最高的原则，而什么东西是最对 称的呢？是圆。所以他们就认为，世界上主宰一切的最高的原 则，是以圆和球来做最后决定的。虽然结果并不成功，可是他 们的精神里面有很重要的正确方向。在物理学中对称的观念是 1905-1907年由爱因斯坦引进的，可是最初它对于物理学的重 要性并没有被大家所认识，从1925-1970年，对称的观念渐渐 成为一个主旋律（20世纪有三个主要旋律：量子化、对称、相 位因子）。1925年量子力学发展起来以后，有一些数学修养比 较高的物理学家就把数学里面非常美妙的一个观念叫做群论引 入到物理学里，这对20年代、30年代、40年代分子物理学、原 子物理学乃至以后的原子核物理学都起了决定性的作用。
(a)
(b)
个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说 这系统对于这一操作是“对称的”，而这个操作叫做这系统的 一个“对称操作”。例如图(a)中那个圆（不考虑上面的记号） 对于围绕中心旋转任意角度的操作来说都是对称的；或者说， 旋转任意角度的操作都是这圆的对称操作。如果我们在圆内加 一对相互垂的直径（如图b），这个系统的对称操作就少多了。 转角必须是90°的整数倍，操作才是对称的。由此可见，图 （b）中的图形要比单纯一个圆的对称性少多了。
以上关于“对称性”的普遍定义，是德国大数学家魏尔 （H.Weyl）首先提出来的。最常见的对称操作是时空操作。
在物理学中讨论对称性问题时，要注意区分两类不同性质 的对称性，一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类 是物理规律的对称性。由两质点组成的系统具有轴对称性，属 于前者；牛顿定律具有伽利略变换不变性，则属于后者。
2020年高中物理竞赛(力学篇)02运动、力学定律：对称性和守恒定律(共20张PPT)
r
U
f AB
(r)
r
B B B
U U
fBA f AB
A r A A
三、时间平移对称性与机械能守恒律
时间平移的对称性意味着时间的均匀性，表示系统 的势函数与时间无关，这将导致能量守恒。
讨论一维情况： EP x, t t E p( x, t)
对两个粒子的保守系统有：
EP x1, x2, t t Ep(x1, x2, t)
用泰勒级数展开
EP x1,
x2, t
t
E p ( x1 ,
x2, t)
EP t
t
高次项
EP x1,
x2, t
t
E p ( x1 ,
x2, t)
E P t
t
高次项
上式中必有：EP 0 t
考虑动能和势能可推导出
dEP 0 dt
E 常数
如果系统对于时间平移是对称的，那么系统
的能量一定守恒。——能量守恒定律
x r sin cos y r sin sin z r cos
o
r
P
x
m
2x t 2
E p x
m
2 y t 2
E p y
y
EP
t
Lz
m
2z t 2
E p z
Ep具有旋转不变性，即与φ无关
EP 0
t Lz 0
Lz 常量
空间旋转对称性意味着空间旋转一个角度，系
统势函数保持不变，必然导致角动量守恒。
系统
外界
孤立系统 封闭系统 开放系统
n
外力 F Fi
i1
· ·i · ·
内力 fij f ji