时间序列2
时间序列分析(第一章、第二章)2
自协方差函数的周期性分析
例 3.1
AR(4)模型1的谱密度
2.5 2 lamda=2.07 lamda=1.1
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5
0
5
10
15
20
25
AR(4)模型1、2、3的谱密度
4
3
2
1
0
-1
-2
-3 0
10
20
30
40
50
60
70
80
§2.3
AR( p) 序列的谱密度
Yule-Walker方程 自协方差的收敛性 自协方差的正定性 时间序列的完全可预测性
谱密度的自协方差函数反演公式
定理3.1的证明
白噪声列与平稳解的关系
Yule-Walker方程
Yule-Walker系数的最小相位性(2)
Levinson递推公式
偏相关系数
AR序列的偏相关系数
AR序列的充分必要条件
定理4.3的证明(1)
定理4.3的证明(2)
定理4.3的证明(3)
定理4.3的证明(4)
本节内容的应用意义
§例5.1 AR(1)序列
X t 0.85X t 1 t ,
250
300
350
400
450
4 gamma=3.6036 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
5
10
15
20
25
8 7 6 5 4 3 2 1 0 f(0)=7.0736
时间序列第二类伪回归例子
时间序列的第二类伪回归是一种常见的时间序列分析问题，它通常发生在两个时间序列之间存在某种相关性，但实际上它们之间并没有真实的因果关系。
以下是一个时间序列第二类伪回归的例子：假设有两个时间序列，序列A和序列B。
这两个序列都受到一些共同因素的影响，例如季节性变化、经济政策变化等。
这些共同因素导致两个序列之间存在某种相关性。
然而，如果序列A和序列B之间的这种相关性是由于某些未被考虑的因素导致的，那么就可能出现第二类伪回归。
具体来说，假设季节性变化是导致两个序列之间相关性的主要因素。
当季节性因素变化时，两个序列都会受到影响，从而导致它们之间的相关性发生变化。
然而，这种相关性并不是由于序列A和序列B之间的真实因果关系导致的。
为了说明这一点，我们可以考虑以下情况：假设我们收集了两个国家在过去几年的经济增长数据，并发现它们之间存在某种相关性。
这可能表明这两个国家之间的贸易关系或经济政策相似性导致了这种相关性。
然而，如果我们只考虑这些表面上的相关性，而忽略了其他可能影响经济增长的因素，例如季节性变化、政治稳定性、贸易伙伴关系等，那么就可能出现第二类伪回归。
在这种情况下，我们可能会得出错误的结论，认为这两个国家之间的经济增长存在真实的因果关系，而实际上这种关系可能是由于其他因素导致的。
这可能会导致政策制定者做出错误的决策，或者投资者做出不准确的投资决策。
总之，时间序列第二类伪回归是一种常见的时间序列分析问题，它通常发生在两个时间序列之间存在某种相关性，但实际上它们之间并没有真实的因果关系。
为了避免这种情况，我们需要仔细考虑所有可能影响时间序列的因素，并使用适当的统计方法来验证这些因素之间的关系。
时间序列第2-3章习题解答
并判断序列 的平稳性及纯随机性。 解 (1) 序列时序图和样本自相关图
案件数序列时序图
40 35 30 25 20 15 10
5 0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 6以
于是 所以
15. 对于平稳时间序列，以下等式哪些一定成立？ (1) (2) (3) (4)
解 对于平稳时间序列，(1)(2)(3)一定成立。(4)不成立。
16. 对于 AR (1)模型： 已求出
,求：
(1) 的 95%的置信区间；
，根据 个历史观察值数据：…，10.1，9.6，
解 模型改写为：
则模型的传递形式为：
＝
，确定该模型的 Green 函数，使该
故该模型的 Green 函数为： 该模型可以等价表示为无穷阶 MA 模型形式为：
13. 某 ARMR(2,2)模型为： .
解因
所以
，求 . 其中
, .
14. 证明 ARMR(1,1)序列 解 方法一 因为 所以
的自相关系数为：
(3) 为 MA(2)模型，因 ，故该模型是可逆的.
(4) 为 MA(2)模型，因
，故该模型不是可逆的.
(5) 为 ARMA(1,1)模型，因
，故该模型是平稳的和可逆的.
(6) 为 ARMA(2,1)模型，因 不平稳的，也是不可逆.
，故该模型是
12. 已知 ARMR(1,1)模型为： 模型可以等价表示为无穷阶 MA 模型形式.
管理数量方法与分析第三章_时间序列分析二
消费价格指数
110
80
消费价格指数 3 期移动平均预测 5期移动平均预测
50
86
88
90
92
94
96
98
00 20
年份
19
19
19
19
19
19
消费价格指数移动平均趋势
19
例题3.3.3
书上P92 例题3.7;
3.3.2
数学模型法
数学模型法 在对原有时间序列进行分析的基 础上,根据其发展变动的特点,寻找一个与之相匹配 的趋势曲线方程,并以此来测定长期趋势变动规律 的方法. 常用的趋势线数学模型 线性趋势与非线性趋势
年份 价格指数 1986 1987 1988 1989 118 1990 103.1 1991 103.4 1992 1993
106.3 107.3 118.8
106.4 114.7
年份
价格指数
1994
1995
1996
1997
102.8
1998
99.2
1999
98.6
2000
100.4
124.1 117.1 108.3
首先将移动平均数作为长期趋势值加以剔除， 再测定季节变动的方法.
具体方法如下
(1)计算移动平均趋势值 T(季度数据采用4项移动 平均 ,月份数据采用 12项移动平均 ),并将其结果进 行“中心化”处理.即将移动平均的结果再进行一 次二项的移动平均,即得出“中心化移动平均 值”(CMA) (2)计算移动平均的比值Y/T=SI，也称为修匀比率
具体做法
Y1 bt1 Y2 bt 2
Y1 Y2 b t1 t 2
Y1 , Y2 分别代表原时间序列实际观察中各部分 的平均数.
时间序列分析讲义第2章滞后算子
第二章 滞后算子及其性质§2.1 基本概念时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。
一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为：),,,(21T y y y如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期，那么上面的数据区间可以进一步扩充。
相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为：+∞=-∞==t t t T y y y y }{),,,,,,(21例2.1 (1) 时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时：t y t =；(2) 另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即：c y t =，c 是常数，这种时间的取值不受时间的影响；(3) 在随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为：t t y ε=，+∞=-∞=t t t }{ε是一个独立随机变量序列，每个随机变量都服从),0(2σN 分布。
时间序列之间也可以进行转换，类似于使用函数关系进行转换。
它是将输入时间序列转换为输出时间序列。
例2.2 (1) 假设t x 是一个时间序列，假设转换关系为：t t x y β=，这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。
(2) 假设t x 和t w 是两个时间序列，算子转换方式为：t t t w x y +=，此算子是将两个时间序列求和。
定义：如果算子运算是将一个时间序列的前一期值转化为当期值，则称此算子为滞后算子，记做L 。
即对任意时间序列t x ，滞后算子满足：1)(-≡t t x x L类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为2L ，对任意时间序列t x ，二阶滞后算子满足：22)]([)(-=≡t t t x x L L x L一般地，对于任意正整数k ，有：k t t k x x L -=)(命题2.1 滞后算子运算满足线性性质：(1) )()(t t x L x L ββ=(2) )()()(t t t t w L x L w x L +=+证明：(1) 利用滞后算子性质，可以得到：)()(1t t t x L x x L βββ==-(2) )()()(11t t t t t t w L x L w x w x L +=+=+--由于滞后算子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。
第二 时间序列分析的基本概念
特征统计量
均值
t EX t xdFt (x)
方差
DX t
E(Xt t )2
2
(x t ) dFt (x)
自协方差函数 (t, s) E( X t t )( X s s ) 自相关函数 (t, s) (t, s)
(t,t) (s, s)
由此可见，时间序列的自协方差函数是 随机变量间协方差推广差 时间序列自协方差函数具有对称性：
ˆ k 1,k 1
j 1 k
1 ˆkjˆ j
j 1
其中
ˆ11 ˆ1 ˆk 1, j ˆkj ˆ ˆ k 1,k 1 k ,k 1 j
j 1,2, k
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例如，根据上述递推公式，我们有：
ˆ11 ˆ1
ˆ22
ˆ 2 ˆ12 1 ˆ12
(1)s
0
ts ts
则称此序列为白噪声序列。 上一页 下一页 返回本首页
白噪声序列是一种特殊的宽平稳序列，也 是一种最简单的平稳序列，它在时间序 列分析中占有非常重要的地位。
2.独立同分布（iid）序列 定义：如果时间序列{Xt}中的随机变量Xt，
t=0, ±1, ±2 ……是相互独立的随机变 量，且Xt具有相同的分布（当Xt有一阶矩 时，往往还假定EXt=0）,则称{Xt}为独立 同分布序列。
一、两种不同的平稳性定义
注：由于在实际中严平稳序列的条件非常 难以满足，我们研究的通常是宽平稳序 列，在以后讨论中，若不作特别说明， 平稳序列即指宽平稳序列。
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二、时间序列的分布、均值和协方差函数 1.时间序列的概率分布 随机过程是一族随机变量，类似于随机变
量，可以定义随机过程的概率分布函数 和概率密度函数。它们都是两个变量t,x 的函数。
2-平稳时间序列模型
海军航空工程学院基础部数学教研室
第二章 平稳时间序列模型
4.2 ARMA(n,n-1)模型
X t 1 X t 1 n X t n 1at 1 n1at n1 at X t 1 X t 1 n X t n at 1at 1 n1at n1
X t j ( j 3,4,) 无关。
(2) at 是一个白噪声序列。 结构： AR(2)模型由三部分构成， 依赖于 X t 1的部分， 依赖于 X t 2 的部分，独立于前两部分的白噪声。AR(2) 模型可以等价地写成
at X t 1 X t 1 2 X t 2 。
2无关； , )
(2) at 为白噪声。
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第二章 平稳时间序列模型
一个关于产科医院的例子 设 at 是第 t 天新住院的病员人数， 假设 at 是白噪声序 列，即某一天住院人数与第二天住院人数无关。再假设 典型的情形是：10％的病人住院 1 天，50％的病人住院 2 天，30％的病人住院 3 天，10％的病人住院 4 天，那 么第四天住院的病人数 X t 将由下式给出
即通过把 X t 中依赖于 X t 1和 X t 2 的部分消除之后，使得 具有二阶动态性的序列转化为独立的序列。
海军航空工程学院基础部数学教研室
第二章 平稳时间序列模型
2.2 AR(n)模型
X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n at X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n at at X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n
X t at 0.9at 1 0.4at 2 0.1at 3 。
时间序列分析：方法与应用(第二版)传统时间序列分析模型
型。
例1.1
9
例1.1
Y
3,000 2,500 2,000 1,500 1,000
500 0 1955 1960 1965 1970 1975 1980
社会商品零售总额时序图 10
例1.2
Y
9,000 8,000 7,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 1,000
10,000
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
4,000 1995
1996
1997
1998
1999
2000
Y
YY
37
为评价模型的预测效果，也可以象例1.12一样， 预留部分数据作为试测数据，评价模型的适用性。
38
fi 为季节指数
T为季节周期的长度，4或12
26
2. 适用条件：
既有季节变动，又有趋势变动 且波动幅度不断变化的时间序列
至少需要5年分月或分季的数据
3. 应用
例1.12 我国工业总产值序列
27
1）时序变化分析 绘制时序曲线图
明显的线性增长趋势、季节波动，且波动幅度随趋 势的增加而变大。
Y
6,000
3. 应用
例1.13 我国社会商品零售总额的分析预测
33
1）时序变化分析 绘制时序曲线图
明显的线性增长趋势、季节波动，且波动幅度随趋势 的增加基本不变。
Y
10,000
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
4,000
1995
1996
时间序列分析（二）--指数平滑
时间序列分析（⼆）--指数平滑本系列⽂章翻译⾃NIST（美国国家标准与技术研究院）的(⼯程统计⼿册) 的第6章第4节关于时间序列分析的内容。
本⽂的翻译会先使⽤翻译软件进⾏初步翻译，笔者在对不恰当之处进⾏修正。
由于笔者⽔平有限，翻译过程难免有疏漏之处，欢迎⼤家评论区指出。
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3. 什么是指数平滑这是⼀种⾮常流⾏的产⽣平滑时间序列的⽅案。
在单⼀移动平均(Single Moving Averages)中，过去的观测值的权重是相等的，⽽指数平滑则随着观测值的变久赋予指数递减的权重。
换句话说，最近的观测结果在预测⽅⾯⽐过去的观测结果具有相对更⼤的权重。
在移动平均的情况下，分配给观察值的权重是相同的，等于1/N。
然⽽，在指数平滑中，有⼀个或多个平滑参数需要确定(或估计)，这些选择决定了分配给观察的权重。
本节将介绍单指数平滑、双指数平滑和三指数平滑。
3.1 单指数平滑（Single Exponential Smoothing）该平滑⽅案⾸先设置\(S_2\)为\(y_1\)，其中\(S_i\)为平滑观测值或EWMA, \(y\)为原始观测值，下标表⽰时间段，1,2,...n。
第3期\(S_3 = αy_2 + (1-α)S_2\)，等等。
没有\(S_1\)，平滑序列从第2个观察值的平滑版本开始。
对于任意时刻\(t\)，通过计算得到平滑后的值\(S_t\)\[S_t = αy_{t-1} + (1-α)S_{t-1} \qquad 0< α \leq 1 \quad t \geq 3 \]这是指数平滑的基本⽅程，常数或参数\(α\)称为平滑常数。
注意:有⼀种指数平滑的替代⽅法，⽤当前观察值\(y_t\)替换基本⽅程中的\(y_{t-1}\)。
这个公式，由Roberts(1959)提出，在EWMA控制图⼀节中有描述。
这⾥的公式遵循了Hunter(1986)。
设置第⼀个EWMA初始EWMA在后续所有EWMA的计算中起着重要的作⽤。
时间序列2维卷积分类案例
时间序列2维卷积分类案例
时间序列数据是一种随时间变化的数据，而卷积神经网络（CNN）通常用于图像识别，但也可以应用于时间序列数据。
在这里，我将
为你提供一个关于时间序列2维卷积分类的案例。
假设我们有一个时间序列数据集，例如股票价格，每日收盘价
作为特征，我们要预测股票的涨跌。
我们可以使用2维卷积神经网
络来处理这个问题。
首先，我们需要将时间序列数据转换为适合卷
积神经网络的形状。
我们可以将每日收盘价作为一个维度，时间作
为另一个维度，这样就形成了一个二维的输入数据。
接下来，我们可以构建一个卷积神经网络模型，包括卷积层、
池化层和全连接层。
卷积层可以帮助我们捕捉时间序列数据中的局
部模式，池化层可以帮助我们降低数据维度，全连接层可以将卷积
层提取的特征映射到输出类别上。
在训练模型时，我们可以使用交叉熵损失函数来衡量预测结果
与真实标签的差异，同时使用优化算法如随机梯度下降来更新模型
参数，以使损失函数最小化。
在评估模型性能时，我们可以使用准确率、精确率、召回率等指标来衡量模型的分类效果。
同时，我们可以使用交叉验证等方法来评估模型的泛化能力。
总的来说，时间序列2维卷积分类案例涉及将时间序列数据转换为二维输入，构建卷积神经网络模型，使用适当的损失函数和优化算法进行训练，并评估模型性能。
这种方法可以有效地处理时间序列数据的分类问题，如股票涨跌预测等。
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xt 1 1 B 12 B 2 at 1j B j at 1j at j
j 0 j 0
（算子定义）
即 xt 可化为 at 的线性组合 于是： xt 的均值：
E xt E a j 0 1j E at j
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预报分析
x9 0.748 x8＝0.784 (3.4) 2.54 还原： x9＝－2.54 5.8 3.26 95%的置信区间： 3.26 1.96 2.946 3.26 3.374 预报误差较大 可能需要更高阶模型
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AR(1)的物理意义
特性： ①是一阶线性自回归，xt 与 xt 1 之间存在线性关系 ② at 为白噪声（0均值，自协方差=方差） ③ 模型以差分方程形式描述
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x2 1 x1 a2 xt 1 1 xt 2 at 1 xt 1 xt 1 at xt 1 1 xt at 1
xt 1 xt 1 at
随机过程 xt 分为两部分：①确定性部分 1 xt 1 ②随机部分 at 由控制论：一阶线性系统，当输入为 f t 时，其差分方程：
xt 1 xt 1 f t
当 f t 为白噪声时：
xt 1 xt 1 at 即为AR(1)模型
即AR(1)模型描述了一个以 at 为输入， xt 为输出的系统：
多元回归模型
y1 x11 y x 2 21 y N xN 1
x12 x22 xN 2
x1n 1 1 x2 n 2 2 xNn n N
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若 t 为正态分布，则 yt 也为正态分布，真值95%的概率在 范围：
ˆ t 1.96 y
结论： 回归分析是建立在因果关系的两列（一元回归）或 多列（多元回归）随机过程的相关的基础上，只有观测 到所有的序列才能进行回归模型。其残差为白噪声。回 归可用来预报。
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Y X
寻求最优
，采用最小二乘法：
T 1 T
X X X Y
由于 t 是白噪声，无法求出真值，只能得到其估计值， 对于一元回归：
ˆ t 1 xt y
对于多元回归，其估计值为：
ˆ t 1 xt1 2 xt2 n xtn y
第二章 自回归滑动平均模型
• 线性回归模型
一元线性回归模型 例：封闭容器内气压 和温度的测量：
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采用一条直线描述 yt xt 的关系：
yt 0 1 xt
－ 0 截距
－ 1 斜率 但实际存在误差： ε－ 残差
y1 0 1 x1 1 y2 0 1 x2 2 求 y N 0 1 xN N
存在关系：
yt xt t
这反映： ①在同一t时刻，两个随机变量之间的相关性与时间无关， 是静态的 ②在t时刻 y t 回归到 xt E yt
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现若一个时间序列 x , t 1,2,3,, N t
以 xt ，
xt 1
组成数据对：
x2 , x3 , x4 , , xt , , x N x1 , x2 , x3 , , xt 1 , , x N 1
a ,1
a a
t 2 N t t 2
N
t 1
2 a t
若 a,1 很小，则合格，
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a , 2 a ,3
不用算了。
（2） at 是否与 xt 2 , xt 3 , 无关
a,x
t 2
a x
t 3
N
t t 2
N 2 N 2 at xt 2 t 3 t 3
xt 的均值，若使坐标平移至均值
yt 1 xt t
（注：今后不作说明，则皆为去均值的时序）
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其中
1
x y
t 1
N
t
ˆ R xy , 0 2 N ˆx 2 x t
1
残差的方差：
1 N
2
y
t 1
N
t
1 xt
2残差平Βιβλιοθήκη 和 残差数大连理工大学机械学院
目的是寻求 1 0 ，使最佳
yt 0 1 xt t
寻优常用最小二乘法进行估计（LSE） 目标使误差的平方和最小
设:
S t2 ( yt 0 1 xt ) 2
t 1 t 1
N
N
N
则
s 0 2 ( yt 0 1 xt ) 0 t 1 0
例：根据data建回归模型：
t 1 xt 5 2 3 4 5 6 3 2 5
yt 7 6 5 4 6
解： X 1 5 6 3 2 5 4.2
5
1 Y 7 6 5 4 6 5.6 5
1
xy x
t 2 t
t
0.59
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因为 ①是一个一阶自相关的平稳时间序列 ②是一个彼此独立的白噪声 所以 AR(1)模型可以看作把一相关序列化为独立序列 的装置，或称“白噪声”装置，引入B算子：
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有 当 1 1 时，展开
xt
1 1 1 B
at
1 1 1 B
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1 1 B B
j 0
j 1 t j
所以 Ext 0
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② xt 的方差：
j Varxt Var 1 at j j 0 12 jVar at j
j 0 2 2j a 1 j 0
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1
x x
2
8
t t 1 2 t
x
2
8
11.2 1.5 1 1.7 1.5 0.748
1.2
2
12 1.52
所以建模为：
xt 0.748 xt 1 at
计算残差：
at xt 0.748 xt 1
AR(1)模型
在 实测的情况下，只能观测到系统的一组时间序列
对这样的Data作回归分析只能对时间 t 回归
xt 0 1t t
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这要求 xt 中多元彼此无关，但实际上序列
x1 , x2 ,, xt 1 , xt ,
中存在这相关关系 xt 1 较大，则 如开口量
at , at 1
a a
t 3
8
t 1
a
3
8
2 t
0.752 0.103 0.091 2 0.752
at , xt 2 at xt 2
3
8
8 2 8 2 at xt 2 0.14 3 3
2 a 2 1 1
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3.模型适用检查 模型建立之后，要进行适用性检查，最根本 的是检查 at 是否为白噪声
对 检查两方面： （1） at 是否与 at 1 , at 2 , 无关 即计算 at 的自相关函数：
E at 0 at 2 r E a a t t k a k k 1 k 0 k 0 k 0
t 取不同值有
y1 1 x11 2 x12 n x1n 1 y2 1 x21 2 x22 n x2 n 2 y N 1 x N 1 2 x N 2 n x Nn N
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s 0 1
(y
t 1
N
t
0 1 xt ) xt 0
0 y 1 x
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其中
1 y N
y
1
N
t
1 x N
x
1
N
t
1
(x
1 N 1
N
t
x )( yt y )
2 ( x x ) t
ˆ C xy , 0 2 ˆx
所以模型为
yt 0.59 xt t
1 yt 0.59 xt 2 0.282 5
2
所以 t ~ NID(0,0.282 )
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多元回归模型
多元线性回归，例如压力和温度，浓度等几 个因素有关，则：
yt 1 xt1 2 xt2 n xtn t t 1,2,3, , N
若
a,x
t 2
很小时，则认为无关。
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例：
t 1 xt : 7 .0 2 3 4 5 6 7 8 6 .8 7 . 3 7 . 5 8 . 3 3 . 8 3 . 3 2 . 4
减 x : 1 .2 1 .0 1 . 5 1 . 7 2 .5 2 2 .5 3 .4
也存在相关关系：
xt xt 1 t
t ~ NID(0, 2 )
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则①此式反映同一随机变量在不同时刻的相关性。 这种相关性与时间有关（t→t-1）,因此是一种动态模型 ②此种回归是 xt 回归到 xt 本身，称为自回归，因此 表示为：