第6讲分形几何学

实用标准文案

第6讲分形几何学

主要内容：

一、概述

二、分维的测定方法（重点内容）

三、分维应用实例（重点内容）

四、问题讨论

一、概述

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。

1、基本概念

（1）整数维与分数维

“维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。

在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。

然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。

例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分

数维描述的几何对象，都具有自相似性。

（2）自相似性与无标度区

所谓自相似性(self-similarity)，是指事物或现象中局部与整体在形态、功能和信息等方面具有统计意义上的相似性。自然界中的许多客体，如云朵、山脉、海岸线、树、肺脏，甚至描述经济现象的图形，都具有“自相似性”，即局部与整体的形状相似，局部的局部也与整体相似。例如，一段用放大的比例尺画出来的海岸线与整条海岸线形状是相似的；一棵树干分为二支，每支又分为二支——这棵树的局部与整体的形状相似。事实上，地质体大多具有自相似性，一条断层可能以不同比例尺存在，而其外表却十分相像。因此，地质学家长期以来凭直觉认识到了这一基本事实，从而形成了一个不言而喻却是不可改变的原则，即任何地质体的照片必须附上一个比例尺参照物，在野外拍摄的地质照片中通常附上已知尺寸的某种普通物品，例如铅笔、地质锤或人体。

自然界事物自相似性只在一定尺度范围内才能出现，这个具有自相似性的范围叫做无标度区。在无标度区内，放大或缩小几何对象的尺寸，整个结构并不改变，即其形状与标度无关。在无标度区外，自相似现象不存在。

（3）分形与分形几何学

分形是指具有自相似性或自相似结构的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙不平的断面、变化无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管，令人眼花燎乱的满天繁星……，它们的共同特点是极不规则或极不光滑，然而放大或缩小若干倍后其结构与功能又具相似性，因此，这些现象都是分形。同样，地质现象中的自相似现象也十分普遍。例如地壳的变形是一自相似过程，变形过程中构造事件的空间分布以及变形后构造带中不均匀体的分布常常是分形的；岩石的破坏也是一自相似过程，破坏过程中的微破裂事件的空间分布以及破坏后断裂带中不均匀体的分布也常常是分形。

因为分形都具有极不规则的复杂形状，因而用整数维的概念很难对它们进行定量描述。然而，根据分形的观点，却可以从中找到自相似结构，并用分维对其形状进行描述。1982年由B.B.Mandelbret创立的分形几何学就是研究无规则现象或分形的数学方法。它既是数学的最新研究领域之一，又是国内外地学研究的前沿课题。

2、分维的定义和分类

对于D维规则图形，把图形的每一个界面分成b份，则图形被分成N=b D份，自相似维数为：

以上定义只适用于具有严格自相似性的图形。为了能够适用于包括随机图形在内的任意图形，人们给分维引入了多种定义。在地学研究中，一般用下列3种定义：（1）容量维(D

k

)

若N(d)是能够覆盖住一个点集的直径为d的小球的最小数目，则该点集的容量维定义为：

（2）信息维(D

i

)

在容量维的定义中，只考虑了直径为d的小球数目与d之间的关系，而未考虑研究对象。因此，对于非确定性的研究对象，这种定义仍不实用。于是，引入了信息维的定义：

其中，p

i (d)为研究对象落在第i个球中的概率。若概率分布均匀，则p

i

(d)=1/N，D

i

=D

k

。一

般情况下，D

i ≤D

k

,可见信息维是容量维的一种推广。

(3)相似维(D

s

)

相似维是应用最多的一种分维。对于某一具有自相似性的研究对象，若其可以被分为N 个单元(N随相似比r变化)，且每一单元按相似比r与整体相似，则定义：

分维的上述定义在数学上都是很严密的。但在实际问题及实验测定中。长度是有界限的。通常，如果N(r)随r的变化存在以下关系：

则D就是该图形的分维。

3、分维在地质学上的应用

作为表征研究对象几何复杂程度和几何分布关系的参数。分维在地学，尤其是工程地质、环境地质领域得到广泛应用，在处理过去难以解释或难以解决的复杂问题方面显示了具大威力，得到了一系列准确的解释和定量结果。

（1）地质体结构的分形研究

①岩石结构面几何特征

岩石结构面是指存在于岩体内的面、缝、层、带状地质界面。结构面不仅破坏了岩体的完整性，直接影响岩体的力学性质和应力分布状态，而且很大程度上影响着岩体的渗流途径和破坏方式。因此在岩石力学、水文地质与工程地质学领域都非常重视岩石结构面研究。

岩石结构面的几何特征包括结构面的方位、形态、规模、间距或密度、隙宽、粗糙度、璧面强度和充填性等。由于结构面空间形态的不规则性、组成结构面网络的复杂性，阻碍了人们对它的深入认识。运用分形几何学研究结构面几何特征及其组成的网络系统，可以得到许多非常有意义的结论。

②岩土结构

有人对岩石颗粒和土颗粒的粒度分布、岩石空隙和土粒间孔隙的大小分布、颗粒表面形态等进行研究，发现它们均符合分形分布规律。

③矿物晶体结构

传统的晶体结构模型是以欧几里德空间为基础建立起来的。现在有人提出用分形空间建立晶体结构模型，并有人用计算机模拟出一些理想的分形晶体模型。

（2）地震学中的分形研究

①地震强度的自相似性

地震震级(M)与地震频度(N)有以下关系：

lgN=a-bM

震级与地震波能量(E)的关系为：

LgE=A+1.5M

由以上两式可得：

②地震的时间分维

有人通过研究发现，在适当的定长时间段内有震的时段数与时间间隔符合分形分布关系。

③地震的空间分维

地震震中的分布具有某种程度的自相似性。

（3）地貌学中的分形研究

地表的起伏形态可用分维描述。在一个流域内，水道的数目、长度、纵比降、流域面积

等均具有自相似性。

（4）岩石断裂与破碎

利用分维可以很好地描述岩石断裂面的粗糙不平，综合反映岩石材料的微结构、组构演化、变形和破坏性质，把宏观力学性质与微观结构定量地联系起来。在研究一个区域的断裂构造分布时，可分别研究断层几何结构的分维和断层空间分布的分维。在这种情况下，断层分维是断层数量、规模、组合形式、水平延伸长度以及分布不均匀性的综合体现，可以作为研究区断裂构造复杂程度的量化指标。

（5）地学数据的分维处理

地学数据在坐标图上表现为几何点或几何曲线，对这些点的分布特征和曲线的几何特征进行分维分析，就可以间接地分析这些数据的时空特征。

二、分维的测定方法

分形研究中，已提出许多不同的分维测定方法，可以根据不同的研究对象和不同的研究目的选用不同的测定方法。下面只介绍四种基本方法。

1、码尺法

取长度为r的码尺逐一覆盖曲线(断层迹线、地表面或岩石破裂面等与一垂直切面的交线)，以所需码尺总数N(r)乘以码尺长度r得到该曲线的近似长度L(r)；随着r的缩小，L(r)将增大，具有：

在实际应用码尺法测定分维时，将一组码尺长度r

i 及与其对应的一组断层长度L(r

i

)标

在 lnL(r)-lnr双对数坐标图上(i=1,2，…，n),便可用一元线性回归方法拟合出一条直线：lnL(r)=a+bLnr

式中，a是常数，b是直线的斜率。

实际上，由式

可得：

LnL(r)=lnA+(1-D)lnr

令：a=LnA，b=1-D，即可得到式lnL(r)=a+bLnr。该曲线的分维：D=1-b。在对不同的曲线进行比较研究时，常以拟合直线斜率的绝对值作为曲线的相似维。

2、圆覆盖法

一条断裂带往往由方向、长度、几何形态不同的多条断层斜列而成。对于类似断裂带的研究对象，不能用码尺法，而要用圆覆盖法。

圆覆盖法与码尺法类似。但用不同半径(r

i

，i=1，2，…，n，)的圆去覆盖断裂带，断

裂带的长度L(r

i )与圆的半径(r

i

)有如下关系：

L(r

i )=2r

i

.N(r

i

)

式中，N(r

i )为覆盖断裂带所需半径为r

i

圆的最小数目。

将r

i 和L(r

i

)(i=1，2，…，n)两组数据标在双对数图lnr-lnL(r)上，可得到一条斜率

为b的直线，则其分维数为：D=1-b。

3、网络覆盖法

网络覆盖法一般用于研究一个区域内某种几何对象（点、线）的分形结构。

将研究区分成若干个边长为r的正方形格子，数出有点或线进入的格子数N(r)；按1/2的倍率缩小r，并数出相对应的格子数N(r)，并以此类推。如果研究区内几何对象具自相似结构，则有：

式中，Ds为相似维。

这种方法又称为数盒子法。将“数盒子”所得数据标绘在双对数坐标图LnN(r)-lnr上，可拟合一条直线：

LnN(r)=a+Lnr

其斜率b即为研究对象的分维。

图a为日本板田地区的断层系（图中所示断层是对“日本活断层图”中I到II级信度活动断层绘制而成）。将该区域每边近2n(n=1,2,…,n)逐级等分，则可依次数出有断层线进入的盒子数。为清晰起见，仅在图中的一角画出了逐渐变细的分割。图b为有断层线进入的盒子数与沿网络一边盒子数的双对数坐标图，其分维为1.60+0.10。

4、康托尘集法

康托尘集法是分析某种事件沿测量方向出现非均匀性或概率的情况，可描述该事件分布的不均匀性和各向异性特征。

以断裂分维测定为例，用几条平行的测线覆盖断裂图象，然后将测线分为长度为r的一些测量单元，数出含有断裂交叉点的测量单元的个数n与测量单元总数N的比值p。改变测

量单元的长度r，可获得相应的n、N及p值。在Lnp-lnr坐标系中，可得到p

i 与r

i

(i=1,2，…，

n)的最佳回归直线，其斜率即为该测线方向上的分维值。改变测线方向．重复上述操作，即可得到不同方向上的断裂分维值。

三、分维应用实例

1、岩石断裂面粗糙度分形研究(徐志斌等，1998)

岩石断裂面粗糙度(JRC)是一个重要的几何参数，对岩石强度、刚度、断层地震行为、断层带中断层泥和碎裂岩的形式等都具有重要影响，因此，精确估算JRC值一直是一项重要的研究课题。Barton等在100多条人工拉断节理试验的基础上，确定了10条典型的JRC变程曲线，JRC的变化范围为0～20。Lee等采用码尺法实测了这10条JRC变程曲线的分维值D，并建立了JRC与D的经验关系式。

这样，一旦确定了断裂面的分维，就可估算出其JRC值，进而对断裂面的剪切破坏强度进行预测。

2、岩石结构分形在岩体质量评价中的应用(丁多文，1993)

岩体在长期的成岩及变形过程中形成了它们的结构，结构面和结构体是其基本要素。由

于地质历史的漫长，使不同时期、不同种类、不同空间的岩体结构复合、演化，从而使岩体结构复杂化。在这种复杂的结构中，岩体结构面的分布存在一定方向的优势性——优势面，即岩体结构面在空间、时间的分布呈现出某一方面的统计优势面和地质优势面，而岩体结构面的分布分形分维(用数盒子法求得)正能极好地反映优势面在空间分布的优势程度及范围。因此，岩体结构面分布分形维数的大小可以从一个方面反映岩体质量的好坏程度。结构面分布分维(D

pf

)越小，结构面分布越呈现出单一方向分布的优势；结构面分布分维越大，结构面

分布越呈现出多个方向，结构面分布就越复杂，岩体质量就越差。结构体分布分维(若Lnr

i

与LnN(r

i )线性相关，其直线斜率D

vf

即为其分维。其中，r

i

为特征尺度,N(r

i

)为大于r

i

的岩

块数目)则反映结构体大小分布状况。当D

vf >3时，大的岩体结构体占绝对的优势；D

vf

一般处

于2～3之间，大的结构体所占比例将随Dvf的减小而降低，岩体质量随Dvf变小而变坏。结构面及结构体分布分维反映岩体结构的两个方面，为此引入岩体质量评价指标D=Dvf-Dpf,并根据D值大小将岩体质量分为5级。

岩体质量评价表

3、四川盆地油气田空间分布的分形特征(施泽进等，1995)

选取四川盆地勘探项目部署总图为底图，将油气田标绘其上，利用数盒子法求得分维值

D为1.308，相关系数为0.999，表明四川盆地油气田的空间分布具有分维结构。将四川盆地分为川东南、川中和川西三个分区，分别计算出油气田空间分布的分维为：1.387，1.401，1.078，分维值的总体变化趋势由东南向西北降低，正好反映油气田在东南部较密，西北部较稀疏的特点。这说明，分维与油气田总面积呈正相关关系，油气田分布面积总和越大的区域，其分维值越大。另一方面，油气田空间分布的均匀程度也影响分维。在油气田总面积基本相同的情况下，油气田分布愈不均匀，其分维反而愈低。

4、渭河盆地地质灾害的分形自组织结构(彭建兵等，1992)

①地震活动的时空分维

研究的时间范围为公元前280～公元1976年，时间跨度T=2256年。研究对象是震级M

s

≥2以上的地震。以τ

n

=2n年（也可以是天、小时、分钟，n=0,1,2，…)为时间标尺，将时

间跨度T划分成N

n 个时段。当τ

n

一定时，数出曾有地震发生的时段个数，记为m

n

,有震时段

的比例：

X n =m

n

/N

n

统计结果表明，LnX

n 与Lnτ

n

呈显著的线性相关，相关系数达0.9976。由直线斜率k=1-D

k

，

求得容量维D

k

=0.552。

LnX

n ～Lnτ

n

之间的关系实际上反映了有震时段与无震时段相互关系随时间标尺变化的

规律性。例如，当时间标尺τ

n =26年=64年时，X

n

=0.9561，即有震时段占时段总数的比例为

95.61％，无震时段只占4.39％。这表明，以64年为时间尺度，渭河盆地M

s

≥2.0的发震可能性为95.61％。由这种方法揭示的分形结构特征是对渭河盆地2256年时段内地震在时间域上活跃与平静复杂性的一个概括。

将渭河盆地M

s

≥2的地震震中位置标绘在区域平面图上，用数盒子法求得相应的容量维

D

k =1.212，相关系数达0.9828，同样证明了地震空间分布具有分形结构。D

k

是渭河盆地地震

空间分布密集与稀疏复杂性的定量指标。

②滑坡(滑塌)和地震灾害的分布分维

将滑坡(滑塌)分布点看作与震中分布点相似，地裂缝与断层相似，在小比例尺图上近似一个点，也将其视作震中分布点。因此，将这两种地质灾害的空间分布当作震中分布一样进行处理，同样可测算出它们空间分布的容量维。渭河盆地滑坡的空间分布容量维为1.041，地裂缝的空间分布容量维是1.001。

将渭河盆地分为东、西两区分别研究各种地质灾害分布分维，结果见下表。从中反映出一个共同特点：渭河盆地东区的地质灾害较西区多些。

渭河盆地地质灾害的空间分维

四、问题讨论

1、自相似结构和无标度区的判定

分形是具有自相似性的几何对象，所以研究对象具有自相似性是正确测定其分维的必要

条件。以数盒子法为例，如果研究对象具分形结构(即自相似性)，则LnN(r

i )与lnr

i

(i=1，

2，…，n)将呈现出显著的线性相关，否则，就可判定该研究对象不具有分形结构。

另一方面，研究对象的自相似性一般只存在于一定的尺度范围内，该范围称为无标度区。当我们将LnN(r)-lnr数据对标绘在直角坐标系中时，如果只有当r≥a，r≤b(b>a)时，点

(Lnr

i ，LnN(r

i

))(i=1，2，…，n)近似地分布在一条直线上。而当rb时，点(Lnr

i

,lnN(r))

偏离直线，则无标度区即为(a，b)区间

2、分维的影响因素

采用网络覆盖法测算分维时，初始网格尺度r与网格方向对分形维数往往产生影响。r 若大于无标度区的特征尺度(如b)，研究对象则失去分形特征；r若过分小，局部的复杂性将被放大，也无法求得正确的分维。由于研究对象(分形)内在结构的各向异性特征,沿不同方向选择网格线，将影响到分维值的分布。因此，在进行不同区块分维值对比研究时，应注意到这方面的影响因素。

3、网格形状

当对非矩形区域使用网格覆盖法，例如对一个三角形区块进行正方形网格分割，边界网格将形成空白区，由此带来的误差也会引起整个区块分维值的变化。如果采用比研究区小的正方形网格求分维值，又会丢失部分有用信息，得到的只是局部地段的分维。

由于分形是具有自相似性的形体，其自相似性通过尺度的变换反映出来，因此只要把网格划分成具有相似性的形状，改变其尺寸就可以求出分维值。也就是说，我们可以根据研究区(有已知信息的区块)的形状合理地选择网格的形状，不一定非划分成正方形网格不可。洪

流、徐志斌(1996)根据分形理论的基本原理提出了三角形网格划分法，见下图。

对于一些不规则的多边形块段，可先将其划分成几个大的三角形块段，并对每个块段用图12.4.1所示方法分别进行分维测算，然后求其平均值作为多边形块段的分维，这种方法可以充分利用所获得的信息，更为真实地反映实际情况。

4、点分维与线分维

当研究对象可以被近似地视为点的时候，如地震震中、小比例尺图上的地裂缝和中、小尺度的断层等，其分维是对研究对象空间分布特征的度量，分维受分形空间分布控制。

当研究对象是线的时候，例如长度大于研究区边长二分之一的断层，其分维是对分形(断层系)几何结构(分叉、交切等)的度量。

所以，点分维与线分维所代表的地学意义是不同的。应当根据不同的研究目的，选择不同的研究对象。