线性微分方程

第4章 线性微分方程

1．了解n 阶线性微分方程的概念，知道n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，了解n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理．

（1）在n 阶线性微分方程

y (n ) + p 1(x )y (n -1) + … + p n -1(x )y ′+ p n (x )y = f (x ) (4.5)

中，令y ′= y 1，y ″= y 2，…，y (n -1) = y n -1，(4.5)式就可以化成一阶方程组

⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧+----====-----)()()()(d d d d d d d d 11111

122

11x f y x p y x p y x p x

y y x y

y

x y y x y

n n n n n n

(4.7) (4.7)可以写成向量形式

)()(d d x x x

F A Y

+= (4.8) （2）n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系： 方程(4.5)与方程组(4.7)是等价的，即若y=φ(x )是方程(4.5)在区间I 上的解，则y=φ(x )，y 1=φ′(x )，…，y n-1 = φ(n -1)(x )是方程组(4.7)在区间I 上的解；反之，若y=φ(x )，y 1=φ1(x )，…，y n-1=φn-1(x )是方程组(4.7)在区间I 上的解，则y=φ(x )是方程(4.5)在区间I 上的解.

（3）n 阶线性微分方程解的存在唯一性定理：

条件：方程y x p y x p y

n n n '+++--)()(1)1(1)

( )()(x f y x p n =+的系数)(x p k （k=

1,2,…，n ）及其右端函数f (x )在区间I 上有定义且连续；

结论：对于I 上的任一0x 及任意给定的)

1(000,,,-'n y y y ，方程的满足初始条件

00)(y x y =的解在I 上存在且唯一.

2．理解n 阶线性齐次微分方程解的结构和通解基本定理，了解n 阶线性齐次微分方程的基本解组，掌握刘维尔公式．

（1）朗斯基(Wronski)行列式定义：

设函数组φ1(x )，φ2(x )，…，φn (x ) 中每一个函数φk (x )(k =1,2,…,n )均有n -1阶导数，我们称行列式

)

()()()

(')

(')

(')()()()()

1()1(2)1(12121x x x x x x x x x x W n n n n n n ---=

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

为已知函数组的朗斯基(Wronski)行列式.

（2）n 阶齐次方程的解的线性无关性判别定理：

齐次方程0)()()(1)1(1)

(=+'+++--y x p y x p y x p y

n n n n 的n 个解

)(1x ϕ，)(2x ϕ，…，)(x n ϕ

在其定义区间I 上线性无关（相关）的充要条件是在I 上存在点x 0，使得它们的朗斯基行列

式W(x 0)≠0 （W (x 0) ＝0）.

（3）n 阶线性齐次微分方程解的结构和通解基本定理：

如果)(1x ϕ，)(2x ϕ，…，)(x n ϕ是齐次方程的n 个线性无关解，则

y = )(11x C ϕ+)(22x C ϕ+…+)(x C n n ϕ

是方程0)()()(1)1(1)

(=+'+++--y x p y x p y x p y

n n n n 的通解，其中n C C C ,,,21 为n

个任意常数.

（4）基本解组定义： 方程0)()()(1)1(1)

(=+'+++--y x p y x p y x p y

n n n n 的定义

在区间I 上的n 个线性无关解称为该方程的基本解组.

（5）n 阶齐次方程的线性无关解的个数不超过n 个. （6）n 阶齐次方程总存在定义在区间I 上的基本解组.

（7）刘维尔(Liouville)公式： 设)(1x ϕ，)(2x ϕ，…，)(x n ϕ是方程的任意n 个解，W (x )是它们朗斯基行列式，则对区间I 上的任一x 0有 W (x )=W (x 0)⎰x

x t

t p 01d )(e

上述关系式称为刘维尔(Liouville)公式. 朗斯基行列式的两个重要性质：

性质１．方程0)()()(1)1(1)

(=+'+++--y x p y x p y x p y

n n n n 解的朗斯基行列式W(x)

在区间I 上某一点为零，则在整个区间I 上恒等于零.

性质２． 方程0)()()(1)

1(1)(=+'+++--y x p y x p y

x p y n n n n 解的朗斯斯行列式W(x)在区间I 上某一点不等于零，则在整个区间I 上恒不为零.

3．理解n 阶线性非齐次微分方程的通解定理，掌握n 阶线性非齐次微分方程用常数变易法法求通解的方法．

通解定理: n 阶线性非齐次方程y x p y

x p y n n n '+++--)()(1)

1(1)( y x p n )(+ )(x f =的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和.

4．了解n 阶常系数线性齐次方程的概念，熟练掌握n 阶常系数线性齐次方程的单特征

根的待定指数函数解法及重特征根的待定指数函数解法．

常系数线性齐次方程

y (n)+a 1y (n-1) + … + a n-1y ′+a n y = 0 （4.21）

其中a 1，a 2，…，a n 为实常数. 称

P (λ)=λn +a 1λn -1+…+a n －１λ+a n = 0 （4.25）

为方程(4.21)的特征方程，它的根称为特征根.

单特征根的基本解组定理： 若特征方程(4.25)有n 个互异根λ1，λ2，…，λn ，则

x n x x n y y y λλλe ,,e ,e 2121=== （4.26）

是方程(4.21)的一个基本解组.

重特征根的基本解组定理：如果方程(4.21)有互异的特征根λ1，λ2，…，λp ，它们的重数分别为m 1，m 2，…，m p ，m i ≥1，且m 1＋m 2＋…＋m p ＝n ，则与它们对应的(4.21)的特解是

x

m x

x

x m x x x

m x x p p p p x

x x x x x λλλλλλλλλe

,,e

,e

e ,,e ,e e ,,e ,e 11122221111--- (4.30)

且(4.30)构成(4.21)在区间(－∞，＋∞)上的基本解组.

5．了解n 阶常系数线性非齐次方程的概念，熟练掌握第一类、第二类非齐次项n 阶常