高中数学基础知识汇总

高中数学基础知识汇总第一章集合与简易逻辑：

一．集合

1、集合的有关概念和运算

（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；

（2）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ?A ；

2、子集定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集；记作：A ?B ，注意：A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ

3、真子集定义：A 是B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ?；

4、补集定义：},|{A x U x x A C U ?∈=且；

5、交集与并集交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且；并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或

6、集合中元素的个数的计算：若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。二．简易逻辑：

1．复合命题：三种形式：p 或q 、p 且q 、非p ；判断复合命题真假：

2.真值表：p 或q ，同假为假，否则为真；p 且q ，同真为真；非p ，真假相反。

3.四种命题及其关系：

原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；

否命题：若?p 则?q ；逆否命题：若?q 则?p ；互为逆否的两个命题是等价的。

原命题与它的逆否命题是等价命题。

4.充分条件与必要条件：

若q p ?，则p 叫q 的充分条件；若q p ?，则p 叫q 的必要条件；若q p ?，则p 叫q 的充要条件；

第二章函数

一．函数

1、映射：按照某种对应法则f ，集合A 中的任何一个元素，在B 中都有唯一确定的元素和它对应，记作f ：A →B ，若B b A a ∈∈,，且元素a 和元素b 对应，那么b 叫a 的象，a 叫b 的原象。

2、函数：（1）、定义：设A ，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ），（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；

3、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R ；②分式：分母0≠，0次幂：底数0≠； ③偶次根式：被开方式0≥，例：225x y -=；④对数：真数0>，例：)1

1(log x

y a -=

4、求值域的一般方法：

①图象观察法：|

|2.0x y =；②单调函数法： ]3,3

1[),13(log 2∈-=x x y ③二次函数配方法：)5,1[,42∈-=x x x y ， 222++-=x x y

④“一次”分式反函数法：1

2+=

x x

y ；⑥换元法：x x y 21-+= 5、求函数解析式f （x ）的一般方法：

①待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②配凑法：,1

x x

x f +=-求f （x ）；③换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ） 6、函数的单调性：

（1）定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为D 上增函数；若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。（一致为增，不同为减）（2）区间D 叫函数)(x f 的单调区间，单调区间?定义域；（3）复合函数)]([x h f y =的单调性：即同增异减；

7.奇偶性：

定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。

f(x) －f(-x)=0? f(x) =f(-x) ?f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0? f(x) =－f(-x) ?f(x)为奇函数。

8.周期性：

定义：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+T)=f(x),则T 为函数f(x)的周期。 9．函数图像变换：

（1）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b；（2）法则：加左减右，加上减下（3）注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（ｍ，ｎ）平移的意义。 10.函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1

x f y -=的图象关于直线x y =对称；点（a ，b ）关于直线

x y =的对称点为（b ，a ）

；

二、指对运算：

1. 指数及其运算性质：当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，??

?<-≥==)

0()

0(||a a a a a a n n

2.分数指数幂：正分数指数幂：n m

m a a =；负分数指数幂：n

m n

m a

3.对数及其运算性质：

（1）定义：如果)1,0(≠>=a a N a b

，以10为底叫常用对数，记为lgN ，以e=2.7182828…为底叫自然对数，记为lnN

（2）性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：01log =a ，③底的对数等于1：1log =a a ，④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N

a a a

log log log -=，幂的对数：M n M a n

a log log =，方根的对数：M n

M a n a log 1log =，

三．指数函数和对数函数的图象性质

第三章数列

一．数列：（1）前n 项和：n n a a a a S ++++= 321；（2）前n 项和与通项的关系：

??≥-===-)2()

1(111n S S n S a a n n n

二．等差数列：

1.定义：d a a n n =-+1。

2.通项公式：d n a a n )1(1-+= （关于n 的一次函数），

3.前n 项和：（1）．2)(1n n a a n S += （2）. d n n na S n 2

)1(1-+

=（即S n = An 2

+Bn ） 4.等差中项： 2

a A +=

或b a A +=2 5.等差数列的主要性质：

（1）等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是： =+=+=+--23121n n n

a a a a a a ，如图所示：

n a a n a a n n a a a a a a ++---11

2,,,,,,12321

（2）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*

N k ∈，则k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差

数列。如下图所示：

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++

三．等比数列：

1.定义：)0(1≠=+q q a a n

n ；2.通项公式：1

1-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ）

3.前n 项和]：?????

≠--=--==)

1(,1)1(1)1(,111q q q a q

q a a q na S n

n n （推导方法：乘公比，错位相减）

说明：①)1(1)

1(1≠--=q q q a S n n ； ○2)1(11≠--=q q

q a a S n n ； ○

3当1=q 时为常数列，1na S n =。 4.等比中项：

b a G =，即ab G =2

（或ab G ±=，等比中项有两个）

5.等比数列的主要性质：

（1）等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?

也就是： =?=?=?--23121n n n

a a a a a a 。如图所示：

n a a n a a n n a a a a a a ??---11

2,,,,,,12321

（2）若数列{}n a 是等比数列，n S 是前n 项的和，*N k ∈，则k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++

四．求数列的前n 项和的常用方法：分析通项，寻求解法

1.公式法：等差等比数列；

2.分部求和法：如a n =2n+3n

3.裂项相消法：如a n =

1(1)

n n +；4.错位相减法：“差比之积”的数列：如a n =(2n-1)2n

第四章三角函数

1、角：与α终边相同的角的集合为{Z k k ∈?+=,360|

αββ}

2、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。（2）度数与弧度数的换算：π=

180弧度，1弧度180

(

)π

（3）弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数）扇形面积：2

||2

121r lr S α===

3、三角函数定义：（如图）

y x r x x

x y r y =

=====ααααααcsc cot cos sec tan sin 4、同角三角函数基本关系式

（１）平方关系：（２）商数关系：

1cos sin 22=+αα α

αcos sin tan =

1cot tan =αα 5、诱导公式（理解记忆方法：奇变偶不变，符号看象限）

公式一： ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(=??+=??+=??+k k

k 公式二：公式三：公式四：公式五：

ααααα

αtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(-=-?-=-?=-? ααααα

αtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(=+?-=+?-=+? ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- α

αααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(-=-?=-?-=-?

απααπααπ

cot )2

tan(sin )2cos(cos )2sin(=-=-=- ααπααπα

απ

cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(

-=+-=+=+ ααπ

ααπ

απcot )23tan(sin )2

3cos(cos )2

3sin(=--=--=- ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(-=+=+-=+

6、两角和与差的正弦、余弦、正切

)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

)(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a

)(βα+T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+ )(βα-T ： β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-

7、辅助角公式：sin cos cos cos sin )sin()a x b x x x x φφφ+=?+?=+

（其中?称为辅助角，?的终边过点),(b a ，a

b =

?tan ）

8、二倍角公式：（1）、α2S ： αααcos sin 22sin = （2）、降次公式：

α2C ： ααα22sin cos 2cos -= ααα2sin 21

cos sin =

1cos 2sin 2122-=-=αα 2

12cos 2122cos 1sin 2

+-=-=ααα

α2T ： α

αα2

tan 1tan 22tan -= 212cos 2122cos 1cos 2

+=+=ααα 9、三角函数的图象性质

（1）函数的周期性： ①定义：对于函数f （x ），若存在一个非零常数T ，当x 取定义域内的每一个值时，都有：f （x +T ）= f （x ），那么函数f （x ）叫周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期；

②如果函数f （x ）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f （x ）的最小正周期。（2）函数的奇偶性：

①定义：对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有：f （-x ）= - f （x ），则称f （x ）是奇函数，f （-x ）= f （x ），则称f （x ）是偶函数

②奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；

x y sin =图象的五个关键点：（0，0），（2

，1），（π，0），（2，-1），（π2，0）；

x y cos =图象的五个关键点：

（0，1），（π

，0），（π，-1），（3π，0），（π2，1）；

②周期变换：x y sin = x y ωsin =

③相位变换：x y sin = )sin(?+=x y

第五章平面向量

1．向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2．向量的运算：（1）、向量的加减法：

（2）实数与向量的积：①定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λ； ②它的长度：||||||?=λλ；

③：它的方向：当0>λ，λ与的方向相同；当0<λ，λ与的方向相反；当0=λ时，λ=； 3．平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量，

当<0

1<ω时，

图象上各点的纵坐标伸长到原来的ω

倍

当0>?时，图象上的各点向左平移?个单位倍

当0

有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=； 4．平面向量的坐标运算：

（１）坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==→→，则()2121,y y x x b a ±±=±→

→

设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则()1212,y y x x AB --=→

. （2）实数与向量的积的运算律: 设()y x a ,=→，则λ()()y x y x a λλλ,,==→

，（3）平面向量的数量积：

①定义：??

? ??≤≤≠≠?=?→→→→→

→

→001800,0,0cos θθb a b a b a ， 00=?→

→a . ①平面向量的数量积的几何意义：向量的长度||与在的方向上的投影||θcos 的乘积； ③、坐标运算:设()()2211,,,y x b y x a ==→→,则2121y y x x b a +=?→

→ ；

向量的模||：?=2||2

2y x +=；模||22y x +=

④、设θ是向量()()2211,,,y x b y x a ==→

→的夹角，则2

12121cos y x y x y y x x +++=θ。

5、重要结论：

（1）两个向量平行的充要条件：

设()()2211,,,y x b y x a ==→→，则//a b a b λ→→→→

?=? 01221=-y x y x )(R ∈λ （2）两个非零向量垂直的充要条件：

设 ()()2211,,,y x b y x a ==→→，则 121200a b a b x x y y →→→→

⊥??=?+= （3）两点()()2211,,,y x B y x A 的距离：221221)()(||y y x x -+-=

（5）平移公式：如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→

平移至P ′（x ′，y ′），则?????+=+=.

''k y y h x x

6、解三角形：

（1）三角形的面积公式：A bc B ac C ab S sin 2

sin 21sin 21===? （2）正，余弦定理

①正弦定理：

2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin a b c

R a R A b R B c R A B C

======或　， ②余弦定理：)

1(2)(cos 2cos 2cos 22222222222cocC ab b a C ab b a c B

ac c a b A

bc c b a +-+=-+=?-+=?-+=

求角： ab

c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2

22222222-+=-+=-+=

第六章不等式

一、不等式的基本性质：

1．特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 2．中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小二．均值不等式：

1.内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若0,>b a ，则ab b

a ≥+2

（当且仅当b a =时取等号）

2.基本变形：①≥+b a ；②若R b a ∈,，则ab b a 22

2≥+ 3.基本应用：求函数最值：

注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数)21

(4294>--

=x x x y 的最小值。

②若正数y x ,满足12=+y x ，则

x 1

1+的最小值。三、绝对值不等式：||||||||||a b a b a b -≤+≤+，注意：上述等号“＝”成立的条件；五、不等式的解法：

1.一元二次不等式的图解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）