【证明】美式期权平价关系
金融衍生工具课件：美式期权定价
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第二节 美式期权定价的分析近似类模型
➢ Barone-Adesi和Whaley（1987）近似 ➢ 其他分析近似类模型
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Barone-Adesi和Whaley（1987）近似
➢ Barone-Adesi和Whaley（1987）基于由MacMilan（1986）提出的二次
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已知红利支付率
➢ 唯一可能提前执行的时间点在第二阶段末除权日前的瞬间，我们接下来就分 析第二阶段末除权日前的瞬间各点的提前执行决策，即二叉树图中的B、C、 D各点。以B点为例，若不提前执行美式期权，则期权的价值为6.58。若在B 点提前执行美式买权，则期权的价值为35.90/0.95-30=7.79，大于6.58。故在B 点，投资者应该选择提前执行美式买权。同理，对于C点和D点，我们可以运 用相同的分析方法。在C点，若提前执行，则期权的价值为0；若不提前执行， 期权的价值为1.42。故投资者不会选择提前执行美式买权。在D点，期权处于 虚值状态，投资者不会提前执行，期权的价值为0。
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红利支付
➢ 对于支付红利的股票，美式买权可以视为一系列欧式买权的复合。在任意两 个除权日之间，美式买权都不会被提前执行（理由同上）。在除权日前的瞬 间，投资者将判断是否执行该期权。若执行美式买权，则该期权的存续期中 止；若不执行，则可能的执行时点将是下一个除权日前的瞬间；这样不断往 下，直到期权在最后到期日被执行（等同于欧式期权）。
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➢ 对以于给u 不出 d支一1 付种红可利行的的股参票数，估当计方案的：高t 阶小量可忽略时,使用限制条件
005.期权估值(一)
第三节期权估值本节考点01期权估值的基本概念02期权的定价模型03期权的套期保值与套利考点1：期权估值的基本概念（一）期权交易流程中的基本概念多头：买入看涨期权、买入看跌期权，前者在标的资产价值上涨的时候盈利，后者在标的资产价值下跌的时候盈利。
买入期权需要付出一定的权利金，如果未来行情不利，买方最大的损失就是权利金，因为可以通过放弃行权来平仓。
空头：卖出看涨期权、卖出看跌期权，前者在标的资产价值下跌的时候盈利，后者在标的资产价值上涨的时候盈利。
卖出期权最大的收益就是开仓后买方支付的权利金，如果发生较大的不利行情的话，卖出期权的损失会远大于其最大收益。
投资者可以平仓或进行实物交割的方式了结期权交易。
期权交易中，投资者了结其头寸的方式包括：平仓、执行/行权、放弃、履约或到期失效。
期权多头和空头了结方式不同，当期权多头要求行权时，被指定履约的空头必须履约，即以履约的方式了结期权头寸。
期权了结头寸方式总结看涨期权看跌期权多头头寸-平仓卖出看涨期权卖出看跌期权多头头寸-行权按执行价格买进标的资产按执行价格卖出标的资产多头头寸-放弃期权到期，多头不执行期权，即放弃期权，期权作废空头头寸-平仓买入看涨期权买入看跌期权空头头寸-履约按执行价格卖出标的资产按执行价格买进标的资产空头头寸-到期失效期权到期多头不行权，或空头没有被指定履约，期权失效，空头履约义务解除交易单位或合约规模是1手【1张】期权合约代表的标的物数量。
期权交易应当以1手的整数倍进行；期权价格乘以交易单位，等于1手期权合约的合约价值。
行权价格也称执行价格、履约价格，是期权合约中约定的买方行使权利时购买或出售标的资产的价格。
期权的交割是指看涨期权买方(看跌期权卖方)行权(履约)时支付执行价格获得标的资产，或看跌期权买方(看涨期权卖方)行权(履约)时交付标的资产获得执行价格的过程，有现金交割和实物交割两种。
一般来说，对于各种现货期权和期货期权，交易双方直接按照执行价格对标的资产进行实物交收；指数期权按照执行价格与期权行权日当天交易结束时的市场价格之差以现金进行结算。
第九章 期权估价-美式期权估价
2015年注册会计师资格考试内部资料财务成本管理第九章 期权估价知识点：美式期权估价● 详细描述：（1）美式期权在到期前的任意时间都可以执行，除享有欧式期权的全部权力之外，还有提前执行的优势。
因此，美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。
（2）对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克－斯科尔斯模型进行估价。
（3）对于派发股利的美式看跌期权,按道理不能用布莱克－斯科尔斯模型进行估价。
不过，通常情况下使用布莱克－斯科尔斯模型对美式看跌期权估价，误差并不大，仍然具有参考价值。
【总结】对于不派发股利的看涨期权，均可以使用BS模型估价。
例题：1.下列关于美式看涨期权的表述中，正确的是（）。
A.美式看涨期权只能在到期日执行B.无风险利率越高，美式看涨期权价值越低C.美式看涨期权的价值通常小于相应欧式看涨期权的价值D.对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克-斯科尔斯模型进行估价正确答案：D解析：美式期权可以在到期H或到期日之前的任何时间执行，选项A错误；无风险利率越高，看涨期权价值越高，看跌期权价值越低，选项B错误；美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。
选项C错误。
2.对于欧式期权，下列说法不正确的是（）。
A.股票价格上升，看涨期权的价值增加B.执行价格越大，看跌期权价值越大C.股价波动率增加，看涨期权的价值增加，看跌期权的价值减少D.期权有效期内预计发放的红利越多，看跌期权价值增加正确答案：C解析：无论是看涨期权还是看跌期权，股价波动率增加，都会使期权的价值增加。
3.下列关于企业筹资管理的表述中，正确的有()。
A.在其他条件相同的情况下，企业发行包含美式期权的可转债的资本成本要高于包含欧式期权的可转债的资本成本B.由于经营租赁的承租人不能将租赁资产列入资产负债表，因此资本结构决策不需要考虑经营性租赁的影响C.由于普通债券的特点是依约按时还本付息，因此评级机构下调债券的信用等级，并不会影响该债券的资本成本D.由于债券的信用评级是对企业发行债券的评级，因此信用等级高的企业也可能发行低信用等级的债券正确答案：A,D解析：由于美式期权的价值通常高于欧式期权的价值，投资人的收益高，所以发行包含美式期权的可转债的资本成本要高于包含欧式期权的可转债的资本成本，选项A正确；财务分析人员把长期租赁都视为负债，不管它是否列入资产负债表，选项B错误；信用等级下调说明该债券的风险大，投资人要求的额外风险补偿高，债务的资本成本会提高，选项C错误。
第八讲 期权价格关系
第8讲 期权价格关系● 期权Option （欧式；美式） ● 买权（call ）；卖权（put ） 8.1 期权价格的合理界限命题 8.1：任何情况下期权的价值都是非负的：0,0,0,0C c P p 吵吵有限责任性质命题 8.2：在到期日T ，美式期权与欧式期权的价值相同，并且，(,,)(,,)max{,0}T T T C S X T c S X T S X ==- (,,)(,,)max{,0}T T T P S X T p S X T X S ==-命题 8.3：对于美式期权，(,,)t t c S X T S X ? (,,)t t p S X T X S ?命题 8.4：如果21T T >，则21(,,)(,,)t t c S X T c S X T ³ 21(,,)(,,)t t p S X T p S X T ³命题 8.5：美式期权的价值高于具有同一标的资产和到期日的欧式期权的价值，亦即(,,)(,,)t t c S X T C S X T ³ (,,)(,,t t p S X T P S X T ³命题 8.6：其他条件相同时，履约价越高，买权价值越低，卖权价值越高。
命题 8.7：任何一份买权的价值都不可能高于标的资产的当前价格：(,,)t t C S X T S £，(,,)t t c S X T S £命题 8.8：一份履约价格为零的永续美式买权与其标的股票等价：(,0,)t t c S S ?命题 8.9：标的资产的价格为零时买权的价值也是零：(0,,)(0,,)0C X T c X T ==命题 8.10：若在到期日之前标的资产不发放股利，欧式买权的价格不会低于股价减履约价的现值。
在连续折现的情况下，记无风险利率为r ，这就是：()(,,)r T t t tC S X T S Xe --?【证明1】在时刻t 考虑这样一个投资组合：卖空一股标的股票，买进一份买权，再在无风险资产市场贷出()r T t X e --元现金。
美式期权CP
美式期权看涨-看跌平价关系的证明美式看涨期权不会提前执行，因此其价值等于欧式看涨期权价值。
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max(ST,X)（如果股票价格高于X，则不执行，价值为ST；如果股票市场价格低于X，则执行，组合B的价值为X）。
同理，组合A的价值为max(ST,X)+ Xe r(T-t)-X（执行看涨期权的收益max(ST,X)-X，以及原有的X的本息和）。
由于max(ST,X)-X≥0，组合A的价值也大于组合B。
如果美式期权在T-t’时刻（t’>t）提前执行，则在t’时刻，组合B的价值为X，而此时组合A的价值大于等于(max(ST,X)+Xe r(T-t)-X)e-r(T-t’)，由于max(ST,X)-X≥0，(max(ST,X)+ Xe r(T-t)-X)e-r(T-t’)≥Xe r(t’-t),由于t’>t，故Xe r(t’-t)>X。
因此组合A的价值也大于组合B。
这就是说，无论美式组合是否提前执行，组合A的价值都高于组合B，因此在t时刻，组合A的价值也应高于组合B，即：c+X>P+S由于c=C，因此，C+X>P+S结合式欧式看涨-看跌平价关系（c+Xe-r(T-t)=p+S），由于美式看涨期权期权费(C)等于欧式看涨期权的期权费(c),即c=C，而美式看跌期权期权费（P）高于欧式看跌期权(p)（美式看跌期权可能提前执行），即P>p，我们可得：c+Xe-r(T-t)<p+S。
根据以上分析，可以得到美式期权的看涨看跌平价关系：S-X<C-P<S-Xe-r(T-t)由于美式期权可能提前执行，因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但我们可以得出结论：无收益美式期权必须符合以上的不等式。
约翰.赫尔,期权期货和其他衍生品(third edition)习题答案
CH99.1 股票现价为$40。
已知在一个月后股价为$42或$38。
无风险年利率为8％（连续复利）。
执行价格为$39的1个月期欧式看涨期权的价值为多少？ 解：考虑一资产组合：卖空1份看涨期权；买入Δ份股票。
若股价为$42，组合价值则为42Δ－3；若股价为$38，组合价值则为38Δ 当42Δ－3＝38Δ，即Δ＝0.75时，组合价值在任何情况下均为$28.5，其现值为：，0.08*0.0833328.528.31e −=即：－f ＋40Δ＝28.31 其中f 为看涨期权价格。
所以，f ＝40×0.75－28.31＝$1.69另解：（计算风险中性概率p ） 42p －38（1－p ）＝，p ＝0.56690.08*0.0833340e期权价值是其期望收益以无风险利率贴现的现值，即： f ＝（3×0.5669＋0×0.4331）＝$1.690.08*0.08333e−9.2 用单步二叉树图说明无套利和风险中性估值方法如何为欧式期权估值。
解：在无套利方法中，我们通过期权及股票建立无风险资产组合，使组合收益率等价于无风险利率，从而对期权估值。
在风险中性估值方法中，我们选取二叉树概率，以使股票的期望收益率等价于无风险利率，而后通过计算期权的期望收益并以无风险利率贴现得到期权价值。
9.3什么是股票期权的Delta ？解：股票期权的Delta 是度量期权价格对股价的小幅度变化的敏感度。
即是股票期权价格变化与其标的股票价格变化的比率。
9.4某个股票现价为$50。
已知6个月后将为$45或$55。
无风险年利率为10％（连续复利）。
执行价格为$50，6个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？ 解：考虑如下资产组合，卖1份看跌期权，买Δ份股票。
若股价上升为$55，则组合价值为55Δ；若股价下降为$45，则组合价值为：45Δ－5 当55Δ＝45Δ－5，即Δ＝－0.50时，6个月后组合价值在两种情况下将相等，均为$－27.5，其现值为：，即：0.10*0.5027.5$26.16e −−=− －P ＋50Δ＝－26.16所以，P ＝－50×0.5＋26.16＝$1.16 另解：求风险中性概率p0.10*0.505545(1)50p p e+−= 所以，p ＝0.7564看跌期权的价值P ＝0.10*0.50(0*0.75645*0.2436)$1.16e −+=9.5 某个股票现价为$100。
美式期权定价
美式期权定价由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。
由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。
但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。
提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。
事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。
对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。
看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。
提前执行可以获得执行价格的利息收入。
许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ），假设：1．市场无摩擦2．无违约风险3．竞争的市场4．无套利机会1．带息价格和除息价格每股股票在时间支付红利元。
当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。
可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。
()()t e c d t S t S +=这里()t S c 表示股票在时间的带息价格，()t S e表示股票在时间的除息价格。
这个假设的证明是非常直接的。
如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +≠，则存在套利机会。
首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。
因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为()()()t e c d t S t S +-。
因为红利是确定知道的，所以只要()()()t S t S e c -var =0，则利润是没有风险的。
其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。
期权及其不等式的证明
期权及其不等式的证明假设起初组合A:一份看跌期权+一份标的资产期末组合A 的价值如图：看跌期权多头+ 股票多头 = =现金K + 看涨多头 从上述关系可以看出如下的买权卖权平价关系式：p+S=K*exp[-r(T-t)]+c (1) 当标的资产S 派发股息时，则应当有如下的买权卖权平价关系式：p+S=K*exp[-r(T-t)]+c+D, (2) 其中D 是派发股息的净现值。
假定已知关系S c ≤,下面我们将运用(1)式来推导一些常见的欧式期权不等式(假定标的不支付股息红利)： 1. )(t T r Ke p --≤。
证明：)()(t T r t T r Ke S Ke c p ----≤-+=2. )0,m ax()(S Ke p t T r -≥--。
证明：)0,max(0)()()(S Ke p p SKe S Ke c p c t T r t T r t T r -≥∴≥-≥-+=∴≥------3. )0,m ax()(t T r Ke S c ---≥。
证明：K)0,max(0)()()(t T r t T r t T r Ke S c c Ke S S Ke p c p -------≥∴≥-≥+-=∴≥对于支付股息收益的欧式期权不等式，只需利用关系式(2)，然后将上诉不等式的S 全部替换成(S-D)即可。
对于不支付股息的美式期权具有如下的关系式：1. S C Ke S t T r ≤≤---)0,m ax()(2. K P S K ≤≤-3. )(t T r Ke S P C K S ---<-<-对于支付股息的美式期权具有如下关系：)(t T r Ke S P C K D S ---<-<--When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
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【知识点】美式看涨和看跌期权价格的平价关系
（是个不等式）为
【证明】：令c，p代表欧式看涨、看跌期权价格；C，P代表美式看涨看跌期权价格
（I）考虑两个组合：
组合A：一份美式看涨期权加上数额为X的现金；
组合B：一份美式看跌期权加上一份股票。
美式看涨期权不可能被提前执行，设在
时刻看跌期权可能被提前执行，两个组合在不同时刻的价值分别为：
提前执行
不提前执行
可见，如果提前执行，则
；若不提前执行，
，即组合A的价值总是大于组合B的价值。
所以：
总是大于
，即
或
（1）（II）
利用欧式看涨和看跌期权的平价关系：
（2）
推得：
（3）
美式期权可以提前执行，而欧式期权不可以提前执行，因此美式期权的价值应大于欧式期权的价值：。
对于不付红利的股票，。
将其带入（3）式可得：
即
（4）
综合（I）、（II）的结果可得美式看涨和看跌期权价格的平价关系（是个不等式）为：
问题
解答：
在实际中我们一般假定股价遵循连续变量连续时间的随机过程，我们一般认为：
时间段的平均收益率遵循服从均值为，方差为的正态分布：
故要在97.5%的置信水平下要实现非负的收益率需：
解之得：12年
要在97.5%的置信水平下实现6%的无风险收益率需：
解之得: 70年
备注： A,B，C,D证券彼此既非完全正相关也非完全负相关，各自的收益率也不正好相同，具有普遍性。
①
两种证券的投资组合的可行域（不可卖空情况下）
两种证券的投资组合的可行域（可卖空情况下）
②
若存在一个证券M，在u-σ坐标系中正好出于A,B证券组合的可行域上，这三个证券（A,B,M）的的投资组合可行域仍与A,B证券的可行域完全一样。
（可卖空和不可卖空的情形下均是）。
因为证券M在A,B证券组合的可行域上，即可以将证券M看作是A,B证券的一个组合，那么A,B,M证券的组合与A,B证券的组合一样，只是各自的权数发生了变化，可行域是各种可能的权数的组合的表现，银次可行域自然不会发生变化。
A,B,M三种证券组合的可行域（其中M证券在A,B两证券的可行域上）不可卖空
A,B,M三种证券组合的可行域（其中M证券在A,B两证券的可行域上）可卖空
③
四种证券的投资组合的可行域（不可卖空情况下）
两种证券的投资组合的可行域（可卖空情况下）
组合可行域――当由多种证券（不少于3个证券）构造证券组合时，组合可行域是所有合法证券组合构成的u-σ坐标系中的一个区域。
不允许卖空情况下，多种证券所能得到的所有合法组合将落入并填满坐标系中每两种证券的组合线围成的区域；允许卖空情况下，多种证券组合的可行域不再是有限区域，而是包含该有限区域的一个无限区域。
可行域满足一个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性。