研究生数理统计第三章习题答案

习 题 三

1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()

24.55,0.108X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？

解 由题意知，(

)

2

4.55,0.108X N :，5n =，5

1

1 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，

()52

2

01

10.095265i i s x μ==-=∑.

1)当00.108σ=已知时，

①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.97512

1.96u

u α-

==

，临界值12

1.960.0947c α-

=

=

=， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.

③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.

2)当0 4.55μ=已知时，

①设统计假设222222

0010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=.

②当0.05α=时，临界值

()()()()222210.02520.975122

111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-=

=====， 拒绝域为2

2

2

2

0212

2

2

2

0000{

}{

2.56660.1662}s

s

s

s

K c c σσσσ=><=><或

或

.

③

2

02

2

00.09526

8.16700.108

s

K σ=

=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.

2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命()2

,100X N

μ:，问这批元件是否合格()0.05α=？

解 由题意知，()2

,100X N

μ:，25n =，950x =，0.05α=，0

100σ

=.

①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-

，临界值()1.6533c α==

-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.

③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g ），假定罐头质量服从正态分布.问

1)机器工作是否正常()0.05α=？

2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？

解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：g ）.由题意知

()

2

500,X N σ

:，方差2

σ未知. 9n =，9

1

1500.88899i i x x ===∑，0.05α=，

()

()

2

2

2

1

1

1133.6111118n

n

i i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑，()52

2

01

130.66679i i s x μ==-=∑

1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.

②()()0.97512

18 2.306t

n t α-

-==

，临界值(

)121 2.306 4.4564c n α-=-==， 拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.

③00500.88895000.8889x K μ-=-=?，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.

2)当0500μ=已知时，

①设统计假设222222

0010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=.

②当0.05α=时，临界值

()()()()222210.02520.975122

111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-=

=====， 拒绝域为2

2

2

2

0212

2

2

2

0000{

}{

2.11330.3}s

s

s

s

K c c σσσσ=><=><或

或

.

③

2

02

2

030.6667

1.013785.5

s

K σ=

=?，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.

4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为

()3.399元/500克，标准差为()0.269元/500克.已知往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=？

解 由题意知，()

23.25,X N σ:，20n =， 3.399x =，0.05α=，0.269s =. ①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时，()()10.95119 1.729t n t α--==，临界值

(

)11 1.7290.1067c n α-=

-==， 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->

③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.

5.已知某厂生产的维尼纶纤度()2

,0.048X N

μ:，某日抽测8根纤维，其纤度分别为

1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，

问这天生产的维尼纶纤度的方差2

σ是否明显变大了()0.05α=？

解 由题意知(

)

2

,0.048X N μ:，8n =，8

1

1 1.421258i i x x ===∑，0.05α=，

()

()

2

2

2

1

1

110.0122118n

n

i i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑.

①设统计假设222222

0010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=.

②当0.05α=时，临界值

()()2

210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-，拒绝域为2202200

{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.

③

2

02

2

00.01221

5.29950.048s K σ=

=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即这天生产的维尼纶纤度的方

差2

σ明显变大了.

6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个，测得寿命均值为1950h ，标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。试在显著性水平0.05α=下，确定这批元件是否合格.

解 设X 表示这批元件的寿命，由题意知()

22000,130X N :，25n =，1950x =，

0.05α=，148s =.

1)①设统计假设0010:2000,:2000H H μμμμ≥=<=.

②当0.05α=时，()()0.05124 1.711t n t α-==-，临界值

(

)()1 1.71150.6456c n α=

-=-=-， 拒绝域为000{}{50.6456}K x c x μμ=-<=-<-.

③001950200050x K μ-=-=-?，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为这批元件平均寿命不得低于2000h .

2)①设统计假设2222220010:130,:130H H σσσσ≤=>=.

②当0.05α=时，临界值

()()22

10.9511124 1.5175124

c n n αχχ-=

-==-， 拒绝域为2

2

02

2

00{

}{

1.5175}s s K c σσ=>=>.

③

2

2

02

2

0148 1.2961130

s K σ==?，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为这批元件标准差不超过130h . 所以这批元件合格.

7.设12,,,n X X X K 为来自总体(),4X N μ:的样本，已知对统计假设0:1;H μ=

1: 2.5H μ=的拒绝域为{}02K X =>.

1)当9n =时，求犯两类错误的概率α与β；

2)证明：当n →+∞时，0,0αβ→→.

解 1)(),4X N μ:，01:1,: 2.5,H H μμ=={}

02K X =>，9n =.

{}

21 1.5X P X P αμ?=>==>=??

()1 1.50.0668=-Φ=，

{}

2 2.50.75X P X P βμ?=≤===-??

()()0.7510.750.2266=Φ-=-Φ=.

2)(),4X N μ:，01:1,: 2.5,H H μμ=={}02K X =>.

{}()

2110,X P X P n αμ=>==>==-Φ→→+∞????

，

{}()

2 2.510,X P X P n βμ=≤==≤==-Φ→→+∞????

8.设需要对某一正态总体(),4X N μ:的均值进行假设检验01:15;:15H H μμ=<取检验水平0.05α=，试写出检验0H 的统计量和拒绝域.若要求当1H 中的13μ=时犯第Ⅱ类错误的概率不超过0.05β=，估计所需的样本容量n . 解 01~(,4),:15;:15X N H H μμμ=<. 拒绝域为{}

015K X c =-<，统计量为 1.65c u α

==-=

151313P X P X

β???

?

=-≥==-≥ ? ?

??

1.651 1.650.05X X P P ??

=≥=-≤≤????

，

20.951.65) 1.65 3.30, 3.311u n Φ≥≥=≥=.

所需的样本容量11n =.

9.设12,,,n X X X K 来自总体()20

,X N

μσ:的样本，20σ

为已知，对假设00:H μμ=，

11:H μμ=，其中01μμ≠，试证明()

()

22

112

10n u u αβσμμ--=+-. 解 由题意知()20

,X N

μσ:，且20σ

为已知，故1c u α

-=

001K x u α

μ-=>+.

01

X βμμμ=≤P(+c =

)110

)?

P u αμ-=≤=

10

(u α-=Φ，

所以

11u u βα--+=

()

()2

2

1

0112

n

u u αβμμσ

---+=，

即(

)

()

22

112

10n u u αβ

σμμ--=+-. 10.设1217,,,X X X K 为来自总体()

20,X N σ:样本，对假设22

01:9,: 3.319

H H σσ==的拒绝域{}

204K s =<.求犯第Ⅰ类错误的概率α和犯第Ⅱ错误的β. 解 由题意知()

20,X N σ:，

{

}

22

02499s P W K ασσ

??

=∈==

()2

4117917

c αχ==，查表得0.025α=； {

}

22

0243.319 3.314s P W K βσσ

??=?==≥????，

()2141

173.31417

c βχ-==，查表得0.25β=. 11.设总体的密度函数为

()1,01,

;0, .

x x f x θθθ-?<<=??其他，

统计假设0:=1H θ，1:=2H θ.现从总体中抽取样本12,X X ，拒绝域02134K X X ??

=≤????

，求：犯两类错误的概率,αβ.

解 当0:=1H θ成立时，()1,01,

;0, .x f x θ<

其他

{}0213114P W K P X X αθθ??

=∈==≤=?

???

13

1

4321040.2510.250.75ln 0.75x dx dx =-=+?

?

；

当1:=2H θ成立时，()2,01,

;0, .

x x f x θ<

?其他

{}0213224P W K P X X βθθ??

=?==>=?

???

131431221043399

4ln 0.7544168

x x x dx dx =?+?=+??. 12.设总体()2

,X N

μσ:，根据假设检验的基本原理，对统计假设：

()()20011101):,:H H μμμμμμσ==>已知；()200102):,:H H μμμμσ≥<未知，试

分析其拒绝域.

解 1)因为()2

,X N μσ:，所以2,X N n σμ?? ?

?

?:

()0,1X N :， 当2

σ已知

时，10X P u H αα-???

>=???

，即0P X μα?>=??，

所以拒绝域为00K X μ?=>+

??

.

2)因为()2

,X N μσ:，所以2,X N n σμ?? ???

:

()0,1X N :，

当2

σ未知时,用2S 作为2

σ

()1X t n -:，

()

01X P t n H αα???<-=???

，即01St n P X μα-??<+=??，

所以拒绝域为

001st n K X μ-??

=

. 13.设总体()2

,X N

μσ:根据假设检验的基本原理，对统计假设：

()2222

00101):,:H H σσσσμ=>已知；()222200102):,:H H σσσσμ≤>未知，试分析其

拒绝域. 解1) 因为()2

,X N

μσ:，当μ已知时，()2

22

nS

n χσ

:，

()2

2

102nS P n H αχασ-????>=??????

，即()22201P S n n ασχα-??>=????， 所以拒绝域为()222001K S n n ασχ-??

=>????

.

2) 因为()2

,X N μσ:

，当μ未知时，()()22

2

11n S n χσ

--:， ()()22102

11n S P n H αχασ-??-??>-=??????，即()()222

0111P S n n ασχα-????>-=??-????， 所以拒绝域为()()222

00111K S n n ασχ-????=>

-??-????

. 14.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率()%为 甲：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4， 乙：18.2,16.9,20.2,16.7

假定含灰率均服从正态分布且22

12σσ=.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异

()0.05α=？

解 设,X Y 分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：22

12(,),(,)X N Y N μσμσ::. 5,4,21.5,18n m x y ====，22

127.505, 2.59333s s ==.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显

著差异，因此，可进行以下假设检验。 ① 统计假设012012:,:H H μμμμ=≠，

② 当0.05α=时，()()0.97512

27 2.365t

n m t α

-

+-==临界值为

(

12

2c t

n m α-

=+-

2.365

3.68667==

拒绝域为0{ 3.68667}.K x y c =->=

③由于021.518 3.5x y K -=-=?所以，接受0H ，即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显著差异.

15.设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低。通过试验获得他们的抗拉强度分别为()

2/kg cm 单位：： 甲：88,87,92,90,91 乙：89,89,90,84,88

假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且22

12σσ=.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的

高()0.05α=？

解设,X Y 分别表示甲乙两种零件的抗拉强度()

2/kg cm 单位：.由题意知：

2212(,),(,)X N Y N μσμσ::，5,5,89.6,88n m x y ====，22

124.3, 5.5s s ==.问甲种

零件的抗拉强度是否比乙种的高，因此，可进行以下假设检验。 ① 统计假设012112H H μμμμ≥<:,:，

② 当0.05α=时，()()0.0528 1.86t n m t α+-==-临界值为 (

2c t n m α=+-

1.86

2.604=-=-

拒绝域为0{ 2.604}.K x y c =-<=-

③由于089.688 1.6x y K -=-=?所以，接受0H ，即认为甲种零件的抗拉强度比乙种的高.

16.甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径()

单位：mm 为：

甲：15.0,14.5,15.2,15.5,14.8,15.1,15.2,14.8 乙：15.2,15.0,14.8,15.2,15.0,15.0,14.8,15.1,14.8

假设其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高()0.05α=？ 解 设,X Y 分别表示乙甲两种车床加工零件的外径()

单位：mm .由题意知：

221122(,),(,)X N Y N μσμσ::，8,9,15.0125,14.98889n m x y ====，

22

127.9011607,0.0373611s s ==.问乙车床的加工精度是否比甲车床的高，因此，可进行以

下假设检验。

① 统计假设2222

012112H H σσσσ>≤:,:，

② 当0.05α=时

()()0.051,17,80.2857142c F n m F α=--==

拒绝域为2

1022

{0.2857142}.S K c S =<=

③由于210227.9011607

211.480940.0373611

S K S ==?所以，接受0H ，即认为乙车床的加工精度是

比甲车床的高.

17.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对，现再随机地选取8架飞机，将8对轮胎磨损量()

单位：mg 数据列表如下：

试问对这两种轮胎的耐磨性有无显著差异()0.05α=？假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足()21

1

,X N

μσ:，()22

2

,Y N μσ:，且两个样本相互独立.

解设甲乙两种轮胎的磨损量分别为,X Y ，()

单位：mg .由题意知：2

11~(,)X N μσ， 222~(,)Y N μσ，22

126145,5825,1867314.2,1204428.5,8,8x y s s n m ======.此题假

设检验问题是比较两总体的均值与方差.

()1首先对两总体的方差进行检验：

①统计假设 2222

012112:,:H H σσσσ=≠，

②由于未知总体的均值12,μμ，所以当0.05α=时，拒绝域为

21010.025220.97511{(7,7)0.2004}(7,7) 4.99

s K c F s F =<====?

2

120.97522

{(7,7) 4.99}s c F s >== ③210221867314.2 1.55041204428.5

s F K s ===?，落在接受域内，所以接受原假设，即22

12

,σσ无明显差异.

()2再对两种体的均值进行检验

① 设立统计假设012112:,:H H μμμμ=≠，

② 由于22

12σσ=，所以当0.05α=时，

2

0.97512

71867314.271204428.5

(2)(14) 2.145,1535871.414

t

m n t s αω-

?+?+-===

=

临界值12

(2) 2.1451239.30271420.9235c t

m n s α-

=+-=?=， 拒绝域为0{1420.9235}K x y c =->=.

③由于061455825320x y K -=-=?，所以接受0H ，可以接受这两种轮胎磨损量无显著差异的结论. 18.设总体()2

1

1

,X N

μσ:，总体()22

2

,Y N μσ:，由两总体分别抽取样本

:4.4,4.0,2.0,4.8X ； :6.0,1.0,3.2,0.4Y

1)能否认为12μμ=()0.05α=？ 2)能否认为22

12σσ=()0.05α=？

解 由题意知()2

1

1

,X N

μσ:，()22

2

,Y N μσ:，

22

123.8, 2.65, 1.546667, 6.436667,4,4x y s s n m ======

1)①设立统计假设012112:,:H H μμμμ=≠，

②当0.05α=时

20.97512

3 1.5466673 6.436667

(2)(6) 2.447, 3.9916676

t

m n t s αω-

?+?+-====，

临界值12

(2) 2.447 1.9979159 3.99177c t

m n s α-

=+-=?=， 拒绝域为0{ 3.99177}K x y c =->=，

③由于03.8 2.65 1.15x y K -=-=?，所以接受0H ，可以接受12μμ=.

2)①统计假设 2222012

112:,:H H σσσσ=≠， ②由于未知总体的均值12,μμ，所以当0.05α=时，拒绝域为

21010.025220.97511

{(3,3)0.0647668}(3,3)15.44

s K c F s F =<====?

2

120.97522

{(3,3)15.44}s c F s >== ③21022 1.5466670.240296.436667

s F K s ===?，落在接受域内，所以接受原假设，即22

12

σσ=. 19.从过去收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有2%的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法，他用他的方法治愈200个癌症病人，其中有6个治好了，这个医生断言这种样本中的3%治愈率足够证实他的看法.

1)试用假设检验方法检验这个医生的看法；2)如果该医生实际得到了4.5%治愈率，问检

验将证实化学法比外科方法更有效的概率是多少？ 解 设采用化学疗法的治愈率为p .

1)①设立统计假设检验0010:2%,:2%H p p H p p ≥=<=.

② 由于200n =是大样本，所以当0.05α=时，拒绝域为

00{ 1.650.016334}.K x p u α

=-<=-=- ③由题意知 06/2003%,0.010.016334x x p c ==-=>=-，x 落入接受域0K 中，所以接受原假设，即在显著性水平为5%下，认为采用化学疗法比采用外科方法更有效.

2)由于200n =是大样本，所以(0,1)X U N =

:，由题意知

0.2078242s =

=， {}{}

001P X p c P X p c -≥=--<

11X P ????=-<=-Φ

10.8665??

=-Φ=.

问能否认为通过的汽车数量服从Poisson 分布()0.10α=？

解 设X 表示每次观察时通过的汽车数量，分布函数为()F x ，统计假设是 01:()(),:()()H F x P H F x P λλ=≠ .

①选择检验统计量22

1?()??m

i i i i

np

np νχ=-=∑；

②将X 的取值划分为若干区间，

{}12345{0},{1},{2},{3},4A X A X A X A X A X =========≥；

③ 在0H 成立的条件下，计算参数λ的最大似然估计值$λ，通过计算得$0.805λ

=； ④ 在0H 成立的条件下，(1,2,3,4,5)i A i =的概率理论估计值为

1?(0)0.449329p

P X ===， 2?(1)0.359463p P X ===， 3?(2)0.143785p

P X ===， 4?(3)0.038343p P X ===， 5?(4)0.00908p

P X =≥=； ⑤ 拒绝域为22

0.90{(3) 6.25}χχ>=；

⑥ 计算的样本值2

?χ

，计算过程见表3.3.4. i

i A i ν

?i p

?i np

2?()?i i i np

np

ν- 1 {0}X = 92 0.449329 89.8658 0.0506845 2

{1}X =

68

0.359463

71.8926

0.2107634

3 {2}X = 28 0.143785 28.77 0.0206082

4 {3}X = 11 0.038343 7.6686 1.4472296

5 {4}X ≥

1 0.00908 1.816 0.3666607

∑

200

1.0000

200

2.0959

由于2

?χ样本值为2.0959落在接受域内，因而接受0H ，所以通过的汽车数量服从()

0.805P 分布.

试检验螺栓口径的检验值X 的分布是否为正态分布()0.05α=. 解 设X 表示某厂生产的汽缸螺栓口径，分布函数为()F x ，统计假设是 01:()(

),:()(

)x x H F x H F x μ

μ

σ

σ

--=Φ≠Φ.

①选择检验统计量22

1

?()??m

i i i i np

np νχ=-=∑；

②将X 的取值划分为若干区间，

123{10.9310.97},{10.9710.99},{10.9911.01}A X A X A X =≤≤=≤≤=≤≤，

{}{}456{11.0111.03},11.0311.05,11.0511.09A X A X A X =≤≤=≤≤=≤≤； ③ 在0H 成立的条件下，计算参数2

,μσ的最大似然估计值μμ2

,μ

σ，通过计算得 μ11.0024μ=，μ2

0.0010181σ=；

④ 在0H 成立的条件下，(1,2,3,4,5,6)i A i =的概率理论估计值为

1?((10.9711.0024)/0.0319076)((10.9311.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ- ()()1.015432 2.26905180.1446=Φ--Φ-=

2?((10.9911.0024)/0.0319076)((10.9711.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ- ()()0.3886221 1.0154320.1921=Φ--Φ-=

3?((11.0111.0024)/0.0319076)((10.9911.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ-

()()0.23818770.38862210.2465=Φ-Φ-=

4?((11.0311.0024)/0.0319076)((11.0111.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ- ()()0.86499760.23818770.2113=Φ-Φ=

5?((11.0511.0024)/0.0319076)((11.0311.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ- ()()1.49180750.86499760.1259=Φ-Φ=

6?((11.0911.0024)/0.0319076)((11.0511.0024)/0.0319076)p

=Φ--Φ- ()()2.7454274 1.49180750.0796=Φ-Φ=

⑤ 拒绝域为22

0.95{(3)7.81}χχ>=；

⑥ 计算的样本值2

?χ

，计算过程见表3.3.4. i

i A

i ν

?i p

?i np

2?()?i i i

np

np ν- 1

13 0.1446 14.46 0.1474135 2 {0}X = 20 0.1921 19.21 0.0324882 3 {1}X = 34 0.2465 24.65 3.5465517 4 {2}X = 17 0.2113 21.13 0.8072361 5 {3}X = 6 0.1259 12.59 3.4494122 6 {4}X ≥

10 0.0796 7.96 0.522814

∑

100

1.0000

100

8.5059157

由于2

?χ

样本值为8.5059157落在拒绝域内，因而拒绝0H ，所以螺栓口径的检验值X 的分布不为正态分布.

问次品数是否服从二项分布()0.05α=？

解 设X 表示每次检查产品时的次品数，分布函数为()F x ，统计假设是