【下雨啦】2011年高考数学总复习精品课件：三角函数与三角恒等变换
1 cos 2α sin α = 2
2
知识要点
1 + cos 2α cos α = 2
2
4. a sin x + b cos x = a 2 + b 2 (
a a +b
2 2
sin x +
b a +b
2 2
cos x)
= a 2 + b 2 sin( x + ), 其中cos = b
a a +b
得2 sin α cos α =
< 0.
例题剖析
1 3 sin α + cos α = sin α = 5 5 ∴由 得 sin α cos α = 7 cos α = 4 5 5 Q sin 3 α + cos 3 α = (sin α + cos α)(sin 2 α sin α cos α + cos 2 α) 1 = (1 sin α cos α) 5 1 12 37 = (1 + ) = . 5 25 125
知识要点
4.同角三角函数关系 4.同角三角函数关系 同角三角函数关系 同角三角函数关系是由三角函数的定义推导得到的，所以各“恒等” 同角三角函数关系是由三角函数的定义推导得到的，所以各“恒等” 的含义是使各三角函数及各式有意义. 的含义是使各三角函数及各式有意义. 5.同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式： 5.同角三角函数的基本关系式： 平方关系: =1 ①平方关系:sin2α+cos2α=1 + =1 sin α 商数关系: ②商数关系:tanα= = cos α 6.诱导公式 诱导公式： 6.诱导公式： ∈Z),- ,π± ，2π- 的三角函数值等于 的同名函数值， 的三角函数值等于α的同名函数值 ①2kπ+α(k∈Z),-α,π±α，2π-α的三角函数值等于 的同名函数值， + ( ∈Z), ,π 前面加上一个把α“看成”锐角时原函数值的符号， 函数名不变， 前面加上一个把 “看成”锐角时原函数值的符号，即“函数名不变， 符号看象限” 符号看象限”.
2.二倍角公式 2.二倍角公式 二倍角公式 sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1 = 1 2 sin 2 α 2 tan α tan 2α = 1 tan 2 α
3.平方降幂扩角公式 3.平方降幂扩角公式 平方降幂扩角公式
例题剖析
1 [例2] 已知 sin α + cos α = (0 < α < π), 求 sin α、cos α、 5
sin 3 α + cos3 α的值.
1 [解析] Q (sin α + cos α) = , 25 24
2
25 又α ∈ (0, π)时, sin α > 0,∴ cos α < 0, π ∴ α ∈ ( , π) 2 ∴ sin α cos α = (sin α cos α) 2 24 7 = 1 2 sin α cos α = 1 + = . 25 5
知识要点
3π 的三角函数值等于α的余函数值 的余函数值， ± α 的三角函数值等于 的余函数值，前面加上一个把 2 2 α“看成”锐角时原函数值的符号,即“函数名改变，符号看象限”. 函数名改变，符号看象限” “看成”锐角时原函数值的符号, 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0 90° ③诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0°～90°角的三角函数
4 sin θ 2 cos θ 6 = 可得 cos θ ≠ 0 3 sin θ + 5 cos θ 11 4 tan θ 2 6 = , 解得 tan θ = 2. ∴ 3 tan θ + 5 11 5 5 (1)原式 = = =1 2 tan θ + 2 tan θ 3 4 + 4 3 1 4 sin cos θ + 2 cos 2 θ (2)原式 = sin 2 θ + cos 2 θ tan 2 θ 4 tan θ + 3 1 = = . 2 tan θ + 1 5
[点评]
知sinα+cosα，sinα-cosα, sinαcosα三个式子
中的一个，可以求出其余两个式子的值.
延伸拓展1 延伸拓展
π 12 1.已知0 < α < 且 sin α cos α = 4 25 求(1) sin α + cos α (2) sin α cos α
π [解析] Q 0 < α < 4
π α π β = (α + β ) α,2α = (α + β ) + (α β )、 α + 是 + 的2倍角等. 2 2 4
例题剖析 [例1]
不查表求值 cos 40°(1 + 3 tan 10°)
3 sin 10° [解析] 原式=cos40°(1+ ) cos10° cos 40°( 3 sin 10° + cos10°) = cos10° 3 1 2 cos 40°( sin 10° + cos10°) 2 2 = cos10° 2 cos 40° sin(10° + 30°) = cos10° 2 cos 40° sin 40° sin 80° cos10° = = = =1 cos10° cos10° cos10°
②
π
± α,
值.
例题剖析 [例1]
化简
sin(π α) sin(π + α) tan 2 (α 2π)
① sin420°cos330°+sin (-690°) cos (-660°) ° ° ° ° ② sin 2 (α) + tan(2π + α) cos 2 (π + α) sin(2π α) cos(π α)
知识框架 考试要求 §5.1 三角函数的概念、同角关系、诱导公式 §5.2 三角恒等变换 §5.3 三角函数的图象和性质 §5.4 三角函数应用
知识框架
同角三角函 数关系式 任意的概念 任意角的三 角函数 两角和与差 的三角函数 三角函数式的 恒等变形(求值、 化简、证明) 诱导公式
角的度量方法 (角度制与弧度 制)
2 2 2 2 ˙ cos α sin α cos α + cos α = sin α + cos α = 1.
例题剖析 [点评] 点评]
应用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数
是应掌握的基本技能，在有弦有切的题中，切化弦是常用的方法. 是应掌握的基本技能，在有弦有切的题中，切化弦是常用的方法.
2 2
,
b sin = , tan = , 与点(a, b)同象限(ab ≠ 0). 2 a a2 +b
5.公式应用讲究一个“ 5.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造 公式应用讲究一个 即正用、逆用、变形用， 条件应用公式，如拆角、拼角等技巧， 条件应用公式，如拆角、拼角等技巧，如
三角函数的 图象和性质
二倍角的三 角函数
函数y=Asin(ωx+φ)的图 象
考试要求
①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ②能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 π 的正弦、余弦、正切）， ），能画出 （ ± α、 π ± α 的正弦、余弦、正切），能画出 y=sinx , y=cosx , 2 y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性 的图象，了解三角函数的周期性. π π 借助图象理解正弦函数、 ③借助图象理解正弦函数、余弦函数在 [0,2π]，正切函数在 ， ， 2 2 上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等 轴交点等） 上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与 轴交点等）. 理解同角三角函数的基本关系式： ④理解同角三角函数的基本关系式： sin x 2 2 sin x + cos x = 1， = tan x. cos x 实例，了解y= 的实际意义； ⑤实例，了解 =Asin(ωx+ )的实际意义；能画出 =Asin(ωx+ )的 ( + )的实际意义 能画出y= ( + )的 图象，观察参数A，ω, 对函数图象变化的影响. 图象，观察参数 ， , 对函数图象变化的影响. 会用三角函数解决一些简单实际问题， ⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期 变化现象的重要函数模型. 变化现象的重要函数模型
[解析]
①原式 = sin ( 360°+ 60°) cos ( 360°- 30°) + sin
3 3 1 1 × + × =1 2 2 2 2
( - 720°+ 30°) cos ( -720°+ 60°) = sin 60° cos 30°+ sin 30°cos 60°=
sin 2 α sin α sin 2 α + tan α cos 2 α sin α cos α + = sin 2 α + ②原式 = tan 2 α cos α
2
例题剖析 [ 例3 ]
1 已知 tan θ = , 求 sin 2 θ 2 cos 2 θ + sin θ cos θ的值. 2 sin θ 1 1 = 即sin θ = cos θ cos θ 2 2
[解析] 法(一) Q
代入原式得
1 1 5 2 2 2 cos θ 2 cos θ + cos θ = cos 2 θ 4 2 4 1 由sin 2 θ + cos 2 θ = 1得 tan 2 θ + 1 = cos 2 θ 1 1 5 4 2 ∴ = + 1 = 即 cos θ = 2 cos θ 4 5 4 5 4 ∴ 原式 = × = 1 4 5
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三角函数与三角恒等变换复习PPT优秀课件
偶函数
A sin( x ) 的图象（A>0, 2、函数 y
第一种变换:
>0 )
y sin( x )
y sin x
图象向左( 向右(
0
)或
1 1)或缩短( 1)到原来的 横坐标伸长( 0 纵坐标不变
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍
例3:已知函数
2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x , x R ,
求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值 及相应的x的值； ⑷函数的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到。 y 2 sin 2 x ,x R
2 2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 1 sin 2 x 2 cos x 解： 1 sin 2 x cos 2 x 1 2 2 sin( 2 x ) 4 2 ⑴ T 2 3 k x k , k Z ⑵由 2 k 2 x 2 k , 得
3 函数的单增区间为 [ k , k ]( k Z ) 8 8 2 x 2 k , 即 x k ( k Z ) 时 , y 2 2 ⑶当 最大值 4 2 8 y 2 sin( 2 x ) 2x 图象向左平移 8 个单位 ⑷ y 2sin 4
1
2 -1
o
2
3 2
2 x
2 -1
3 2
2 x
R [-1，1] T=2
R
[-1，1] T=2
数学总复习 第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式 含解析
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书（文）、(理)49～50页)考情分析考点新知掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用.1。
（必修4P105例1改编)已知sinα＝－错误!，α∈错误!，则sin2α＝__________．答案：－错误!解析:∵sinα＝－错误!，α∈错误!，∴α∈错误!，cosα＝错误!。
∴sin2α＝2sinαcosα＝－错误!.2. （必修4P108习题3.2第5(2)题改编)已知α为第二象限角，sin α＋cosα＝错误!，则cos2α＝________．答案：－错误!解析：∵sinα＋cosα＝错误!，∴(sinα＋cosα）2＝错误!，∴2sinαcosα＝－错误!，即sin2α＝－错误!.∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝33〉0，∴2kπ＋π2<α〈2kπ＋错误!π（k∈Z），∴4kπ＋π〈2α<4kπ＋错误!π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－错误!＝－错误!。
3. (必修4P108习题3.2第3题改编）若sin(错误!＋θ）＝错误!，则cos2θ＝________．答案:－错误!解析：∵ sin错误!＝错误!，∴cosθ＝错误!,∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－错误!。
4。
（必修4P106练习第1（1）题改编)函数f（x)＝sinxcosx的最小正周期是________．答案：π解析：∵f（x)＝sinxcosx＝错误!sin2x,∴T＝错误!＝π.5. (必修4P108习题3.2第5（3)题改编）若错误!≤α≤错误!，则错误!＋错误!＝________．答案:－2sin α2解析：∵错误!≤α≤错误!，∴错误!≤错误!≤错误!。
∴1＋sinα＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝－错误!－错误!＝－2sin错误!。
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
高考数学一轮复习 4.2三角恒等变换课件
5
5
∵α∈
,
2
,
0
∴sin α=- 3 ,∴tan α=3- ,
5
4
∴tan 2α= 2 =ta n α
2
=-
3
.4
24
1 tan 2α
1
3 4
2
7
精品
10
5.已知α∈
2
,,sin α=
,则3 tan
5
α=
4
.
答案
1 7
解析 由已知得cos α=-4 ,∴tan α=3- ,
5
4.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b∈R),可以化为f(α)=⑥ sain2 (αb+2φ1)
或f(α)=⑦ ac2osb(α2 -φ2) ,其中φ1、φ2可由a、b的值唯一确定. 5.在两角和的三角函数公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,当α=β时就得到二倍角的三角 函数公式:sin 2α=⑧ 2sin αcos α ,cos 2α=⑨ cos2α-sin2α ,tan 2α=⑩
A.- 3
2
答案
B.- 1
C1 .
D3.
2
2
2
C 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45°·sin 15°=sin 1230°=
,故选C.
精品
7
2.sin 15°+cos 15°的值为 ( )
A. 1
2
答案
B. 6
C. 6
D3. 2
4
2
2
C sin 15°+cos 15°=2 sin(15°+45°)2= sin 60°2 6=
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第四节 三角恒等变换
2
π
−
4
π
=
1-cos(2-2)
2
=
π
−
4
π
1+cos(2-2)
=
1-sin2
2
2
2
=
1-3
2
=
=
1
,故
6
1+sin2
2
tan
2
2
=
1+3
π
−
4
2
=
5
,
6
π
=
sin2 (-4)
π
cos2 (- )
=
4
A.
(2)由题意可知,tan
且 tan
2tan
2β=1-tan2
因为 β∈
π
0,
+3
+2sin
π
−
3
考向2.三角函数恒等式的证明
典例突破
1+tan(3π-)
1-sin2
例 2.(2021 山东日照高三月考)证明:
=
.
2
1-tan(3π-)
1-2sin
证明
1-tan
左边=1+tan
cos2 +sin2 -sin2
cos2 -sin2
=
sin
=
1-cos
π
0,
2
.
2 5
10
5 3 10
β= 5 × 10 + 5 × 10
π
π
β,∴0<α<β< ,∴- <α-β<0.故
2
2
π
α-β=- .
π
−
4
π
=
1-cos(2-2)
2
=
π
−
4
π
1+cos(2-2)
=
1-sin2
2
2
2
=
1-3
2
=
=
1
,故
6
1+sin2
2
tan
2
2
=
1+3
π
−
4
2
=
5
,
6
π
=
sin2 (-4)
π
cos2 (- )
=
4
A.
(2)由题意可知,tan
且 tan
2tan
2β=1-tan2
因为 β∈
π
0,
+3
+2sin
π
−
3
考向2.三角函数恒等式的证明
典例突破
1+tan(3π-)
1-sin2
例 2.(2021 山东日照高三月考)证明:
=
.
2
1-tan(3π-)
1-2sin
证明
1-tan
左边=1+tan
cos2 +sin2 -sin2
cos2 -sin2
=
sin
=
1-cos
π
0,
2
.
2 5
10
5 3 10
β= 5 × 10 + 5 × 10
π
π
β,∴0<α<β< ,∴- <α-β<0.故
2
2
π
α-β=- .
高考数学一轮总复习 第4章 三角函数、解三角形 第四节 三角恒等变换课件(理)
答案
1 2
(2)函数 f(x)＝2 3sin xcos x 的值域为________.
解析 f(x)＝2 3sin xcos x＝ 3sin 2x，则 f(x)值域为[－ 3， 3].
答案 [－ 3， 3]
(3)已知 tan α＋tan β＋ 3＝ 3tan α·tan β，则 tan(α＋β)
＝________.
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式
(1)sin 2α＝ 2sin αcos α . (2)cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α －1＝1－ 2sin2α .
2tan α
(3)tan 2α＝
1－tan2α
π
π
(α≠kπ＋ 4 且 α≠kπ＋ 2 ，k∈Z).
►公式的三种应用：正用；逆用；变形应用.
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝ 22.
答案
2 2
三角函数化简、求值的解题方法
三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来 看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用 观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数. (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角 的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某 种关系.
(2)cos 2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα； (3)2sin αcos α＝sin 2α； (4)sin αcos α＝12sin 2α； (5)cos α＝2ssinin2αα； (6)1±sin α＝sinα2 ±cosα2 2；
(7)cos2α－sin2α＝cos 2α； (8)12－tatnanα2α＝tan 2α；
高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.6 三角恒等变换
4
=(
)
A.1138
B.1232
C.232
D.16
tan ������ + π =tan (������ + ������)- ������- π
4
4
tan (������+������)-tan
= C1+tan (������+������)tan
������ -π4 ������ -π4
= 232.
高三数学一轮复习教学课件
第四章 三角函数、解三角形
4.6 三角恒等变换
-3-
知识梳理 双基自测
12
1.公式的常见变形
(1)tan α+tan β= tan(α+β)(1-tan αtan β)
;
tan α-tan β= tan(α-β)(1+tan αtan β)
.
(2)sin2α=1-co2s2������;
-7-
知识梳理 双基自测
12345
3.如果 α∈
π 2
,π
,且 sin α=45,那么 sin
������ + π
4
+cos
������ + π
4
等于
()
A.4 5 2 C.3 5 2
B.-4 5 2 D.-3 5 2
tan
������ + π
4
=tan (������ + ������)-
������-
考点1
考点2
考点3
-15-
3.化简、求值的主要技巧: (1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; (2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角 的三角函数值.
=(
)
A.1138
B.1232
C.232
D.16
tan ������ + π =tan (������ + ������)- ������- π
4
4
tan (������+������)-tan
= C1+tan (������+������)tan
������ -π4 ������ -π4
= 232.
高三数学一轮复习教学课件
第四章 三角函数、解三角形
4.6 三角恒等变换
-3-
知识梳理 双基自测
12
1.公式的常见变形
(1)tan α+tan β= tan(α+β)(1-tan αtan β)
;
tan α-tan β= tan(α-β)(1+tan αtan β)
.
(2)sin2α=1-co2s2������;
-7-
知识梳理 双基自测
12345
3.如果 α∈
π 2
,π
,且 sin α=45,那么 sin
������ + π
4
+cos
������ + π
4
等于
()
A.4 5 2 C.3 5 2
B.-4 5 2 D.-3 5 2
tan
������ + π
4
=tan (������ + ������)-
������-
考点1
考点2
考点3
-15-
3.化简、求值的主要技巧: (1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; (2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角 的三角函数值.
广东省2011届高考数学二轮总复习课件：第11课三角恒等变换
广东省2011 届高考数学二轮总复习课件：第11 课三
角恒等变换
第11 课时三角恒等变换
专题二三角函数
1．化简与求值是三角恒等变换的常见题型，在高考中常将化简与求值结合起来进行考查．解此类题常遵循“先化简再求值”的原则．
2．对于附加条件的求值问题，要注意条件和所求式子之间的相互关系，常从“角度”“名称”及“运算结构”上进行分析，找到已知和未知之间的联系．
3．利用平方关系求三角函数值时，要注意根据角所在的象限确定所求三角函数值的符号．
1．要注意整体特点的分析，如本题由于是特殊角，因此条件实质上是关于sina、cosa 的线性形式，如不能由得到,将导致解题思路受阻．
2．“变角”是三角变换的灵魂，因此，要注意分析条件与所求之间角的联
系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系．如本题中a+
与a+ 具有互补关系．此外，根据条件与所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：
1．三角问题常和向量知识综合在一起，求解的关键是“脱去”向量包装，将
其转化为相应的三角问题进行求解．
2 倍角公式及其变形sin2a= 与cos2a= 可实现三角函数的升、降幂变化，也可实现角的形式的转化．
3．关于sina，cosa 的同次式，常化正切进行处理．
1．三角恒等变换的基本题型一般有化简、求值和证明三种．解这类题时需。